Tema 1

22 • Caderno de Apoio ao Professor Y • 10. o Ano
2. O aluno deve desenhar um segmento de recta [AB] . Com centro em A , e depois em B , deve traçar dois
círculos de raio [AB] . A zona de pasto comum é toda a área de intersecção dos dois círculos, sendo a zona
de pasto acessível apenas a uma das vacas, a restante área abrangida pelos dois círculos.
Tarefa 4 – Arrumação de garrafas (página 17)
Para determinar em qual das caixas se gasta mais cartão, temos
de determinar a área total dos sólidos cujas faces laterais são as
paredes das caixas.
As caixas a usar são paralelepipédicas, tratando-se, no primeiro
caso, de um prisma quadrangular. Assim, basta determinar as
dimensões lineares dos rectângulos e quadrados que constituem as
suas faces.
1. Sendo r o raio da base das garrafas, para a primeira disposição, os quadrados da base da caixa têm 8r cm
de lado e os lados dos rectângulos que constituem as faces laterais medem 30 × 8r cm. Assim, a área total
é:
A 1 = 2(8r) 2 + 4 × 30 × 8r = 128r 2 + 960r cm 2
Considerando r = 3,5 cm, obtém-se A 1 = 4928 cm 2 .
Na segunda disposição, atendendo à figura ao lado, que representa
a base da caixa, a área total é:
A2 = 2 × 9r(2r + 33r) + 2 × 30 × 9r + 2 × 30(2r + 33r) =
= 543r 2 + 36r2 + 1803r + 660r cm2 Considerando r = 3,5 cm, obtém-se A 2 ≈ 4987,9 cm 2 .
A
Verifica-se que, para r = 3,5 cm, A 2 > A 1 , concluindo-se que para a primeira configuração das garrafas
se gasta menos cartão para fazer a caixa.
Para mostrar que o resultado obtido se verifica para qualquer valor de raio das garrafas, basta agora comparar
as duas expressões obtidas. Pondo em evidência r 2 e r na expressão de A 2 , obtém-se:
A 2 = (543 + 36)r 2 + (1803r + 660)r cm 2
B
√3r
r
9r
8r
2r
2r + 3√3r