2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét
A tenzor meghatározáshoz először a Lagrange-koordinátákat kell kifejeznünk az Eulerváltozók
segítségével:
x
X = R ϕ = R arctg ,
y
Az elmozdulások Euler-koordinátákkal:
Y = R + h =
2 2
x + y .
x
u = x − X = x − R arctg ,
y
v = y − Y = y −
2 2
x + y .
A következő lépés a derivált függvények számítása:
∂ u
= 1− R
∂ x 1 +
1 1 Ry
= 1− 2 2 2
x / y y x + y
Ry
= 1 − , 2
( R + h)
( )
∂ u 1 ⎛ 1 ⎞ Rx Rx
= −R x⎜
− ⎟ = =
∂ y 1 + / ⎝ y ⎠ x + y ( R + h)
( x y)
2 2 2 2 2
∂ v 2x
x ∂ v 2y
y
= − = − , = 1− = 1 − .
∂ x 2 2
2 x + y R + h ∂ y 2 2
2 x + y R + h
A tenzor elemi részletesen:
2 2 2 2
∂u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂v
⎞ ⎤ 1 ⎡ 1 ⎛ R y 2 ⎞⎤
ex x = − ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢1 − x ,
2 ⎜ + 2 ⎟⎥
∂x 2 ⎣⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂ x ⎠ ⎦⎥
2 ⎣ ( R + h) ⎝ ( R + h)
⎠⎦
2 2
2 2
∂v 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂v
⎞ ⎤ 1 ⎡ 1 ⎛ R x 2 ⎞⎤
ey y = − ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢1 − y ,
2 ⎜ + 2 ⎟⎥
∂y 2 ⎢⎣ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂ y ⎠ ⎥⎦
2 ⎣ ( R + h) ⎝ ( R + h)
⎠⎦
2
1 ⎡∂u ∂v ⎛ ∂u ∂u ∂v ∂v
⎞⎤
xy ⎛ R ⎞
ex
y = ⎢ + − ⎜ + ⎟⎥
= 1 .
2 ⎜ − 2 ⎟
2 ⎣ ∂y ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂x ∂ y ⎠⎦ 2( R + h) ⎝ ( R + h)
⎠
Ezek az alakváltozás-komponensek a középfelületen szintén zérus értékűek 4 .
Befejezésül hasonlítsuk össze a lemez egy középső metszetében lévő pontnál a kétféle
alakváltozástenzort! A sugár és a lokális koordináta: R = 100 mm, h = 1 mm.
A koordináták a kétféle rendszer szerint:
x = R + h, Az alakváltozás-tenzorok:
y = 0 ⇔ X = R π / 2, Y = R + h .
( ) 2
1 ⎡ R + h ⎤
EXX = ⎢− 1+ 0,01005, 2 ⎥ =
2 ⎢⎣ R ⎥⎦
EY Y = 0, EX
Y = 0,
2
1 ⎡ R ⎤
e x x = 0, e y y = ⎢1− 0,00985, e 0.
2 ⎥ = x y =
2 ⎣ ( R + h)
⎦
Az alakváltozás-tenzorok elemeinek értelmezését segíti a következő ábra:
4 Megjegyezzük, hogy az AH-tenzor használata esetén is megteremthető az 1D mérnöki
1
2 2 ε (1 + ε )
l −l0
alakváltozással a kapcsolat: e = = 2 .
2 2 2
2 l (1 + ε
)
7
,