Esercizi - Dipartimento di Fisica

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Capitolo 2 Vettori Esercizio 10: Legge di Hubble Hubble trovò che Galassie lontane si allontanano dalla Terra con veloctà vGT = H(rH − rT ). Mostrare che, siccome H non dipende da r, questa scoperta non implica che la Terra è nel centro dell’universo. bSoluzione: Le velocità galattiche osservata da un ossevatore su di un qualunque pianeta P sono vGP = vGT − vP T = H(rG − rT ) − H(rP − rT ) = H(rG − rP ) cioè viene osservata esattamente la stessa legge di Hubble. In realtà oggi uno può misurare la vGT che una Galassia aveva al tempo tora − rGT /c, per cui in pratica le cose sono un po’più complicate. Esercizio 11: Misura della velocità della luce Durante una pioggia le goccie formano strisce inclinate di θ ′ = 76 ◦ rispetto alla verticale sui finestrini di una vettura in moto con velocità v ′ = vA = 100 km/ h. Quale è la velocità della pioggia in assenza di vento? Una macchina in moto alla stessa velocità ma in direzione opposta ha strosce inclinate di θ ′′ = 70 ◦ . Quale è la velocità del vento e quella della pioggia? bSoluzione: Chiamiamo vP la velocità della pioggia. In presenza di vento essa ha una componente orizzontale vV ed una componente verticale vP . Nel sistema di riferimento della prima macchina in moto con velocità v ′ = (0, vA = 100 km/ h) le goccie di pioggia cadono con velocità vP − v ′′ vV − vA = vP : vA − vV = vP tan θ ′ Nel sistema di riferimento della seconda macchina in moto con velocità v ′′ = −v ′ le goccie di pioggia cadono con velocità Da cui vP − v ′′ vV + vA = vP : vA + vV = vP tan θ ′′ vV = tan θ′′ − tan θ ′ tan θ ′ + tan θ ′′ vA = −18.7 km h , vP 2vA = tan θ ′ + tan θ ′′ vA = 30 km/ h vV è negativo in quanto la prima macchina sta andando controvento (come ovvio dal fatto che ha strisce più inclinate). La tecnica usata in questo esercizio per misurare la velocità della pioggiaè identico a quella usata da Bradley nel 1728 per misura della velocità della luce. Sapendo che la Terra si muove con velocità vT = 29.77 km/s, e che la posizione di una stella vicina al polo nord (cioè la direzione della sua luce) vale θ ′ = −θ ′′ = 20.5 ′′ = 20.5 ◦ /60 2 = 0.9936 10 −4 rad, approssimando tan θ ≈ θ si ottiene c = vT /|θ ′ | = 299500 km/ s. Siccome la velocità della terra è quasi ortogonale alla direzione della luce, le correzioni relativistiche sono trascurabili (verificare). 8
Capitolo 2. Vettori 9 Esercizio 12: Attraversamento fiume Un nuotatore, capace di nuotare con velocità v = 3 m/ s vuole attraversare un fiume largo L = 10 m in cui l’acqua scende con velocità vC = 4 m/ s partendo 10 m a monte di una cascata. In quale direzione deve nuotare per attraversare il fiume? bSoluzione: Se nuotasse ortogonale al fiume (ϕ = 0) andrebbe con angolo arctan(3/4) < 45 ◦ e finirebbe nella cascata. Nel miglior caso possibile l’inclinazione è ϕ = − arcsin 3/4: ϕ = 48.5 ◦ > 45 ◦ e scenderebbe il fiume di 8.82 m in 5.04 s. Affinchè arrivi sull’altra sponde prima di cadere nella cascata la sua velocità v sin ϕ + vC v = vC + v ˆϕ = v cos ϕ deve avere vy ≥ vx, cioè cos ϕ − sin ϕ = √ 2 cos(ϕ + 45 ◦ ) ≥ vC/v cioè ϕ + 45 ◦ = ±19 ◦ , cioè −64.5 ◦ < ϕ < −25.5 ◦ . Nei due casi limite il tempo di transito t = L/(v cos ϕ) varia fra t = 3.69 s e t = 7.73 s. Esercizio 13: Prodotto scalare Si verifichi che il prodotto scalare funziona, cioè che è invariante sotto rotazioni bSoluzione: È possibile scrivere il prodotto scalare in termini di lunghezze di vettori: a · b = 1 2 [(a + b)2 − a 2 − b 2 ] = i aibi. Siccome pare ovvio che la lunghezza di un vettore non dipende dalla sua orientazione, abbiamo finito. Una verifica più esplicita è utile: le componenti di un generico vettore v = vxex + vyey = v ′ xe ′ x + v ′ ye ′ y (in notazione del corso di geometria: v = e T v) in basi divese (legate da una rotazione nel piano (x, y)) sono legate da e ′ x = +ex cos θ + ey sin θ e ′ y = −ex sin θ + ey cos θ v ′ x = vx cos θ − vy sin θ v ′ y = vx sin θ + vy cos θ Si verifica che il prodotto scalare a · b = axbx + ayby = a ′ xb ′ x + a ′ yb ′ y è invariante sotto rotazioni, cioè è davvero uno scalare. In un sistema in cui un asse è lungo a si vede che a · b = aba = ab cos θab. I vettori sono utili per rappresentare simmetrie. In relatività le componenti dei quadri-vettori ruotano trasformano sotto la simmetria di Lorentz SO(3,1) (‘trasformazioni di Lorentz’): sarà utile fare uso di quantità invarianti A · B che sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento (‘non tutto è relativo’). Esercizio 14: Applicazioni del prodotto scalare La diagonale del cubo (1, 1, 1) è lunga √ 3; forma un angolo cos θ = 1/ √ 3 · 1 con i lati; forma un angolo cos θ ′ = 2/3 con le (diagonali delle) faccie. bSoluzione: Esercizio 15: Distanza fra due città Si calcoli la distanza fra due città di cui sia nota latitudine e longitudine. bSoluzione: Ad esempio R = Roma, M = Madrid, Y = New York θR = 90 − 41 o 51 ′ = 0.840 θM = 90 − 40 o 25 ′ = 0.865 θY = 90 − 40 0 42 ′ = 0.860 ϕR = 12 o 30 ′ = 0.218 ϕM = −3 o 43 ′ = −0.065 ϕY = −74 o 0 ′ = −1.29
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Capitolo 14 Extra Esercizio 102: De
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Parte II Relatività
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Capitolo 15. Trasformazioni di Lore
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Capitolo 15. Trasformazioni di Lore
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Capitolo 16 Urti relativistici Eser
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Capitolo 16. Urti relativistici 69
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Parte III Termodinamica
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Capitolo 17. Lavoro ed energia 73
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Capitolo 18 Entropia Esercizio 128:
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Capitolo 18. Entropia 77 2. A quest
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Capitolo 18. Entropia 79 2. Dopo il
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Capitolo 18. Entropia 81 In che mod
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Appendice A Unità e prefissi SI Qu
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