Método sobre os Teoremas Mecânicos - Unicamp

Figura 9.6: A alavanca horizontal fica em equilíbrio ao redor do fulcro K com a área parabólica
ABΓ apoiada sobre Θ, enquanto que o triângulo AZΓ fica apoiado sobre X. Temos KX = KΓ/3.
Utilizando as Equações (9.5) e (9.6) obtém-se finalmente a relação entre a área do segmento
parabólico e a área do triângulo inscrito na parábola:
área parabólica ABΓ
área do triângulo ABΓ
= 4
3
. (9.7)
Este é o resultado obtido pela primeira vez por Arquimedes, a saber, a quadratura da parábola.
Ele foi obtido combinando resultados geométricos com a lei da alavanca.
9.2.1 Importância do Teorema I
Apresentamos agora quais são os aspectos mais importantes neste Teorema demonstrado por
Arquimedes.
• O próprio Arquimedes menciona na carta endereçada a Eratóstenes que este foi o primeiro
teorema geométrico que lhe foi revelado pela mecânica. 8 Ou seja, não é casual o fato deste
teorema aparecer em primeiro lugar em seu trabalho O Método. Ele o apresentou na frente
dos outros teoremas por ter sido a primeira aplicação do método.
• Já se conhecia há muito tempo a demonstração geométrica apresentada por Arquimedes
da quadratura da parábola, a saber, que a área de uma parábola é igual e 4/3 do triângulo
que tem a mesma base e a mesma altura. Esta demonstração geométrica se encontra em
seu trabalho Quadratura da Parábola, que sempre constou nos manuscritos conhecidos que
continham suas obras. 9 Lá se encontra uma afirmação muito importante de Arquimedes,
a saber:
Resolvi comunicar a você [Dositeu], assim como pretendia enviar a Cónon, um
certo teorema geométrico que não havia sido investigado anteriormente [por outros
cientistas] mas que foi agora investigado por mim, o qual descobri inicialmente
por meio da mecânica e então exibi por meio da geometria.
Existem duas coisas muito importantes a serem enfatizadas a partir desta citação. A primeira
é que foi o próprio Arquimedes o primeiro a obter a quadratura da parábola. Ou seja,
ninguém antes dele havia sequer enunciado este resultado, quanto menos apresentado uma
demonstração. A segunda é que o resultado foi inicialmente obtido pela mecânica. Apenas
depois que já sabia o resultado é que Arquimedes conseguiu elaborar uma demonstração
8 Palavras textuais de Arquimedes, como veremos na pág. 106 desta tese: “Portanto, descrevo inicialmente o
primeiro [teorema] que me foi revelado pela mecânica.”
9 [15, Quadrature of the Parabola, págs. 233-252].
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