Esercizi - Dipartimento di Fisica

Capitolo 9
Conservazione energia ed impulso
Si scriva l’equazione di moto
Esercizio 66: Piano inclinato che scivola
bSoluzione: È interessante vedere anche come si risolve il problema usando solo il sistema di riferimento
inerziale. Le equazioni del moto sono
m¨z = +R cos θ − mg
m¨x = +R sin θ
M ¨ X = −R sin θ + Fext
M ¨ Z = −R cos θ − Mg + P
dove R è la reazione (ortogonale al cuneo) del cuneo sul pesetto e P è la reazione (verticale) del piano d’appoggio
orizzontale sul cuneo. Il vincolo è ¨z = −(¨x − ¨ X) tan θ e ¨ Z = 0 dove θ è l’angolo del cuneo. Risolvendo tutto si
trova, in assenza di forza esterna sul cuneo:
g(m + M)s2
¨z = −
M + ms2 gM sc
gmMc
gM(M + m(1 − cs))
, ¨x = , R = , P =
M + ms2 M + ms2 M + ms2 ed ovviamente M ¨ X + m¨x = 0. Se Fext = 0
¨z = sc Fext − g(m + M)s/c
M + ms2 , ¨x = Fexts2 + scgM
M + ms2 Fext
, X ¨
− mg sc
=
M + ms2 , R = m¨x
s
Si ritrovano i valori di Fext per tenere il cuneo fermo; per avere ¨z = 0, etc. È utile risolvere un apparente
paradosso: se Fext = g(m + M)s/c allora ¨z = 0: dando una velocità iniziale ˙z0 posso creare o distruggere
energia in quanto V = mgz = mgz0t. Non è cosí: E = K + V con K = m
2 ( ˙x2 + ˙z 2 ). Si ha ¨x = gs/c e
˙x = ˙ X0 − c
s ˙z0 + s
c gt: quindi K = K0 − ˙z0gmt + · · · t + · · · t2 : la variazione di mgz si cancella. In generale, per
una qualunque Fext costante è possibile (ma noioso come calcoli) inserire le soluzioni delle equazioni del moto
in E = K + V con V = mgz − FextX e verificare che E è costante.
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Equazioni del moto ricavate dalla conservazione dell’energia Se Fext = 0 è possibile dimenticare le
forze di reazione inserendo i vincoli in E: sostituendo z = −(X − x) tan θ si ottiene
E = 1
2 m( ˙x2 + ˙z 2 ) + 1
2 ( ˙ X 2 + ˙ Z 2 ) + mgz = m
2c 2 ˙x2 + 1
2 (M + m tan2 θ) ˙ X 2 − m tan 2 θ ˙x ˙ X + mg tan θ(X − x)
quindi
˙E =
˙x
cos2
m¨x − ms
θ
2
X¨ − mg cs +
˙ X
cos2
(Mc
θ
2 + ms 2 ) ¨ X − ms 2
¨x + mg cs = 0
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