Tema 1

Como 543 + 36 > 128 e 1803 + 660 > 960 , e r > 0 , conclui-se que A 2 > A 1 , pelo que a caixa
para a primeira configuração das garrafas gasta menos cartão, para qualquer raio das garrafas.
2. Para a primeira disposição das garrafas, os separadores podem ser construídos com seis rectângulos cujos
lados medem 30 × 8r cm. Assim, acrescentando a área dos cartões separadores à expressão anterior da área
da caixa, obtém-se:
A 1 = 128r 2 + 960r + 6 × 30 × 8r = 128r 2 + 2400r cm 2
Considerando r = 3,5 cm, obtém-se A 1 = 9968 cm 2 .
Para a segunda disposição das garrafas, os separadores podem ser construídos com
33 rectângulos cujos lados medem 30 cm × 23
r cm, como se pode deduzir do
3
esquema ao lado.
r2 + 1
2 2
= l2 ⇔ r 2 = 3
4 l 2 ⇔ l = 23
r
3
Assim, acrescentando à expressão anterior da área da caixa a área dos cartões separadores, obtém-se:
A 2 = 543r 2 + 36r 2 + 1803r + 660r + 33 × 30 × 2
= 543r 2 + 36r 2 + 8403r + 660r cm 2
Considerando r = 3,5 cm, obtém-se A 2 ≈ 8988,98 cm 2 .
3
r
3
Verifica-se que, para r = 3,5 cm, A 1 > A 2 , concluindo-se que se gasta mais cartão para fazer a caixa
e separadores para a primeira configuração das garrafas.
Observação:
Para qualquer valor de raio das garrafas, a resposta a esta questão obter-se-ia da comparação das expressões
de A 1 e A 2. Esta comparação não é tão fácil como aquela que foi feita na questão anterior, pois obrigaria
à resolução de inequações do 2.º grau, o que só será aprendido no tema Funções. Nessa altura, poderá voltar
a pegar nesta questão e concluir que o resultado obtido para r = 3,5 cm se mantém para os valores de raio
das garrafas habituais (e muito maiores).
Tarefa 5 – Paralelogramos (página 20)
1 e 2. Efectuando uma pequena investigação num ambiente de geometria dinâmica (com o Cinderella ou o
GSP), cujos resultados podem ser apresentados num pequeno relatório, os alunos ficarão mais convictos
da sua conjectura, acreditando que, de facto, o quadrilátero que se obtém unindo os pontos médios
consecutivos de um quadrilátero é um paralelogramo e intuindo em que casos o paralelogramo obtido é
um quadrado ou um losango.
É importante, no entanto, fazê-los perceber que uma investigação abordando um número finito de
exemplos não se trata de uma verdadeira demonstração da propriedade. Um trabalho interessante pode
ser demonstrar formalmente a propriedade.
23
l
r
2