Esercizi - Dipartimento di Fisica

6 Capitolo 1. Analisi dimensionale e stime
bSoluzione: L’energia è esprimibile in termini di m, kg, s. La temperatura pure, se uno lo sa (chi ha fatto
la termodinamica non lo sapeva!). Se uno non lo sa deve introdurre un ulteriore dimensione, ma anche una
ulteriore ‘costante fondamentale’ E = kBT . Le due possibilità sono due descrizioni diverse della stessa fisica.
La stessa cosa vale per quanto riguarda la carica:
F = 1 Q1Q2
4πɛ0 r2 1 q1q2
=
4π r2 , q ≡ Q/√ɛ0 misurare Q in Coulomb o q in cm 3/2 s −1 g 1/2 è equivalente (anche se non egualmente comodo).
A questo punto è naturale immaginare che uno può eliminare la massa definendo m = √ GM, il tempo con
c,. . .
Le vere costanti fondamentali sono quindi solo le combinazioni adimensionali delle apparenti costanti fondamentali.
Sono α = e 2 /¯hc = 1/137.036 ≪ 1 ed eventualmente il rapporto fra la forza elettrica fra due elettroni
e la forza gravitazionale, e 2 /(GNm 2 e) = 4.167 · 10 42 . TUniv/(a0/c) = 2.6 10 36 .
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c = 2.99792458 · 10 10 cm/ s
¯h = 1.054572 · 10 −27 cm 2 s −1 g
e = 4.80321 · 10 −10 cm 3/2 s −1 g 1/2
GN = 6.672 · 10 −11 m 3 s −2 kg −1
me = 9.109389 · 10 −28 g
TUniv = 15 Gyr = 4.7 10 17 s
La temperatura non è una nuova dimensione, ma solo una diversa scala per l’energia (kB = R/NA). Si può fare
a meno del Coulomb con il seguente trucco: e = qe/ √ 4πɛ0, in modo che la forza di Coulomb fra due elettroni
sia F = 1
4πε0 q1q2/r 2 = e 2 /r 2 (qe = 1.60218 · 10 −19 Coulomb, ɛ0 = 8.8549 · 10 −12 Coulomb 2 /Joule m).
Supponendo che un atomo sia non relativistico a0(e, me, ¯h) = ¯h 2 /(mee 2 ) = 0.529·10 −8 cm ∼ ( cm 3 /NA) 1/3 =
1.18 · 10 −8 cm. La velocità è infatti v = e 2 /¯h = e 2 /(mea0) = αc dove α = e 2 /¯hc = 1/137.036 ≪ 1. La sua
energia è Ryd = 1
2 mev 2 = mee 4 /(2¯h 2 ) = 2.18 10 −11 erg. Un fotone di questa energia ha lunghezza d’onda
λ = 2πc¯h/Ryd = a0/(α/4π) = 9.11 · 10 −6 cm = 91nm. ρcritica = 3
8π 1/(T 2 Univ GN ) ≈ 10 −29 g/ cm 3 . Raggio di
Scharzschild del sole R = 2GNM⊙/c 2 = 2.95 km (M⊙ = 1.988 · 10 30 kg).
Esercizio 7: Stime: reazioni nucleari nel sole
Quanto tempo è necessario per preparare un litro di the usando l’energia fornita un kg di sole?
bSoluzione: (Da Gamow pag. 307). Sulla terra, che dista d = 1.5 10 11 m dal sole arrivano 1.3 10 3 J/ m 2 s.
Cioè il sole emette una potenza W = 3.85 10 26 W. L’energia gravitazionale V = −3GM 2 /5R durerebbe solo
per ∼ 10 7 anni, mentre il sole esiste da ∼ 10 10 anni. [Kelvin vs Darwin]. Siccome ha massa M = 2 10 30 kg,
un kg di sole emette una potenza W kg = W kg/M = 2 10 −4 J/s (contando solo la parte attiva salirebbe a
10 −2 J/ sec kg). Per riscaldare di circa 100 gradi un kg di acqua servono E = 100 Kcal = 10 5 cal = 4.2 10 5 J,
che il sole fornisce in un tempo t = E/Wkg = 2.2 10 9 sec = 70 yr.
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Per avere un idea di ‘quanta potenza è’ P = 10 3 W, è utile notare che è circa la potenza massima sviluppabile
da un essere umano di massa m ≈ 80 kg capace di accelerare da 0 a v = 10 m/ s in ∆t = 2 s. La gara dei 100
metri ed il salto in lungo sono la stessa gara: L = v 2 /g.
Si stimi lo spessore di un nastro
Esercizio 8: Stime: spessore di un nastro
bSoluzione: Un modo è il seguente: il nastro svolto è lungo L = 250 m (3 h); arrotolato forma un rocchetto
di raggi Rmax = 4 cm e Rmin = 1.5 cm, quindi V = Lsh = π(R2 max − R2 mix )h, da cui s = 0.017 mm = 17 µm ≈
1.7 105 ˚A (!). Modo alternativo: 3500 giri circa. Il medoto usato da Rayleigh per contare gli atomi è simile.