Esercizi - Dipartimento di Fisica

Capitolo 18
Entropia
Esercizio 128: Trasformazione con C = CV + aT
Si trovi la trasformazione di un gas perfetto lungo la quale il calore molare vale C = CV + aT .
bSoluzione: Per presentare l’entropia è utile fare un semplice calcolo dove si maneggiano differenziali.
In generale δQ = nCV dT + p dV . Si ha δQ = n(CV + aT ) dT se p dV = naT dT . Conviene eliminare p
ottenendo dV/V = (a/R)dT cioè V ∝ e aT/R .
È utile notare che il termine p dV in δQ non è integrabile (ad es. se elimino p → nRT/V compare T ). Al
contrario dS ≡ δQ/T = nCV dT/T + p dV/T = nCV dT + nR dV/V è integrabile. Quindi S è una funzione
di stato che vale S = nCV ln T + nR ln V .
Per verifcarlo calcoliamo ∆S da (p, V ) = (pA, VA) a (p ′ , V ′ ) = (pD, VD) eseguendo
(a) un’isobara AB VA → VB = VD seguita da un’isocora BD pB = pA → pD.
(b) un’isocora AC pA → pC = pD seguita da un’isobara CD VC = VA → VD
Ricordando che δQ = nCV dT per un isocora e δQ = nCp dT per un isobara, si ha
∆SABD = nCp ln TB
TA
+ nCV ln TD
, ∆SACD = nCV ln TC
+ nCp ln TD
TB
Usando le equazioni dei gas perfetti ho Tb/TA = VB/VA = V ′ /V = TD/TC, TD/TB = p ′ /p = TC/TA
e quindi sono uguali.
∆SABD = nCp ln
TA
′ V
V + nCV ln p′
p , ∆SACD = nCV ln p′
p + nCp
′ V
ln
V
Esercizio 129: Entropia
Una sostanza non specificata svolge un ciclo reversibile isocora/isobara/isocora/isobara. Sono noti i calori molari
Cp e CV e le temperature a tre dei ‘vertici’. Calcolare (1) La quarta temperatura T4 (2) Il lavoro prodotto.
bSoluzione: (1) Impongo ∆S = 0 = CV ln T1
T2 + Cp ln T2
T3 + CV ln T3
T4 + Cp ln T4
T1 . (2) L = Q = CV (T2 − T1) +
Cp(T3 − T2) + CV (T4 − T3) + Cp(T1 − T4).
Esercizio 130: Entropia
Una sostanza non specificata svolge un ciclo reversibile composto da (a) Isoterma a temperatura T1 (b) isocora
fino a temperatura T2, lungo la quale il calore molare è costante e vale C (c) adiabatica. Trovare il lavoro fatto.
bSoluzione: L = Qa + Qb + 0. Per la isocora Qb = ∆U = C(T2 − T1). Per trovare Qa impongo ∆S = 0 =
Qa/T1 + C ln T2
T1 .
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TC