Esercizi - Dipartimento di Fisica

Capitolo 6
Soluzione di equazioni del moto
Giochetti con l’equazione differenziale della molla
Esercizio 42: Equazione differenziale della molla
bSoluzione: mentre ¨ θ = −g/r sin θ non ha soluzioni in termini di funzioni elementari, m¨x = kx è x =
A cos(ωt+δ) con ω2 = k/m = V ′′ (xmin)/m. L’energia della molla E = m
2 ˙x2 + k
2 x2 vale E = A2k/2(sin 2 + cos2 ) =
A 2 k/2 e quindi è davvero costante.
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Aggiungendo una lunghezza a riposo, l’equazione differenziale m¨x = −k(x − ℓ0) si riduce a quella già risolta
usando come variabile x ′ = x − ℓ0. Quindi x = ℓ0 + A cos(ωt + δ).
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Mettendo in un campo gravitazionale m¨x = −mg + kz si risolve nuovamente shiftando rispetto al punto di
equlibrio: x = z − mg/k.
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Assumendo una forza centrale F = −kf(r)er = −kf(r)r/r le equazioni del moto
m¨x = −kx f(x2 + y2 )
, m¨y = −ky
x2 + y2 f(x2 + y2 )
x2 + y2 sono un gran macello (anche se f(r) = 1, filo in un buco) a meno che f(r) = r (molla con lunghezza a riposo
nulla). In tal caso m¨xi = −kxi e xi = Ai cos(ωt + δi). È ovvio che l’energia è costante in quanto E = Ex + Ey.
Esiste una seconda costante del moto
Lz = m(x ˙y − y ˙x) = mωAxAy[sin(ωt + δx) cos(ωt + δy) − cos(ωt + δy) sin(ωt + δy)] = mωAxAy sin(δx − δy)
Esercizio 43: Molle in serie ed in parallelo
Si ricavi la costante effettiva di due molle (a) in parallelo (b) in serie.
bSoluzione:
In parallelo è ovvio che K = k1 + k2 (K = 2k se k1 = k2). In serie
m1¨x1 = k2x2 − k1x1, m2¨x2 = Fext − k2x2
Quindi la forza esterna necessaria per tenere il sistema fermo con allungamento X = x1 + x2 = x2(1 + k2/k1) è
Fext = k2x2 = KX con K = k1k2/(k1 + k2) (K = k/2 se k1 = k2). Il fatto che due molle siano equivalenti ad
una singola molla con opportuno k è vero solo per le proprietà statiche ¨x1 = 0, o se m1 = 0: altrimenti esistono
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