Esercizi - Dipartimento di Fisica

40 Capitolo 10. Moto di un corpo nello spazio
V P
vout vin v in
V P
Figura 10.1: Effetto fionda. Fig. 10.1a,b: possibili valori di vout per una interazione con velocità iniziale vin su
di un pianeta con velocità VP . Fig. 10.1c: traiettoria Terra-Marte-fuga ottimale.
con ¨z = ¨ρ. Elimimando τ = M(¨ρ + g) ottengo (m + M)¨ρ = −Mg + mρ ˙ θ2 = −Mg + L2 /mρ3 . Una soluzione
particolare sono le orbite circolari: ¨ρ = ˙ρ = 0 per cui ¨ θ = 0 e quindi ˙ θ2 = −Fρ/mρ (da cui T 2 ∝ ρ3 nel sistema
solare). L’equazione angolare può essere riscritta come 1 d
ρ dtmρ2 ˙ θ = 0, ed esprime la conservazione del momento
angolare.
2) Energia:
E =
m + M
2
v out
˙ρ 2 + m
2 ρ2 ˙ θ 2 + Mgρ
Non è possibile dedurre le equazioni del moto da ˙ E = 0 per via del termine cinetico dipendente da ρ:
˙E = ˙ρ (m + M)¨ρ − ξρ ˙ θ 2 + V ′ + ρ ˙ θ mρ ¨ θ + (m + ξ) ˙ρ ˙ θ
ξ è arbitrario e solo ξ = m dà le equazioni del moto giuste. Usando la conservazione del momento angolare
E =
m + M
2
˙ρ 2 + L2
+ Mgρ
2mρ2 il problema è evitato.
Se ρ0 = ℓ/2, e ˙ρ0 = 0 con la velocità v0 tutta non radiale si ha L = mv0ℓ/2 e E = 1
punto ρ = ℓ E = Tρ + 1
8 mv2 0 + Mgℓ. Questo punto non viene superato se v2 0
Esercizio 74: Velocità di fuga ed effetto fionda
4 M < 3 m gℓ.
2 mv2 0
+ Mgℓ/2. Nel
Trovare la minima velocità alla quale occorre lanciare una sonda dalla terra affinchè possa sfuggire al campo
gravitazionale del sole.
bSoluzione: Con ottima approssimazione le orbite dei pianeti sono circolari; quindi la velocità con cui il
pianeta P orbita attorno al sole vale V 2 P = GMS/RP S. Chiamo vP la velocità della sonda quando passa in
prossimità del pianeta P , e vP R la stessa velocità relativa a P .
A prima vista occorre v 2 ≥ 2 GMT
RT
+ 2 GMS
RT S = v2 fuga T + 2V 2 T
(si sommano le energie di fuga, non le velocità
di fuga!) e non importa in quale direzione la sonda viene lanciata. Numericamente le velocità di fuga sono
vfuga T = 11 km/ s e √ 2VT = 41 km/ s.
Siccome la terra gira attorno al sole con velocità non trascurabile, vfuga = √ 2vorbita, si può risparmiare
energia. Dimenticando il campo gravitazionale terrestre, la condizione diventa (vT S +VT ) 2 ≥ 2V 2 T . Lanciandola
‘in avanti’ possiamo levare i vettori, prendere la radice trovando vT S ≥ ( √ 2 − 1)VT = 0.41VT = 12.4 km/ s.
Serve solo l’8.5% dell’energia necessaria in assenza della rotazione terrestre. Se volessimo invece mandare una
sonda nel sole servirebbe vT S = −VT , cioè più energia che per farla fuggire al sole.
IUsando l’effetto fionda si può risparmiare altra energia.
Per capire cosa è ricordiamo che un corpo che interagisce
con un corpo fermo di massa infinita ha in uscita la stes-
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sa velocità che aveva in entrata (conservazione dell’energia).
La stessa cosa vale ne sistema del CM per due
corpi di masse anche comparabili (conservazione dell’en-