Esercizi - Dipartimento di Fisica

14 Capitolo 3. Cinematica e coordinate polari
Verifichiamo che le relazioni che collegano le velocità ed accelerazioni nel sistema di riferimento Assoluto con
quelle nel sistema Relativo R (solidale alla guida che Ruota con velocità angolare ω)
vA = vR + vtr, aA = aR + atr + aCoriolis
Nel sistema R il punto ruota con velocità angolare ωR = ˙s/r(0, −1, 0), quindi
Per le accelerazioni si ha
vR = ωR × x, vtr = ω × x : vA = (ω + ωR) × x
√
= ωA × x
aR(t) = ˙vR = −ω 2 Rx + ˙ωR × x, atr = −ω 2 x, aCoriolis = 2ω × vR = −2(ω · ωR)x
√
Sommando i tre contributi si trova che aA = −(ω + ωR) 2x + ˙ω × x. Ricordo che l’accelerazione di trascinamento
è l’accelerazione, rispetto al sistema assoluto, del punto del sistema relativo dove si trova il corpo (se il corpo si
muove questo punto cambia, ma questo non conta).
Esercizio 21: Introduzione alle coordinate polari *
(Compitino del 5/4/95) Un piattaforma ruota
con velocità angolare costante ω = 1.10rad/ s.
Un oggetto si muove radialmente verso il centro
di rotazione con velocità angolare costante
v0 = 0.88 m/ s rispetto alla piattaforma. Al
tempo t = 0 l’oggetto si trova a distanza ρ0 =
4.7 m dal centro di rotazione, sull’asse x del
sistema di coordinate mostrato in figura. Il
sistema di coordinate è fisso in un sistema di
riferimento interziale. Al tempo t1 = 3.30 s si
calcoli:
(1) La componente x del vettore posizione del
mobile nel sistema di coordinate indicato;
(2) Il modulo della velocità del mobile rispetto
al sistema inerziale;
(3) Le componenti Fρ e Fθ della forza agente
sul mobile, sapendo che ha massa m = 4.70 kg,
in un sistema di coordinate polari con origine
il centro di rotazione della piattaforma;
(4) Il modulo della componente dell’accelerazione perpendicolare alla velocità.
bSoluzione: È facile rispondere alle domande 1 e 2 usando le coordinate cartesiane dove
cos ωt
x = x(t)ex + y(t)ey = (r0 − v0t)
sin ωt
e v = ˙x. Per le domande 3 e 4 conviene passare dalle coordinate cartesiane x(t), y(t) a quelle polari ρ(t), θ(t).
In generale
cos θ(t)
eρ =
,
sin θ(t)
− sin θ(t)
eθ =
= ˙eρ/
cos θ(t)
˙ θ, ˙eθ = ˙ θeρ
La relazione ei · ˙ei = 0 è ovvia in quanto e 2 i = 1. Nel nostro caso θ(t) = ωt e r(t) = r0 − v0t:
x(t) = r(t)eρ(t), ˙x(t) = −v0eρ + r(t)ωeθ, ¨x(t) = −2v0ωeθ − rω 2 eρ
Sono verificate (anzi dimostrate) le relazioni generali
All’istante t1
x(t) = 1.79 meρ = −
v = ˙x = ˙ρeρ + r ˙ θeθ, a = ¨x = (¨ρ − ρ ˙ θ 2 )eρ + (ρ ¨ θ + 2 ˙ρ ˙ θ)eθ
1.586
m, ˙x(t) = [−0.88eρ + 1.9756eθ]
0.843
m
s , F(t) = [9.285eθ − 4.136eρ]N