Esercizi - Dipartimento di Fisica

10 Capitolo 2. Vettori
dove occorre saper convertire da gradi-primi a radianti e passare dalla latitudine (zero all’equatore) al θ delle
coordinate polari (zero al polo nord).
Usando le coordinate polari
e = (sin θ sin ϕ, sin θ cos ϕ, cos θ) T · (ex, ey, ez)
una prima approssimazione potrebbe essere d = R|e1 − e2|. Dà dRM = 0.2139 R e dMY = 0.87 R.
Siccome la terra è sferica la distanza è Rθ12. L’angolo relativo θ12 si può facilmente calcolare usando i vettori:
cos θ12 = e1 · e2 = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 cos(ϕ1 − ϕ2) (avendo semplificato cos(ϕ1 − ϕ2) = c1c2 + s1s2).
Quindi dRM = 0.2143 R (cioè la distanza sulla sfera è 3 km maggiore che in 3d) e dMY = 0.905 R (200 km più
che in 3d).
La traiettoria di minima distanza lungo la sfera è
e(λ) =
λeM + (1 − λ)eY
,
λ2 + (1 − λ) 2 + 2λ(1 − λ)eM · eY
Prendendo la componente z si trova la latiudine durante il viaggio cos θ(λ). Derivando si può trovare la latitudine
estrema, ma è noioso. Siccome Madrid e New York hanno circa la stessa latitudine, la latitudine estrema sarà
a λ = 1/2: vale
2
cos θmax = cos θM≈Y
= 0.72
1 + cos θMY
(verifica: sul cerchio funziona: θMR = 2θM≈R e quindi viene cos θmax = 1) che è 600 km più a nord di M e Y.
Conviene correre per non bagnarsi?
Esercizio 16: Moto sotto la pioggia
bSoluzione: Il ‘flusso’ di vp attraverso una superfice piatta è Sn·v = nS ·v, dove nS è un vettore di lunghezza
S ortogonale a S. Approssimando il corpo umano come una superfice orizzontale SO ed una superficie verticale
SV , la ‘somma’ delle due superfici è rappresentata dal vettore somma n = nS + nV = SV ex + SOey. a velocità
della pioggia rispetto ad una persona che cammina orizzontalmente velocità v è v ′ P = −vex − vP ey. Quindi la
pioggia presa in un tempo t = L/v è t(n · v ′ P ) ∝ SV + SOvP /v.
Questo significa che correre fino a v ∼ vP è utile. Siccome SV ≫ SO non è un gran guadagno. Un cane, che
ha SO ≫ SV , si bagna di più se va piano, v ≪ vP , ma si bagna di meno se corre v ≫ vP .
Esercizio 17: Componente di a ortogonale a v
Si calcoli la componente dell’accelerazione a ortogonale alla velocitá v
bSoluzione: Servirà nel futuro. Naturalmente potrebbero essere due vettori qualsiasi.
1. Un primo modo è usare la trigonometria: a⊥ = a sin θ, dove cos θ = a·v/av. Quindi a 2 ⊥ = a2 (1−cos 2 θ) =
a 2 − (a · v) 2 /v 2 .
2. Usando i vettori a⊥ = a − a= = a − v(a · v)/v 2 . Prendendo il modulo a 2 ⊥ = a2 + (1 − 2)(a · v) 2 /v 2 si
ritrova la formula precedente.
3. Se v e a giacciono entrambi nel piano (x, y), espandendo la formula ricavata ai punti 1. e 2. in componenti
e ragruppando si ottiene:
a 2 ⊥ = a2 x + a2 y − vxax + vyay
v 2 x + v2 y
= a2 xv 2 y + a 2 yv 2 x − 2axayvxvy
v 2 x + v2 y
= (axvy − vxay) 2
v 2 x + v2 y
Abbiamo scoperto il prodotto vettore: | sin θ| = |a×v|/av. In generale conviene usarlo in questo problema
solo se a e v giacciono in un piano come (x, y): in questo caso il prodotto vettore ha solo una componente.