Método sobre os Teoremas Mecânicos - Unicamp

Os princípios aqui citados são usualmente conhecidos como: 1
• Método do baricentro
• Método dos indivisíveis.
É importante observar que o próprio Arquimedes não considera que este método seja uma
demonstração verdadeira. Já no primeiro teorema do Método ele deixa claro que a verdadeira
demonstração é aquela obtida por via geométrica. Porém, como ele próprio afirma, é mais fácil
obter uma demonstração sabendo de antemão qual é o resultado que queremos alcançar. Seu
método lhe permitiu descobrir os resultados finais almejados. Em geral ele complementava as
demonstrações mecânicas utilizando este método com outras demonstrações puramente geométricas.
A partir da próxima Seção começaremos a ver como Arquimedes utiliza várias alavancas em
equilíbrio para obter resultados puramente geométricos. Embora o trabalho desta tese seja essencialmente
teórico, achamos importante enfatizar aqui que podem ser construídas balanças reais
contendo corpos em equilíbrio sobre ela, satisfazendo às condições estabelecidas por Arquimedes. 2
9.2 Demonstração Física do Teorema I: Área de um Segmento
Parabólico
Vamos exemplificar a aplicação deste método no primeiro teorema da obra de Arquimedes em
que ele obtém a área de um segmento parabólico em termos do triângulo inscrito na parábola. Na
Figura 9.1 temos um segmento de parábola PΦΓ com vértice Φ e diâmetro ΦH. Este diâmetro é o
eixo de simetria da parábola. A corda ΓP é a base do segmento, sendo perpendicular a ΦH, com
H sendo o ponto médio de PΓ. Temos ainda uma corda AΓ inclinada em relação ao diâmetro.
O ponto ∆ divide ao meio o segmento AΓ. A partir do ponto ∆ Arquimedes traça um segmento
paralelo ao diâmetro ΦH. Seja B o ponto em que esta reta paralela ao diâmetro corta a parábola.
Temos então que, por construção, o segmento ∆B é paralelo ao diâmetro ΦH.
No caso particular em que A coincide com P temos que a corda AΓ coincidirá com PΓ sendo,
portanto, perpendicular ao diâmetro ΦH, já que B vai coincidir com Φ enquanto que ∆ vai
coincidir com H, Figura 9.2 (a). Arquimedes vai considerar o caso geral do segmento parabólico
ABΓ com corda AΓ inclinada em relação ao diâmetro, Figura 9.2 (b). Quando A coincide com
P voltamos ao caso simétrico em que B coincide com Φ.
Arquimedes vai mostrar que o segmento parabólico ABΓ tem uma área igual a 4/3 da área
do triângulo ABΓ inscrito na parábola. Este resultado é válido tanto no caso simétrico em que a
corda AΓ é perpendicular ao diâmetro, Figura 9.2 (a), quanto no caso geral em que a corda AΓ
pode estar inclinada em relação ao diâmetro, Figura 9.2 (b).
Ou seja, nos dois casos vale a seguinte relação:
área parabólica ABΓ 4
= . (9.1)
área do triângulo ABΓ 3
Na Figura 9.3 apresentamos o caso geral deste primeiro teorema de acordo com as representações
de Dijksterhuis 3 e Heath. 4
1 [14, págs. 318-319].
2 Ver o trabalho de Seco, [41].
3 Ver [11, pág. 317].
4 Ver [12, pág. 16].
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