Método sobre os Teoremas Mecânicos - Unicamp

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8.3 Equações Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8.3.1 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.3.2 Elipse e Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 9 A Essência do Método de Arquimedes 45 9.1 Elementos Principais do Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 9.2 Demonstração Física do Teorema I: Área de um Segmento Parabólico . . . . . . . 46 9.2.1 Importância do Teorema I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 9.3 Demonstração Física do Teorema II: Volume da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . 52 9.3.1 Importância do Teorema II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9.4 Demonstração Física do Teorema III: Volume do Elipsoide de Revolução . . . . . 59 9.4.1 Importância do Teorema III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 9.5 Demonstração Física do Teorema IV: Volume de um Segmento de Paraboloide de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 9.5.1 Importância do Teorema IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 9.6 Demonstração Física do Teorema V: Centro de Gravidade de um Segmento de Paraboloide de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 9.6.1 Importância do Teorema V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 9.7 Demonstração Física do Teorema VI: Centro de Gravidade de um Hemisfério . . . 71 9.7.1 Importância do Teorema VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 9.8 Demonstração Física do Teorema VII: Volume de um Segmento Esférico . . . . . . 77 9.8.1 Importância do Teorema VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 9.9 Demonstração Física do Teorema IX: Centro de Gravidade de um Segmento Esférico 82 9.9.1 Importância do Teorema IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.10 Demonstração Física do Teorema XII: Volume da Unha Cilíndrica . . . . . . . . . 90 9.11 Demonstração Física do Teorema XIII: Volume da Unha Cilíndrica — Continuação 94 9.12 Comentários sobre o Teorema XIV: Uma Outra Determinação do Volume da Unha Cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.12.1 Importância dos Teoremas XII a XIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 10 A Tradução Comentada de O Método 104 10.1 MÉTODO SOBRE OS TEOREMAS MECÂNICOS — DE ARQUIME- DES PARA ERATÓSTENES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.2 [Introdução] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.3 Lemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.4 [Teorema] I. [Área de um Segmento Parabólico.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 10.5 [Teorema] II. [Volume da Esfera.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 10.6 [Teorema] III. [Volume do Elipsoide de Revolução.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.7 [Teorema] IV. [Volume de um Segmento de Paraboloide de Revolução.] . . . . . . . 116 10.8 [Teorema] V. [Centro de Gravidade de um Segmento de Paraboloide de Revolução.] 118 10.9 [Teorema] VI. [Centro de Gravidade de um Hemisfério.] . . . . . . . . . . . . . . . 120 10.10[Teorema] VII. [Volume de um Segmento Esférico.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.11[Teorema] VIII. [Volume de um Segmento de Elipsoide de Revolução.] . . . . . . . 125 10.12[Teorema] IX. [Centro de Gravidade de um Segmento Esférico.] . . . . . . . . . . . 125 10.13[Teorema] X. [Centro de Gravidade de um Segmento de Elipsoide de Revolução.] . 128 10.14[Teorema] XI. [Volume e Centro de Gravidade de um Segmento de Hiperboloide de Revolução.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8
10.15[Teorema] XII. [Volume da Unha Cilíndrica. Determinação Mecânica.] . . . . . . . 129 10.16[Teorema] XIII. [Volume da Unha Cilíndrica. Determinação Mecânica — Continuação.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 10.17[Teorema] XIV. [Uma Outra Determinação do Volume da Unha Cilíndrica.] . . . . 132 10.18[Teorema] XV. [Demonstração Geométrica do Teorema XII.] . . . . . . . . . . . . 134 11 Conclusão 139 Apêndices 140 A Demonstrações das Relações Matemáticas Básicas dos Teoremas de O Método140 A.1 Teorema I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 A.2 Teoremas II e VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 A.3 Teorema III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 A.4 Teorema IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 A.5 Teorema V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 A.6 Teorema VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.7 Teorema IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 B A Parábola 152 B.1 A Parábola em Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 B.2 A Subtangente — Considerações de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 B.3 A Subtangente — Uma Dedução Moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 C Uma Propriedade do Triângulo Retângulo 156 D As Figuras de O Método 158 D.1 Letras Maiúsculas e Minúsculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 D.2 As Figuras de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 D.3 Comentários sobre as Figuras dos Teoremas VI e IX . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 E O Centro de Gravidade de um Semicírculo 162 Referências Bibliográficas 165 9
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O centro de gravidade de um segment
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Mais uma vez, é fascinante percebe
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Arquimedes considera então um cili
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Lembramos agora que cones da mesma
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MN MΛ = Q(MN) Q(MΞ) . (9.144) Nes
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Seja traçada MN, uma paralela qual
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Seja traçada no paralelogramo [EB
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Seja agora um cilindro MN equivalen
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Mas BΩ está para YN assim como o
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segmento cilíndrico. Afirmo que es
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Então, como foi demonstrado, 163 a
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Esta relação pode ser escrita mat
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Então: Pela semelhança dos triân
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Sendo BAΓ uma parábola e sendo as
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Por construção temos que: B∆ Π
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Chamamos agora ∆E = a, ∆Φ = e,
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Ou seja: que é onde Arquimedes que
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Neste contexto são de fundamental
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A E Figura D.4: A figura do
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M O Figura E.2: Triângulo e semic
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Referências Bibliográficas [1] R.
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[35] A. K. T. Assis. Sobre os corpo
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