Tema 1

• Para c = r , o ponto de coordenados (0, 0, r) .
• Para c = –r , o ponto de coordenada (0, 0, –r) .
• Para –r < c < 0 , o círculo de raio r 2 – c 2 e centro (0, 0, c) do plano z = c (x2 + y2 < r 2 – c 2 ∧ z = c) .
• Para 0 < c < r , o círculo de raio r 2 – c 2 e centro (0, 0, c) do plano z = c (x2 + y2 < r2 – c 2 ∧ z = c) .
2.a. No caso de a = 0 , o que resulta da intersecção da esfera com o plano de corte definido por esta condição,
é um círculo de centro (0, 0, 0) e raio r , situado no plano yOz e, analogamente, para b = 0 (desta
vez situado no plano xOz).
b. Quando a = r (a = –r) obtém-se um ponto de coordenadas (r, 0, 0) (respectivamente (–r, 0, 0)) ,
acontecendo o mesmo, mutatis mutantis, relativamente a todos os planos coordenados. Também podemos
generalizar o estudo feito para planos de corte paralelos ao plano xOy a planos paralelos aos restantes
planos coordenados, atendendo às simetrias da esfera, figura que não se altera se permutarmos
arbitrariamente as coordenadas dos respectivos pontos.
c. Se a > r ou a < –r não existe intersecção do plano de corte com a esfera, uma vez que um ponto de coordenada
x com módulo superior a r não pode estar a uma distância de (0, 0, 0) inferior ou igual a r .
Tarefa de investigação – A Lemniscata de Bernoulli (página 197)
Com esta actividade de investigação pretende-se que o aluno conheça a Lemniscata de Bernoulli, que é afinal
um símbolo que utilizarão com frequência no 11. o e 12. o anos, sobretudo aquando do cálculo de limites de
sucessões ou de funções reais de variável real. É também interessante que perceba que a caracterização analítica
de curvas não se limita à circunferência e à elipse, por exemplo.
Dada a equação (x 2 + y 2 ) = a 2 (x 2 –y 2 ) , que caracteriza uma Lemniscata de Bernoulli, o aluno deverá
investigar a influência do parâmetro a . Depois de chegar a uma conjectura, mediante algumas experiências,
uma forma interessante de abordar a questão será utilizar um programa de representação de conjuntos definidos
por condições para se obter a curva definida pela equação, fazendo variar a .
Por exemplo, no programa Nucalc é possível fazer variar um determinado parâmetro numa condição analítica
e observar os gráficos correspondentes a essa variação.
É importante, no entanto, que os alunos façam uma investigação analítica prévia, concluindo que a
Lemniscata é centrada na origem, é simétrica em relação aos eixos e intersecta o eixo das abcissas nos pontos
(–a, 0) e (a, 0) .
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