Esercizi - Dipartimento di Fisica

50 Capitolo 13. Corpo rigido
Esercizio 85: Altalena
Come si fa ad aumentare l’ampiezza di oscillazione andando in altalena?
bSoluzione: Quando si passa per la posizione orizzontale, spostando le gambe, si modifica il momento di
inerzia, rispetto al centro di rotazione, da Imax (gambe allungate) a Imin (gambe piegate). Siccome il momento
angolare è costante la velocità angolare aumenta, ωImax = ω ′ Imin, e l’energia cinetica K = I
2 ω2 aumenta di un
fattore Imax/Imin. Se Imin = (M + mg)L 2 e Imax = Mℓ 2 + m(L + ℓ) 2 (dove m = massa della gamba ≪ M =
massa totale, e ℓ = lunghezza della gamba ≪ L = lunghezza dell’altalena). Prendendo ℓ/L = 0.1 e m/M = 5%
si ha Imax/Imin 1 + 2(m/M)(ℓ/L) ≈ 1.01. L’energia cinetica non si conserva in quanto uno compie lavoro
nello spostare le gambe. Questo movimento consente aumentare l’altezza massima di oscillazione (calcolabile
tramite V = mgh = K) di un ugual fattore. Nei due estremi di oscillazione, quando ω = 0 si riporta il momento
angolare da Imin a Imax senza variare nè L ne E (il baricentro non si sposta). Quindi, dopo n oscillazioni
l’altezza massima raggiunta aumenta di un fattore (Imax/Imin) 2n , avendo supposto gli attriti trascurabili.
Esercizio 86: Rotolamento da piano inclinato
Si calcoli la velocità di caduta lungo un piano inclinato (a) di un piattello (b) di un cilindro (c) di una sfera (d)
di una sfera dentro una guida a 90 gradi. Chi è il più veloce?
bSoluzione: Le equazioni del moto di una rotella che scende sono
m¨x = mg sin θ − FA, I ¨ θ = +rFA
avendo messo l’asse x lungo il piano inclinato. La potenza sviluppata dalla forza d’attrito vale
˙E = FA · v + MFA · ω = FAw dove w ≡ ˙ωr − v
è la velocità del punto di contatto fra la ruota ed il terreno. Quindi se il cilindro rotola senza strisciare, cioè
se v = ˙ θr, la forza d’attrito non compie lavoro e l’energia è costante. Se il punto di contatto è fermo la forza
d’attrito non compie lavoro. Per questo motivo la ruota è stata un’invenzione utile. Supponendo w = 0 si trova
(m + I/r 2 )¨x = mg sin θ e FA = µg sin θ dove 1/µ = 1/m + 1/(I/r 2 ). Se FA < µSR = µSmg cos θ l’attrito
produce una forza sufficiente a dare rotolamento senza strisciamento; altrimenti il moto è più complicato.
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Abbiamo quindi visto che l’energia E = 1
2 (mv2 +Iω 2 )+mgz è una costante del moto. Sapendo questo l’esercizio
è facile. Per il cilindro I = 1
2 mr2 ; per la sfera I = 2
5 mr2 . Per cilindro e sfera ω = v/r; per la sfera nella guida
ω = √ 2v/r: quindi è la più lenta. Riassumendo l’energia cinetica è 12cmv 2 con c = 1 per il piattello; c = 3/2
per il cilindro; c = 7/5 per la sfera e c = 9/5 per la sfera nella guida.
Esercizio 87: Cilindro che sale su di un gradino
Da quale altezza occorre lasciar cadere un cilindro di massa m e raggio r, affinchè salga sul gradino, come in
figura? Si assuma che durante l’arrampicata il punto di contatto cilindro-gradino rimanga fermo.
bSoluzione: Chiamiamo ICM = cmr2 il momento d’inerzia del cilindro rispetto al suo centro di massa: c = 0
se la massa è tutta nel centro; c = 2/5 per una sfera omogenea; c = 1/2 per un cilindro omogeneo; c = 1 se la
massa è tutta nel guscio esterno (cioè se il cilindro è un tubo vuoto). Se il cilindro rotola senza strisciare arriva
in fondo con energia K = 1
= mgz.
2 (1 + c)mv2 0
Nell’urto cilindro/gradino si conserva il momento angolare rispetto
alla punta del gradino P : LP = L ′ P dove
LP = L CM
P + LCM = m(r − h)v0 + ICMω0 = mv0[(1 + c)r − h]
L ′ P = IP ω ′ = (1 + c)mr 2 ω ′