Tema 1

30 • Caderno de Apoio ao Professor Y • 10. o Ano
e. Sendo a
na
uma das fracções indicadas acima, deverá ser considerada qualquer fracção do tipo , n ∈ IN .
b nb
1 1
2.a. e .
23
31
b. Espera-se que os alunos, ainda antes de usarem a calculadora, respondam que nada se pode concluir
em relação à periodicidade das dízimas obtidas usando a máquina, mesmo que algum grupo de algarismos
se repita no visor. Com efeito, a máquina apresenta um número finito de algarismos significativos,
não dando, portanto, nenhuma informação acerca da existência ou não de dízimas infinitas, periódicas
ou não periódicas. Mas há certamente alunos que se deixarão iludir pelo que observam na máquina
1
1
(por exemplo, tem período com 22 algarismos e tem período com 15 algarismos, pelo que nem
46
62
sequer se observa o período completo) e que, precipitadamente, poderão responder que as dízimas são
finitas, ou até infinitas não periódicas. Perante este tipo de repostas, é importante recordar também
que uma fracção representa uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica, sendo as dízimas infinitas
não periódicas referentes aos números irracionais, não traduzíveis por fracções.
1
1
c. = 0,(0434782608695652173913) ; = 0,(032258064516129)
23
31
A realização das divisões 1 : 23 e 1 : 31 conduzirá à descoberta dos períodos das dízimas correspondentes
às fracções em causa. É uma tarefa morosa que requer concentração, mas cujo resultado é interessante.
É um óptimo desafio, sobretudo para os alunos que apostaram tratar-se de dízimas infinitas não periódicas.
3. Pretende-se que o aluno perceba, investigando, que denominadores originam dízimas finitas. Embora o
resultado da máquina de calcular não seja só por si conclusivo, pode sugerir, em cada caso, a existência de
dízima finita ou infinita, o que deve ser depois confirmado pelo algoritmo da divisão.
Realizando algumas experiências, espera-se que o aluno consiga concluir que, para as fracções de numerador
unitário, os denominadores que procuramos são 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20.
Nas sugestões recomenda-se que, dos exemplos encontrados, se excluam os que terminam em zero. É interessante
desafiar a turma a justificar a razão pela qual não é pertinente estudar estes casos. De facto, todos
os números da lista terminados em zero, resultam de se acrescentar um zero a um número já referido nessa
mesma lista. Por exemplo, se o denominador 2 origina uma dízima finita, então também o produto de 2
por uma qualquer potência de 10 o origina:
1
2 = 0,5 ; 1 1
= 0,05 ; = 0,005 ; etc.
20
200
O caso em que o denominador é 1 é trivial, equivalendo a fracção a um número inteiro.
Reduzindo, então, a lista para 2, 4, 5, 8, 10, 16 e 20:
1
= 0,5 ; 1 = 0,25 ; 1 = 0,2 ; 1
2 4 5 8 = 0,125 ; 1 1
1
= 0,1 ; = 0,0625 ; = 0,05
10
16
20
Escrevendo outras fracções de numerador unitário verifica-se que os denominadores obtidos ou são potências
de 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…) ou de 5 (5, 25, 125, 625 …) e verifica-se que as dízimas de um grupo
correspondem aos denominadores do outro.
A razão desta propriedade é a seguinte:
1 m
Para a dízima ser finita é necessário que = , m, n IN , ou seja, p × m = 10n = 2n × 5n , o que obriga
p 10n a que p e m só tenham 2 ou 5 como factores primos. Supondo que p não é divisível por 10, então só
terá factores 2 ou só terá factores 5, o que obriga m a ter só factores respectivamente 5 ou 2, em mesmo
número que p .