2. hét: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások ...

Bojtár-Bagi: Mechanika MSc gyakorlatok anyaga Második hét
alakváltozás a hossztengely irányában:
térfogatváltozás: d v = a dl + l da .
dl
ε = , alakváltozás sugár irányban: r
l
4
dr dl
r l
ε = = −ν ,
Mivel a terület növekménye
dr dl
da = 2π r dr = 2a = −2aν , így a térfogatváltozás:
r l
d v = a dl − 2aν dl = 1− 2ν
a dl .
( )
d v dl
Innen: = ( 1− 2ν
) . Ha feltételezzük, hogy a Poisson-tényező konstans a deformáció
v l
során, akkor a kezdeti és a pillanatnyi állapot között integrálva:
v
l
d v dl v
l
∫ = (1− 2 ν) ln (1 2 )ln
v ∫ ⇒ = − ν .
l V L
Innen:
V L
(1−2 ν)
v ⎛ l ⎞
= J = ⎜ ⎟ = λ
V ⎝ L ⎠
(1−2 ν)
2. Többdimenziós alakváltozások vizsgálata
2.1. Egy kör alakra hajlított lemezcsíkon mutassuk be a Green-Lagrange- és az
Almansi-Hamel-féle alakváltozási tenzorok számításának lépéseit!
Ez a feladat átmenetet képez a korábban vizsgált 1D és az „igazi” többdimenziós
alakváltozás-állapotok között, hiszen a – sík alakváltozási állapotúnak feltételezett – lemez a
kétdimenziós térben végez elmozdulást, de – mint látni fogjuk – alakváltozásai a szerkezet
jellegéből adódóan egydimenziósak.
Megváltozott állapot
Az eredetileg egyenes tengelyű, L hosszúságú elemet az ábrán látható módon körré
hajlítottuk úgy, hogy a kör sugara R = L / π értékű legyen (vagyis a lemez tengely irányú
hossza ne változzon). Az elem vastagsága t, az egyes metszetek állapotjellemzőinek
leírásához pedig még egy külön h lokális koordinátát is bevezettünk.
a./ Írjuk fel először a Lagrange-koordinátákat a sugár, a vastagságot jellemző h lokális-,
valamint egy ϕ polárkoordináta segítségével (lásd a jelöléseket a következő ábrán is):
.
Eredeti állapot
A-A metszet