Método sobre os Teoremas Mecânicos - Unicamp

No caso da parábola:
No caso da elipse:
No caso da hipérbole:
y 2 = px . (7.5)
y 2 = px − p
d x2 . (7.6)
y 2 = px + p
d x2 . (7.7)
Um exemplo do método de aplicação das áreas pode ser considerado a seguir: 9 Dado um
triângulo com área de 12 m 2 e uma linha reta cujo comprimento é 4 m, dizemos que aplicamos
à linha reta uma área igual àquela do triângulo, se tomamos o comprimento total de 4 m e encontramos
quantos metros de largura deve ter o paralelogramo para ser equivalente ao triângulo.
Neste caso a largura do retângulo deve ser de 3 m, tal que sua área seja de 12 m 2 , igual à área
dada do triângulo.
Outros exemplos são encontrados em várias Proposições de Os Elementos de Euclides. A
Proposição 44 do Livro I, por exemplo, afirma que: 10
Aplicar à reta dada, no ângulo retilíneo dado, um paralelogramo igual ao triângulo
dado.
Sem entrar nos detalhes da demonstração geométrica que pode ser encontrada nas referências
citadas, percebemos que com essa Proposição os matemáticos gregos podiam resolver equações
lineares. Com efeito, vamos considerar o paralelogramo como sendo um retângulo, o segmento de
reta dado como tendo um comprimento a dado, e a área do triângulo (ou qualquer outra figura
delimitada por linhas retas) como sendo dada por ∆. Vamos ainda indicar por x à largura que
deve ter o retângulo para solucionar o problema, ou seja, tal que a área dada do triângulo seja
igual à área do retângulo de comprimento dado. Podemos então escrever, em termos algébricos:
Ou seja:
ax = ∆ . (7.8)
x = ∆
. (7.9)
a
Como a Proposição 44 do Livro I de Os Elementos de Euclides permite determinar geometricamente
o valor da variável x, podemos entender como os matemáticos gregos encontraram uma
maneira de resolver equações de primeiro grau.
Similarmente, na Proposição 29, Livro VI, de Os Elementos, Euclides mostra como: 11
A uma dada linha reta aplicar um paralelogramo igual a uma dada figura retilínea, 12
e excedente por um paralelogramo semelhante a um (paralelogramo) dado.
9Ver [23, Volume 1, pág. 343].
10Ver Os Elementos de Euclides, Livro I, Proposição 44, [24, pág. 130].
11 [23, Volume 2, pág. 262].
12O significado de figura retilínea ou ângulo retilíneo corresponde a “delimitado por linhas retas”.
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