Método sobre os Teoremas Mecânicos - Unicamp

3. O método sobre os teoremas mecânicos.
A seguir discutimos brevemente cada um destes princípios.
Princípio 1. Como exemplo de um princípio de simetria temos a primeira parte do primeiro
postulado de Sobre o Equilíbrio dos Planos: 4
Postulamos que grandezas iguais se equilibram a distâncias iguais.
Ou seja, se temos uma alavanca com dois corpos de mesmo peso apoiados sobre os pontos A
e B da alavanca, ela vai ficar em equilíbrio com o fulcro localizado sobre um ponto C da alavanca
tal que AC = CB.
Princípio 2. O sexto postulado de Sobre o Equilíbrio dos Planos afirma o seguinte: 5
Se grandezas se equilibram a certas distâncias, então grandezas equivalentes a estas
grandezas se equilibrarão, por sua vez, nas mesmas distâncias.
O significado deste postulado foi esclarecido por Vailati, Toeplitz, Stein e Dijksterhuis. 6 O
ponto principal, que concorda com a maneira implícita com que Arquimedes utiliza este postulado
em suas demonstrações, é que por “grandezas equivalentes,” ele quer dizer “grandezas de mesmo
peso.” E por “grandezas a certas distâncias,” ele quer dizer “grandezas cujos centros de gravidade
estão às mesmas distâncias do fulcro da alavanca.”
Em particular, vamos supor que temos vários corpos em equilíbrio sobre uma alavanca. Vamos
chamar um destes corpos de A. Este postulado afirma que se pode substituir este corpo A por um
outro corpo B, sem afetar o equilíbrio da alavanca, desde que duas condições sejam satisfeitas:
(I) O peso de B tem de ser igual ao peso de A. (II) A distância do centro de gravidade de B
até o fulcro da alavanca tem de ser igual à distância que havia entre este fulcro e o centro de
gravidade de A.
Em seu trabalho Sobre o Equilíbrio dos Planos Arquimedes usa este postulado para demonstrar,
entre outras coisas, a lei da alavanca e para obter o centro de gravidade de um triângulo. 7
Este postulado também é utilizado implicitamente por Arquimedes na demonstração de vários
teoremas de O Método, como discutiremos no Capítulo 9.
Princípio 3. Este princípio corresponde ao próprio método de Arquimedes, o qual será explicado
e ilustrado detalhadamente ao longo desta tese. É o método que ele utilizou para calcular
a área, o volume e o centro de gravidade de algumas figuras geométricas. Nas Seções 9.2, 9.3 e
9.6, por exemplo, discutimos a aplicação deste método para a obtenção da área de um segmento
parabólico, do volume de uma esfera e do centro de gravidade de um segmento de paraboloide
de revolução.
4 [33, pág. 222].
5 [33, pág. 223].
6 Ver uma discussão detalhada e as referências relevantes em [33, Subseção 9.7.1].
7 Ver uma discussão detalhada destes pontos em [30, Seção 9.7: A Demonstração da Lei da Alavanca Apresentada
por Arquimedes e o Cálculo do Centro de Gravidade de um Triângulo].
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