Método sobre os Teoremas Mecânicos - Unicamp

Capítulo 7
Os Princípios Matemáticos de O Método
Os trabalhos de Arquimedes não são voltados a estudantes. Ele se dirigia aos grandes matemáticos
e cientistas da época. Entre outros objetivos, escrevia para desafiar a compreensão de seus
colegas contemporâneos ou mesmo para a posteridade, como escreveu na carta para Eratóstenes
que contém O Método. Ele tinha razão. Mais de 700 anos depois de sua morte seus trabalhos
eram estudados, traduzidos e aplicados, entre outros, pelos arquitetos Antêmio de Trales e Isidoro
de Mileto. Eles usaram as bases estabelecidas por Arquimedes para determinar o volume
do espaço delimitado pela interseção de dois cilindros ortogonais, na construção do que é considerado
o mais belo exemplo da arquitetura bizantina: a cúpula da igreja de Santa Sofia em
Istambul.
Para poder penetrar com maior facilidade no raciocínio de Arquimedes, é necessário lembrar
alguns pontos fundamentais da matemática grega daquela época, dos quais vamos apresentar
aqui apenas o essencial: a álgebra geométrica, a aplicação das áreas e a teoria das proporções. 1
Estas técnicas foram muito utilizadas nas demonstrações de O Método.
7.1 Álgebra Geométrica
A chamada álgebra geométrica (nomenclatura moderna) foi desenvolvida pelos matemáticos gregos
antes de Arquimedes e reagrupada por Euclides no Livro II de Os Elementos. Ela fornece os
recursos matemáticos que hoje são supridos pela álgebra, partindo porém, como diz o nome, de
considerações geométricas.
A seguir apresentamos as primeiras Proposições que são as mais usadas em O Método, mostrando
sua correspondência com as equações algébricas de hoje.
PROPOSIÇÃO I - Caso existam duas retas, e uma delas seja cortada em segmentos,
quantos quer que sejam, o retângulo contido pelas duas retas é igual aos retângulos
contidos tanto pela não cortada quanto por cada um dos segmentos. 2
Uma ilustração desta Proposição encontra-se na Figura 7.1. O lado BG do retângulo tem
comprimento a, enquanto que o lado BC do retângulo está dividido por segmentos ortogonais a
este lado em três partes cujos comprimentos são b, c e d.
Euclides demonstra geometricamente que a área do retângulo grande, a(b+c+d), é equivalente
à soma da área dos três retângulos menores, a saber, ab + ac + ad.
1 [14, págs. 51-54], [1, pág. 49], [22, pág. 67] e [15, págs. xl-xlvii].
2 [24, pág. 135].
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