Método sobre os Teoremas Mecânicos - Unicamp

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HΘ IA = . (8.19) BΘ BA Consideramos agora o triângulo AEI, cortado pela reta TΛ paralela ao lado EI. Temos então, de acordo com a Proposição 2 do Livro VI de Os Elementos de Euclides: 15 Caso alguma reta seja traçada paralela a um dos lados de um triângulo, corta os lados do triângulo em proporção; e, caso os lados do triângulo sejam cortados em proporção, a reta, sendo ligada dos pontos de secção, será paralela ao lado restante do triângulo. Com isto podemos escrever: AΛ AM 1 = = , (8.20) AI AE 2 sendo M é o ponto médio do segmento AE. Disto vem que: AI = 2AΛ . (8.21) Multiplicando o numerador e o denominador do primeiro membro da Equação (8.19) por AΘ obtém-se: (AΘ)(HΘ) (AΘ)(BΘ) = AI BA De acordo com a Equação (8.17) obtemos então que: Q(KΘ) R(AΘ,BΘ) = 2AΛ BA = 2AΛ BA . (8.22) , (8.23) onde as grandezas AB e AΛ são características de um determinada curva. Portanto, o segundo membro da Equação acima é uma constante para cada curva. A Equação (8.23) é usada por Arquimedes para definir as propriedades de uma elipse ou de uma hipérbole, como será visto em vários teoremas de O Método. 15 Ver Os Elementos de Euclides, Livro VI, Proposição 2: [24, pág. 233]. 44
Capítulo 9 A Essência do Método de Arquimedes 9.1 Elementos Principais do Método Antes de apresentar a tradução de O Método de Arquimedes, achamos importante apresentar a essência de sua metodologia. Nos parece que desta maneira seria possível facilitar a compreensão do texto traduzido. O texto original apresenta para o leitor de hoje uma grande complexidade devido à forma descritiva das equações dos matemáticos da antiga Grécia. Portanto, para contornar as eventuais dificuldades inerentes à leitura do texto original, apresentamos antes dele uma análise dos principais teoremas discutidos por Arquimedes. Nossa ênfase está na demonstração física de cada teorema. Incluímos comentários explicativos contendo as equações escritas em forma moderna. Além disso, enriquecemos o texto incluindo uma representação visual contendo os vários passos da demonstração física de cada teorema. O método descoberto por Arquimedes e usado neste seu tratado para determinar áreas, volumes e centros de gravidade de figuras geométricas planas e sólidas aparece claramente a partir do primeiro teorema. Ele tem como base os seguintes princípios: 1. Por meio de considerações puramente geométricas determina-se a razão existente entre certas distâncias e certas grandezas pertencentes às figuras. Estas grandezas podem ser os comprimentos de algumas linhas, as áreas de algumas superfícies, ou os volumes de alguns sólidos. 2. Atribui-se um peso às figuras geométricas, supondo-se que ele está distribuído homogeneamente nas figuras. Ou seja, Arquimedes vai considerar que os segmentos lineares, as áreas, e os volumes possuem pesos proporcionais a estes comprimentos, áreas e volumes, respectivamente. 3. Estas grandezas são colocadas em equilíbrio de acordo com a lei da alavanca, Equação (6.1). 4. As figuras planas são consideradas como sendo constituídas por todos os segmentos de linha nelas traçados em uma determinada direção. Analogamente, as figuras sólidas são considerados como sendo constituídas por todas as intersecções nelas determinadas por planos com uma inclinação definida. 5. Pelo equilíbrio da alavanca e por sua lei, Equação (6.1), pode-se determinar uma grandeza desconhecida a partir de outras grandezas conhecidas. Esta grandeza desconhecida pode ser uma área, um volume, ou o centro de gravidade de um objeto. 45
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