Esercizi - Dipartimento di Fisica

Capitolo 4
Sistemi non inerziali
Esercizio 25: Sistema uniformemente accelerato
Urto in caduta libera. Anche palloncino e filo a piombo in treno accelerato.
bSoluzione: Se invece di usare un sistema inerziale xA uso un sistema accelerato xR, legati da xA = xR + 1
2 At2
(cioè l’origine di xR accelera ‘in avanti’), l’equazione del moto nel sistema inerziale m¨xA = F diventa, nel sistema
non inerziale, m(¨xR + A) = F . Cioè devo aggiungere una forza apparente −mA. Esattamente come la gravità
essa è proporzionale alla massa, per una accelerazione universale. Quindi è equivalente ad avere una ‘gravità
storta’. L’uso di sistemi non inerziali è estremamente utile per risolvere alcuni problemi (esempio: trovare la
forza tale che un sistema accelerato non subisca moti relativi).
Secondo esempio: mentre un treno accelera un filo a piombo ed un palloncino di elio, si inclinano nello stesso
modo. Usando un sistema accelerato, nel quale la gravità è storta, questo risultato è ovvio: è esattamente come
avere un treno fermo su una pendenza tan θ = a/g. Lavorando in un sistema inerziale è un pasticcio tremendo:
occorre calcolare la forza di archimede per una distribuzione di densità dell’aria modificata dall’accelerazione.
Esercizio 26: Massima velocità in curva
Trovare la massima velocità prima del ribaltamento di un auto larga 2a e con il baricentro alto h
bSoluzione: Le forze apparenti possono essere dimostrate in modo immediato: in coordinate polari, in un
sistema Assoluto
aAρ = ¨ρ − ρ ˙ θ 2 A , aRθ = ρ ¨ θA + 2 ˙ρ ˙ θA
Le coordinate Assolute (ρ, θA) sono legate a quelle in un sistema Ruotante (ρ, θR) da
ρA = ρR = ρ, θA = θR + ωt
(ω > 0 significa ruotare in senso antiorario). Quindi, sostituendo si ha vAρ = vRρ, vAθ = vRθ + ρω e
Fρ/m = aAρ =
aRρ
(¨ρ − ρ ˙ θ 2 R ) −ρω2 − 2ρ ˙ aRθ
θRω, Fθ/m = aAθ = (ρ¨ θA + 2 ˙ρ ˙ θA) +2 ˙ρω
Quindi esiste una forza centrifuga +mρω 2 eρ ed una forza di Coriolis 2mω(vRθeρ − vRρeθ) = 2mvR × ω (in
quanto eρ × ez = −eθ).
Nel sistema di riferimento ruotante è esattamente come stare su di un piano inclinato: (mv 2 /r)/(mg) < a/h
cioè v 2 < gra/h. Prima di ribaltarsi la macchina potrebbe slittare mv 2 /r < µmg cioè v 2 < µgr. L’attrito
dell’aria ∼ Sρariav 2 migliora la stabilità [assurda: v si cancella]
• • • • • • • • • • • • • • • • • •
Siccome un generico spostamento rigido (riparametrizzazione che conserva le distanze) è combinazione di
una traslazione ed una rotazione, gli ultimi due esercizi dovrebbero essere sufficienti per derivare la formula
generale
aR = aA + atr + aCo, aCo = −2vR × ω
mentre atr è l’accelerazione assoluta del punto del sistema relativo.
16