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Observações:
• O conjunto de todas as matrizes ortogonais (n + 1) × (n + 1), juntamente com a
operação de multiplicação de matrizes forma o grupo ortogonal O(n, 1). Pelo teorema
1.3, esse grupo é naturalmente isomorfo ao grupo de todas as transformações ortogonais
T : R n,1 → R n,1 munido da operação de composição de funções.
• Se A ∈ O(n, 1), como A t In,1A = In,1, segue que In,1A t In,1A = Id. Logo A é invertível
e A −1 = In,1A t In,1. Evidentemente, A −1 ∈ O(n, 1).
• Observe agora que se A ∈ O(n, 1), como A t In,1A = In,1, temos que (det A) 2 = 1,
então det A = ±1. Se SO(n, 1) representa o subgrupo das matrizes A ∈ O(n, 1) tais que
det A = 1, então SO(n, 1) é um subgrupo de índice dois de O(n, 1). O grupo SO(n, 1) é
chamado o grupo ortogonal especial.
• Pelo corolário 1.1, o conjunto de vetores negativos de R n,1 tem duas componentes
conexas: o conjunto dos vetores negativos especiais (xn+1 > 0) e o seu complementar em
V− (xn+1 < 0). Uma matriz ortogonal A evidentemente transforma vetores negativos em
vetores negativos. Agora, dizemos que uma tal matriz A é positiva se A transforma vetores
negativos especiais em vetores negativos especiais.
• O grupo O + (n, 1) das matrizes ortogonais positivas é um subgrupo de índice dois de
O(n, 1). Analogamente, o grupo SO + (n, 1) das matrizes ortogonais positivas de determinante
igual a 1 é um subgrupo de índice dois de SO(n, 1).
especial.
• O + (n, 1) é o grupo ortogonal positivo e SO + (n, 1) é o grupo ortogonal positivo
Definição 1.4. Dois vetores X e Y de R n+1 são ortogonais em R n,1 se, e somente se,
〈X, Y 〉 = 0.
Teorema 1.4. Sejam X e Y vetores ortogonais em R n,1 . Se X é negativo e Y = 0, então
Y é positivo.
Demonstração. Se X = (x1, · · · , xn, xn+1) e Y = (y1, · · · , yn, yn+1), então
Daí,
〈X, Y 〉 = 0 ⇒ x1y1 + · · · + xnyn − xn+1yn+1 = 0 ⇒ yn+1 = x1y1 + · · · + xnyn
.
xn+1
xn+1
〈Y, Y 〉 = y 2 1 + · · · + y 2 n − y 2 n+1 = y 2 1 + · · · + y 2 2 x1y1 + · · · + xnyn
n −
.
Mas, da desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos que
x1y1 + · · · + xnyn ≤ x2 1 + · · · + x2
n y2 1 + · · · + y2 n,
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