Esercizi - Dipartimento di Fisica

Capitolo 7
Urti
Esercizio 53: Urto perfettamente inelastico
Si calcoli l’energia dissipata in un un urto perfettamente anelastico fra m1 ed m2 in moto con velocità v1 e v2
bSoluzione: Chiamando µ = m1m2/(m1 + m2) la ‘massa ridotta’ dopo l’urto si ha v ′ 2 = v ′ 1 = (m1v1 +
m2v2)/(m1 + m2). L’energia dissipata vale ∆E = E ′ − E = −µ(v2 − v1) 2 /2.
Andiamo a vedere chi compie questo lavoro: ∆E = ∆Ei = Fi · vi dt dove F1 = −F2 sono le forze
impulsive, che producono Fi dt = ∆pi. Quindi dovrebbe essere ∆Ei = ∆pi · 〈vi〉 dove 〈vi〉 è una qualche
‘velocità media durante l’urto’. Infatti un calcolo esplicito mostra che
∆p1 = µ(v2 − v1), ∆E1 = µ(v2 − v1) v1 + v ′ 1
2
= ∆p1 · v1 + v ′ 1
2
e similmente per la seconda particella. Per m2 → ∞ e v2 = 0 si ottiene l’urto di m1 contro un muro di massa
infinita. In un urto elastico deve essere 〈v1〉 = 0: quindi m1 rimbalza con v ′ 1z = −v1z dove z è la direzione
lungo la quale ∆p1z = 0.
Esercizio 54: Detezione materia oscura
Un possibile modo di rilevare dark matter sotto forma di neutralini di massa m è misurare l’energia presa da
nuclei di massa M in urti
bSoluzione: Le curve di rotazione della galassia (il sole gira a 232 km/ s, la terra gira attorno al sole con
vT S = 30 km/ s) indicano materia oscura con ρ ∼ 0.3mp/ cm 3 ∼ 10 5 ρcr.
mv = mv ′ + MV ′ ,
m
2 v2 = m
2 v′2 + M
2
Dalla conservazione dell’impulso ricavo v ′ = v−VM/m che inserito nella equazione di conservazione dell’energia
fornisce (m + M)MV ′2 /2m = MV ′ · v = MV ′ v cos θ In approssimazione 1-dimensionale angolo di scatering
cos θ = 1. Le soluzioni sono V ′ = 0 (niente urto) e
V ′ = cos 2 θ 2mv
m + M
: K ≡ M
2 V ′2 = cos 2 θ
4mM
V ′2
Kin (Kin
(m + M) 2
= m
2 u2 )
La funzione K/Kin = 4r/(1 + r 2 ) è massima (ed ovviamente vale 1) per r ≡ M/m = 1. Per v = 232 km/ s
(velocità di rotazione del sole, non relativistica) e M = m = 100 GeV si ha E = 30 keV.
ISe tengo conto che la conservazione del momento angolare
impone che l’urto avvenga in un piano (ortogonale a
L) ho 4 − 3 = 1 variabile libera (l’angolo di scattering).
In questo caso L non serve in quanto V = 0 (sistema del
30
lab). La conservazione di L è infatti legata alla possibilità di
usare il sistema del lab. Se esistessero ulteriori leggi di conservazione
di quantità cinematiche ogni scattering sarebbe
banale.