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No capítulo 5, utilizamos o teorema enunciado acima para o caso de vetores isotrópicos.
Neste caso, consideramos dois conjuntos ordenados (p1, . . . , pk) e (q1, . . . , qk) de k pon-
tos distintos em ∂H n R
e, considerando levantamentos, obtemos dois conjuntos ordenados
(P1, . . . , Pk) e (Q1, . . . , Qk) de k vetores isotrópicos. Se este é o caso, demonstramos que
a condição (**) é uma consequência da condição (*) e demonstramos então o seguinte
teorema.
Teorema: Sejam (p1, . . . , pk) e (q1, . . . , qk) dois conjuntos ordenados de k pontos distin-
tos em ∂H n R e, considerando respectivos levantamentos desses pontos, sejam (P1, . . . , Pk) e
(Q1, . . . , Qk) conjuntos ordenados de k vetores isotrópicos em R n,1 . Então existe uma trans-
formação ortogonal T de R n,1 tal que T (Pi) = Qi para i = 1, 2, . . . , k se, e somente se, a
condição (*) é satisfeita.
Entretanto, este teorema ainda não apresenta uma caracterização para a existência
de uma isometria f de H n R tal que f(pi) = qi. Isto porque, neste teorema consideramos
levantamentos de p1, . . . , pk e de q1, . . . , qk e apresentamos uma condição, GP = GQ, em
termos desses levantamentos. Entrentanto, como um ponto em ∂H n R
possui uma infinidade
de levantamentos, o teorema anterior não caracteriza a existência da isometria f, pois as
matrizes GP e GQ não são únicamente determinadas pelos conjuntos de pontos (p1, . . . , pk)
e (q1, . . . , qk). Para ultrapassar esta dificuldade, dado um conjunto de pontos distintos p =
(p1, . . . , pk) na fronteira do espaço hiperbólico real, mostramos que existe um conjunto de
respectivos levantamentos P = (P1, . . . , Pk) tal que a matriz de Gram GP possui uma forma
especial e única, chamada de matriz de Gram normalizada de p. Utilizando esta matriz
de Gram normalizada, obtemos no capítulo 6 o seguinte resultado.
Teorema: Sejam p = (p1, . . . , pk) e q = (q1, . . . , qk) dois conjuntos ordenados de k pontos
distintos em ∂H n R . Existe uma isometria f de Hn R tal que f(pi) = qi para i = 1, 2, . . . , k se,
e somente se, as matrizes de Gram normalizadas de p e de q são iguais.
Além deste resultado, no capítulo 6 caracterizamos quais matrizes que tem a forma
de uma matriz de Gram normalizada realmente são matrizes de Gram normalizadas de
k pontos distintos em ∂Hn R . Esta caracterização utiliza uma caracterização de matrizes
definidas positivas. Por este motivo, no capítulo 5 apresentamos um estudo detalhado de
matrizes definidas positivas, com as demonstrações de todos os teoremas que são utilizados
nos capítulos subsequentes da dissertação.
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