Esercizi - Dipartimento di Fisica

32 Capitolo 7. Urti
Esercizio 57: Estinzione dinosauri
Si stimi l’energia d’impatto dell’asteroide o cometa caduto 65 Myr fa (limite fra le ere mesozoico/cenozoico,
limite KT fra i periodi createco/terziario) a Puerto Chicxulub (messico nord-orientale).
bSoluzione:
rT = 1.6 10 11 m rA = 5 10 11 m G = 6.67 10 −11 m 3 / kg s
RT = 6370 km Rast ≈ 5 km ρast ∼ 3
mT = 5.97 10 24 kg mast = 1.5 10 15 kg Msole = 1.99 10 30 kg
vT = 28.8 km/ s vA = 23.0 km/s
L’energia rilasciata in un urto anelastico è µ
2 (v1 −v2) 2 ; qui mast ≪ mT . Sicuramente la velocità d’impatto è v >
vF = (2GME/RE) 1/2 = 11 km/ s (velocità di fuga). Essa produce un urto con energia GmT mA/RT = 10 6 kg c 2 .
Una cometa arriva dall’infinito con velocità vρ = 40 km/s. La velocità orbitale della terra è vterra = 28 km/ s.
Per un asteoride:
• L’urto minore si ha per α = αmax cioè cos θ = −1: in questo caso l’asteroide ha vρ = 0 e vθ
=
GM/rA(rA/rT ) = 35.5 km/ s, cioè vurto = 6.6 km/s ed Eurto = (0.38 + 1.1) 106 kg c2 .
αmax
• L’urto maggiore si ha per α = 0 cioè cos θ = 1: in questo caso l’asteroide ha vρ = (2GMsole(1/rT −
1/rA)) 1/2 = 33.6 km/s e vθ = 0, cioè vurto = 44 km/s ed Eurto = (17.1 + 1.1) ton c 2 .
Se ρ = rM /(1 − e cos θ) allora
vρ = − eL
sin θ, vθ =
mrM
L L
= (1 − e cos θ)
mρ mrM
Invece di E, L vogliamo usare come parametri rA (il raggio di apogeo) e vA = α GM/rA (se α = 1 la velocità
di apogeo è quella che di un orbita circolare. La destabilizzazione dell’orbita dell’asteroide produce α < 1.).
Quindi L = mrAvA, rM = (vArA) 2 /GM = α 2 rA e e = 1 − v 2 A rA/GM = 1 − α 2 ≤ 1.. Con questi parametri
GM 1 − α
vρ = −
2
GM
sin θ, vθ =
α
rA
rA
1 − (1 − α 2 ) cos θ
α
con GM/rA = 16 km/ s, mentre la terra ha una velocità vT = 28.8 km/s. L’urto avviene se ρ = rM /(1 + e) =
rAα 2 /(2 + α 2 ) ≤ dT S cioè per α 2 < 2(dT S/rA)/(1 + dT S/rA) ≈ 0.48 (α < 0.696). In questo caso l’asteroide
urta la terra quando ρ = dT S cioè per
cos θ = 1 rM
(1 − ) =
e dT S
1 − α2rA/dT S
1 − α2 L’energia dell’urto è una funzione facile da calcolare ma lunghissima da scrivere. In pratica è una retta quasi
perfetta E = Emax(1 − 0.92α/αmax) ∼ 10 7 kg c 2 ∼ 10 8 megatoni. Effetti: (1) buio e freddo (2) l’ossigeno e
l’azoto nell’aria riscaldata si combinano formando NO e con vapor d’acqua pioggie di acido nitrico HNO3. (3)
rocce calcariche (CaCO3) bollendo rilasciano CO2 (effetto serra).
Esercizio 58: Gravimetro
bSoluzione: T = T0(1 + θ 2 /16 + · · ·); ∂z/∂g = m/k = T 2 /(4π 2 ).