Método sobre os Teoremas Mecânicos - Unicamp

A partir desta Equação obtemos:
Ou seja:
Ou ainda:
ΓΘ
AΘ
= TA
AZ
. (8.6)
(ΓΘ)(AZ) = (TA)(AΘ) . (8.7)
R(ΓΘ, AZ) = R(TA, AΘ) . (8.8)
R(ΓΘ, 2AZ) = R(2TA, AΘ) . (8.9)
Substituindo essa última expressão na Equação (8.5) obtemos finalmente a equação característica
da parábola que é usada por Arquimedes nas suas demonstrações, a saber:
Q(KΘ) = R(2TA,AΘ) . (8.10)
Podemos expressar esta Equação em termos algébricos modernos. Inicialmente chamamos a
ordenada de y, a abscissa de x e o parâmetro de p (sendo este parâmetro o segmento de reta
característico de uma determinada parábola). Definimos então:
e
Com isto a Equação da parábola fica dada por:
8.3.2 Elipse e Hipérbole
y = KΘ , (8.11)
x = AΘ , (8.12)
p = 2TA . (8.13)
y 2 = px . (8.14)
A dedução da equação característica é a mesma para os dois casos e muito semelhante ao caso
anterior. Vamos então detalhar somente a equação da elipse (seção de cone de ângulo agudo), a
partir da Figura 8.6. Temos então um cone de ângulo agudo no vértice T. Seja A um ponto ao
longo da geratriz TΓ. Ao passar por A um plano perpendicular à geratriz TΓ formamos a elipse
na superfície do cone. Seja AB o eixo ou diâmetro desta elipse ortogonal à geratriz TΓ. O eixo
do cone corta este diâmetro no ponto Λ.
Neste caso também consideramos um ponto qualquer K sobre a elipse e, portanto, na superfície
do cone. Por este ponto K traçamos um plano paralelo à base do cone. Logo o ponto K
também estará localizado sobre este círculo paralelo à base que é a interseção do cone com este
plano paralelo à base. O diâmetro deste círculo é Γ∆ e o ponto K está na sua circunferência.
Nestas condições o triângulo K∆Γ é um triângulo retângulo em K. Tracemos por K uma reta
perpendicular ao diâmetro Γ∆, cruzando este diâmetro no ponto Θ. A reta KΘ, perpendicular
a Γ∆, é a perpendicular traçada a partir do ângulo reto para a hipotenusa.
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