Esercizi - Dipartimento di Fisica

48 Capitolo 12. Statica
Per la statica le xi sulle quali non agiscono forze esterne sono irrilevanti. Il principio dei lavori virtuali
è esattamente questo in quanto v = dx/dt.
2. Usando invece le ‘equazioni cardinali’, validi per un corpo rigido e mettendo l’origine nel centro di rotazione
0 = masta¨xCM = −τex − mgez + R, 0 = ˙ Lz = τr12 cos θ − mgr13 sin θ
La prima equazione è inutile, ma la seconda fornisce la soluzione. Se avessimo messo il polo in qualche altro
punto, ad esempio sulla cima dell’asta la seconda equazione sarebbe invece stata 0 = ˙ L = x31 ×R+x32×τ.
Sostituendo R = −τ − g si ritrova la stessa condizione 0 = (x32 − x13) × τ − x13 × g.
3. Usando la conservazione dell’energia, scritta in funzione della lunghezza ℓ del filo: V (ℓ) = mgr3 cos θ(ℓ) =
mgℓr13/r12, da cui F = τ = −dV/dℓ = −mgr13/r12.
Esercizio 82: Ribaltamento di cubo incernierato *
(compitino del 5/4/95). Una lamina quadrata di lato b = 1.2 m e massa m = 2.5 kg e spessore trascurabile
è incernierata sullo spigolo O ed appoggiata sul cuneo A come in figura; la cerniera permette alla lamina di
ruotare senza attriti attorno all’asse passante per O e perpendicolare alla lamina; e la distanza tra O ed A è
a = 0.98 m. La lamina è in un piano verticale.
1. All’equilibrio, calcolare le componenti verticali della forza RO esercitata dalla cerniera e dalla forza RA
esercitata dal cuneo.
Una pallina di massa m/2 e dimensioni trascurabili incide con velocità orizzontale v = 2.6 m/ s sull’angolo della
lamina opposto ad O e vi rimane attaccata.
2. Calcolare la velocità angolare del sistema subito dopo l’urto;
3. Calcolare la velocità minima che deve avere la pallina per rovesciare la lamina.
bSoluzione: Il momento angolare di una lamina quadrata rispetto al centro vale ICM = mb 2 /6.
1. Le equazioni cardinali, scegliendo O come polo, sono
0 = m¨z = −mg + RO + RA, 0 = I ¨ θ = −mg b
+ RAa
2
per cui RA = mg b/2a = 15.3 N ed RO = mg − RA = 9.7 N
2. L’urto non è elastico e quindi non si conserva l’energia. La reazione vincolare della cerniera in O esercita
una forza impulsiva per cui non si conserva l’impulso orizzontale. Tale reazione vincolare ha però momento
nullo rispetto a O, per cui si conserva il momento angolare rispetto al polo O. Prima dell’urto LO = m
2 vb.
Dopo l’urto LO = I ˙ θ dove
Quindi ˙ θ = mvb/2I = 3v/10b = 0.65.
3. Occorre che l’energia cinetica iniziale E = I
necessaria per ruotare il cubo di 45◦ :
Quindi v 2 ≥ 40
3 bg(√ 2 − 1) = (8.14 m/ s) 2 .
I = Ilamina + Ipallina = [ICM + m(b/ √ 2) 2 ] + m
2 (√ 2b) 2 = 5
3 mb2
2 ˙ θ 2 = 3
40 mv2 sia maggiore della differenza di potenziale ∆V
∆V = mg b
2 (√ 2 − 1) + mg
2 b(√ 2 − 1) = mgb( √ 2 − 1)