Esercizi - Dipartimento di Fisica

Capitolo 1
Analisi dimensionale e stime
E = mc 2 può essere giusto, E = 2mc 2 pure mentre E = m/c 2 no.
Esercizio 1: Pendolo
Si mostri che il periodo di oscillazione di un pendolo non dipende da m.
bSoluzione: Assumendo T (g, ℓ, m) si trova T ∼ ℓ/g (la formula esatta, nel limite di piccole oscillazioni, è
T = 2π l/g). Se T dipende anche dall’ampiezza di oscillazione θ non si può più ricavare una formula tramite
analisi dimensionale, ma si può sempre concludere che T non dipende da m.
Esercizio 2: Onde del mare
Si assuma che la velocità delle onde del mare dipenda solo da ρ, λ, g (e non dalla altezza dell’onda: assunzione
valida se il mare è profondo).
bSoluzione: v = √ gλ indipendente da ρ. v < vL ∼ √ gh.
Esercizio 3: Velocità aereo
Un tipico aereo ha superficie alare S = 100 m 2 e pesa M = 10 5 kg e vola nell’atmosfera che ha densità ρ ∼
0.3 kg/ m 3 e g = 10 m/ s 2 . A quale velocità deve viaggiare per non cadere?
bSoluzione: [IA temperatura ambiente 22.4 moli occupano 1 m 3 . L’aria è costituita all’80% di N2 (peso
molecolare 2 × 14) ed al 20% da O2 (peso molecolare 2 × 16) ed ha peso molecolare 28.96. Quindi a STP (cioè
a terra) ρ = 1.3 kg/ m 3 ]. Siccome ci sono 4 grandezze le tre equazioni dimensionali hanno infinite soluzioni.
[S] [ρ] [g] [M]
spazio 2 −3 1 0
tempo 0 0 −2 0
massa 0 1 0 1
La combinazione (ρ/MS −3/2 ) = ρaria/ρaereo ∼ 0.015 è adimensionale e piccola. Quindi l’analisi dimensionale
non fissa completamente v = S 1/4 g 1/2 (ρ/MS −3/2 ) p .
Proviamo ad usare un po’di conoscenze fisiche: affinchè l’aereo non cada occorre che Faria = gM. La forza
verso l’altro provocata dall’aria potrebbe dipendere da S, ρ, g, v (ma non da M). L’analisi dimensionale la fissa
essere uguale a Faria = ρg x S 1+x/2 v 2−2x . Quindi si impara che Faria ∝ ρ. Ci sono due valori fisicamente sensati
di x:
• x = 1, cioè Faria ∝ g: viene Faria ≈ ρgV , che non è altro che la trascurabilissima forza di Archimede.
• x = 0, cioè Faria indipendente da g: viene Faria ≈ Sρv 2 .
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