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Configurações de Pontos
na Fronteira e no Interior
do Espaço Hiperbólico Real H n R
Lia Feital Fusaro Abrantes
Belo Horizonte 2010

Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Dissertação de Mestrado
Configurações de Pontos
na Fronteira e no Interior
do Espaço Hiperbólico Real H n R
por
Lia Feital Fusaro Abrantes
Orientador: Prof. Francisco Dutenhefner
Belo Horizonte 2010

Banca examinadora:
Configurações de Pontos na Fronteira e no
Interior do Espaço Hiperbólico Real H n R
Prof. Francisco Dutenhefner.
Prof. Nikolai Alexandrovitch Goussevskii.
Prof. Mário Jorge Dias Carneiro.
Heleno da Silva Cunha (suplente).
Este exemplar corresponde à redação
final da dissertação defendida por Lia
Feital Fusaro Abrantes.
Belo Horizonte, 29 de Janeiro de 2010.
Prof. Francisco Dutenhefner.
Orientador
Dissertação apresentada ao Instituto de
Ciências Exatas, ICEX, como requi-
sito parcial para obtenção do título de
MESTRE EM MATEMÁTICA.

Resumo
Este trabalho consiste em apresentar uma resposta para a seguinte pergunta: dados
(p1, . . . , pk) e (q1, . . . , qk) dois conjuntos ordenados de k pontos distintos na fronteira do
espaço hiperbólico real, quais são as hipóteses necessárias e suficientes para que exista uma
isometria f de H n R tal que f(pi) = qi, para i = 1, . . . , k ?
Primeiramente, tomamos levantamentos dos dois conjuntos pontos na fronteira para
vetores do espaço R n,1 e demonstramos que existe uma transformação ortogonal que leva um
conjunto de vetores no outro conjunto de vetores se, e somente se, as matrizes de Gram dos
respectivos conjuntos são iguais. Porém, como cada conjunto de pontos possui uma infinidade
de levantamentos, as matrizes de Gram não são unicamente determinadas. Introduzimos,
então, o conceito de matriz de Gram normalizada, que é uma matriz de Gram com uma
forma especial e única. Daí, resolvemos o problema proposto.
Entretanto, como para o cálculo da matriz de Gram normalizada fazemos uma escolha
bastante especial de levantamentos, é interessante formular a classificação de classes de
equivalência de k-upla de pontos distintos em ∂H n R
em uma linguagem que utilize invariantes
do espaço hiperbólico. Então, respondemos a pergunta proposta mais uma vez, utilizando o
invariante de Korányi-Riemann.
Considerando o caso particular n = 3 e o modelo do semi-espaço superior para o espaço
hiperbólico H3 R , conseguimos reescrever os principais resultados obtidos em termos da razão
cruzada clássica.
Por fim, demonstramos resultados análogos aos que vimos para pontos na fronteira, e
caracterizamos quando dois conjuntos ordenados de k pontos no interior do espaço hiperbólico
real são equivalentes por uma isometria.
Palavras-chave: espaço hiperbólico real, fronteira, isometria, matriz de Gram, matriz
de Gram normalizada, teoremas de Witt, razão cruzada clássica, invariante de Korányi-
Riemann, espaço de módulos, espaço de configurações.

Abstract
This work consists of presenting an answer to the following question: given (p1, . . . , pk)
and (q1, . . . , qk) two ordered sets of k distinct points on the boundary of the real hyperbolic
space, which are the necessary and sufficient hypothesis so that there exists an isometry f
of H n R such that f(pi) = qi for i = 1, . . . , k?
First, we consider lifts of two sets points on the boundary for the vectors on space
R n,1 and demonstrate that there is an orthogonal transformation that takes a set of vectors
to another set of vectors if and only if the Gram matrices of the sets are equal. However,
as each set of points has an infinite number of lifts, the Gram matrices are not uniquely
determined. Then, we introduce the concept of normalized Gram matrix, which is a special
and unique Gram matrix. So, we solve our problem.
However, as we choose a very special lift for the calculation of normalized Gram matrix,
it is interesting to formulate the classification of equivalence classes of k-tuple of distinct
points in ∂H n R
in a language which uses invariants of hyperbolic space. Then, we answer the
proposed question again, using the Korányi-Riemann invariant.
Considering the particular case n = 3 and the model of upper semi-space for the
hyperbolic space H3 R , we rewrite the main results obtained in terms of classical cross-ratio.
Finally, we show similar results to those we saw at the boundary points, and
characterize it when two ordered sets of k points in the interior of the real hyperbolic space
are equivalent by an isometry.
Keywords: real hyperbolic space, boundary, isometry, Gram matrix, normalized Gram ma-
trix, Witt theorems, classical cross-ratio, Koranyi-Riemann invariant, moduli space,
configurations space.

Sumário
Introdução 5
1 O espaço de Lorentz 9
1.1 O Grupo Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 O Espaço Hiperbólico Real H n
R
2.1 O Modelo Projetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 O Modelo do Hiperbolóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 O Modelo da Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 O Modelo do Semi-espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Algumas mudanças de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Translação, dilatação, rotação e inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Uma nova base em R n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8 O Grupo Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9 O Espaço Hiperbólico: base E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.10 Translação, dilatação, rotação e inversão: base E . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 A Fronteira 34
4 Formas quadráticas em R n e o Teorema de Extensão de Witt 38
4.1 Formas quadráticas em R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Teoremas de Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Aplicações do Teorema de Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Preliminares Algébricas 59
5.1 Posto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Matrizes definidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3
17

6 A matriz de Gram de k pontos em ∂H n
R
6.1 Classes de congruência de matrizes de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Caracterização de matrizes simétricas que são matrizes de Gram . . . . . . . 78
6.3 O invariante de Korányi-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4 Matrizes de Gram e o invariante de Korányi-Riemann . . . . . . . . . . . . . 87
6.5 O espaço de Módulos para C(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 Quatro pontos distintos na fronteira de H 3
R
7.1 A razão cruzada clássica em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 A razão cruzada clássica e o invariante de Korányi-Riemann . . . . . . . . . 94
8 O espaço de k pontos distintos na fronteira de H 3
R
8.1 O espaço de PSL-configurações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.2 O espaço de configurações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9 A matriz de Gram de k pontos no interior de H n
R
Bibliografia 116
72
91
102
107

Introdução
O objetivo principal da presente dissertação é apresentar uma resposta para a seguinte
pergunta: quais são as hipóteses necessárias e suficientes para que, dados (p1, . . . , pk) e
(q1, . . . , qk) dois conjuntos ordenados de k pontos distintos na fronteira do espaço hiperbólico
real, exista uma isometria f de H n R tal que f(pi) = qi, para i = 1, . . . , k ?
Para atingir este objetivo, utilizaremos o invariante de Korányi-Riemann, e para isso
precisamos utilizar o modelo projetivo para o espaço hiperbólico real. Este modelo é definido
do seguinte modo: em R n+1 considere a forma bilinear simétrica 〈·, ·〉 dada por
〈X, Y 〉 = x1y1 + · · · + xnyn − xn+1yn+1,
sendo X = (x1, . . . , xn, xn+1) e Y = (y1, . . . , yn, yn+1). O espaço vetorial R n+1 munido desta
forma bilinear será denotado por R n,1 . Se
V− = {X ∈ R n+1 : 〈X, X〉 < 0}, V0 = {X ∈ R n+1 : 〈X, X〉 = 0}
e se P : R n+1 \ {0} → RP n denota a projeção natural sobre o espaço projetivo real, então o
espaço hiperbólico real H n R pode ser definido como P(V−). A fronteira de H n R
5
é então dada
por P(V0), os vetores em V− são chamados de vetores negativos e os vetores diferentes de 0
em V0 são chamados de vetores isotrópicos.
Começamos a dissertação, então, apresentando algumas noções básicas sobre o modelo
projetivo do espaço hiperbólico real. Além disso, definimos outros modelos relevantes para
e apresentamos mudanças de coordenadas que os relacionam. E como no modelo do semi-
Hn R
espaço superior é bem sabido que o grupo de isometrias de Hn R
é gerado por translações,
rotações, dilatações e a inversão, apresentamos matrizes que agem como transformações
ortogonais de R n,1 e que induzem estas isometrias em H n R .
Agora observe que se (p1, . . . , pk) e (q1, . . . , qk) são dois conjuntos ordenados de k pontos
distintos na fronteira do espaço hiperbólico real, considerando levantamentos destes pontos

para vetores em R n,1 , obtemos dois conjuntos ordenados de vetores isotrópicos (P1, . . . , Pk)
e (Q1, . . . , Qk). Se T : R n,1 → R n,1 é uma transformação ortogonal tal que T (Pi) = Qi para
todo i, então T induz uma isometria f de H n R tal que f(pi) = qi. Deste modo, se carac-
terizamos quando existe uma tal transformação ortogonal T para dados vetores isotrópicos
(P1, . . . , Pk) e (Q1, . . . , Qk), teremos uma resposta para a pergunta que desejamos responder.
Uma caracterização da existência de uma transformação ortogonal T , como no parágrafo
anterior, é apresentada no capítulo 4 da dissertação. Entretanto, em tal capítulo, caracteri-
zamos a existência desta transformação num caso mais geral. Lá consideramos dois conjuntos
ordenados (P1, . . . , Pk) e (Q1, . . . , Qk) de quaisquer k vetores em R n,1 , não
necessariamente de vetores isotrópicos, e caracterizamos quando existe uma transformação
ortogonal T : R n,1 → R n,1 tal que T (Pi) = Qi para i = 1, 2, . . . , k. Para entender esta
caracterização, observe primeiramente que se existe uma tal transformação ortogonal T ,
então 〈Pi, Pj〉 = 〈Qi, Qj〉 para todo i, j = 1, 2, . . . , k. Assim se consideramos a matriz
de Gram GP = ( 〈Pi, Pj〉 ) dos vetores (P1, . . . , Pk) e se consideramos a matriz de Gram
GQ = ( 〈Qi, Qj〉 ) dos vetores (Q1, . . . , Qk), então estas duas matrizes devem ser iguais:
GP = GQ
Além disso, se existe uma tal transformação ortogonal, como T é um isomorfismo linear
de R n+1 , se existir algum tipo de dependência linear entre os vetores P1, . . . , Pk, então o
mesmo tipo de dependência linear também existe entre os vetores Q1, . . . , Qk. Esta condição
pode ser resumida através da equivalência:
se λ = (λ1, λ2, . . . , λk) ∈ R k então, k
i=1 λi Pi = 0 ⇔ k
i=1 λi Qi = 0 . (**)
Deste modo, as condições (*) e (**) são condições necessárias para a existência da
desejada transformação ortogonal T tal que T (Pi) = Qi. Na seção 4.3 da dissertação,
demonstramos que estas condições também são condições suficientes para a existência de T ,
ou seja, demonstramos o seguinte teorema.
Teorema: Sejam (P1, . . . , Pk) e (Q1, . . . , Qk) dois conjuntos ordenados de k vetores em R n,1 .
Existe uma transformação ortogonal T de R n,1 tal que T (Pi) = Qi para i = 1, 2, . . . , k se, e
somente se, as condições (*) e (**) são satisfeitas.
Como na demonstração deste teorema utilizamos o Teorema de Witt, apresentamos,
nas seções 4.1 e 4.2, um estudo detalhado de formas quadráticas e formas bilineares simétricas
em R n que permitiram incluir na dissertação uma demonstração do Teorema de Witt.
6
(*)

No capítulo 5, utilizamos o teorema enunciado acima para o caso de vetores isotrópicos.
Neste caso, consideramos dois conjuntos ordenados (p1, . . . , pk) e (q1, . . . , qk) de k pon-
tos distintos em ∂H n R
e, considerando levantamentos, obtemos dois conjuntos ordenados
(P1, . . . , Pk) e (Q1, . . . , Qk) de k vetores isotrópicos. Se este é o caso, demonstramos que
a condição (**) é uma consequência da condição (*) e demonstramos então o seguinte
teorema.
Teorema: Sejam (p1, . . . , pk) e (q1, . . . , qk) dois conjuntos ordenados de k pontos distin-
tos em ∂H n R e, considerando respectivos levantamentos desses pontos, sejam (P1, . . . , Pk) e
(Q1, . . . , Qk) conjuntos ordenados de k vetores isotrópicos em R n,1 . Então existe uma trans-
formação ortogonal T de R n,1 tal que T (Pi) = Qi para i = 1, 2, . . . , k se, e somente se, a
condição (*) é satisfeita.
Entretanto, este teorema ainda não apresenta uma caracterização para a existência
de uma isometria f de H n R tal que f(pi) = qi. Isto porque, neste teorema consideramos
levantamentos de p1, . . . , pk e de q1, . . . , qk e apresentamos uma condição, GP = GQ, em
termos desses levantamentos. Entrentanto, como um ponto em ∂H n R
possui uma infinidade
de levantamentos, o teorema anterior não caracteriza a existência da isometria f, pois as
matrizes GP e GQ não são únicamente determinadas pelos conjuntos de pontos (p1, . . . , pk)
e (q1, . . . , qk). Para ultrapassar esta dificuldade, dado um conjunto de pontos distintos p =
(p1, . . . , pk) na fronteira do espaço hiperbólico real, mostramos que existe um conjunto de
respectivos levantamentos P = (P1, . . . , Pk) tal que a matriz de Gram GP possui uma forma
especial e única, chamada de matriz de Gram normalizada de p. Utilizando esta matriz
de Gram normalizada, obtemos no capítulo 6 o seguinte resultado.
Teorema: Sejam p = (p1, . . . , pk) e q = (q1, . . . , qk) dois conjuntos ordenados de k pontos
distintos em ∂H n R . Existe uma isometria f de Hn R tal que f(pi) = qi para i = 1, 2, . . . , k se,
e somente se, as matrizes de Gram normalizadas de p e de q são iguais.
Além deste resultado, no capítulo 6 caracterizamos quais matrizes que tem a forma
de uma matriz de Gram normalizada realmente são matrizes de Gram normalizadas de
k pontos distintos em ∂Hn R . Esta caracterização utiliza uma caracterização de matrizes
definidas positivas. Por este motivo, no capítulo 5 apresentamos um estudo detalhado de
matrizes definidas positivas, com as demonstrações de todos os teoremas que são utilizados
nos capítulos subsequentes da dissertação.
7

Do teorema anterior, e da caracterização de matrizes de Gram normalizadas, vemos
então que a igualdade de duas matrizes de Gram normalizadas determina a existência de uma
isometria entre duas k-uplas de pontos distintos em ∂Hn R . Entretanto, como um ponto em
∂H n R
possui vários levantamentos, como as entradas de uma matriz de Gram dependem da
escolha dos levantamentos, e como para o cálculo da matriz de Gram normalizada fazemos
uma escolha bastante especial de levantamentos, é interessante trocar a classificação de
classes de equivalência de k-upla de pontos distintos em ∂H n R
da linguagem de matrizes de
Gram normalizadas, para uma linguagem que utilize invariantes do espaço hiperbólico. O
invariante escolhido neste caso foi o invariante de Korányi-Riemann, definido do seguinte
modo. Sejam p1, p2, p3 e p4 quatro pontos distintos na fronteira do espaço hiperbólico real.
O invariante de Korányi-Riemann desses pontos é o número real χ(p1, p2, p3, p4) definido
por:
χ(p1, p2, p3, p4) = 〈P1, P3〉〈P2, P4〉
〈P1, P2〉〈P3, P4〉
sendo P1, P2, P3 e P4 vetores isotrópicos em R n,1 que se projetam, respectivamente em p1,
p2, p3 e p4.
Este invariante se mostrou adequado para o que desenvolvemos pois ele não depende da
escolha dos levantamentos P1, P2, P3 e P4. Assim, reescrevendo os resultados do capítulo 6,
trocando hipóteses sobre matrizes de Gram normalizadas para hipóteses sobre invariantes de
Korányi-Riemann, conseguimos associar a uma k-upla de pontos distintos em ∂H n R
uma lista
de invariantes que possuem a seguinte propriedade: duas dessas k-uplas serão equivalentes
se, e somente se, estas listas de invariantes forem iguais para estes dois conjuntos de pontos.
Assim, no final do capítulo 6 apresentamos uma resposta para a pergunta colocada
no início desta introdução, e que era o objetivo principal desta dissertação. Entretanto,
considerando o caso particular n = 3 e o modelo do semi-espaço superior para o espaço
hiperbólico H3 R , conseguimos reescrever os teoremas do capítulo 6 em termos da razão
cruzada clássica
[z1, z2, z3, z4] = (z1 − z3)(z2 − z4)
(z1 − z2)(z3 − z4) ,
definida em C ∼ = ∂H3 R . Isto é feito com todo o detalhe para k = 4 no capítulo 7 e para
qualquer k no capítulo 8.
No último capítulo da dissertação, demonstramos resultados análogos aos que vimos
para pontos na fronteira, e caracterizamos quando dois conjuntos ordenados de k pontos no
interior do espaço hiperbólico real são equivalentes por uma isometria.
8

Capítulo 1
O espaço de Lorentz
Neste capítulo, veremos algumas considerações preliminares para iniciarmos o estudo
da geometria hiperbólica. Primeiramente, vamos definir uma forma bilinear simétrica em
R n+1 e o espaço de Lorentz, R n,1 . Em seguida, vamos ver as definições básicas para construir
o grupo ortogonal e os principais resultados de R n,1 .
Sejam X = (x1, · · · , xn, xn+1) e Y = (y1, · · · , yn, yn+1) vetores de R n+1 . Considere a
forma bilinear simétrica 〈·, ·〉 de assinatura (n, 1)
〈X, Y 〉 = x1y1 + · · · + xnyn − xn+1yn+1. (1.1)
O espaço vetorial real R n+1 munido da forma bilinear simétrica (1.1) é chamado espaço
de Lorentz e denotado por R n,1 .
Considere os seguintes sub-conjuntos de R n,1 :
V0 = {X ∈ R n,1 : 〈X, X〉 = 0}
V− = {X ∈ R n,1 : 〈X, X〉 < 0}
V+ = {X ∈ R n,1 : 〈X, X〉 > 0}
Os vetores em V0, V− e V+, são chamados, respectivamente, de vetores nulos, nega-
tivos e positivos. Se x ∈ V0 e x = −→ 0 , então x é isotrópico.
Note que se um vetor X = (x1, · · · , xn, xn+1) é negativo, então x 2 1 + · · · + x 2 n − x 2 n+1 < 0
e isso implica que xn+1 = 0. Chamaremos um tal vetor X de vetor negativo especial se
xn+1 > 0 e vamos denotar por SV− o conjunto dos vetores negativos especiais de R n,1 :
SV− = {X = (x1, · · · , xn, xn+1) ∈ R n,1 : 〈X, X〉 < 0 e xn+1 > 0}.
9

Além disso, se X é um vetor negativo de R n,1 , sempre existe um múltiplo de X que é
vetor negativo especial.
Teorema 1.1. Sejam X e Y vetores negativos especiais em R n,1 e seja t > 0. Então:
1. O vetor tX é negativo especial.
2. O vetor X + Y é negativo especial.
Demonstração.
1. 〈tX, tX〉 = t 2 〈X, X〉 < 0, pois X é vetor negativo. Além disso, se X é negativo
especial, então a (n + 1)-ésima coordenada, xn+1, de X é um número positivo, logo, a
(n + 1)-ésima coordenada de tX, txn+1, também é positiva e tX é negativo especial.
2. Sejam X = (x1, · · · , xn, xn+1) e Y = (y1, · · · , yn, yn+1). Como X é negativo espe-
cial, temos que x 2 1 + · · · + x 2 n < x 2 n+1 e xn+1 > 0 implica que x 2 1 + · · · + x 2 n < xn.
Analogamente, Y é negativo especial, então y 2 1 + · · · + y 2 n < y 2 n+1 e yn > 0 implica que
y 2 1 + · · · + y 2 n < yn+1. Concluímos, então, que
ou seja,
x2 1 + · · · + x2
n + y2 1 + · · · y2 n < xn+1 + yn+1
x 2 1 + · · · + x 2 n + y 2 1 + · · · + y 2 n
2 < (xn+1 + yn+1) 2
e
2
x1 + · · · + x 2
n + 2 x2 1 + · · · + x2
n y2 1 + · · · + y2 n + y 2 1 + · · · + y 2 n
Mas, da Desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos que
x1y1 + · · · + xnyn ≤ x2 1 + · · · + x2
n y2 1 + · · · + y2 n.
Logo,
< (xn+1 + yn+1) 2 .
2
x1 + · · · + x 2 2
n + 2 x1y1 + · · · + xnyn + y1 + · · · + y 2 n < (xn+1 + yn+1) 2
⇒ (x1 + y1) 2 + · · · + (xn + yn) 2 − (xn+1 + yn+1) 2 < 0
Portanto, o vetor X + Y = (x1 + y1, · · · , xn + yn, xn+1 + yn+1) é negativo. E como
xn+1 + yn+1 > 0, então X + Y é negativo especial, como queríamos.
10

Corolario 1.1. O conjunto SV− dos vetores negativos especiais é um subconjunto convexo
de R n,1 .
Demonstração. Se X e Y são vetores negativos especiais e 0 < t < 1 então, pelo teorema
1.1, temos que (1 − t)X + tY é vetor negativo especial.
1.1 O Grupo Ortogonal
Definição 1.1. Uma aplicação linear T : R n,1 → R n,1 é dita ortogonal se T preserva a
forma bilinear simétrica definida acima em R n,1 , ou seja, se
〈T (X), T (Y )〉 = 〈X, Y 〉, para todo X, Y ∈ R n,1 .
Definição 1.2. Uma base {V1, · · · , Vn+1} de R n,1 é uma base ortonormal se
〈V1, V1〉 = 1, · · · , 〈Vn, Vn〉 = 1, 〈Vn+1, Vn+1〉 = −1 e 〈Vi, Vj〉 = 0 para i = j.
Observe que a base canônica {e1, · · · , en+1} de R n+1 é uma base ortonormal de R n,1 .
Teorema 1.2. A aplicação T : R n,1 → R n,1 é ortogonal se, e somente se, T é linear e
{T (e1), · · · , T (en+1)} é uma base ortonormal de R n,1 .
Demonstração. Suponha que T seja uma aplicação ortogonal. Então, por definição, T é
aplicação linear tal que:
e
〈T (e1), T (e1)〉 = 〈e1, e1〉 = 1,
.
〈T (en), T (en)〉 = 〈en, en〉 = 1,
〈T (en+1), T (en+1)〉 = 〈en+1, en+1〉 = −1,
〈T (ei), T (ej)〉 = 〈ei, ej〉 = 0 para i = j.
Assim, {T (e1), · · · , T (en+1)} é uma base ortonormal de R n,1 .
11

Por outro lado, suponha que T é linear e que {T (e1), · · · , T (en+1)} é uma base orto-
normal de R n,1 . Então, T é uma transformação ortogonal, pois
〈T (x), T (y)〉 =
=
n+1
T
i=1
n+1
xiei
, T
xiT (ei) ,
i=1
n+1 n+1
n+1
j=1
n+1
j=1
yjej
= xiyj〈T (ei), T (ej)〉
i=1
j=1
yjT (ej)
= x1y1 + · · · + xnyn − xn+1yn+1 = 〈x, y〉.
Definição 1.3. Uma matriz real (n + 1) × (n + 1) A é dita uma matriz ortogonal se a
aplicação linear T : R n,1 → R n,1 definida por T (X) = A.X for ortogonal, em que X é a
matriz coluna que contém as coordenadas de X na base canônica de R n,1 .
O próximo teorema segue imediatamente do teorema 1.2 e das definições acima.
Teorema 1.3. Seja T : R n,1 → R n,1 uma aplicação linear e seja A a matriz de T na base
canônica de R n+1 . Então, as seguintes definições são equivalentes:
1. T é aplicação ortogonal de R n,1 .
2. A é uma matriz ortogonal.
3. As colunas de A formam uma base ortonormal de R n,1 .
4. A matriz A satisfaz a igualdade AtIn,1A = In,1, em que
⎡
⎤
1
⎢
In,1 = ⎢
⎣
. ..
1
0
⎥ .
⎥
⎦
0 −1
5. A matriz A satisfaz a igualdade AIn,1A t = In,1.
6. As linhas de A formam uma base ortonormal de R n,1 .
12

Observações:
• O conjunto de todas as matrizes ortogonais (n + 1) × (n + 1), juntamente com a
operação de multiplicação de matrizes forma o grupo ortogonal O(n, 1). Pelo teorema
1.3, esse grupo é naturalmente isomorfo ao grupo de todas as transformações ortogonais
T : R n,1 → R n,1 munido da operação de composição de funções.
• Se A ∈ O(n, 1), como A t In,1A = In,1, segue que In,1A t In,1A = Id. Logo A é invertível
e A −1 = In,1A t In,1. Evidentemente, A −1 ∈ O(n, 1).
• Observe agora que se A ∈ O(n, 1), como A t In,1A = In,1, temos que (det A) 2 = 1,
então det A = ±1. Se SO(n, 1) representa o subgrupo das matrizes A ∈ O(n, 1) tais que
det A = 1, então SO(n, 1) é um subgrupo de índice dois de O(n, 1). O grupo SO(n, 1) é
chamado o grupo ortogonal especial.
• Pelo corolário 1.1, o conjunto de vetores negativos de R n,1 tem duas componentes
conexas: o conjunto dos vetores negativos especiais (xn+1 > 0) e o seu complementar em
V− (xn+1 < 0). Uma matriz ortogonal A evidentemente transforma vetores negativos em
vetores negativos. Agora, dizemos que uma tal matriz A é positiva se A transforma vetores
negativos especiais em vetores negativos especiais.
• O grupo O + (n, 1) das matrizes ortogonais positivas é um subgrupo de índice dois de
O(n, 1). Analogamente, o grupo SO + (n, 1) das matrizes ortogonais positivas de determinante
igual a 1 é um subgrupo de índice dois de SO(n, 1).
especial.
• O + (n, 1) é o grupo ortogonal positivo e SO + (n, 1) é o grupo ortogonal positivo
Definição 1.4. Dois vetores X e Y de R n+1 são ortogonais em R n,1 se, e somente se,
〈X, Y 〉 = 0.
Teorema 1.4. Sejam X e Y vetores ortogonais em R n,1 . Se X é negativo e Y = 0, então
Y é positivo.
Demonstração. Se X = (x1, · · · , xn, xn+1) e Y = (y1, · · · , yn, yn+1), então
Daí,
〈X, Y 〉 = 0 ⇒ x1y1 + · · · + xnyn − xn+1yn+1 = 0 ⇒ yn+1 = x1y1 + · · · + xnyn
.
xn+1
xn+1
〈Y, Y 〉 = y 2 1 + · · · + y 2 n − y 2 n+1 = y 2 1 + · · · + y 2 2 x1y1 + · · · + xnyn
n −
.
Mas, da desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos que
x1y1 + · · · + xnyn ≤ x2 1 + · · · + x2
n y2 1 + · · · + y2 n,
13

donde concluímos que
Portanto,
x1y1 + · · · + xnyn
xn+1
2
≤ (x21 + · · · + x2 n)(y2 1 + · · · + y2 n)
x2 .
n+1
〈Y, Y 〉 ≥ y2 1 + · · · + y2 n − (x21 + · · · + x2 n)(y2 1 + · · · + y2 n)
x2 n+1
= (y 2 1 + · · · + y 2
n) 1 − x21 + · · · + x2 n
x2
n+1
= − (y2 1 + · · · + y2 n)(x2 1 + · · · + x2 n − x2 n+1)
x2 ≥ 0.
n+1
Além disso, se 〈Y, Y 〉 = 0, concluímos que (y2 1 + · · · + y 2 n)(x 2 1 + · · · + x 2 n − x 2 n+1)
Mas como X é negativo, vemos que y 2 1 + · · · + y 2 n = 0, o que implica que y1 = · · · = yn = 0.
E como yn+1 = x1y1 + · · · + xnyn
, vemos que yn+1 também é igual a zero, donde concluímos
xn+1
x 2 n+1
que Y = 0, o que é um absurdo, pois Y é não nulo. Logo, 〈Y, Y 〉 > 0.
Teorema 1.5. Seja V um vetor negativo de Rn,1 tal que 〈V, V 〉 =
−1. Então, existe
uma
t
matriz ortogonal A ∈ O(n, 1) tal que A · en+1 = V , em que en+1 = 0 · · · 0 1 .
Demonstração. Complete o conjunto {V } a uma base {V1, · · · , Vn, V } de R n,1 . Vamos aplicar
o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para transformar essa base em uma base
ortonormal de R n,1 . Para isso defina
W1 = V1 + 〈V1, V 〉V.
Assim, W1 = −→ 0 pois V1 e V são linearmente independentes. Além disso,
〈W1, V 〉 = 〈V1, V 〉 + 〈V1, V 〉〈V, V 〉 = 〈V1, V 〉 − 〈V1, V 〉 = 0.
Então, o teorema 1.4 implica que W1 é vetor positivo. Desse modo, se
U1 =
então 〈U1, U1〉 = 1. De forma análoga, definimos
1
〈W1, W1〉 W1
14
= 0.

W2 = V2 + 〈V2, V 〉V − 〈V2, U1〉U1,
1
U2 =
〈W2, W2〉 W2,
.
Wn = Vn + 〈Vn, V 〉V − 〈Vn, U1〉U1 − · · · − 〈Vn, Un−1〉Un−1,
1
Un =
〈Wn, Wn〉 Wn,
Suponha por indução que 〈Wi, V 〉 = 0 para todo i ≤ k. Nesse caso, como Ui é múltiplo
de Wi, teríamos 〈Ui, V 〉 = 0 para todo i ≤ k. Então,
〈Wk+1, V 〉 = 〈Vk+1, V 〉 + 〈Vk+1, V 〉〈V, V 〉− 〈Vk+1, U1〉〈U1, V 〉 − · · · − 〈Vk+1, Uk〉〈Uk, V 〉
= 〈Vk+1, V 〉 − 〈Vk+1, V 〉 0
= 0.
Ou seja, mostramos que V e Wi são ortogonais para todo i = 1, · · · , n e pelo teorema
1.4, Wi são vetores positivos. Então 〈Ui, Ui〉 = 1 e {U1, · · · , Un, V } é uma base ortonormal
de Rn,1
. Do teorema 1.3, concluímos que a matriz A = U1 · · · Un V que tem colunas
iguais aos vetores U1, · · · , Un e V é uma matriz ortogonal, isto é, A ∈ O(n, 1). De
concluímos a demonstração.
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ . ⎥
A · ⎢ ⎥ = V,
⎢
⎣ 0 ⎥
⎦
1
Teorema 1.6. Sejam X e Y vetores negativos em R n,1 . Então
〈X, Y 〉 2 ≥ 〈X, X〉〈Y, Y 〉.
Demonstração. Se A ∈ O(n, 1), então, como A preserva a forma bilinear simétrica de R n,1 ,
para provar a desigualdade desejada, podemos substituir X por AX e Y por AY . Além
disso, se 〈X, X〉 = t < 0 e U = 1
√ −t X, então U é vetor negativo, com 〈U, U〉 = −1. Logo,
pelo teorema 1.5, existe A ∈ O(n, 1) tal que AU = en+1. Ou seja, AX = √ −ten+1. Destas
observações, podemos assumir, sem perda de generalidade, que
15

Então, temos que
X = xn+1en+1 = (0, · · · , 0, xn+1) e Y = (y1, · · · , yn+1).
〈X, X〉〈Y, Y 〉 = −x 2 n+1(y 2 1 + · · · + y 2 n − y 2 n+1)
= −x 2 n+1(y 2 1 + · · · + y 2 n) + x 2 n+1y 2 n+1
≤ x 2 n+1y 2 n+1 = 〈X, Y 〉 2 .
Observação: O teorema anterior implica que se X e Y são vetores negativos em Rn,1 ,
〈X, Y 〉〈Y, X〉
então ≥ 1. Logo, existe um único número não negativo η(X, Y ) tal que
〈X, X〉〈Y, Y 〉
〈X, Y 〉〈Y, X〉
〈X, X〉〈Y, Y 〉 = cosh2 (η(X, Y )).
16

Capítulo 2
O Espaço Hiperbólico Real H n R
Este capítulo é dedicado às definições básicas do espaço hiperbólico real n-dimensional,
em que serão apresentados os seguintes modelos: modelo projetivo, modelo do hiperbolóide,
modelo da bola e o modelo do semi-espaço superior. Além disso, vamos ver algumas mu-
danças de coordenadas que relacionam esses modelos e também deduziremos matrizes em
O(n, 1) que representam translação, dilatação, rotação e inversão em H n
R.
2.1 O Modelo Projetivo
Como no capítulo 1, denotaremos por R n,1 o espaço vetorial real R n+1 munido da forma
bilinear simétrica 〈·, ·〉 de assinatura (n, 1)
〈X, Y 〉 = x1y1 + · · · + xnyn − xn+1yn+1,
sendo X = (x1, · · · , xn+1) e Y = (y1, · · · , yn+1).
Seja V− = {X ∈ R n,1 : 〈X, X〉 < 0} o conjunto dos vetores negativos de R n,1 . Se
P : R n,1 \{0} → RP n denota a projeção natural sobre o espaço projetivo, então o espaço
hiperbólico real é o conjunto H n
R = P(V−). Desse modo, podemos dizer que H n
R é o conjunto
das linhas negativas de R n,1 .
Em H n
R considera-se a seguinte métrica: se x e y são pontos de H n
R, então a distância
dH(x, y) entre x e y é definida por
dH(x, y) = η(X, Y ),
em que a função η foi definida na observação da página 16, e em que X e Y são vetores
negativos em R n,1 que se projetam em x e y respectivamente. Chamamos, neste caso, X e
17

Y de levantamentos de x e y. Desse modo, tem-se que dH(x, y) é o único número real não
negativo tal que
cosh 2 (dH(x, y)) =
〈X, Y 〉〈Y, X〉
. (2.1)
〈X, X〉〈Y, Y 〉
Observe que quaisquer outros levantamentos de x e y são múltiplos de X e Y . Assim,
se escolhermos λ1X e λ2Y como levantamentos de x e y, temos que
x e y.
cosh 2 (dH(x, y)) = 〈λ1X, λ2Y 〉〈λ2Y, λ1X〉
〈λ1X, λ1X〉〈λ2Y, λ2Y 〉 = λ2 1λ 2 2〈X, Y 〉〈Y, X〉
λ 2 1λ 2 2〈X, X〉〈Y, Y 〉
= 〈X, Y 〉〈Y, X〉
〈X, X〉〈Y, Y 〉 .
Ou seja, a definição de dH(x, y) não depende da escolha dos levantamentos X e Y de
A cada aplicação linear ortogonal T ∈ O(n, 1), podemos associar uma aplicação f :
RP n → RP n definida por f(x) = P(T (X)), sendo X um vetor que se projeta em x. Como
T é linear, essa aplicação está bem definida, pois não depende da escolha do levantamento
X de x. E como T preserva o produto escalar de R n,1 , segue que T transforma vetores
negativos em vetores negativos, e assim, a aplicação induzida f se restringe a uma isometria
f : H n
R → H n
R do espaço hiperbólico real. O conjunto das aplicações f obtidas desse modo é
denotado por P O(n, 1).
Temos, então, que P O(n, 1) ⊂ Isom(H n
R). Entretanto, vamos mostrar na observação
da página 28 que P O(n, 1) = Isom(H n
R).
2.2 O Modelo do Hiperbolóide
Seja X = (x1, · · · , xn+1) ∈ R n+1 . Note que a equação 〈X, X〉 = −1, representa
geometricamente o hiperbolóide de duas folhas
em R n+1 . O conjunto
−(x 2 1 + · · · + x 2 n) + x 2 n+1 = 1
F n = {X ∈ R n,1 : 〈X, X〉 = −1 e xn+1 > 0}
é uma das folhas desse hiperbolóide. Como cada reta negativa de R n,1 intersecta F n em um
único ponto, segue que o conjunto F n possui uma correspondência natural com H n
R.
Utilizando a expressão (2.1), a distância dF (X, Y ) entre pontos X e Y de F n é tal que
18

cosh 2 (dF (x, y)) =
〈X, Y 〉〈Y, X〉
〈X, X〉〈Y, Y 〉 = 〈X, Y 〉2 .
Segue que cosh(dF (X, Y )) = |〈X, Y 〉|. Entretanto, da demonstração do teorema 1.6,
podemos assumir, sem perda de generalidade, que
X = xn+1en+1 = (0, · · · , 0, xn+1) e Y = (y1, · · · , yn+1).
e então vemos que 〈X, Y 〉 = −xn+1yn+1 < 0 para quaisquer X e Y em F n . Assim, concluímos
que, nesse caso,
cosh(dF (X, Y )) = −〈X, Y 〉. (2.2)
O conjunto F n munido da métrica dF é o modelo do hiperbolóide do espaço
hiperbólico real H n
R.
2.3 O Modelo da Bola
Identifique R n com R n × {0} em R n+1 . Seja B n = {x ∈ R n : |x| < 1} a bola aberta
unitária centrada na origem, em que |x| é a norma euclidiana. A projeção estereográfia ζ de
B n sobre F n é definida da seguinte forma: se x ∈ B n , então ζ(x) é a interseção de F n com
a reta que passa por −en+1 e x. Como ζ(x) está sobre a reta que passa por x e tem vetor
diretor x + en+1, então existe um escalar λ tal que ζ(x) = x + λ(x + en+1). Para ζ(x) ∈ F n ,
temos 〈ζ(x), ζ(x)〉 = −1. Como x = (x1, · · · , xn, 0) ∈ B n , então 〈x, en+1〉 = 0. Logo, temos
que
−1 = 〈ζ(x), ζ(x)〉 = 〈x+λx+λen+1, x+λx+λen+1〉 = 〈x, x〉+λ〈x, x〉+λ〈x, x〉+λ 2 〈x, x〉−λ 2
⇔ λ 2 (|x| 2 − 1) + 2λ|x| 2 + |x| 2 + 1 = 0 ⇔ (λ + 1)(λ(|x| 2 − 1) + |x| 2 + 1) = 0.
Se λ = −1, ζ(x) = −en+1. E como −en+1 não pertence a F n , então
ou seja,
λ =
1 + |x|2
.
1 − |x| 2
Obtemos a seguinte expressão explícita para a projeção estereográfica ζ : Bn → F n
1 + |x|2
ζ(x) = x1 +
1 − |x| 2 x1,
1 + |x|2 1 + |x|2
· · · , xn + xn,
1 − |x| 2 1 − |x| 2
,
ζ(x) =
2x1 2xn 1 + |x|2
, · · · , ,
1 − |x| 2 1 − |x| 2 1 − |x| 2
.
19

Se y =
yn+1 =
A aplicação ζ é uma bijeção de B n em H n
R. De fato, a inversa ζ−1 : F n → Bn é tal que
ζ −1
2x1 2xn 1 + |x|2
, · · · , ,
1 − |x| 2 1 − |x| 2 1 − |x| 2
= (x1, · · · , xn).
2x1 2xn 1 + |x|2
, · · · , ,
1 − |x| 2 1 − |x| 2 1 − |x| 2
= (y1, · · · , yn, yn+1) ∈ F n , então
1 + |x|2
1 − |x| 2 ⇒ yn+1−yn+1|x| 2 = 1+|x| 2 ⇒ |x| 2 (1+yn+1) = −1+yn+1 ⇒ |x| 2 =
E para i = 1, · · · , n, temos que
yi = 2xi
1 − |x| 2 ⇒ yi(1 − |x| 2 ) = 2xi ⇒ xi = yi
2
1 −
Ou seja, provamos que a inversa ζ−1 : F n → Bn é dada por
ζ −1
y1
yn
(y) = , · · · ,
1 + yn+1 1 + yn+1
sendo y = (y1, · · · , yn+1).
−1 + yn+1
⇒ xi =
1 + yn+1
yi
−1 + yn+1
.
1 + yn+1
.
1 + yn+1
A métrica dB em B n é definida de tal modo que a projeção estereográfica ζ seja uma
isometria entre B n e F n , isto é,
dB(x, y) = dF (ζ(x), ζ(y)).
Essa métrica dB é chamada métrica de Poincaré em B n , e o conjunto B n munido
dessa métrica é o modelo da bola para o espaço hiperbólico real H n
R.
Teorema 2.1. Se x e y são pontos em B n , então
cosh dB(x, y) = 1 +
2|x − y| 2
(1 − |x| 2 )(1 − |y| 2 ) .
Demonstração. Da definição de dB e da expressão (2.2), vemos que
cosh dB(x, y) = cosh dF (ζ(x), ζ(y)) = −〈ζ(x), ζ(y)〉.
Se x = (x1, · · · , xn) e y = (y1, · · · , yn), sabemos que
2x1 2xn 1 + |x|2
ζ(x) = , · · · , ,
1 − |x| 2 1 − |x| 2 1 − |x| 2
20

e
Logo,
ζ(y) =
2y1 2yn 1 + |y|2
, · · · , ,
1 − |y| 2 1 − |y| 2 1 − |y| 2
.
−〈ζ(x), ζ(y)〉 = −4x1y1 − · · · − 4xnyn + (1 + |x| 2 )(1 + |y| 2 )
(1 − |x| 2 )(1 − |y| 2 )
= −4x1y1 − · · · − 4xnyn + [(1 + |x| 2 )(1 − |y| 2 ) + 2|x| 2 + 2|y| 2 ]
(1 − |x| 2 )(1 − |y| 2 )
= (1 − |x|2 )(1 − |y| 2 ) + 2[|x| 2 − 2x1y1 − · · · − 2xnyn + |y| 2 ]
(1 − |x| 2 )(1 − |y| 2 )
= (1 − |x|2 )(1 − |y| 2 ) + 2|x − y| 2
= 1 +
(1 − |x| 2 )(1 − |y| 2 )
2|x − y| 2
(1 − |x| 2 )(1 − |y| 2 ) .
2.4 O Modelo do Semi-espaço
A esfera de centro em a e raio r em R n é dada por S(a, r) = {x ∈ R n : |x − a| = r},
em que a ∈ R n e r > 0.
Seja R n = R n ∪ {∞}.
Definição 2.1. A inversão na esfera de centro a e raio r em R n é a aplicação σ : R n → R n
dada por
ou seja,
σ(x) = a +
2 r
(x − a), σ(a) = ∞ e σ(∞) = a.
|x − a|
A aplicação σ tem ordem dois, pois
σ(σ(x)) =
r
a +
=
2 2
r
r 2(x (x − a)
− a) |x − a|
|x−a|
2 |x − a|
a +
r2 2 r
|x − a| 2
(x − a)
= a + x − a = x.
Dados x, y = a quaisquer em R n , temos a seguinte identidade:
|x − y| 2 = |x − a| 2 − 2〈x − a, y − a〉 + |y − a| 2 ,
−2〈x − a, y − a〉 = |x − y| 2 − |x − a| 2 − |y − a| 2 .
21

Daí,
|σ(x) − σ(y)| 2 =
=
=
=
O que implica que
r
2
2
r2
(x − a) − (y − a)
|x − a| 2 |y − a| 2
r4 r
− 2
|x − a| 2 4
|x − a| 2 r4
〈x − a, y − a〉 +
|y − a| 2 |y − a| 2
r4 |x − a| 2 |y − a| 2 (|y − a|2 + |x − a| 2 + |x − y| 2 − |x − a| 2 − |y − a| 2 )
r4 |x − y| 2
|x − a| 2 .
|y − a| 2
|σ(x) − σ(y)| = r2 |x − y|
. (2.3)
|x − a||y − a|
Considere agora a inversão na esfera de centro a = en = (0, · · · , 0, 1) e raio r = √ 2 em
Rn . Se x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn , então
σ(x) =
2x1 2xn−1
, · · · ,
|x − en| 2 |x − en| 2 , 1 + 2(xn − 1)
|x − en| 2
=
2x1 2xn−1
, · · · ,
|x − en| 2 |x − en| 2 , |x|2 − 2〈x, en〉 + |en| 2 + 2xn − 2
|x − en| 2
=
2x1 2xn−1
, · · · ,
|x − en| 2 |x − en| 2 , |x|2 − 1
|x − en| 2
2(x − en)
Observe que σ(x) = en +
|x − en| 2 implica, para x = (x1, · · · , xn), que
Daí segue que
|σ(x)| 2
2(x − en)
= en +
|x − en| 2
2(x − en)
, en +
|x − en| 2
= 1 + 4 〈en,
x − en〉
+
2(x − en)
|x − en| 2 |x − en| 2
2
= 1 + 4(xn − 1) 4
+
|x − en| 2 |x − en| 2
= 1 + 4xn
.
|x − en| 2
(2.4)
1 − |σ(x)| 2 = −4xn
. (2.5)
|x − en| 2
Dessa forma, se tomarmos o semi-espaço inferior {x = (x1, · · · , xn) ∈ R n : xn < 0}, temos
que
xn < 0 ⇔ −4xn
|x − en| 2 > 0 ⇔ |σ(x)| < 1 ⇔ σ(x) ∈ Bn .
22

Ou seja, a aplicação σ transforma o semi-espaço inferior na bola unitária B n centrada na
origem de R n . Assim, se considerarmos a inversão ρ(x1, · · · , xn−1, xn) = (x1, · · · , xn−1, −xn)
no plano xn = 0 de R n , vemos que a composição
transforma o semi-espaço superior
na bola unitária B n .
ϕ = σρ : U n → B n
U n = {x = (x1, · · · , xn) ∈ R n : xn > 0}
A métrica dU em U n é definida de tal modo que a aplicação ϕ = σρ : U n → B n seja
uma isometria entre U n e B n , isto é,
dU(x, y) = dB(ϕ(x), ϕ(y)).
Essa métrica é chamada de métrica de Poincaré em U n , e o conjunto U n munido
dessa métrica é o modelo do semi-espaço superior para o espaço hiperbólico real H n
R.
Teorema 2.2. Se x = (x1, · · · , xn) e y = (y1, · · · , yn) são pontos em U n , então,
|x − y|2
cosh dU(x, y) = 1 + .
2xnyn
Demonstração. Da definição de dU e do teorema 2.1, temos que
obtemos
cosh dU(x, y) = cosh dB(ϕ(x), ϕ(y)) = 1 +
Da expressão (2.3), temos que
|ϕ(x) − ϕ(y)| = |σ(ρ(x)) − σ(ρ(y))| =
2|ϕ(x) − ϕ(y)| 2
(1 − |ϕ(x)| 2 )(1 − |ϕ(y)| 2 . (2.6)
)
2|ρ(x) − ρ(y)|
|ρ(x) − en||ρ(y) − en| .
Como |ρ(x) − ρ(y)| = |x − y|, |ρ(x) − en| = |x + en| e |ρ(y) − en| = |y + en|, obtemos
|ϕ(x) − ϕ(y)| =
2|x − y|
|x + en||y + en| .
Como ρ(x) = (x1, · · · , xn−1, −xn) e ρ(y) = (y1, · · · , yn−1, −yn), da expressão (2.5),
1 − |ϕ(x)| 2 = 1 − |σ(ρ(x))| 2 = −4(−xn) 4xn
=
|ρ(x) − en| 2 |x + en| 2
23

e
1 − |ϕ(y)| 2 = 1 − |σ(ρ(y))| 2 = −4(−yn) 4yn
= .
|ρ(y) − en| 2 |y + en| 2
Substituindo essas expressões em (2.6) e simplificando, obtemos finalmente que
|x − y|2
cosh dU(x, y) = 1 + .
2xnyn
2.5 Algumas mudanças de coordenadas
Na seção 2.3, vimos a expressão da isometria ζ : B n → F n que relaciona o modelo da
bola com o modelo do hiperbolóide. Na seção 2.4, foi construída a expressão da isometria
ϕ = σρ : U n → B n que relaciona o modelo do semi-espaço superior com o modelo da bola.
Agora, vamos apresentar uma expressão para a isometria L : U n → F n que relaciona o
modelo do semi-espaço superior com o modelo do hiperbolóide.
Da expressão (2.4) e do fato que |ρ(x) − en| = |x + en|, podemos deduzir as seguintes
expressões, que serão utilizadas na dedução da expressão da isometria L : U n → F n
ϕ = σρ : U n → B n
ϕ(x) = σ(ρ(x)) = σ(x1, · · · , xn−1, −xn)
2x1
2xn−1
=
, · · · ,
|ρ(x) − en| 2 |ρ(x) − en| 2 , |ρ(x)|2 − 1
|ρ(x) − en| 2
2x1 2xn−1
=
, · · · ,
|x + en| 2 |x + en| 2 , |x|2 − 1
|x + en| 2
e como σ e ρ são aplicações de ordem dois
ϕ −1 =
para x = (x1, · · · , xn).
ϕ −1 = ρ −1 σ −1 = ρσ : B n → U n
2x1 2xn−1 1 − |x|2
, · · · , ,
|x − en| 2 |x − en| 2 |x − en| 2
,
A composição U n ϕ −→ B n ζ −→ F n dá a isometria L = ζ ◦ ϕ : U n → F n , e a composição
n ζ−1 n ϕ−1
F −−→ B −−→ U n dá a isometria L−1 = ϕ−1◦ζ −1 : F n → U n . Efetuando essas composições,
obtém-se:
24

é tal que
L = ζ ◦ ϕ : U n → F n
2x1 2xn−1
L(x) = ζ(ϕ(x)) = ζ , · · · ,
|x + en| 2 |x + en| 2 , |x|2 − 1
|x + en| 2
2x1 2 |x+en|
=
2
1 − |ϕ(x)| 2 , · · · , 2 2xn−1
|x+en| 2
1 − |ϕ(x)| 2 , 2 |x| 2−1 |x+en| 2
1 + |ϕ(x)|2
,
1 − |ϕ(x)| 2 1 − |ϕ(x)| 2
para x = (x1, · · · , xn).
2(x + en)
Observe que ϕ(x) = en − , logo,
|x + en| 2
|ϕ(x)| 2
2(x + en)
= en −
|x + en| 2 , en
2(x + en)
−
|x + en| 2
= 1 − 4(xn
+ 1)
+
2(x + en)
|x + en| 2 |x + en| 2
2
= 1 − 4xn
.
|x + en| 2
E então, subtituindo em (2.7) e simplificando, temos que
L(x) =
x1
xn
Como x ∈ U n , temos que xn > 0 e
Logo, L(x) ∈ F n .
, · · · , xn−1
xn
, |x|2 − 1
,
2xn
|x|2
+ 1
.
2xn
〈L(x), L(x)〉 = x21 x2 + · · · +
n
x2n−1 x2 +
n
(|x|2 − 1) 2
4x2 −
n
(|x|2 + 1) 2
4x2 n
Por outro lado, a inversa
Se y =
x1
xn
= 4(x2 1 + · · · + x 2 n−1) − 4|x| 2
4x 2 n
L −1 = ϕ −1 ◦ ζ −1 : F n → U n
= −1.
L −1
x1
, · · · ,
xn
xn−1
,
xn
|x|2 − 1
,
2xn
|x|2
+ 1
= (x1, · · · , xn).
2xn
, · · · , xn−1
,
xn
|x|2 − 1
,
2xn
|x|2
+ 1
= (y1, · · · , yn+1) ∈ F
2xn
n , então
yn+1 = |x|2 + 1
2xn
⇔ |x| 2 = 2xnyn+1 − 1.
25
(2.7)

Além disso,
yn = |x|2 − 1
2xn
E para i = 1, · · · , n − 1, temos que
yi = xi
xn
= xnyn+1 − 1
xn
⇔ xn =
= xi(yn+1 − yn) ⇔ xi =
1
yn+1 − yn
yi
yn+1 − yn
Ou seja, provamos que a inversa L −1 = ϕ −1 ◦ ζ −1 : F n → U n é dada por
L −1
(y) =
sendo y = (y1, · · · , yn+1).
y1
yn+1 − yn
, · · · ,
yn−1
yn+1 − yn
,
1
.
yn+1 − yn
Nesta última expressão, observe que se y ∈ F n , então y 2 1 + · · · + y 2 n − y 2 n+1 = −1 e
yn+1 > 0. Daí segue que y 2 n+1 − y 2 n = y 2 1 + · · · + y 2 n−1 + 1 > 0. De y 2 n+1 − y 2 n > 0 e yn+1 > 0
temos que yn+1 − yn > 0, ou seja, L −1 (y) ∈ U n .
Destas expressões de L e L −1 , podemos deduzir as seguintes expressões das isometrias
que relacionam o modelo do semi-espaço superior U n com o modelo projetivo H n
R = P(V−).
em que x = (x1, · · · , xn) e
⎡
φ −1
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦ =
x1
xn+1 − xn
φ : U n → H n
R = P(V−)
⎡
2x1
⎢ .
⎢
φ(x) = ⎢ 2xn−1 ⎢
⎣ |x| 2 − 1
|x| 2 ⎤
⎥ , (2.8)
⎥
⎦
+ 1
φ −1 : H n
R = P(V−) → U n
, · · · ,
xn−1
xn+1 − xn
26
.
,
−(x
,
2 1 + · · · + x2 n − x2 n+1)
(xn+1 − xn) 2
. (2.9)

⎡
2x1
⎢ .
⎢
Observe que na definição de φ podemos trocar o vetor ⎢ 2xn−1 ⎢
⎣ |x| 2 − 1
|x| 2 ⎤
⎥ por qualquer
⎥
⎦
+ 1
múltiplo não nulo, e que a função φ−1 está bem definida, pois
⎡
φ −1
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦
= φ−1
⎡
⎢
⎣
λx1
.
λxn+1
2.6 Translação, dilatação, rotação e inversão
cartesiano
Nesta seção, vamos representar o modelo do semi-espaço superior U n como o produto
R n−1 × R+ = {(x1, · · · , xn−1, t) ∈ R n , t > 0} = {(v, t) ∈ R n−1 × R+},
em que v = (x1, · · · , xn−1). Sabe-se por [7], teorema B.7, página 61 que neste modelo
R n−1 × R+ as seguintes aplicações geram todo o grupo de isometrias do espaço hiperbólico
real de dimensão n.
⎤
⎥
⎦ .
• translação: f(v, t) = (v + v0, t), com v, v0 ∈ R n−1 e t ∈ R+.
• dilatação: f(v, t) = (kv, kt), k > 0.
• rotação: f(v, t) = (A.v, t), em que A ∈ O(R n−1 ).
• inversão: f(x) = x
|x| 2 , em que x = (x1, · · · , xn, t) ∈ R n−1 × R+.
Agora vamos determinar, para cada uma destas isometrias, uma matriz ortogonal que
representa a isometria como um elemento de O(n, 1). Para isso, seja f : R n−1 × R+ →
R n−1 × R+ uma destas isometrias, e considere a aplicação induzida f = φ ◦ f ◦ φ −1 , em que
φ é a isometria 2.8 que relaciona o modelo do semi-espaço superior U n ≡ R n−1 × R+ com o
modelo projetivo H n
R = P(V−).
φ −1
H n
R
⏐
R n−1 × R+ −−−→
f
f
n
−−−→ HR
27
⏐
⏐φ
R n−1 × R+

Calculando essa aplicação induzida f no caso em que f é uma translação, uma di-
latação, uma rotação ou a inversão, vemos que f vem de uma aplicação linear T : R n,1 → R n,1
cuja matriz na base canônica de R n , em cada caso, é a matriz ortogonal A ∈ O(n, 1):
translação: f(v, t) = (v + v0, t), v0 = (v1, · · · , vn−1)
⎡
⇒ At =
⎢
⎣
In−1 −vt 0 vt 0
v0
2 |v0|
− + 1
|v0| 2
v0
−
2
|v0| 2
2
2
|v0| 2
em que In−1 é a matriz identidade de ordem n − 1. ⎡
dilatação: f(v, t) = (kv, kt), k > 0 ⇒ Ad =
In−1 0
⎢ k
⎢
0
⎣
0
2 + 1
2k
k2 k
0
− 1
2k
2 − 1
2k
k2 ⎤
+ 1
2k
⎥
⎦
rotação: f(v, t) = (M.v, t), M ∈ O(Rn−1 ⎡ ⎤
) ⇒ Ar =
M
⎢
⎣ 0
0
1
0
⎥
0 ⎥
⎦
0 0 1
inversão: f(x) = x
|x| 2 ⇒ Ai
⎡
⎤
=
In−1
⎢
⎣ 0
0
0
−1
0
0
⎥
0 ⎥
⎦
1
Observações:
• det(At) = det(Ad) = det(Ar) = 1 e det(Ai) = −1.
•At, Ad, Ar ∈ SO + (n, 1) e Ai ∈ O + (n, 1).
• Pelo teorema B.7, página 61 de [7], o grupo de isometrias Isom(H n
R) do espaço
hiperbólico real é gerado por translações, dilatações, rotações e pela inversão. Entretanto,
acabamos de demonstrar que estas aplicações estão em P O(n, 1). Daí, segue que Isom(H n
R) ⊂
P O(n, 1). Como, evidentemente, P O(n, 1) ⊂ Isom(H n
R), provamos que
Isom(H n
R) = P O(n, 1).
2.7 Uma nova base em R n+1
Em todas as seções anteriores, consideramos a base canônica E = {e1, · · · , en+1} de
R n+1 e, eventualmente, representamos as coordenadas de um vetor X = (x1, · · · , xn+1) como
28
2
+ 1
⎤
⎥
⎦ ,

⎡
⎢
uma matriz coluna X = ⎢
⎣
que
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦ . Agora vamos considerar a base E = {e1, · · · , en+1}, em
e1 = 1
√ 2 en − 1
√ 2 en+1, e2 = e1, · · · , en = en−1, en+1 = 1
√ 2 en + 1
√ 2 en+1.
A matriz D mudança de base, da base E para a base canônica E, é:
⎡
⎢
D = ⎢
⎣
0
√1 2
In−1
0
0
√2 1
⎤
⎥
⎦
0 √2 1
e D−1 = Dt ⎡
0
⎢
= ⎢
⎣
√2 1 − 1
In−1 0
√
2
0
⎤
⎥
⎦
0 √2 1
− 1
√ 2
no sentido que D[X]E = X e D−1X = [X]E , em que [X]E e X são matrizes colunas
que representam as coordenadas de um vetor X ∈ Rn+1 respectivamente nas bases E e E.
Vamos agora expressar a forma bilinear simétrica 〈X, Y 〉 = x1y1 +· · ·+xnyn −xn+1yn+1
na base E. Para isso, observe primeiramente que, se
In 0
In,1 =
0 −1
então 〈X, Y 〉 = X t In,1Y , sendo que X e Y são matrizes colunas iguais às coordenadas
de X e Y na base canônica de R n+1 . Daí, temos que
〈X, Y 〉 = X t In,1Y = (D[X]E )t In,1(D[Y ]E ) = [X]tE (Dt In,1D)[Y ]E
Por um cálculo direto verifica-se que
Deste modo, se [X]E =
donde concluímos que
D t In,1D := In,1 =
⎡
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
⎡
⎢
⎣
⎥ ⎢
⎥
⎦ e [Y ]E = ⎢
⎣
0 1
In−1
1 0
⎡ ⎤
y1
.
yn+1
⎤
⎥
⎦ .
⎥
⎦ , então
⎡
⎤ ⎡
〈X, Y 〉 = x1 · · ·
0
⎢
xn+1
⎢
⎣ In−1
1
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
1 0
y1
.
yn+1
〈X, Y 〉 = x1yn+1 + x2y2 + · · · + xnyn + xn+1y1.
29
⎤
1√ 2
⎥
⎦ ,

2.8 O Grupo Ortogonal
Seja T : R n,1 → R n,1 uma transformação linear ortogonal, isto é,
〈T (X), T (Y )〉 = 〈X, Y 〉 e ∀ X, Y ∈ R n,1 .
Se A é a matriz de T na base canônica de R n,1 , no teorema 1.3 vimos que T é ortogonal
se, e somente se, A é ortogonal: A t In,1A = In,1. Além disso, representamos por
O(n, 1) = {A ∈ GL(n + 1, R) : A t In,1A = In,1}
o grupo de todas as matrizes (n + 1) × (n + 1) ortogonais.
Agora, se A é a matriz de T na base E e se [X]E é uma matriz coluna que contém as
coordenadas de um vetor X nessa base, então as coordenadas do vetor T (X) nesta mesma
base são dadas por [T (X)]E = A.[X]E . Além disso, do mesmo modo como foi feito para a
base canônica, podemos provar que T é ortogonal se, e somente se,
A t In,1 A = In,1.
Deste modo, O(n, 1) também pode ser identificado com o grupo de matrizes A ∈
GL(n = 1, R) tais que A t In,1 A = In,1. Essas matrizes formam o grupo:
base E.
que:
O(n, 1) = { A ∈ GL(n + 1, R) : A t In,1 A = In,1}.
Estamos identificando uma transformação linear T : R n+1 → R n+1 com sua matriz na
Relembrando a matriz de mudança de base D, da base E para a base E, concluímos
D[T (X)]E = T (X) ⇒ D A[X]E = AX
⇒ D AD−1X = AX
⇒ D AD −1 = A ou A = D −1 AD.
Deste modo, os grupos O(n, 1) e O(n, 1) estão relacionados do seguinte modo:
O(n, 1) = D −1 O(n, 1)D.
30

2.9 O Espaço Hiperbólico: base E
Nesta seção, vamos considerar a base E de Rn+1 . Assim, se um vetor X em Rn+1 ⎡ ⎤
tem
coordenadas [X] =
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎥
⎦ nesta base, então 〈X, X〉 = 2x1xn+1 + x 2 2 + · · · + x 2 n. Logo, um
vetor X ∈ R n+1 é negativo se suas coordenadas nessa base forem tais que 2x1xn+1 + x 2 2 +
· · · + x 2 n < 0. Considerando coordenadas na base E temos:
V− =
X ∈ R n+1 : [X]E =
⎡
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦ , 2x1xn+1 + x 2 2 + · · · + x 2
n < 0 .
De qualquer modo, tanto na base canônica, quanto na base E, o espaço hiperbólico
real é definido como H n
R = P(V−).
Compondo a mudança de coordenada D, da base E para a base E, com as aplicações
(2.8) e (2.9) obtemos as seguintes isometrias entre o modelo do semi-espaço superior U n com
H n
R = P(V−), sendo que em V− estamos escrevendo coordenadas na base E.
em que x = (x1, · · · , xn) e
⎡
φ −1
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦ =
φ : U n → H n
R = P(V−)
⎡
⎢
φ(x) = ⎢
⎣
−1
√ 2x1
.
√ 2xn−1
|x| 2
⎤
φ −1 : H n
R = P(V−) → U n
−x2
√ , · · · ,
2x1
−xn
√ ,
2x1
31
⎥ , (2.10)
⎥
⎦
− 2x1xn+1 + x 2 2 + · · · + x 2 n
2x 2 1
. (2.11)

⎢
Novamente, observe que nesta definição de φ podemos trocar o vetor ⎢
⎣
qualquer múltiplo não nulo, e que a função φ −1 está bem definida pois
⎡
φ −1
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦
= φ−1
⎡
⎢
⎣
λx1
.
λxn+1
⎤
⎥
⎦ .
⎡
−1
√ 2x1
.
√ 2xn−1
|x| 2
⎤
⎥ por
⎥
⎦
2.10 Translação, dilatação, rotação e inversão: base E
Na seção 2.6 vimos matrizes ortogonais na base canônica de R n+1 que induzem translações,
dilatações, rotações e a aplicação inversão, isometrias do semi-espaço superior U n . Como
estas matrizes pertencem ao grupo O(n, 1), e como
O(n, 1) = D −1 O(n, 1)D
podemos escrever essas matrizes na base E. Conjugando cada uma das matrizes da
seção 2.6 com D, obtemos matrizes ortogonais em O(n, 1), matrizes de transformações
lineares ortogonais de R n+1 na base E, que induzem translações, dilatações, rotações e a
aplicação inversão, isometrias do semi-espaço superior U n :
translação: f(v, t) = (v + v0, t), v0 = (v1, · · · , vn−1)
⇒ ⎡
1
⎢
At = ⎢
⎣ −
0 0
√ 2vt 0
−|v0|
In−1 0
2 √ ⎤
2v0
⎥
⎦
1
dilatação: f(v, t) = (kv, kt), k > 0 ⇒ ⎡ 1 ⎤
0 0
⎢ k ⎥
Ad = ⎢
⎥
⎣ 0 In−1 0 ⎦
E
0 0 k
rotação: f(v, t) = (M.v, t), M ∈ O(R n−1 ) ⇒ Ar = D −1 ArD, em que Ar =
32
E
⎡
⎢
⎣
M 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎦

inversão: f(x) = x
|x| 2 ⇒ Ai
⎢
= ⎢
⎣
⎡
0 0 −1
0 In−1 0
−1 0 0
33
⎤
⎥
⎦
E
.

Capítulo 3
A Fronteira
Neste capítulo, vamos estudar a fronteira do espaço hiperbólico real.
No modelo projetivo, o espaço hiperbólico real é H n
R = P(V−) e sua fronteira é dada
por ∂H n
R = P(V0).
No modelo do semi-espaço superior U n = {(x1, · · · , xn) ∈ R n : xn > 0}, a fronteira é
dada por
∂U n = {(x1, · · · , xn) ∈ R n : xn = 0} ∪ {p∞},
sendo p∞ um ponto ideal. As aplicações 2.8, 2.9, 2.10 e 2.11 podem ser estendidas até a
fronteira.
ou seja,
Vamos considerar a base canônica de R n+1 , munida da forma bilinear simétrica (1.1),
〈X, Y 〉 = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn − xn+1yn+1,
em que X = (x1, · · · , xn, xn+1) e Y = (y1, · · · , yn, yn+1) são vetores de R n+1 . Assim, os
vetores negativos e os vetores nulos em R n+1 são aqueles cujas coordenadas nesta base são
tais que:
e
temos
V− = {X ∈ R n+1 : x 2 1 + · · · + x 2 n − x 2 n+1 < 0}
V0 = {X ∈ R n+1 : x 2 1 + · · · + x 2 n − x 2 n+1 = 0}.
Observe que, considerando coordenadas dos vetores em V0 na base canônica de R n+1 ,
34

e
⎡
φ −1
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦ =
φ : ∂U n → ∂H n
R = P(V0)
⎡
2x1
⎢ .
⎢
φ(x1, · · · , xn−1, 0) = ⎢ 2xn−1 ⎢
⎣ |x| 2 − 1
|x| 2 ⎤
⎥
⎦
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢ . ⎥
⎢ ⎥
e φ(p∞) = ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎣ 1
⎥
⎦
+ 1
1
x1
xn+1 − xn
φ −1 : ∂H n
R = P(V0) → ∂U n
, · · · ,
xn−1
xn+1 − xn
, 0
se xn+1 = xn e φ −1
(3.1)
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢ . ⎥
⎢ ⎥
⎢ 0 ⎥ = p∞. (3.2)
⎢ ⎥
⎢
⎣ 1
⎥
⎦
1
Como um caso particular, considere n = 3. Podemos representar semi-espaço superior
U 3 como o produto cartesiano C × R+, em que identificamos (x, y, t) ∈ U 3 com (x + iy, t) ∈
C × R+. Daí, vemos que ∂U 3 fica identificado com o plano complexo estendido C. Após essa
identificação podemos reescrever as aplicações (3.1) e (3.2) do seguinte modo:
e
φ(z) =
φ : C → ∂H 3 R = P(V0)
⎡
2Re(z)
⎢
2Im(z)
⎢
⎣|z|
2 − 1
|z| 2 ⎤
⎥
⎦
+ 1
e φ(p∞) =
φ −1 : ∂H 3 R = P(V0) → C
35
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢
0 ⎥
⎢
⎣1
⎥
⎦
1
(3.3)

⎡
φ −1
⎢
⎣
x1
x2
x3
x4
⎤
⎥
⎦ = x1 + ix2
x4 − x3
se x4 = x3 e φ −1
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢
0 ⎥
⎢
⎣1
⎥
⎦
1
= p∞ . (3.4)
Considere agora a base E de R n+1 , de modo que a forma bilinear simétrica de assinatura
(n, 1) em R n+1 se expressa como:
sendo
⎡
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
〈X, X〉 = 2x1xn+1 + x 2 2 + · · · + x 2 n,
⎥
⎦ as coordenadas de X na base E. Assim, os vetores negativos e os vetores
nulos em R n+1 são aqueles cujas coordenadas nesta base são tais que:
e
V− =
V0 =
X ∈ R n+1 : [X]E =
⎡
⎢
⎣
X ∈ R n+1 : [X]E =
⎡
⎢
⎣
x1
.
xn+1
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦ , 2x1xn+1 + x 2 2 + · · · + x 2
n < 0
⎤
⎥
⎦ , 2x1xn+1 + x 2 2 + · · · + x 2
n = 0 .
Considerando coordenadas dos vetores em V0 na base E, temos
e
φ : ∂U n → ∂H n
R = P(V0)
⎡
−1
⎢ √
⎢ 2x1
⎢
φ(x1, · · · , xn−1, 0) = ⎢ .
⎢ √
⎣ 2xn−1
x2 1 + · · · + x2 ⎤
⎡ ⎤
⎥
0
⎥
⎢ ⎥
⎥
⎢ ⎥
⎥
⎢ . ⎥
⎥ e φ(p∞) = ⎢ ⎥
⎥
⎢
⎥
⎣ 0 ⎥
⎦
⎦
1
n−1
φ −1 : ∂H n
R = P(V0) → ∂U n
36
(3.5)

e
⎡
φ −1
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦ =
−x2
√ , · · · ,
2x1
−xn
√ , 0
2x1
se x1 = 0 e φ −1
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ . ⎥
⎢ ⎥ = p∞. (3.6)
⎢
⎣ 0 ⎥
⎦
1
No caso particular n = 3, podemos reescrever as aplicações (3.5) e (3.6) como:
Observação:
⎡
φ −1
⎢
⎣
x1
x2
x3
x4
φ(z) =
⎤
φ : C → ∂H 3 R = P(V0)
⎡ ⎤
−1
⎢√
⎥
⎢
2 Re(z) ⎥
⎢√
⎥
⎣ 2 Im(z)
⎥
⎦
|z| 2
⎥
⎦ = −x2 + ix3
√
2 x1
e φ(p∞) =
φ −1 : ∂H 3 R = P(V0) → C
se x1 = 0 e φ −1
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢
0 ⎥
⎢
⎣0
⎥
⎦
1
(3.7)
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢
0 ⎥
⎢
⎣0
⎥
⎦
1
= p∞ . (3.8)
• Da observação da página 28 vemos que cada transformação de Möbius g : C → C
g(z) =
az + b
cz + d
a, b, c, d ∈ C com ad − bc = 0, g(∞) = a
c
que age na fronteira ∂H3 R , identificada como o plano complexo estendido C, se estende
a uma única isometria do semi-espaço superior C × R+, dada por:
g(z, t) =
(az + b)(cz + d) + act 2
|cz + d| 2 + |c| 2 t 2
,
t
|cz + d| 2 + |c| 2t2
• Representando por PSL(2, C) o grupo de todas as transformações de Möbius g(z) =
az + b
podemos dizer então que
cz + d
PSL(2, C) ⊂ Isom(H 3 R).
37

Capítulo 4
Formas quadráticas em R n e o
Teorema de Extensão de Witt
Neste capítulo apresentaremos alguns resultados relacionados ao estudo de formas
quadráticas definidas em R n . Apesar de, nos próximos capítulos, considerarmos apenas
a forma bilinear simétrica de assinatura (n, 1) definida em R n+1 , trataremos agora de qual-
quer forma quadrática em R n . Esta escolha se deve ao fato das demonstrações dos resultados
selecionados não se alteram quando se considera uma forma quadrática particular.
No final do capítulo demonstraremos o Teorema de Extensão de Witt, que é a principal
ferramenta no estudo da classificação de um conjunto de pontos na fronteira do espaço
hiperbólico real.
Os conceitos e os teoremas deste capítulo podem ser encontrados no capítulo 1 do livro de
Birger Iversen [11] e no capítulo 11 do livro de Steven Roman [12].
4.1 Formas quadráticas em R n
Definição 4.1. Uma forma quadrática em R n é uma função q : R n → R que satisfaz as
seguintes condições:
• q(λ x) = λ 2 q(x) para todo x ∈ R n e todo λ ∈ R, e
• a expressão
〈x, y〉 = 1
q(x + y) − q(x) − q(y) , x, y ∈ R
2
n
38
(4.1)

é uma forma bilinear simétrica em R n .
A expressão (4.1) é chamada de identidade de polarização. Ela dá uma correspondência
biunívoca entre as formas quadráticas e as formas bilineares simétricas definidas em R n .
Observe também que q(x) = 〈x, x〉. Durante todo este capítulo ao ser dada uma forma
quadrática q em R n , consideraremos, intrinsicamente, a forma bilinear simétrica 〈·, ·〉 definida
por q em R n .
Exemplo: Em R n+1 considere a forma quadrática q(x) = x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n − x 2 n+1. Pela
identidade de polarização vemos que esta forma quadrática define a seguinte forma bilinear
simétrica em R n+1 :
〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn − xn+1yn+1 .
Definição 4.2. Considere uma forma quadrática q em R n , com sua correspondente forma
bilinear simétrica. Dois vetores x, y ∈ R n são ortogonais se 〈x, y〉 = 0. Dois subespaços V
e W de R n são ortogonais se todo vetor de V é ortogonal a todo vetor de W . Dado um
subespaço V de R n , o complemento ortogonal V ⊥ de V é:
e o radical de V é:
V ⊥ = {x ∈ R n | 〈x, v〉 = 0 ∀ v ∈ V } .
Rad(V ) = V ∩ V ⊥ = {x ∈ V | 〈x, v〉 = 0 ∀ v ∈ V } .
Observe que V e V ⊥ são sempre dois subespaços ortogonais de R n , e que Rad(V ) só contém
vetores isotrópicos, isto é, só contém vetores v tais que 〈v, v〉 = 0. Aproveitamos para
observar que, como o vetor nulo 0 é tal que 〈0,0〉 = 0, o termo isotrópico se refere a vetores
v = 0 tais que 〈v, v〉 = 0.
Definição 4.3. Uma forma quadrática q em R n é não-degenerada se a sua correspondente
forma bilinear simétrica satisfaz: se v ∈ R n é tal que 〈v, x〉 = 0 para todo x ∈ R n , então
temos que v = 0. Observe que dizer que q é não-degenerada é equivalente a dizer que
Rad(R n ) = (R n ) ⊥ = {0 }.
39

Definição 4.4. Seja q uma forma quadrática em R n e seja V um subespaço de R n . A
restrição de q ao subespaço V naturalmente define uma forma quadrática em V . Deste
modo, dizemos que V é um subespaço não-degenerado de R n se a restrição de q à V é
uma forma quadrática não-degenerada em V . Isto é, se v ∈ V é tal que 〈v, x〉 = 0 para todo
x ∈ V , então temos que v = 0. Observe que isto é equivalente a Rad(V ) = {0 }.
Proposição 4.1. Seja q uma forma quadrática em R n e sejam v1, v2, . . . , vk vetores em R n .
Seja G = (gij), gij = 〈vi, vj〉, a matriz de Gram dos vetores v1, . . . , vk na forma bilinear
simétrica definida por q em R n . Então:
(a) Se v1, . . . , vk são vetores linearmente dependentes, então G é uma matriz singular
(não-invertível).
(b) Suponhamos que os vetores v1, . . . , vk gerem um subespaço não-degenerado de R n .
Neste caso, se G é singular, então v1, . . . , vk são vetores linearmente dependentes.
Demonstração. (a) Suponhamos que {v1, v2, . . . , vk} seja um conjunto linearmente depen-
dente. Então existe um vetor não-nulo x = (x1, . . . , xk) ∈ R k tal que x1v1+· · ·+xkvk =
0. A i-ésima componente do vetor Gx é dada por
(Gx)i =
k
j=1
gijxj =
k
〈vi, vj〉xj = vi,
j=1
k
j=1
xjvj
= 〈vi,0〉 = 0 . (4.2)
Como i é arbitrário, concluímos que o vetor Gx tem todas as componentes nulas. Assim
Gx = 0 e x não é o vetor nulo. Isto implica que G é uma matriz singular, ou seja, G
não tem inversa.
(b) Seja V o espaço gerado pelos vetores v1, . . . , vk. Por hipótese temos que V é não-
degenerado, isto é, Rad(V ) = {0 }. Agora suponhamos que a matriz de Gram G dos
vetores v1, . . . , vk seja uma matriz singular. Isto implica que existe um vetor não-nulo
x = (x1, . . . , xk) em R k tal que Gx = 0 e, portanto, x t Gx = 0. Mas,
x t Gx =
k
i,j=1
gijxixj =
k
〈vi, vj〉xixj =
i,j=1
40
k
k
〈xivi, xjvj〉 =
i,j=1
j=1
xjvj ,
k
j=1
xjvj
= 0 .

Portanto concluímos que o vetor v =
k
xjvj é um vetor isotrópico contido em V . Por
j=1
outro lado, como Gx = 0, todas as componentes deste vetor são iguais ao número zero.
Mas, da equação (4.2), temos que a i-ésima componente do vetor Gx é igual a
k
0 = (Gx)i = vi, = 〈vi, v〉.
j=1
Assim, concluímos que 〈vi, v〉 = 0 para todo i = 1, 2, . . . , k. Como V = span{v1, . . . , vk},
isto implica que 〈w, v〉 = 0 para todo w ∈ V . Logo v ∈ Rad(V ) = {0 }, e isso implica
k
que v = 0. Assim, v = xjvj = 0, donde concluímos que os vetores v1, . . . , vk são
j=1
xjvj
linearmente dependentes pois x = (x1, . . . , xk) não é o vetor nulo.
Observação: A conclusão da parte (b) da proposição anterior pode ser falsa se V =
span{v1, . . . , vk} for um subespaço degenerado de R n . De fato, considere a forma
bilinear simétrica não-degenerada em R 3 dada por 〈x, y〉 = x1y1+x2y2−x3y3. Se v1 = (1, 0, 0)
e v2 = (0, 1, 1) então esses vetores são linearmente independentes, mas possuem como matriz
de Gram, a seguinte matriz singular
G =
1 0
.
0 0
Observe que isso não contradiz a proposição anterior pois o espaço V = span{v1, v2} é
degenerado: v2 ∈ Rad(V ).
Exemplo: Seja q uma forma quadrática em R n e seja V = {0 } um subespaço de R n . Se V
só contém vetores isotrópicos, a identidade de polarização implica que 〈x, y〉 = 0 para todo
x e y de V . Daí vemos que Rad(V ) = V e que V é um subespaço degenerado de R n . Daí
concluímos que se V = {0 } é um subespaço não-degenerado de R n , então V deve conter
algum vetor não-isotrópico.
Teorema 4.1. Seja q uma forma quadrática não-degenerada em R n . Para todo subespaço
V de R n temos:
dim(V ) + dim(V ⊥ ) = n.
41

Demonstração. Lembre-se que se (R n ) ∗ denota o espaço dual de R n , espaço dos funcionais
lineares T : R n → R, então (R n ) ∗ e R n são isomorfos e, em particular, dim (R n ) ∗ = dim(R n ).
Vamos considerar agora a seguinte transformação linear
f : R n → (R n ) ∗
dada por f(x) = 〈·, x〉 sendo f(x) : R n → R o funcional linear definido por f(x) · v = 〈v, x〉.
Utilizando o fato da forma quadrática q ser não-degenerada é fácil provar que f é injetiva.
Como dim (R n ) ∗ = dim(R n ), podemos concluír daí então que f também é sobrejetiva. Assim,
demonstramos que, de fato, f é um isomorfismo.
Se i : V → R n representa a inclusão, podemos definir a transformação linear induzida
i ∗ : (R n ) ∗ → V ∗ por i ∗ (T ) = T ◦ i, sendo T : R n → R um funcional linear contido em (R n ) ∗ .
Afirmamos que i ∗ é sobrejetiva. Para ver isso, considere uma base B = {e1, . . . , en} de R n
tal que os primeiros k vetores {e1, . . . , ek} seja uma base de V . Se T ∈ V ∗ , defina A ∈ (R n ) ∗
através dos seguintes valores na base B:
A(ei) = T (ei), i = 1, 2, . . . , k e A(ej) = 0, j = k + 1, k + 2, . . . , n .
Temos que i ∗ (A) · ei = A ◦ i(ei) = A(ei) = T (ei) para i = 1, 2, . . . , k. Logo i ∗ (A) = T . Isto
demonstra que, de fato, i ∗ é sobrejetiva.
Vamos agora considerar a composição
i ∗ ◦ f : R n → V ∗
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos que
dim(R n ) = dim ker(i ∗ ◦ f) + dim Im(i ∗ ◦ f) .
Mas Im(i ∗ ◦f) = V ∗ pois f e i ∗ são sobrejetivas. E, como é facilmente verificado, ker(i ∗ ◦f) =
V ⊥ . Assim, concluímos que
dim(R n ) = dim(V ⊥ ) + dim(V ) .
42

Teorema 4.2. Seja q uma forma quadrática não-degenerada em R n e seja V um subespaço
de R n . Então V ⊥ ⊥ = V.
Demonstração. Por definição temos que
V ⊥ = {w ∈ R n | 〈w, v〉 = 0 ∀ v ∈ V } .
V ⊥ ⊥ = {x ∈ R n | 〈w, x〉 = 0 ∀ w ∈ V ⊥ } .
Se v ∈ V então 〈w, v〉 = 0 para todo w ∈ V ⊥ . Isto implica que v ∈ V ⊥ ⊥ e que V ⊂ V ⊥ ⊥ .
Mas, do teorema anterior, temos que
dim V + dim V ⊥ = n e dim V ⊥ + dim V ⊥ ⊥ = n .
Daí temos que dim V = dim V ⊥ ⊥ . Desta igualdade e do fato que V ⊂ V ⊥ ⊥ , podemos
concluir que V = V ⊥ ⊥ .
Definição 4.5. Seja q uma forma quadrática em R n e sejam V e W subespaços de R n .
Dizemos que R n é a soma direta ortogonal de V e W se R n = V ⊕ W e se V e W são
subespaços ortogonais de R n . Se este é o caso, escrevemos R n = V ○⊥ W .
Proposição 4.2. Seja q uma forma quadrática não-degenerada em R n e seja V um subespaço
de R n . As seguintes afirmações são equivalentes:
(1) V é não-degenerado.
(2) V ⊥ é não-degenerado.
(3) V ∩ V ⊥ = {0 }.
(4) R n = V + V ⊥ .
(5) R n = V ○⊥ V ⊥ .
43

Demonstração. Como um subespaço W de R n é não-degenerado se, e somente se, W ∩W ⊥ =
{0 }, e como V ⊥ ⊥ = V , vemos que as afirmações (1), (2) e (3) são equivalentes. Agora,
lembre-se de que para quaisquer subespaços W1 e W2 de R n temos:
Logo
dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) − dim(W1 ∩ W2).
dim(V + V ⊥ ) = dim(V ) + dim(V ⊥ ) − dim(V ∩ V ⊥ )
Como dim(V ) + dim(V ⊥ ) = n vemos então que:
dim(V + V ⊥ ) = n − dim(V ∩ V ⊥ ).
Esta igualdade implica que a equivalência entre (3) e (4). Da equivalência entre (3) e (4), e
do fato de V e V ⊥ serem dois subespaços ortogonais de R n , podemos concluir a equivalência
entre (4) e (5).
4.2 Teoremas de Witt
Definição 4.6. Seja q uma forma quadrática em R n . Dizemos que uma transformação
linear T : R n → R n é uma isometria de R n se T for um isomorfismo linear (injetivo e
sobrejetivo) e se T preservar o forma bilinear simétrica definida por q, isto é, se
〈T (x), T (y)〉 = 〈x, y〉 ∀ x, y ∈ R n .
O conjunto de todas as isometrias de R n define um grupo que será representado por O(R n , q).
Analogamente, se V e W são subespaços de R n , uma transformação linear T : V → W é
uma isometria entre V e W se T for um isomorfismo linear (injetivo e sobrejetivo) de V
sobre W , e se T preservar o forma bilinear simétrica definida por q em V , isto é, se
〈T (x), T (y)〉 = 〈x, y〉 ∀ x, y ∈ V .
Quando existe uma isometria entre dois subespaços V e W de R n dizemos que V e W são
isomorfos e escrevemos V ≈ W .
44

Exemplo: Em R n+1 considere a forma quadrática q(x) = x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n − x 2 n+1, que
define a seguinte forma bilinear simétrica em R n+1
〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn − xn+1yn+1 .
Neste caso, o grupo O(R n+1 , q) é exatamente o grupo O(n, 1) definido no capítulo 1.
Definição 4.7. Seja q uma forma quadrática em R n e seja v ∈ R n um vetor não-isotrópico,
isto é, v é tal que q(v) = 〈v, v〉 = 0. A reflexão ao redor de v é a seguinte isometria iv de
R n
〈x, v〉
iv(x) = x − 2 v .
〈v, v〉
Efetuando alguns cálculos simples verifica-se que iv ∈ O(R n , q), que iv tem ordem dois e que
iv(v) = −v.
Na demonstração do Teorema do Cancelamento de Witt, além do conceito de involução,
utilizaremos a seguite proposição.
Proposição 4.3. Seja q uma forma quadrática em R n e seja k um número real tal que k = 0.
O grupo O(R n , q) age transitivamente no conjunto
{ x ∈ R n | q(x) = k } .
Demonstração. Sejam x e y vetores em R n tais que q(x) = q(y) = k = 0. Queremos mostrar
que existe uma isometria de R n que manda x em y. Para isso, observe primeiramente que
〈x − y, x + y〉 = 〈x, x〉 − 〈y, y〉 = 0 .
Isto implica que q(x − y) = 0 ou que q(x + y) = 0 pois, caso contrário, se q(x − y) = 0 e se
q(x + y) = 0 teríamos que q(x) = 0 pois x = 1
[(x − y) + (x + y)].
2
Se x − y é não-isotrópico, a reflexão ix−y é tal que
ix−y(x − y) = −x + y e ix−y(x + y) = x + y .
Somando essa duas expressões temos que ix−y(x) = y, como queríamos demonstrar.
Se x + y é não-isotrópico, a reflexão ix+y é tal que
ix+y(x + y) = −x − y e ix+y(x − y) = x − y .
45

Somando essa duas expressões temos que ix+y(x) = −y. Considerando, neste caso, a isome-
tria T (x) = −x de R n , vemos que a composição T ◦ ix+y leva x em y, como queríamos
demonstrar.
Teorema 4.3 (do cancelamento de Witt). Seja q uma forma quadrática não-degenerada em
R n , e sejam V e W dois subespaços não-degenerados de R n . Sabemos que
Se V ≈ W então V ⊥ ≈ W ⊥ .
R n = V ○⊥ V ⊥ = W ○⊥ W ⊥ .
Demonstração. Seja σ : V → W uma isometria de V sobre W . Demonstraremos o teorema
por indução finita sobre dim(V ).
Em primeiro lugar, suponhamos que dim(V ) = 1, e que V = span{v0}. Logo temos
que W = span{σ(v0)}. Como V é não-degenerado temos que 〈v0, v0〉 = 〈σ(v0), σ(v0)〉 = 0.
Aplicando a proposição anterior, vemos que existe uma isometria f de R n tal que f(v0) =
σ(v0). Assim, f é uma isometria de R n tal que f(V ) = W e f(v) = σ(v) para todo v ∈ V .
Isto implica que
x ∈ V ⊥ ⇔ 〈x, v〉 = 0 ∀ v ∈ V ⇔ 〈f(x), f(v)〉 = 0 ∀ v ∈ V ⇔
⇔ 〈f(x), σ(v)〉 = 0 ∀ v ∈ V ⇔ f(x) ∈ W ⊥
Assim, podemos definir a restrição f |V ⊥ : V ⊥ → W ⊥ , que é uma isometria procurada de V ⊥
sobre W ⊥ .
Suponhamos agora, como nossa hipótese da indução, que o teorema seja verdadeiro
sempre que dim(V ) ≤ k, sendo k um número fixado no conjunto {1, 2, . . . , n − 1}. Seja
V um subespaço não-degenerado de R n tal que dim(V ) = k + 1 e seja σ : V → W uma
isometria. Visto que V é não-degenerado, como observado no exemplo da página 41, é fácil
ver que existe um vetor não-isotrópico v0 ∈ V . Assim, aplicando a proposição 4.2, podemos
escrever
V = span{v0} ○⊥ V1
46

onde V1 também é um subespaço não degenerado de R n . Do mesmo modo, também podemos
escrever
W = span{σ(v0)} ○⊥ σ(V1)
onde σ(V1) é um subespaço não degenerado de R n . Deste modo temos que
R n = V ○⊥ V ⊥ ⇒ R n = span{v0} ○⊥ V1 ○⊥ V ⊥ .
R n = W ○⊥ W ⊥ ⇒ R n = span{σ(v0)} ○⊥ σ(V1) ○⊥ W ⊥ .
Aplicando o Teorema do Cancelando de Witt para o caso 1-dimensional (que acabamos de
demonstrar), podemos concluir que existe uma isometria f : V1 ○⊥ V ⊥ → σ(V1) ○⊥ W ⊥ .
Como f(V1 ○⊥ V ⊥ ) = f(V1) ○⊥ f(V ⊥ ) e como f é sobrejetora, concluímos que
f(V1) ○⊥ f(V ⊥ ) = σ(V1) ○⊥ W ⊥ .
Como f(V1) ≈ σ(V1) e como dim(f(V1)) = dim(V1) = dim(V )−1 = k, a hipótese da indução
implica que f(V ⊥ ) ≈ W ⊥ . Agora, como evidentemente f(V ⊥ ) ≈ V ⊥ , por transitividade
concluímos finalmente que V ⊥ ≈ W ⊥ .
Para a demonstração do Teorema de Extensão de Witt, além do Teorema de Cancelamento,
precisaremos do seguinte lema.
Lema 4.1. Seja q uma forma quadrática não-degenerada em R n e seja V um subespaço
degenerado de R n . Se v0 ∈ V ∩ V ⊥ é um vetor não-nulo e se R é o complemento linear de
span{v0} em V , no sentido que V = span{v0} ⊕ R, então existe um vetor u ∈ R n tal que:
• u é isotrópico.
• u é ortogonal a R, isto é, 〈u, r〉 = 0 para todo r ∈ R.
• 〈v0, u〉 = 1.
• u /∈ V .
47

Demonstração. Observe que sendo V degenerado, temos que V ∩V ⊥ = {0 } e que todo vetor
v0 ∈ V ∩ V ⊥ é um vetor isotrópico. Além disso, se R é o complemento linear de span{v0}
em V , no sentido que V = span{v0} ⊕ R, então R ⊂ V e v0 é ortogonal a R.
Para começar, observe que existe T ∈ (R n ) ∗ tal que T (v0) = 1 e T (R) = 0. Utilizando o
isomorfismo linear f : R n → (R n ) ∗ dado por f(x) · v = 〈v, x〉, definido na demonstração do
teorema 4.1, vemos que existe um vetor b ∈ R n tal que T (v) = 〈b, v〉 para todo v ∈ R n .
Deste modo, para todo r ∈ R, temos que
〈b, r〉 = T (r) = 0 e 〈b, v0〉 = T (v0) = 1 .
Considere agora o vetor u = b− 1
2 〈b, b〉 v0. Vamos provar que esse vetor possui as propriedades
desejadas.
• u é isotrópico, pois v0 é isotrópico, 〈b, v0〉 = 1 e
〈u, u〉 =
b − 1
2 〈b, b〉 v0 , b − 1
〈b, b〉 v0
2
= 〈b, b〉 − 〈b, b〉 + 1
4 〈b, b〉2 〈v0, v0〉 = 0.
• u é ortogonal a R pois, para todo r ∈ R, temos que 〈v0, r〉 = 0 e
〈u, r〉 =
b − 1
2 〈b, b〉 v0
, r = 〈b, r〉 − 1
2 〈b, b〉〈v0, r〉 = 0.
• 〈v0, u〉 =
v0 , b − 1
〈b, b〉 v0
2
• u /∈ V pois v0 é ortogonal a V e 〈v0, u〉 = 1 = 0.
= 〈v0, b〉 − 1
2 〈b, b〉〈v0, v0〉 = 〈v0, b〉 = 1.
Teorema 4.4 (de extensão de Witt). Seja q uma forma quadrática não-degenerada em R n
e seja σ : V → W uma isometria entre dois subespaços de R n . Então σ pode ser estendida
a uma isometria σ : R n → R n definida em todo o espaço R n , σ(x) = σ(x) para todo x ∈ V .
Demonstração. Primeiramente vamos considerar o caso em que V é um subespaço não-
degenerado de R n . Neste caso, σ(V ) = W também é um subespaço não-degenerado de R n
e
48

R n = V ○⊥ V ⊥ = W ○⊥ W ⊥ .
Como V ≈ W , o Teorema do Cancelamento de Witt implica que V ⊥ ≈ W ⊥ . Seja f : V ⊥ →
W ⊥ uma isometria. Defina σ : V ○⊥ V ⊥ → W ○⊥ W ⊥ por σ(x ⊕ y) = σ(x) ⊕ f(y), para todo
x ∈ V e todo y ∈ V ⊥ . Desta definição, é fácil provar que σ é uma isometria do espaço R n tal
que σ| V = σ. Isto termina a demonstração do teorema no caso em que V é não-degenerado.
Vamos considerar agora o caso em que V é um subespaço degenerado de R n . Então seja
σ : V → W uma isometria entre dois subespaços degenerados de R n . Como V é degenerado,
existe um vetor não-nulo v0 ∈ V ∩ V ⊥ . Se R é o complemento linear de span{v0} em V , no
sentido que V = span{v0} ⊕ R, o lema anterior garante que existe um vetor u ∈ R n tal que:
u é isotrópico, u é ortogonal a R, 〈v0, u〉 = 1 e u /∈ V .
Considere agora o subespaço degenerado σ(V ) = W de R n . Como σ : V → W é uma
isometria, vemos que σ(v0) é um vetor não-nulo em W ∩ W ⊥ e que σ(R) é o complemento
linear de span{σ(v0)} em W , no sentido que W = span{σ(v0)}⊕σ(R). Aplicando novamente
o lema anterior, vemos que existe um vetor w ∈ R n tal que: w é isotrópico, w é ortogonal a
σ(R), 〈σ(v0), w〉 = 1 e w /∈ W .
Seja V1 = V + span{u}. Como u /∈ V , dim(V1) = dim(V ) + 1. Além disso, observe que
V1 = R ○⊥ span{v0, u}.
Agora estenda σ : V → W a aplicação linear σ1 : V1 → R n , definida por
• σ1(r) = σ(r) para todo r ∈ R,
• σ1(v0) = σ(v0),
• σ1(u) = w.
Utilizando as decomposições em somas diretas ortogonais
V1 = R ○⊥ span{v0, u} e σ1(V1) = σ(R) ○⊥ span{σ(v0), w}
é fácil provar que σ1 é uma isometria de V1 sobre σ1(V1). Deste modo, dada uma isometria
σ : V → W definida num subespaço degenerado V de R n , podemos estender essa aplicação a
uma isometria σ1 : V1 → σ1(V1) definida em um espaço V1 tal que dim(V1) = dim(V ) + 1. Se
V1 é não-degenerado, utilizando a primeira parte da demonstração do teorema em questão,
49

podemos estender σ1 a uma isometria definida em todo o espaço R n . Se V1 é degenerado,
aplicamos novamente o que acabamos de fazer um número suficiente de vezes até termos
estendido σ a uma isometria definida em um subespaço não-degenerado de R n . Observe que
este espaço existe pois o espaço ambiente R n é não-degenerado. Deste modo, vemos que, em
qualquer situação, sempre podemos estender a isometria σ dada a uma isometria definida
em todo o espaço R n . Isto termina a demonstração do Teorema de Extensão de Witt.
4.3 Aplicações do Teorema de Witt
Nesta seção vamos demonstrar um teorema que apresenta uma resposta para a seguinte
pergunta: dados dois conjuntos ordenados de k vetores (P1, P2, . . . , Pk) e (P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k ) em
(Rn , q), e q uma forma quadrática não-degenerada em Rn , sobre quais condições existe uma
isometria f ∈ O(R n , q) tal que f(Pi) = P ′
i , para i = 1, 2, . . . , k ?
Antes de apresentar uma resposta para esta pergunta, observe que se existe uma tal isometria,
então 〈Pi, Pj〉 = 〈P ′
i , P ′ j〉 para todo i, j = 1, 2, . . . , k. Esta condição pode ser resumida
dizendo-se que a matriz de Gram G dos vetores (P1, P2, . . . , Pk) é igual a matriz de Gram
G ′ dos vetores (P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k ), isto é,
se G = ( 〈Pi, Pj〉 ) e G ′ = 〈P ′
i , P ′ j〉 então G = G ′ . (4.3)
Além disso, se existe uma tal isometria, como f é um isomorfismo linear de R n , se existir
algum tipo de dependência linear entre os vetores P1, P2, . . . , Pk, então o mesmo tipo de
dependência linear também existe entre os vetores P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k . Esta condição pode ser
resumida através da equivalência:
se λ = (λ1, λ2, . . . , λk) ∈ R k então,
k
λi Pi = 0 ⇔
i=1
k
i=1
λi P ′
i = 0 . (4.4)
Deste modo, as condições (4.3) e (4.4) são condições necessárias para a existência de uma
isometria f tal que f(Pi) = P ′
i , para i = 1, 2, . . . , k. Veremos agora que essas condições
também são condições suficientes para a existência da isometria f. Esse resultado é o Teo-
rema 1 do artigo [13] de Roland Höfer.
50

Observação: Como o próximo teorema será utilizado para o desenvolvimento da teoria dos
próximos capítulos, daremos duas demonstrações para ele. A demonstração logo abaixo é a
que aparece no artigo de Roland Höfer. No final deste capítulo, apresentaremos a segunda
demonstração.
Teorema 4.5. Seja q uma forma quadrática não-degenerada em R n , e sejam (P1, P2, . . . , Pk)
e (P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k ) dois conjuntos ordenados de k vetores em Rn . Existe uma isometria f ∈
O(R n , q) tal que f(Pi) = P ′
i , para i = 1, 2, . . . , k, se, e somente se, as condições (4.3) e (4.4)
são satisfeitas.
Demonstração. No início desta seção observamos que se existe uma isometria f tal que
f(Pi) = P ′
i , para i = 1, 2, . . . , k, então as condições (4.3) e (4.4) são satisfeitas.
Reciprocamente, suponhamos que (P1, P2, . . . , Pk) e (P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k ) são dois conjuntos
ordenados de k vetores em Rn que satisfazem as condições (4.3) e (4.4). Vamos mostrar a
existência da desejada isometria f. Para isso, considere primeiramente as seguintes trans-
formações lineares g : R k → R n e g ′ : R k → R n definidas por:
g(λ) =
k
i=1
λi Pi e g ′ (λ) =
k
i=1
λi P ′
i , λ = (λ1, λ2, . . . , λk) ∈ R k .
Utilizando a condição (4.3), que nos diz que a matriz de Gram dos vetores (P1, P2, . . . , Pk)
é igual a matriz de Gram dos vetores (P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k ), prova-se que
Utilizando a condição (4.4), tem-se que
〈g(λ), g(µ)〉 = 〈g ′ (λ), g ′ (µ)〉 , ∀ λ, µ ∈ R k . (4.5)
ker(g) = ker(g ′ ).
Tome agora uma base {v1, v2, . . . , vr} para o subespaço Im(g) de R n , e considere vetores
u1, u2, . . . , ur em R k tais que g(ui) = vi para i = 1, 2, . . . , r. Como {v1, v2, . . . , vr} é um
conjunto linearmente independente, é fácil provar que {u1, u2, . . . , ur} também é um conjunto
linearmente independente. Além disso, efetuando uma conta simples, prova-se também que
span{u1, u2, . . . , ur} ∩ ker(g) = {0 }
51

e, do Teorema do Núcleo e da Imagem, que
R k = span{u1, u2, . . . , ur} ⊕ ker(g). (4.6)
Defina agora v ′ i = g ′ (ui) para i = 1, 2, . . . , r. Vamos provar que {v ′ 1, v ′ 2, . . . , v ′ r} também é
um conjunto linearmente independente. De fato,
α1v ′ 1 + · · · + αrv ′ r = 0 ⇒ α1g ′ (u1) + · · · + αrg ′ (ur) = 0 ⇒
⇒ g ′ (α1u1 + · · · + αrur) = 0 ⇒
⇒ α1u1 + · · · + αrur ∈ ker(g ′ ) = ker(g) ⇒
⇒ α1u1 + · · · + αrur ∈ span{u1, . . . , ur} ∩ ker(g) = {0 } ⇒
⇒ α1u1 + · · · + αrur = 0 ⇒
⇒ α1 = · · · = αr = 0,
pois os vetores u1, u2, . . . , ur são linearmente independentes.
Deste modo, como v ′ 1, v ′ 2, . . . , v ′ r são vetores linearmente independentes, vemos que eles geram
um subespaço de dimensão r, evidentemente contido em Im(g ′ ). Agora observe que, do
Teorema do Núcleo e da Imagem temos que
dim R k = dim Im(g) + dim ker(g) e dim R k = dim Im(g ′ ) + dim ker(g ′ ) .
Como ker(g) = ker(g ′ ), estas igualdades implicam que dim Im(g ′ ) = dim Im(g) = r. Agora,
de dim span{v ′ 1, v ′ 2, . . . , v ′ r} = r, dim Im(g ′ ) = r e span{v ′ 1, v ′ 2, . . . , v ′ r} ⊂ Im(g ′ ) concluímos
que span{v ′ 1, v ′ 2, . . . , v ′ r} = Im(g ′ ), e que {v ′ 1, v ′ 2, . . . , v ′ r} é uma base para Im(g ′ ).
Considere agora a seguinte transformação linear ϕ : Im(g) → Im(g ′ ) entre os subespaços
Im(g) e Im(g ′ ) de R n , definida através dos seguintes valores na base {v1, v2, . . . , vr} de Im(g):
ϕ(vi) = v ′ i, i = 1, 2, . . . , r .
Como {v1, v2, . . . , vr} é base de Im(g), e como ϕ transforma esta base na base {v ′ 1, v ′ 2, . . . , v ′ r}
de Im(g ′ ), vemos que ϕ : Im(g) → Im(g ′ ) é um isomorfismo linear. Utilizando a decomposição
em soma direta de R k dada em (4.6) e ker(g) = ker(g ′ ), prova-se que
52

ϕ ◦ g = g ′ .
Desta composição, e da definição de g e g ′ , vemos que se {e1, e2, . . . , ek} é a base canônica
de R k , então g(ei) = Pi, g ′ (ei) = P ′
i , ϕ ◦ g(ei) = g ′ (ei) e assim
ϕ(Pi) = P ′
i
i = 1, 2, . . . , k .
Vamos mostrar agora que ϕ também preserva a forma bilinear simétrica definida por q em
R n . De fato, utilizando (4.5), temos que
〈ϕ(vi), ϕ(vj)〉 = v ′ i, v ′ ′
j = 〈g (ui), g ′ (uj)〉 = 〈g(ui), g(uj)〉 = 〈vi, vj〉 .
Deste modo, demonstramos que ϕ : Im(g) → Im(g ′ ) é uma isometria entre dois subespaços
de R n . Assim, aplicando o Teorema de Extensão de Witt, vemos que existe uma isometria
f : R n → R n tal que f|Im(g) = ϕ. Como, para cada i = 1, 2, . . . , k, Pi ∈ Im(g) e f(Pi) =
ϕ(Pi) = P ′
i , concluímos que f é a desejada isometria em O(R n , q) que manda cada vetor Pi
no respectivo vetor P ′
i .
Apesar das condições (4.3) e (4.4) serem hipóteses naturais para a validade do teorema
anterior, a condição (4.4) não é de fácil verificação para dois conjuntos explícitos de k vetores
em R n . Entretanto, para uma classe bastante importante de vetores em R n (levantamentos
de pontos na fronteira do espaço hiperbólico real), veremos agora que a condição (4.4) é uma
conseqüência da condição (4.3).
Observação: A demonstração da proposição a seguir possui muitas idéias em comum com
a demonstração da proposição 4.1, que relaciona matrizes de Gram singulares com vetores
linearmente dependentes em R n .
Proposição 4.4. Seja q uma forma quadrática em R n , e sejam (P1, P2, . . . , Pk) e
(P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k ) dois conjuntos ordenados de k vetores distintos em Rn , tais que
W = span{P1, P2, . . . , Pk} e W ′ = span{P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k } são dois subespaços não-degenerados
de Rn . Neste caso, a condição (4.3) implica a condição (4.4).
53

Demonstração. Sejam (P1, . . . , Pk) e (P ′ 1, . . . , P ′ k ) dois conjuntos ordenados de k vetores em
Rn , tais que W = span{P1, . . . , Pk} e W ′ = span{P ′ 1, . . . , P ′ k } são dois subespaços nãodegenerados
de Rn , isto é, Rad(W ) = Rad(W ′ ) = {0}. Seja G matriz de Gram dos vetores
P1, . . . , Pk e seja G ′ a matriz de Gram dos vetores P ′ 1, . . . , P ′ k .
Suponhamos que G = G ′ , isto é, suponhamos que gij = 〈Pi, Pj〉 seja igual a g ′ ij = 〈P ′
i , P ′ j〉
para todo i e j. Devemos mostrar que, sob todas estas hipóteses, a condição (4.4) é válida.
Então suponhamos que
x1P1 + · · · + xkPk = 0 ,
para um certo vetor x = (x1, . . . , xk) ∈ R k . Devemos mostrar que, para estes mesmos
coeficientes x1, . . . , xk, temos que x1P ′ 1 + · · · + xkP ′ k = 0 . Para começar, observe que a
i-ésima componente do vetor Gx ∈ R k é dada por:
(Gx)i =
k
j=1
gijxj =
k
〈Pi, Pj〉xj = Pi,
j=1
k
j=1
xjPj
= 〈Pi,0〉 = 0 . (4.7)
Como (Gx)i = 0 e i é arbitrário, concluímos que Gx = 0. Daí x t Gx = 0 e como G = G ′
obtemos x t G ′ x = 0. Mas,
x t G ′ x =
k
i,j=1
g ′ ijxixj =
k
i,j=1
〈P ′
i , P ′ j〉xixj =
Portanto concluímos que o vetor v =
k
k
i,j=1
〈xiP ′
i , xjP ′ j〉 =
k
j=1
xjP ′ j ,
j=1
span{P ′ 1, . . . , P ′ k }. Por outro lado, de Gx = 0 e consequentemente G ′ x = 0, todas as compo-
k
j=1
xjP ′ j
xjP ′ j é um vetor isotrópico contido em W ′ =
nentes deste vetor são iguais ao número zero. Mas, de modo análogo à equação (4.7), vemos
que a i-ésima componente do vetor G ′ x é igual a
0 = (G ′ x)i =
k
j=1
g ′ ijxj =
k
j=1
〈P ′
i , P ′ j〉xj =
P ′
i ,
k
j=1
xjP ′ j
= 〈P ′
i , v〉.
Assim, concluímos que 〈P ′
i , v〉 = 0 para todo i = 1, 2, . . . , k. Como W ′ = span{P ′ 1, . . . , P ′ k },
isto implica que 〈w, v〉 = 0 para todo w ∈ W ′ . Logo v ∈ Rad(W ′ ) = {0 }, e isso implica que
v = 0. Assim, v =
k
j=1
xjP ′ j = 0, ou seja, x1P ′ 1 +· · ·+xkP ′ k = 0, como queríamos demonstrar.
54
= 0 .

A implicação inversa x1P ′ 1 + · · · + xkP ′ k = 0 ⇒ x1P1 + · · · + xkPk = 0 tem demonstração
análoga à que acabamos de fazer.
Utilizando esta proposição, o teorema 4.5 pode ser re-enunciado como o teorema a seguir.
Observamos que este teorema desempenhará um papel central na teoria que será desenvolvida
nos próximos capítulos.
Teorema 4.6. Seja q uma forma quadrática não-degenerada em R n , e sejam (P1, P2, . . . , Pk)
e (P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k ) dois conjuntos ordenados de k vetores em Rn , que geram dois subespaços
não-degenerados de R n . Existe uma isometria f ∈ O(R n , q) tal que f(Pi) = P ′
i , para i =
1, 2, . . . , k, se, e somente se, a condição (4.3) é satisfeita.
Exemplo: Veremos agora um exemplo que nos mostra que, em geral, a condição (4.3)
não implica a condição (4.4), e que o teorema anterior pode ser falso se os espaços W =
span{P1, . . . , Pk} e W ′ = span{P ′ 1, . . . , P ′ k } são subespaços degenerados de Rn . De fato, em
R 3 considere a seguinte forma bilinear simétrica não-degenerada 〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 − x3y3.
Agora considere os seguintes vetores de R 3
e
P1 =
P ′ 1 =
⎡ ⎤
1
⎢ ⎥
⎢
⎣0⎥
⎦
1
, P2
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
= ⎢
⎣1⎥
⎦
0
e P3
⎡ ⎤
1
⎢ ⎥
= P1 + P2 = ⎢
⎣1⎥
⎦
1
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢
⎣1⎥
⎦
1
, P ′ ⎡ ⎤
1
⎢ ⎥
2 = ⎢
⎣0⎥
0
⎦ e P ′ 3 = P ′ 2 − P ′ 1 =
⎡ ⎤
1
⎢ ⎥
⎢
⎣−1⎥
⎦
−1
.
Por um cálculo imediato verifica-se que a matriz de Gram de P1, P2, P3 é igual a matriz de
Gram de P ′ 1, P ′ 2, P ′ 3 e que esta matriz é dada por
G =
⎡ ⎤
0
⎢
⎣0
0
1
0
⎥
1⎥
⎦
0 1 1
.
55

Deste modo, para os vetores P1, P2, P3 e P ′ 1, P ′ 2, P ′ 3 a condição (4.3) é satisfeita. Entretanto,
como P3 = P1 + P2 e P ′ 3 = P ′ 2 − P ′ 1 tem-se que a condição (4.4) não é satisfeita. Assim,
não existe uma isometria f de R 3 tal que f(Pi) = P ′
i , i = 1, 2, 3. Finalmente observe
que W = span{P1, P2, P3} e W ′ = span{P ′ 1, P ′ 2, P ′ 3} são subespaços degenerados de R 3 pois
P1 ∈ Rad(W ) e P ′ 1 ∈ Rad(W ′ ).
Apesar de desnecessário, vamos concluir este capítulo apresentando uma nova demonstração
para o teorema 4.5. Esta parece ser um pouco mais simples que a demonstração apresentada
anteriormente. Então vamos re-demonstrar o seguinte resultado:
[Teorema 4.5] Seja q uma forma quadrática não-degenerada em R n , e sejam (P1, P2, . . . , Pk)
e (P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k ) dois conjuntos ordenados de k vetores em Rn . Existe uma isometria
f ∈ O(R n , q) tal que f(Pi) = P ′
i , para i = 1, 2, . . . , k, se, e somente se, as condições
(4.3) e (4.4) são satisfeitas.
Demonstração. Como observado no início deste capítulo, as condições (4.3) e (4.4) são
hipóteses necessárias para a existência da desejada isometria f.
Reciprocamente, suponhamos que (P1, P2, . . . , Pk) e (P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k ) são dois conjuntos
ordenados de k vetores em Rn que satisfazem as condições (4.3) e (4.4). Vamos mostrar a
existência da desejada isometria f. Para isto, considere os seguintes subespaços de R n :
W = span{P1, P2, . . . , Pk} e W ′ = span{P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k} .
Entre os vetores P1, P2, . . . , Pk vamos considerar um subconjunto linearmente independente
de vetores que também geram W . Simplesmente para não deixar a notação muito car-
regada, reordenando os vetores (P1, P2, . . . , Pk), e depois reordenando os respectivos vetores
em (P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k ), vamos supor que os primeiros m vetores em (P1, P2, . . . , Pk) formem uma
base de W . Isto é, vamos supor que {P1, P2, . . . , Pm} seja uma base de W .
Afirmamos que os respectivos vetores de W ′ , P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ m, formam um conjunto linear-
mente independente. De fato, utilizando (4.4) temos que:
56

x1P ′ 1 + · · · + xmP ′ m = 0 ⇒ x1P ′ 1 + · · · + xmP ′ m + 0P ′ m+1 + · · · 0P ′ k = 0 ⇒
⇒ x1P1 + · · · + xmPm + 0Pm+1 + · · · 0Pk = 0 ⇒
⇒ x1P1 + · · · + xmPm = 0 ⇒
⇒ x1 = · · · = xm = 0,
pois os vetores P1, . . . , Pm são linearmente independentes.
Afirmamos também que os vetores P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ m geram W ′ . Observe que para demonstrar
isso, é suficiente mostrar que para todo i > m, i ≤ k, o vetor P ′
i é uma combinação
linear dos vetores P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ m. Vamos mostrar isso. De fato, como P1, . . . , Pm geram
W , para todo i > m existem escalares x1, . . . , xm tais que Pi = x1P1 + · · · + xmPm. Logo,
x1P1 + · · · + xmPm − Pi = 0 e de (4.4) obtemos x1P ′ 1 + · · · + xmP ′ m − P ′
i = 0 ⇒ P ′
i =
x1P ′ 1 + · · · + xmP ′ m.
Portanto acabamos de demonstrar que {P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ m} é uma base de W ′ . Considere agora
a seguinte transformação linear σ : W → W ′ entre os subespaços W e W ′ de R n , definida
através dos seguintes valores na base {P1, . . . , Pm} de W :
σ(Pj) = P ′ j, j = 1, 2, . . . , m .
Como {P1, . . . , Pm} é base de W , e como σ transforma esta base na base {P ′ 1, . . . , P ′ m} de
W ′ , vemos que σ : W → W ′ é um isomorfismo linear. Agora, utilizando a hipótese (4.3),
que nos diz que a matriz de Gram dos vetores P1, P2, . . . , Pk é igual a matriz de Gram dos
vetores P ′ 1, P ′ 2, . . . , P ′ k , é fácil mostrar que σ preserva a forma bilinear simétrica definida por
q em W . Isto é,
〈σ(x), σ(y)〉 = 〈x, y〉, ∀ x, y ∈ W .
Portanto, concluímos que σ : W → W ′ é uma isometria entre dois subespaços de R n . Observe
que, por definição, σ(Pj) = P ′ j para todo j ∈ {1, 2, . . . , m}. Além disso, para todo i > m,
i ≤ k, de (4.4), vemos que se Pi = x1P1 + · · · + xmPm então P ′
i = x1P ′ 1 + · · · + xmP ′ m. Daí é
fácil provar que σ(Pi) = P ′
i para todo i ∈ {m + 1, m + 2, . . . , k}. Portanto, temos que
σ(Pi) = P ′
i , ∀ i = 1, 2, . . . , k . (4.8)
57

Por outro lado, como σ : W → W ′ é uma isometria, aplicando o Teorema de Extensão de
Witt, vemos que σ se estende a uma isometria f : R n → R n definida em todo o espaço R n ,
f(w) = σ(w), para todo w ∈ W . Daí, como para todo i = 1, 2, . . . , k temos que Pi ∈ W ,
concluímos que f(Pi) = σ(Pi) = P ′
i , pela igualdade (4.8). Portanto concluímos que f é a
deseja isometria que manda Pi no respectivo vetor P ′
i .
58

Capítulo 5
Preliminares Algébricas
Este capítulo é dedicado ao estudo de alguns resultados importantes da álgebra linear,
que serão utilizados mais adiante. Veremos teoremas do posto de uma matriz e vamos
relacionar matrizes definidas positivas com matrizes de Gram.
5.1 Posto
Esta seção é dedicada à definição do posto de uma matriz e mostrar os principais
resultados do assunto. Tais resultados serão utilizados no capítulo seguinte para demonstrar
um importante teorema de caracterização de matrizes simétricas da forma (6.3) e de entradas
reais que são matrizes de Gram normalizadas de um conjunto de k pontos distintos em ∂H n
R.
Como sempre, vetores x ∈ R n serão representados como matrizes coluna n × 1.
Definições e notações: Seja G = (gij) uma matriz k × k e seja I = {i1, . . . , im} uma
coleção de índices distintos contidos em {1, 2, . . . , k}.
• Denotamos por |I| o número de elementos do cunjunto I. Se I = {i1, . . . , im}, então
|I| = m.
• Eliminando-se uma linha e uma coluna que se encontram na diagonal principal de G,
forma-se um menor principal de G de ordem (k − 1) × (k − 1). Continuando desse
modo, a cada passo eliminando uma linha e uma coluna que se encontram na diagonal
principal de G, pode-se formar menores principais de qualquer ordem.
• Vamos denotar por GI ou Gi1···im a submatriz m × m de G cujas entradas são guv, com
u e v variando no conjunto {i1, . . . , im}. Observe que GI é um menor principal de
59

G. Neste caso foram eliminadas as linhas e as colunas de G de índices que não estão
contidos em I.
• No caso particular em que I = {1, 2, . . . , m}, a matriz GI é um menor principal
líder de G. Neste caso, GI é a submatriz obtida de G pela eliminação de todas as
linhas e todas as colunas de índices maiores que m. Este menor principal líder também
poderá ser representado por Gm.
Definição 5.1. Seja A uma matriz n × m. Chamamos posto de A ao número máximo de
linhas de A que contituem um conjunto linearmente independente de vetores em R m .
Em qualquer matriz o número de linhas linearmente independentes coincide com o
número de colunas linearmente independentes. Podemos, então definir o posto de A como
sendo o número máximo de linhas ou colunas de A que constituem um conjunto linearmente
independente.
Observe que para uma matriz quadrada de ordem n, o valor máximo do posto de uma
matriz é igual ao número n.
Veremos agora algumas propriedades do posto de uma matriz, que serão utilizadas nas
próximas seções e podem ser encontradas no livro Matrix Analysis, [6], página 13.
Propriedades:
1. posto(A t )= posto(A).
2. Se posto(A)=r, então existe uma submatriz de A de tamanho r × r com determinante
não nulo, mas todas as submatrizes de A de tamanho maior ou igual a (r + 1) × (r + 1)
possuem determinante igual a zero.
3. Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então posto(A)=posto(B) se e somente
se existem matrizes X e Y tais que B = XAY . Como um caso particular em que
B = P AP −1 , temos que o posto de uma matriz é invariante por conjugação.
4. Se A é matriz simétrica de posto r, então existe um menor principal de A de ordem r
com determinante não nulo (ver [10]).
Podemos agora demonstrar o seguinte torema:
60

Teorema 5.1. Seja M matriz simétrica k × k de entradas reais. Então, posto(M) ≤ r se,
e somente se, det(MI) = 0, para todo I ⊂ {1, 2, · · · , k} tal que |I| > r, sendo MI menor
principal de M.
Demonstração. Se posto(M) ≤ r, o resultado segue da propriedade 2 acima. Por outro lado,
seja M tal que det(MI) = 0 ∀ I, |I| > r. Suponha por absurdo que posto(M) = n > r.
Daí, a propriedade 4 garante que existe um menor principal MI de M, com |I| = n tal que
det(MI) = 0. Contradição.
5.2 Matrizes definidas positivas
Nesta seção iremos resumir alguns resultados a respeito de matrizes definidas positivas.
Estes foram retirados da seção 7.2 do livro Matrix Analysis de R.A. Horn e C.R. Johnson.
Definição 5.2. Uma matriz simétrica A, de entradas reais e de ordem n × n é definida
positiva se x t Ax > 0 para todo vetor não nulo x ∈ R n . Analogamente, A é semi-definida
positiva se x t Ax ≥ 0 para todo x ∈ R n .
Proposição 5.1. Seja A uma matriz simétrica n × n definida positiva. Então todas as
submatrizes menores principais de A também são definidas positivas.
Demonstração. Seja S um subconjunto próprio de {1, 2, . . . , n} e seja A(S) a submatriz
menor principal de A obtida pela eliminação de todas as linhas e todas as colunas de A cujos
índices não estão em S. Seja x ∈ R n um vetor não nulo que tem entradas arbitrárias nos
índices contidos em S e tem entradas iguais a zero nos índices que não estão contidos em S.
Seja x(S) o vetor obtido de x pela eliminação de todas as entradas de índices que não estão
contidos em S. Como x(S) t A(S)x(S) = x t Ax > 0 e x(S) = 0 é arbitrário, concluímos que
A(S) é uma matriz definida positiva. Observe que A(S) também é uma matriz simétrica.
Observação:
• Na proposição anterior podemos trocar “definida positiva” por “semi-definida posi-
tiva”.
• Seja ei o i-ésimo vetor da base canônica de R n . De e t iAei = aii vemos que se A é
definida positiva então os elementos da diagonal principal de A são números positivos.
61

Proposição 5.2. Cada autovalor de uma matriz definida positiva é um número real positivo.
Analogamente, os autovalores de uma matriz semi-definida positiva são números não nega-
tivos.
Demonstração. Sejam A definida positiva, λ autovalor de A e x autovetor de A associado a
λ. De xtAx = xtλx = λxtx = λ x 2 obtemos λ = xtAx > 0.
x 2 Como o traço é a soma, e o determinante é o produto dos autovalores, a proposição anterior
implica o seguinte corolário.
Corolario 5.1. O traço, o determinante e os determinantes dos menores principais de
uma matriz definida positiva são números positivos. Analogamente, esses números são não-
negativos para matrizes semi-definidas positivas.
Caracterizações de matrizes definidas positivas
Teorema 5.2. Uma matriz simétrica de entradas reais A n × n é definida positiva se, e
somente se, todos os seus autovalores são positivos. Do mesmo modo A é semi-definida
positiva se, e somente se, todos os seus autovalores são não negativos.
Demonstração. Seja A uma matriz simétrica n×n de entradas reais. Se A é definida positiva,
então a proposição 5.2 implica que todos os autovalores de A são positivos.
Reciprocamente, suponhamos que todos os autovalores de A são positivos. Como A
é simétrica, sabemos que A é diagonalizável por uma matriz ortogonal. Isto é A = P t DP
sendo P −1 = P t e D matriz diagonal dos autovalores de A. Daí, para cada vetor não nulo
x ∈ R n , temos que
x t Ax = x t P t DP x = y t Dy =
sendo y = P x. Como cada λi > 0 e y = −→ 0 pois P é invertível e x = −→ 0 , vemos que
x t n
Ax = λi y 2 i > 0. Isso implica que A é definida positiva. O caso em que A é semi-
i=1
definida positiva é análogo.
62
n
i=1
λi y 2 i

Pela proposição 5.1 sabemos que se A é definida positiva então todas as suas submatrizes
menores principais também são definidas positivas. Veremos agora que a inversa deste resul-
tado também é verdadeira. Entretanto, o próximo teorema nos mostra que esta implicação
inversa pode ser enunciada de uma forma mais interessante. Lembre-se de que uma subma-
triz menor principal lider de A é denotada por Ai, sendo essa a submatriz constituída das
primeiras i linhas e pelas primeiras i colunas de A.
Teorema 5.3. Seja A uma matriz simétrica n × n de entradas reais. Então A é definida
positiva se, e somente se det(Ai) > 0 para i = 1, 2, . . . , n. De forma mais geral, A é definida
positiva se, e somente se, para qualquer seqüência encaixante B1, B2, . . . , Bn = A de
matrizes menores principais de A (não necessariamente de menores principais líderes), cada
Bi for tal que det(Bi) > 0.
Demonstração. Se A é definida positiva, então a proposição 5.1 garante que cada Ai é definida
positiva e portanto det(Ai) > 0.
Reciprocamente, suponhamos que det(Ai) > 0 para i = 1, 2, . . . , n. Vamos demonstrar
que A é definida positiva por indução finita. Nesta indução aplicaremos o “lema de au-
tovalores encaixantes para matrizes simétricas”(ver teorema 4.3.8 do livro Matrix Analysis
de Horn/Johnson). Como det(A1) > 0 e A1 é uma matriz 1 × 1 vemos que A1 é definida
positiva. Agora suponhamos que Ak é definida positiva para algum k ∈ {1, 2, . . . , n − 1}.
Nesse caso, todos os autovalores de Ak são positivos e pelo “lema dos autovalores
encaixantes” concluímos que todos os autovalores de Ak+1 são positivos exceto, possivel-
mete, o menor dos seus autovalores. Entretanto det(Ak+1) > 0 e det(Ak+1) é o produto dos
autovalores de Ak+1. Como todos os autovalores de Ak+1 são positivos, exceto possivelmente
um deles, e o produto desses números é positivo vemos que esse autovalor também deve ser
um número positivo. Assim concluímos que todos os autovalores de Ak+1 são positivos e isso
implica que Ak+1 é uma matriz definida positiva. Então, por esta indução finita, concluímos
que An = A é definida positiva.
Para o caso geral de uma seqüência encaixante de menores principais, observe que
efetuando uma certa quantidade de pares de operações elementares do tipo Li ↔ Lj e
Ci ↔ Cj podemos transformar estes menores principais em menores principais líderes. Daí
o resultado segue do que acabamos de demonstrar e do lema a seguir.
Lema 5.1. Seja A uma matriz n × n. Fixados índices i e j, seja B a matriz obtida de A
63

através de duas operações elementares: Li ↔ Lj e Ci ↔ Cj. Então as seguintes afirmações
são verdadeiras:
(a) det(A) = det(B).
(b) A é simétrica se, e somente se, B é simétrica.
⎡ ⎤
.
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢xi⎥
⎢ ⎥
(c) Se X = ⎢ . ⎥ é um vetor qualquer em R
⎢ ⎥
⎢xj⎥
⎣ ⎦
.
n ⎡ ⎤
.
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢xj⎥
⎢ ⎥
e Y = ⎢ . ⎥ é o vetor obtido de X pela troca
⎢ ⎥
⎢xi⎥
⎣ ⎦
.
da sua entrada i pela sua entrada j, então XtAX = Y tBY .
(d) A é uma matriz simétrica definida positiva se, e somente se, B é uma matriz simétrica
definida positiva.
A demonstração do teorema anterior pode ser utilizada linha a linha para provar o
seguinte resultado.
Teorema 5.4. Seja A uma matriz simétrica n × n de entradas reais. Se det(A1) > 0,
det(A2) > 0, . . ., det(An−1) > 0 e det(An) ≥ 0, então A é semi-definida positiva.
0 0
Observação: A matriz A =
nos mostra que se A é uma matriz simétrica de
0 −1
entradas reais e det(Ai) ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , n então isso não implica que A é semi-definida
positiva. Deste modo, o teorema anterior, em que os determinantes dos menores principais
líderes de A são assumidos estritamente positivos não pode ser enfraquecido. Entretanto,
como veremos no próximo resultado, se consideramos todos os menores principais de uma
matriz (e não somente os menores principais líderes) teremos um resultado verdadeiro.
Teorema 5.5. Seja A uma matriz simétrica n × n de entradas reais. Então A é semi-
definida positiva se, e somente se, os determinantes de todos os menores principais de A
são números não negativos.
64

Demonstração. Se A é semi-definida positiva, o corolário 5.1 nos mostra que todos os menores
principais de A possuem determinantes não negativos.
Reciprocamente, suponhamos que todos os menores principais de A possuem determi-
nantes não negativos. Podemos escrever a equação polinomial em λ
det(λI − A) = λ n − δ1λ n−1 + δ2λ n−2 − · · · (−1) n det A, (5.1)
em que cada δi é a soma dos determinantes de todos os menores principais de A de ordem
i. Como esses determinantes são todos não negativos, então cada δi é não negativo. Logo, a
equação 5.1 não possui raízes negativas. Concluímos que A é semi-definida positiva.
Observe que aqui estamos considerando todos os menores principais e não somente
os menores principais líderes. A segunda parte da demonstração do teorema anterior foi
extraída do Teorema 6.2, página 160 do livro [14].
Os próximos lemas serão utilizados na caracterização de matrizes semi-definidas positivas
em termos de Matriz de Gram de um conjunto de vetores no Espaço Euclidiano R n . (ver
teorema 5.6)
Lema 5.2. Seja A uma matriz n × n de entradas reais semi-definida positiva. Então existe
(uma única) matriz simétrica semi-definida positiva B tal que B 2 = A. Mais ainda, tal
matriz satisfaz:
(a) AB = BA.
(b) posto(B) = posto(A).
(c) se A é definida positiva, então B também é definida positiva.
Demonstração. Como A é simétrica sabemos que A é diagonalizável por uma matriz
ortogonal. Isto é, se D = diag(λ1, . . . , λn) é a matriz diagonal dos autovalores de A,
existe uma matriz ortogonal P (P −1 = P t ) tal que A = P DP t . Sendo A semi-definida
positiva, cada λi ≥ 0. Assim podemos construir a matriz diagonal Dr = diag( √ λ1, . . . , √ λn).
Evidentemente D 2 r = D. Seja B = P DrP t . Temos que:
• B 2 = P DrP t · P DrP t = P D 2 rP t = P DP t = A.
65

• B t = (P DrP t ) t = P D t rP t = P DrP t = B. Logo B é simétrica.
• os autovalores de B são √ λ1, . . . , √ λn e esses números são não negativos. Logo B é
semi-definida positiva.
Agora vamos demonstrar os itens (a), (b) e (c) do lema,
(a) AB = P DP t · P DrP t = P DDrP t = P DrDP t = P DrP t · P DP t = BA.
(b) Como o posto de uma matriz é invariante por conjugação (veja propriedade 3 do
posto, página 60), vemos que posto(A) = posto(D) e que posto(B) = posto(Dr).
Mas posto(D) = posto(Dr) pois essas duas matrizes diagonais possuem exatamente a
mesma quantidade de linhas não nulas, neste caso, isso siginifica linhas linearmente
independentes. Logo, posto(A) = posto(B).
(c) Os autovalores de A são λ1, . . . , λn e os autovalores de B são √ λ1, . . . , √ λn. Logos os
autovalores de A são todos positivos se, e somente se, os autovalores de B são todos
positivos. O resultado segue agora do teorema 5.2.
Considere agora o produto escalar usual em R n : 〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn. Se
{v1, . . . , vk} é um conjunto de k vetores em R n , a matriz de Gram desses vetores é G = (gij)
sendo gij = 〈vi, vj〉 = v t ivj. Observe que se M = [v1 · · · vk] é a matriz que tem como colunas
os vetores v1, · · · , vk então G = M t M.
Observação: Embora o próximo resultado seja um caso particular da proposição 4.1,
vamos apresentar uma demonstração mais direta para ele.
Lema 5.3. Seja G a matriz de Gram do conjunto {v1, . . . , vk} de k vetores em R n , e seja
M = [v1 · · · vk] a matriz que tem como colunas esses vetores. Então:
(a) G é semi-definida positiva. Isto implica que det(G) ≥ 0.
(b) G é singular se, e somente se, os vetores v1, · · · , vk são linearmente dependentes em
R n .
66

(c) posto(G) = posto(M) e esse número é igual a quantidade máxima de vetores linear-
mente independentes no conjunto {v1, . . . , vk}.
Demonstração. (a) Se G = (gij) e gij = 〈vi, vj〉 então G é simétrica pois 〈vi, vj〉 = 〈vj, vi〉.
Além disso, para todo vetor x = (xi) em R k ,
x t Gx =
=
k
i,j=1
k
i=1
gijxixj =
xivi ,
k
i=1
k
i,j=1
xivi
〈vi, vj〉xixj =
k
=
i=1
xivi
k
i,j=1
2
≥ 0,
〈xivi, xjvj〉 =
sendo || · || a norma usual em R k . Como x t Gx ≥ 0 concluímos que G é semi-definida
positiva.
Observação: mostramos que x t Gx = ||x1v1 + · · · + xkvk|| 2 . Como a norma de um
vetor é zero se, e somente se, o vetor em questão é nulo, vemos que x t Gx = 0 ⇔
x1v1 + · · · + xkvk = −→ 0 .
(b) Suponhamos que G seja singular. Então existe um vetor não nulo x = (xi) em R k
tal que Gx = −→ 0 . Logo temos que x t Gx = 0. Da observação acima vemos que isto
implica que x1v1 + · · · + xkvk = −→ 0 . Portanto concluímos que os vetores v1, · · · , vk são
linearmente dependentes.
Reciprocamente, suponhamos que os vetores v1, · · · , vk sejam linearmente dependentes.
Então existe um vetor não nulo x = (xi) ∈ R k tal que x1v1 +· · ·+xkvk = −→ 0 . A i-ésima
componente do vetor Gx é dada por
(Gx)i =
k
j=1
gijxj =
k
〈vi, vj〉xj = vi,
j=1
k
j=1
xjvj
= 〈vi, −→ 0 〉 = 0 .
Como i é arbitrário, concluímos que o vetor Gx tem todas as componentes nulas. Assim
Gx = −→ 0 e x não é o vetor nulo. Isto implica que G é uma matriz singular.
(c) Se Gx = −→ 0 então x t Gx = 0 ⇒ x t M t Mx = 0 ⇒ (Mx) t (Mx) = 0 ⇒ ||Mx|| 2 = 0
⇒ Mx = −→ 0 . Reciprocamente, se Mx = −→ 0 então Gx = M t (Mx) = −→ 0 . Assim,
as matrizes G e M possuem o mesmo núcleo quando olhadas como transformações
lineares G : R k → R k e M : R k → R n . Isto implica que posto(G) = posto(M). Além
67

disso, por definição, o posto-coluna de M é o número máximo de vetores linearmente
independentes no conjunto {v1, . . . , vk}.
Para a teoria que pretendemos desenvolver (estudar pontos na fronteira do espaço
hiperbólico real), precisaremos caracterizar matrizes simétricas semi-definidas positivas como
matrizes de Gram de vetores no Espaço Euclidiano R n . Os próximos três teoremas nos
fornecem esta caracterização. O último desses teoremas é o mais geral deles, pois os dois
primeiros são casos particulares do último.
Teorema 5.6. Seja A uma matriz n × n de entradas reais. Então A é uma matriz simétrica
semi-definida positiva de posto r se, e somente se, existe um conjunto {v1, . . . , vn} de n
vetores em R n , contendo exatamente r vetores linearmente independentes, tal que A é a
matriz de Gram deste conjunto de vetores, no produto escalar usual de R n .
Demonstração. Se A é a matriz de Gram de {v1, . . . , vn} então o resultado segue do lema
anterior.
Agora suponhamos que A é uma matriz simétrica semi-definida positiva de posto r. Pelo
lema 5.2, sabemos que existe uma matriz simétrica semi-definida positiva B tal que B 2 = A
e posto(B) = posto(A). Como A = B 2 = BB = B t B vemos que A é a matriz de Gram
dos vetores coluna de B, no produto escalar usual de R n . Como r = posto(A) = posto(B)
vemos que B possui exatamente r vetores coluna linearmente independentes.
Observação: No teorema anterior temos n vetores em R n , ou seja, a quantidade de vetores
é igual a dimensão do espaço Euclidiano que os contém. Entretanto, podemos aumentar essa
dimensão do seguinte modo. Sejam dados k vetores v1, . . ., vk em R n , e seja G = (〈vi, vj〉) a
matriz de Gram desses vetores no produto escalar usual de R n . Considere agora a inclusão
f : R n → R n+m dada por f(v) = (v, 0, 0, . . . , 0) que acrescenta m coordenadas iguais à zero
as coordenadas de v. Evidentemente, temos que 〈v, w〉 = 〈f(v), f(w)〉 para quaisquer vetores
em R n , em que 〈v, w〉 é o produto escalar usual de R n e 〈f(v), f(w)〉 é o produto escalar
usual de R n+m . Deste modo se G ′ = ( 〈f(vi), f(vj)〉 ) denota a matriz de Gram dos vetores
f(v1), . . ., f(vk) no produto escalar usual de R n+m então temos que G = G ′ . Portanto G
também é matriz de Gram de vetores em R n+m .
68

Desta observação e do teorema demonstra-se o seguinte teorema.
Teorema 5.7. Seja A uma matriz simétrica k × k de entradas reais e seja n um inteiro
tal que n ≥ k. Então A é uma matriz semi-definida positiva se, e somente se, existe um
conjunto {v1, . . . , vk} de k vetores em R n , tal que A é a matriz de Gram deste conjunto de
vetores, no produto escalar usual de R n .
Observação: Na observação anterior vimos que se G é matriz de Gram de um conjunto
de k vetores em R n então G também é a matriz de Gram de um conjunto de k vetores em
R n+m , para todo m > 0. Entretanto, em geral, não podemos diminuir a dimensão. Isto é,
em geral G não é a matriz de Gram de um conjunto de k vetores em Rn−m .
⎡ ⎤
Para ver isso, considere a matriz diagonal G =
λ1
⎢
⎣ 0
0
λ2
0
⎥
0 ⎥
⎦
0 0 λ3
, em que λ1, λ2 e λ3
são números positivos. Como esses são os autovalores de G temos que G é definida positiva.
Mais ainda, é claro que G é a matriz de Gram dos vetores v1 = ( √ λ1 , 0, 0), v2 = (0, √ λ2 , 0)
e v3 = (0, 0, √ λ3 ) em R 3 . Vejamos agora que G não é a matriz de Gram de vetores
w1, w2 e w3 em R 2 . De fato, se este fosse o caso, deveríamos ter 〈wi, wi〉 = λi = 0 e
〈w1, w2〉 = 〈w1, w3〉 = 〈w2, w3〉 = 0. Estas equações implicam que w1, w2 e w3 devem ser três
vetores não nulos mutuamente ortogonais em R 2 . Como isto não existe, vemos que G não
é matriz de Gram de vetores em R 2 . Evidentemente este exemplo pode ser ampliado para
matrizes semi-definidas positivas que não são positivas.
Entretanto, dependendo do posto da matriz G podemos diminuir sim a dimensão n que
aparece nos dois teoremas anteriores. Isto será demonstrado agora, e o próximo teorema é o
resultado que será utilizado no estudo de k pontos distintos na fronteira do espaço hiperbólico
real Hn R . (veja teorema 6.2)
Teorema 5.8. (a) Seja {v1, . . . , vk} um conjunto de k vetores em R n , contendo exata-
mente r vetores linearmente independentes, e seja A a matriz de Gram deste conjunto
de vetores, no produto escalar usual de R n . Então A é matriz simétrica semi-definida
positiva de posto r.
(b) Reciprocamente, seja A uma matriz k × k simétrica, semi-definida positiva e de en-
tradas reais, seja r o posto de A e seja n um inteiro tal que n ≥ r. Então existe um
69

conjunto {v1, . . . , vk} de k vetores em R n , contendo exatamente r vetores linearmente
independentes, tal que A é a matriz de Gram deste conjunto de vetores, no produto
escalar usual de R n .
(c) Nas hipóteses de (b), A não é matriz de Gram de um conjunto de k vetores em R m ,
para todo m < r.
Demonstração. (a) Seja {v1, . . . , vk} um conjunto de k vetores em R n , contendo exata-
mente r vetores linearmente independentes, e seja A a matriz de Gram deste conjunto
de vetores, no produto escalar usual de R n . O lema 5.3 implica que A é uma matriz
simétrica semi-definida positiva de posto r.
(b) Reciprocamente, seja A uma matriz simétrica k × k semi-definida positiva de posto r,
e seja n um inteiro tal que n ≥ r. Pelo teorema 5.6, existem k vetores v1, v2, . . ., vk
em R k , contendo exatamente r vetores linearmente independentes, tal que A é matriz
de Gram deste conjunto de vetores no produto escalar usual de R k . Como o conjunto
{v1, v2, . . . , vk} gera um subespaço de dimensão r de R k , aplicando uma isometria de
R k , podemos supor que estes vetores estão contidos em R r , onde estamos supondo que
R r ⊂ R k é o subconjunto dos vetores de R k que possuem as últimas k − r coordenadas
iguais a zero. Considerando isso, vemos que A é matriz de Gram de um conjunto
{v1, v2, . . . , vk} de k vetores em R r . Agora incluindo R r em R n acrescentando n − r
coordenadas iguais a zero às coordenadas dos vetores de R r , podemos considerar os
vetores v1, v2, . . ., vk como de R n . Deste modo, concluímos que A é matriz de Gram
de um conjunto {v1, v2, . . . , vk} de k vetores em R n tal que esse conjunto contém
exatamente r vetores linearmente independentes.
(c) Para terminar a demonstração, suponhamos, por redução ao absurdo, que A seja matriz
de Gram de um conjunto de k vetores em R m para algum m < r. Neste caso, o lema 5.3
implica que posto(A) ≤ m, isto é, r ≤ m. Mas como m < r, obtemos uma contradição.
Exemplo: A matriz a seguir nos mostra que as hipóteses do teorema anterior são as melhores
possíveis. Dados inteiros positivos r e k com r ≤ k, considere a seguinte matriz k × k de
posto r.
70

A =
⎡
⎢
⎣
Ir
0
0 O(k−r)×(k−r)
Esta matriz é formada por blocos, sendo um deles a matriz identidade Ir e o outro formado
pela matriz nula O(k−r)×(k−r). Para todo n ≥ r, sejam v1 = e1, v2 = e2, . . ., vr = er os
primeiros r vetores da base canônica de R n e sejam vr+1 = −→ 0 , vr+2 = −→ 0 , . . ., vk = −→ 0 . É
fácil ver que A é matriz de Gram dos vetores v1, v2, . . ., vk.
Agora sejam v1, v2, . . ., vk um conjunto de k vetores em R m , e seja G(v1, . . . , vk) a matriz
de Gram desses vetores. Para G ser igual a G(v1, . . . , vk) os vetores v1, v2, . . ., vr devem ser
ortonormais, em particular devem ser linearmente independentes em R m . Logo devemos ter
r vetores L.I. em R m . Isso implica que m ≥ r.
71
⎤
⎥
⎦

Capítulo 6
A matriz de Gram de k pontos em
∂H n R
Neste capítulo, vamos mostrar que a matriz de Gram normalizada de k pontos distintos
na fronteira do espaço hiperbólico real H n
R caracteriza unicamente esses pontos a menos de
isometrias de H n
R. Além disso, veremos como escrever as entradas desta matriz de Gram
normalizada em termos de invariantes de Korányi e Riemann, os quais definiremos mais
adiante.
Daqui em diante, com exceção do capítulo 9, vamos considerar uma base em R n+1 de
modo que a forma bilinear simétrica de assinatura (n, 1) em R n,1 se expresse da seguinte
forma:
〈V, W 〉 = v1wn+1 + v2w2 + v3w3 + · · · + vnwn + vn+1w1 . (6.1)
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
Assim, se os vetores V e W de R n,1 são escritos como V =
xn+1
x1, xn+1, y1 e yn+1 números reais, e v e w vetores em Rn−1 , então
⎢
⎣
x1
v
⎥ ⎢
⎥
⎦ e W = ⎢
⎣
y1
w
yn+1
72
⎥
⎦ , com
〈V, W 〉 = x1yn+1 + 〈〈v, w〉〉 + xn+1y1 , (6.2)
sendo 〈〈v, w〉〉 o produto escalar usual dos vetores v e w em R n−1 .

6.1 Classes de congruência de matrizes de Gram
Dois conjuntos ordenados de k pontos p = (p1, p2, . . . , pk) e q = (q1, q2, . . . , qk) na fron-
teira do espaço hiperbólico real são equivalentes se existir uma isometria f ∈ P O(n, 1) =
Isom(H n
R) tal que f(pi) = qi, ∀ i = 1, 2, · · · , k. Evidentemente essa equivalência é uma
relação de equivalência. O conjunto das classes de equivalência desta relação, munido da
topologia quociente, é chamado de espaço de configurações de k pontos em ∂H n
R e denotado
por C(k, n).
Observações:
• Se G é matriz de Gram de um conjunto ordenado de k vetores em R n,1 e
P1, P2, · · · , Pk são vetores isotrópicos, então, pelo critério de Sylvester, det(G) ≤ 0.
• Se σ é uma permutação de {1, 2, · · · , k}, então,
det G(P1, P2, · · · , Pk) = det G(Pσ(1), Pσ(2), · · · , Pσ(k)),
sendo G a matriz de Gram em cada caso. Basta ver que a permutação σ é uma
composição de transposições e uma transposição transforma a matriz G por operações
elementares.
• Sejam p1, p2, . . . , pk pontos distintos em ∂H n R e sejam P1, P2, . . . , Pk respectivos levan-
tamentos destes pontos para R n,1 . Seja G a matriz de Gram de P1, P2, . . . , Pk. Como o
grupo de isometrias de H n R
age triplamente transitivamente na fronteira, é fácil provar
que gij = 0, para todos os índices distintos i e j. Logo G é uma matriz simétrica k × k,
com números zero ao longo de toda a sua diagonal principal, e números diferentes de
zero fora da diagonal principal.
• Se P ′
i = λiPi sendo λi um número real não nulo, então as matrizes de Gram G de
P = (P1, P2, · · · , Pk) e G ′ de P ′ = (P ′ 1, P ′ 2, · · · , P ′ k ) estão relacionadas por G′ = DGD
sendo D a matriz diagonal D = (λiδij).
Definição 6.1. Duas matrizes simétricas G e G ′ k × k são equivalentes se existir uma
matriz diagonal D = (λiδij), sendo λi um número real diferente de zero, tal que G ′ = DGD.
Observe que se esse é o caso, G ′ = DGD, então det(G ′ ) = (λ1 · · · λk) 2 det(G). Desse
modo matrizes simétricas equivalentes possuem determinantes de mesmo sinal.
73

Proposição 6.1. Sejam p1, p2, · · · , pk pontos distintos em ∂H n
R. Para cada i, podemos
escolher um levantamento Pi de pi tal que a matriz de Gram de P = (P1, P2, . . . , Pk) satisfaz
as condições
Ou seja, G tem a seguinte aparência
g23 = −1 e g1j = 1, ∀ j = 2, 3, . . . k .
⎡
⎤
0 1 1 1 1 · · · 1
⎢
⎥
⎢ 1 0 −1 g24 g25 · · · g2k ⎥
⎢
⎥
⎢ 1 −1 0 g34 g35 · · ·
⎥
g3k ⎥
⎢
⎥
G = ⎢ 1 g24 g34 0 g45 · · · g4k ⎥ . (6.3)
⎢
⎥
⎢ 1 g25 g35 g45 0 · · · g5k ⎥
⎢
⎥
⎢
..
⎣ . . . . . .
⎥
. ⎦
1 g2k g3k g4k g5k . . . 0
Além disso, existe uma única matriz com essa aparência que é matriz de Gram de levanta-
mentos de p1, p2, . . . , pk.
Demonstração. Sejam P1, P2, . . . , Pk levantamentos quaisquer de p1, p2, . . . , pk. Vamos de-
terminar λj ∈ R, λj = 0, tal que se P ′ j = λjPj então
g ′ 23 = 〈P ′ 2, P ′ 3〉 = λ2λ3〈P2, P3〉 = −1 e
g ′ 1j = 〈P ′ 1, P ′ j〉 = λ1λj〈P1, Pj〉 = 1, ∀ j = 2, 3, . . . k .
Dado λ1, o qual iremos determinar a seguir, defina λj =
Se esse é o caso, então g ′ 1j = 1, ∀ j = 2, 3, . . . k.
1
para j = 2, 3, . . . , k.
λ1 〈P1, Pj〉
Agora vamos determinar λ1 para que g ′ 23 = −1. Isto ocorre se λ2λ3〈P2, P3〉 = −1. Mas,
como já determinamos λ2 e λ3 vemos que
λ2λ3〈P2, P3〉 = −1 ⇔
1 1
λ1 〈P1, P2〉 λ1 〈P1, P3〉 〈P2, P3〉 = −1 ⇔ λ 2 〈P2, P3〉
1 = −
〈P1, P2〉 〈P1, P3〉 .
Entretanto, como o grupo de isometrias de Hn R age triplamente transitivamente em
∂Hn R , no modelo do semi-espaço superior podemos considerar p1 = (0, 0, . . . , 0), p2 =
74

⎡ ⎤
⎡ ⎤
−1
⎢ √ ⎥ ⎡ ⎤
−1 ⎢
⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ 0
⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥
(1, 0, . . . , 0) e p3 = ∞. Então, P1 = ⎢ ⎥ , P2 = ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥
⎢
⎣ . ⎥ ⎢ ⎥ , P3 = ⎢ ⎥ são levantamentos
⎦ ⎢ . ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎥
⎦
0 ⎢
⎣ 0 ⎥
⎦ 1
1
〈P2, P3〉
de p1, p2, p3, 〈P1, P2〉 = −1, 〈P2, P3〉 = −1 e 〈P1, P3〉 = −1. Logo,
= −1 < 0.
〈P1, P2〉 〈P1, P3〉
Ou seja, demonstramos que se P1, P2 e P3 são levantamentos quaisquer de três pontos distintos
em ∂Hn 〈P2, P3〉
R , então
〈P1, P2〉 〈P1, P3〉 < 0. Deste modo, podemos definir λ1 como sendo o
número real
E daí, g ′ 23 = −1.
λ1 =
〈P2, P3〉
−
. (6.4)
〈P1, P2〉 〈P1, P3〉
Logo, para os valores determinados acima de λ1, · · · , λk, os levantamentos P ′ 1, . . . , P ′ k
de p1, . . . , pk são tais que a matriz de Gram de P ′ = (P ′ 1, . . . , P ′ k ) tem a aparência desejada.
A parte da unicidade segue do fato de que (a menos do sinal de λ1) os escalares
λ1, · · · , λk ficam determinados unicamente a partir de dados levantamentos de p1, . . . , pk.
Além disso, a troca do sinal de λ1 na expressão (6.4) não afeta na aparência da matriz de
Gram desejada.
Definição 6.2. Seja p = (p1, p2, . . . , pk) um conjunto ordenado de k pontos distintos em
∂Hn R . A matriz G da proposição anterior é a matriz de Gram normalizada de p.
Observação: A matriz escrita na forma (6.3), que é a matriz de Gram normalizada de um
conjunto de k pontos distintos em ∂H n R , possui todos os números gij negativos (i ≥ 2, j ≥ 4,
i < j). De fato, continuando com a notação da demonstração da proposição anterior temos
que
g ′ ij = 〈P ′
i , P ′ j〉 = λiλj〈Pi, Pj〉 =
1
λ1 〈P1, Pi〉
1
λ1 〈P1, Pj〉 〈Pi, Pj〉 = 1
λ1 2
〈Pi, Pj〉
〈P1, Pi〉 〈P1, Pj〉 .
Como P1, Pi e Pj são levantamentos de três pontos distintos em ∂Hn R , temos que
〈Pi, Pj〉
〈P1, Pi〉 〈P1, Pj〉 < 0. Isto implica então que g′ ij < 0.
75

Agora estamos prontos para demonstrar o teorema principal desta seção: a matriz
de Gram normalizada caracteriza unicamente, a menos de isometrias de Hn R , um conjunto
de k pontos distintos e ordenados em ∂Hn R . Entretanto, como este resultado é uma conseqüência
do teorema 4.6, precisamos primeiramente demonstrar que o espaço gerado por
vetores isotrópicos, dois a dois não paralelos, em R n,1 é um subespaço não-degenerado de
R n,1 . Este é o tema da próxima proposição. Na demonstração desta proposição será uti-
lizada a seguinte observação, que é um fato válido para a forma bilinear simétrica (6.2) de
assinatura (n, 1) definida em R n,1 , e que, com certeza, não é um fato válido para qualquer
forma bilinear simétrica não-degenerada em R n+1 .
Observação: Sejam P e Q vetores isotrópicos em R n,1 . Pela definição do espaço hiperbólico
real, vemos que P e Q são linearmente independentes se, e somente se, esses vetores se proje-
tam em pontos distintos p e q em ∂Hn R . Além disso, utilizando o fato do grupo de isometrias
de Hn R agir duplamente transitivamente em ∂HnR , podemos escolher vetores isotrópicos para
demonstrar que: se P e Q são vetores isotrópicos em Rn,1 então 〈P, Q〉 = 0 se, e somente se,
P e Q são linearmente dependentes, ou seja, existe λ ∈ R tal que P = λ Q.
Proposição 6.2. Sejam p1, p2, . . . , pk pontos distintos em ∂H n R e sejam P1, P2, . . . , Pk
respectivos levantamentos destes pontos para vetores isotrópicos em R n,1 . Neste caso, o
espaço gerado pelos vetores P1, P2, . . . , Pk é um subespaço não-degenerado de R n,1 .
Demonstração. Como observado acima, para todos os índices distintos i e j, como pi = pj,
vemos que os vetores Pi e Pj são linearmente independentes, e isto implica que 〈Pi, Pj〉 = 0.
Seja W = span{P1, . . . , Pk} o espaço gerado pelos vetores P1, . . . , Pk. Devemos mostrar que
se w0 ∈ W é tal que 〈w0, x〉 = 0 para todo x ∈ W , então w0 = 0. Observe que para isto
é suficiente mostrar que se w0 ∈ W é tal que 〈w0, Pi〉 = 0 para todo i = 1, 2, . . . , k, então
w0 = 0.
Então seja w0 = α1P1 + · · · + αkPk um vetor em W tal que 〈w0, Pi〉 = 0 para todo i =
1, 2, . . . , k. Como
〈w0, w0〉 = 〈w0, α1P1 + · · · + αkPk〉 =
76
k
αi 〈w0, Pi〉 = 0
i=1

vemos que w0 é um vetor nulo. Além disso, w0 é vetor nulo tal que 〈w0, P1〉 = 0, sendo P1 um
vetor isotrópico. Da observação anterior podemos concluir daí que w0 e P1 são linearmente
dependentes e que existe λ ∈ R tal que w0 = λ P1. Por outro lado, temos que 〈w0, P2〉 = 0 ⇒
〈λ P1, P2〉 = 0 ⇒ λ〈P1, P2〉 = 0. Mas, como 〈P1, P2〉 = 0 por hipótese, a igualdade anterior
implica que λ = 0, ou seja w0 = 0, como queríamos demonstrar.
Agora sim estamos prontos para demonstrar o teorema principal desta seção.
Teorema 6.1. Dois conjuntos ordenados de k pontos distintos p = (p1, p2, . . . , pk) e
q = (q1, q2, . . . , qk) em ∂Hn R são equivalentes se, e somente se, suas respectivas matrizes
de Gram normalizadas são iguais.
Demonstração. Suponhamos que p = (p1, p2, . . . , pk) e q = (q1, q2, . . . , qk) são dois conjuntos
ordenados equivalente de k pontos distintos em ∂Hn R . Seja f uma isometria de Hn R tal que
f(pi) = qi para todo i. Como Isom(Hn R ) = PO(n, 1), sabemos que f pode ser representada
por uma transformação linear ortogonal T ∈ O(n, 1). Sejam P1, P2, . . . , Pk levantamentos de
p1, p2, . . . , pk tal que a matriz de Gram G de P1, P2, . . . , Pk é a matriz de Gram normalizada
de p1, p2, . . . , pk. Para cada i, defina Qi = T (Pi). Como T é levantamento de f, temos que
Qi é levantamento de qi. Além disso, como T é isometria de R n,1 , T evidentemente preserva
a forma bilinear simétrica de R n,1 , e isto implica que a matriz de Gram de Q1, Q2, . . . , Qk
é igual a matriz G. Portanto, essa matriz também tem a forma de uma matriz de Gram
normalizada. Assim provamos que p = (p1, p2, . . . , pk) e q = (q1, q2, . . . , qk) possuem as
mesmas matrizes de Gram normalizadas.
Reciprocamente, suponhamos que p = (p1, p2, . . . , pk) e q = (q1, q2, . . . , qk) são dois con-
juntos ordenados de pontos distintos em ∂H n R
que possuem as mesmas matrizes de Gram
normalizadas. Para cada i, seja Pi levantamento de pi tal que que a matriz de Gram
normalizada de p = (p1, p2, . . . , pk) é a matriz de Gram G(P1, P2, . . . , Pk). Analogamente,
para cada i, seja Qi levantamento de qi tal que que a matriz de Gram normalizada de
q = (q1, q2, . . . , qk) é a matriz de Gram G(Q1, Q2, . . . , Qk).
Sejam W = span{P1, P2, . . . , Pk} e W ′ = span{Q1, Q2, . . . , Qk}. Pela proposição anterior,
temos que W e W ′ são subespaços não-degenerados de R n,1 . Além disso, como a matriz de
77

Gram de P1, P2, . . . , Pk é igual a matriz de Gram de Q1, Q2, . . . , Qk, o teorema 4.6 implica que
existe uma isometria T de R n,1 tal que T (Pi) = Qi para todo i. Como o grupo de isometrias
de Rn,1 é o grupo O(n, 1), e como Isom(Hn R ) = PO(n, 1), vemos que esta aplicação T induz
uma isometria f de H n R tal que f(pi) = qi para todo i.
Embora o próximo corolário não seja utilizado nesta dissertação, vale a pena deixá-lo
registrado aqui. Ele é uma conseqüência imediata do teorema anterior e da definição de
matrizes simétricas equivalentes.
Corolario 6.1. Dois conjuntos ordenados de k pontos distintos p = (p1, p2, . . . , pk) e
q = (q1, q2, . . . , qk) em ∂Hn R são equivalente se, e somente se, a matriz de Gram de quaisquer
levantamentos de p1, p2, . . . , pk é equivalente a matriz de Gram de quaisquer levantamentos
de q1, q2, . . . , qk.
6.2 Caracterização de matrizes simétricas que são ma-
trizes de Gram
Nesta seção vamos caracterizar quando uma matriz simétrica da forma (6.3) e de en-
tradas reais é a matriz de Gram normalizada de um conjunto de k pontos distintos em
∂H n R .
Lema 6.1. Seja G = (gij) uma matriz simétrica k × k de entradas reais e que tem a forma
(6.3). Isto é,
• g23 = −1 .
• gii = 0 .
• g1j = 1 para todo j = 2, 3, . . . , k .
Então, via operações elementares nas linhas e nas colunas de G, esta pode ser transformada
na matriz de blocos
G ′ =
⎡
⎢
⎣
0 1 0
1 0 0
0 0 G
78
⎤
⎥
⎦

sendo G a seguinte matriz simétrica (k − 2) × (k − 2)
G =
⎡
2
⎢
1 − g24 + g34
⎢ 1 − g25 + g35
⎢
⎣ .
1 − g24 + g34
−2g24
−g25 − g24 + g45
.
1 − g25 + g35
−g25 − g24 + g45
−2g25
.
· · ·
· · ·
· · ·
. ..
⎤
1 − g2k + g3k
⎥
−g2k − g24 + g4k ⎥
−g2k − g25 + g5k ⎥
.
⎥
⎦
1 − g2k + g3k −g2k − g24 + g4k −g2k − g25 + g5k · · · −2g2k
Demonstração. Basta utilizar as operações elementares
(1) Lj ← Lj − L2 .
(2) Cj ← Cj − C2 .
(3) Lj ← Lj − g2j L1 .
(4) Cj ← Cj − g2j C1 .
para j = 3, 4, . . . , k. Observe que, sendo G simétrica, os pares (1)-(2) e (3)-(4) de operações
elementares em linhas e colunas garantem que G é simétrica.
Definição 6.3. A matriz simétrica G do lema anterior é a matriz associada da matriz
simétrica G.
Observação: Seja I = {i1, i2, . . . , im} uma coleção de índices distintos contidos em
{1, 2, . . . , k − 2}, e seja GI o menor principal de G constituído das linhas e das colunas
de G cujos índices estão em I. Seja G12,I o menor principal de G constituído das suas linhas
e colunas 1, 2, i1 + 2, i2 + 2, . . . , im + 2, e seja G ′ 12,I o correspondente menor principal de G′ .
Analisando as operações elementares que foram utilizadas na demonstração do lema anterior,
vemos que det(G12,I) = det(G ′ 12,I ). Como G′ é uma matriz de blocos, temos então que
det(G12,I) = det(G ′ 12,I) = det
0 1
1 0
· det( GI) = − det( GI) . (6.5)
Agora podemos enunciar e demonstrar o teorema de caracterização de matrizes
simétricas da forma (6.3) e de entradas reais que são matrizes de Gram normalizadas de
um conjunto de k pontos distintos em ∂H n R . Aqui vale a pena relembrar que se G = (gij) é
79

a matriz de Gram normalizada de um conjunto de k pontos distintos de ∂H n R
então, como
observado na página 75, temos que todos os termos indicados por gij na matriz (6.3) são
negativos. Isto é, gij < 0 para i ≥ 2, j ≥ 4 e i < j.
Observação: Na demonstração do teorema a seguir, mostraremos que G é matriz de Gram
de um conjunto de k − 2 vetores em R n−1 munido com o seu produto escalar usual. Pelo
teorema 5.8, sabemos que isso é verdade se, e somente se, G é semi-definida positiva e
posto( G) ≤ n − 1. Mas, como queremos condições sobre G e não sobre G, precisamos
traduzir a desigualdade posto( G) ≤ n − 1 para uma desigualdade que envolva G e não G.
Pelo teorema 5.1, temos que posto( G) ≤ n−1 ⇔ det( GI) = 0 ∀I ⊂ {1, 2, · · · , k −2}, |I| ≥ n.
De (6.5), temos que det( GI) = − det(G12,I). Assim, vemos que
posto( G) ≤ n − 1 ⇔ det(G12,I) = 0 ∀ I ⊂ {1, 2 · · · , k − 2}, |I| ≥ n. (6.6)
Daí, concluímos então que G é matriz de Gram de um conjunto de k−2 vetores em R n−1
se, e somente se, G é semi-definida positiva e det(G12,I) = 0 ∀ I ⊂ {1, 2, · · · , k−2}, |I| ≥ n.
Como se vê a seguir, essas são as hipóteses do teorema que vamos demonstrar.
Teorema 6.2. (a) Se G é a matriz de Gram normalizada de um conjunto de k ≥ 4 pontos
distintos em ∂H n R , então G tem a forma (6.3), gij < 0 (i ≥ 2, j ≥ 4 e i < j), sua
matriz associada G é semi-definida positiva e det(G12,I) = 0 ∀I ⊂ {1, 2, · · · , k − 2} se
|I| ≥ n.
(b) Reciprocamente, seja G = (gij) uma matriz k × k (k ≥ 4) de entradas reais da forma
(6.3), com gij < 0 (i ≥ 2, j ≥ 4 e i < j). Se n é um inteiro positivo tal que
det(G12,I) = 0 ∀I ⊂ {1, 2, · · · , k −2} se |I| ≥ n e a matriz associada G é semi-definida
positiva, então G é a matriz de Gram normalizada de um conjunto de k pontos distintos
em ∂H n R .
(c) Se uma matriz G da forma (6.3) tem posto r, então G não é a matriz de Gram
normalizada de um conjunto de k pontos distintos em ∂H m R
m − 1 < r − 2.
para todo m tal que
Demonstração. (a) Suponhamos que G seja matriz de Gram normalizada de um conjunto
de k pontos distintos {p1, p2, . . . , pk} em ∂H n R . Seja G a matriz associada de G. De
acordo com o teorema 5.5, para mostrar que G é semi-definida positiva basta mostrar-
mos que todos os menores principais de G possuem determinantes não negativos. Então
80

seja I = {i1, i2, . . . , im} uma coleção de índices distintos contidos em {1, 2, . . . , k −2}, e
seja GI o menor principal de G constituído das linhas e das colunas de G cujos índices
estão em I. Pela equação (6.5) temos que det( GI) = − det(G12,I), sendo G12,I o
menor principal de G constituido das suas linhas e colunas 1, 2, i1 +2, i2 +2, . . . , im +2.
Como G12,I é a matriz de Gram de levantamentos de p1, p2, pi1+2, pi2+2, . . ., pim+2,
pela observação da página 73, sabemos que isto implica que det(G12,I) ≤ 0. Logo
concluímos que det( GI) = − det(G12,I) ≥ 0. Portanto todos os menores principais
de G possuem determinante não negativo e, pelo teorema 5.5, concluímos que G é
semi-definida positiva.
Agora só falta mostrar que det(G12,I) = 0 ∀I ⊂ {1, 2, · · · , k − 2}, |I| ≥ n. Para
demonstrar isso, como o grupo de isometrias de H n R
age triplamente transitivamente
na fronteira, podemos supor que p1, p2, . . . , pk são tais que seus levantamentos são os
seguintes vetores nulos de R n,1
P1 =
⎡ ⎤
1
⎢ ⎥
⎢
⎣0⎥
⎦
0
, P2
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
= ⎢
⎣0⎥
⎦
1
, P3
⎡ ⎤
x3
⎢ ⎥
= ⎢
⎣v3
⎥
⎦
1
, P4
⎡ ⎤
x4
⎢ ⎥
= ⎢
⎣v4
⎥
⎦
1
, P5
⎡ ⎤
x5
⎢ ⎥
= ⎢
⎣v5
⎥
⎦
1
, . . . , Pk
⎡ ⎤
xk
⎢ ⎥
= ⎢
⎣vk
⎥
⎦
1
,
onde estamos considerando xj ∈ R, vj ∈ R n−1 , x3 = −1 e v3 = √ 2e1 onde e1 é o
primeiro vetor da base canônica de R n−1 . Da expressão (6.2) do produto 〈·, ·〉 em R n,1 ,
vemos que a matriz de Gram desses vetores é
⎡
⎤
0 1 1 1 1 · · · 1
⎢
⎥
⎢ 1 0 x3 x4 x5 · · · xk ⎥
⎢
⎥
⎢ 1 x3 2x3 + v33 x3 + v34 + x4 x3 + v35 + x5 · · · x3 + v3k +
⎥
xk ⎥
⎢
⎥
G = ⎢ 1 x4 x3 + v34 + x4 2x4 + v44 x4 + v45 + x5 · · · x4 + v4k + xk ⎥
⎢
⎥
⎢ 1 x5 x3 + v35 + x5 x4 + v45 + x5 2x5 + v55 · · · x5 + v5k + xk ⎥
⎢
⎥
⎢
.
⎣ . . .
.
. ..
⎥
. ⎦
1 xk x3 + v3k + xk x4 + v4k + xk x5 + v5k + xk . . . 2xk + vkk
sendo vij = 〈〈vi, vj〉〉 o produto escalar usual dos vetores vi e vj de R n−1 .
Escrevendo as entradas desta matriz G como gij, lembrando que P1, P2, . . . , Pk são
vetores nulos, obtemos as seguintes relações:
81

⎧
⎪⎨
⎪⎩
xj = g2j
2xj + vjj = 0
xj + vjl + xl = gjl
Substituindo xj = g2j nas relações 2xj + vjj = 0 e xj + vjl + xl = gjl, obtemos as
igualdades
vjj = −2g2j
vjl = −g2j − g2l + gjl
Lembrando que x3 = g23 = −1, essas igualdades implicam que a matriz de Gram dos
vetores v3 = √ 2e1, v4, . . ., vk no produto escalar usual de R n−1 é exatamente a matriz
G:
⎡
2
⎢
1 − g24 + g34
G
⎢
= ⎢ 1 − g25 + g35
⎢
⎣ .
1 − g24 + g34
−2g24
−g25 − g24 + g45
.
1 − g25 + g35
−g25 − g24 + g45
−2g25
.
· · ·
· · ·
· · ·
. ..
⎤
1 − g2k + g3k
⎥
−g2k − g24 + g4k ⎥
−g2k − g25 + g5k ⎥
.
⎥
⎦
1 − g2k + g3k −g2k − g24 + g4k −g2k − g25 + g5k · · · −2g2k
Aplicando o lema 5.3 concluímos, de uma outra maneira, que a matriz G é semi-definida
positiva. Além disso, como G é matriz de Gram de um conjunto de k − 2 vetores em
R n−1 , a observação da página 80 implica que det(G12,I) = 0, ∀I ⊂ {1, 2, · · · , k −
2}, |I| ≥ n, como queríamos.
(b) Seja G = (gij) uma matriz k × k (k ≥ 4) de entradas reais da forma (6.3). Suponha
que n é um inteiro positivo tal que det(G12,I) = 0, ∀I ⊂ {1, 2, · · · , k − 2}, |I| ≥ n, e
que a matriz associada G é semi-definida positiva. Devemos mostrar que, neste caso,
G é a matriz de Gram normalizada de um conjunto de k pontos distintos em ∂H n R .
Isto é, devemos mostrar que existem k vetores nulos P1, P2, . . ., Pk tal que a matriz
de Gram G(P1, P2, . . . , Pk) desses vetores seja igual a G. Como o grupo de isometrias
de H n R
nulos são
age duplamente transitivamente na fronteira podemos supor que esses vetores
82

P1 =
⎡ ⎤
1
⎢ ⎥
⎢
⎣0⎥
⎦
0
, P2
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
= ⎢
⎣0⎥
⎦
1
, P3
⎡ ⎤
x3
⎢ ⎥
= ⎢
⎣v3
⎥
⎦
1
, P4
⎡ ⎤
x4
⎢ ⎥
= ⎢
⎣v4
⎥
⎦
1
, P5
⎡ ⎤
x5
⎢ ⎥
= ⎢
⎣v5
⎥
⎦
1
, . . . , Pk
⎡ ⎤
xk
⎢ ⎥
= ⎢
⎣vk
⎥
⎦
1
,
onde estamos considerando xj ∈ R e vj ∈ R n−1 . Da expressão (6.2) do produto 〈·, ·〉
em R n,1 , vemos que a matriz de Gram desses vetores é
G(P1, . . . , Pk) =
⎡
⎤
0 1 1 1 1 · · · 1
⎢
⎥
⎢ 1 0 x3 x4 x5 · · · xk ⎥
⎢
⎥
⎢ 1 x3 2x3 + v33 x3 + v34 + x4 x3 + v35 + x5 · · · x3 + v3k +
⎥
xk ⎥
⎢
⎥
= ⎢ 1 x4 x3 + v34 + x4 2x4 + v44 x4 + v45 + x5 · · · x4 + v4k + xk ⎥
⎢
⎥
⎢ 1 x5 x3 + v35 + x5 x4 + v45 + x5 2x5 + v55 · · · x5 + v5k + xk ⎥
⎢
⎥
⎢
.
⎣ . . .
.
. ..
⎥
. ⎦
1 xk x3 + v3k + xk x4 + v4k + xk x5 + v5k + xk . . . 2xk + vkk
sendo vij = 〈〈vi, vj〉〉 o produto escalar usual dos vetores vi e vj de R n−1 .
Para G ser igual a G(P1, . . . , Pk) devemos ter
⎧
⎪⎨
⎪⎩
xj = g2j
2xj + vjj = 0
xj + vjl + xl = gjl
Observe que, dada a matriz G = (gij), da primeira destas equações, obtemos que
xj = g2j, para j = 3, 4, . . . , k. Assim, para a determinação completa dos vetores P1,
P2, . . ., Pk falta o cálculo dos vetores vj em termos das entradas de G. Para efetuar
isso, substitua xj = g2j nas duas últimas equações do sistema linear acima. Neste caso,
estas equações tomam a forma
vjj = −2g2j
vjl = −g2j − g2l + gjl
83

Lembrando que g23 = −1, essas equações implicam que a matriz de Gram dos vetores
procurados v3, v4, . . ., vk no produto escalar usual de R n−1 deve ser exatamente a
matriz G:
⎡
2
⎢
1 − g24 + g34
G
⎢
= ⎢ 1 − g25 + g35
⎢
⎣ .
1 − g24 + g34
−2g24
−g25 − g24 + g45
.
1 − g25 + g35
−g25 − g24 + g45
−2g25
.
· · ·
· · ·
· · ·
. ..
⎤
1 − g2k + g3k
⎥
−g2k − g24 + g4k ⎥
−g2k − g25 + g5k ⎥
.
⎥
⎦
1 − g2k + g3k −g2k − g24 + g4k −g2k − g25 + g5k · · · −2g2k
Mas como G é uma matriz (k − 2) × (k − 2) simétrica semi-definida positiva e, por
hipótese, a equação (6.6) implica que posto( G) ≤ n − 1, o teorema 5.8 implica que
existem vetores v3, v4, . . ., vk em R n−1 tais que a matriz de Gram desses vetores, no
produto escalar usual de R n−1 , é exatamente a matriz G.
Como já havíamos calculados os valores de x3, · · · , xk e agora provamos a existência
de vetores v3, · · · , vk (tudo isso em termos das entradas das matriz G) demonstramos
que existem vetores nulos P1, . . ., Pk tais que G é a matriz de Gram dos pontos p1,
. . ., pk de ∂H n R definidos por esses vetores nulos. Finalmente, como gij = 0 para i = j,
vemos que os pontos p1, . . ., pk são dois a dois distintos.
(c) Suponhamos, por redução ao absurdo, que uma matriz G da forma (6.3) e de posto
r seja matriz de Gram normalizada de um conjunto de k pontos em ∂H m R
sendo que
m − 1 < r − 2. Analisando a prova da parte (a), isso implica que G é matriz de Gram
de um conjunto de k − 2 vetores em R m−1 , no produto escalar usual de R m−1 . Como
posto( G) = r − 2, o teorema 5.8 implica que m − 1 ≥ r − 2. Da hipótese m − 1 < r − 2,
obtemos então uma contradição.
Utilizando o teorema 5.5, que nos diz que uma matriz é semi-definida positiva se, e
somente se, o determinante de todos os seus menores principais são não negativos, podemos
reescrever o teorema anterior do seguinte modo. Observamos que no teorema a seguir, dado
84

um subconjunto I de índices i1 < i2 < · · · < il em {4, 5, . . . , k} a notação G123,I indica a
submatriz menor principal de G constituida das linhas e das colunas de G de índices iguais
a 1, 2, 3, i1, i2, . . ., il.
Teorema 6.3. (a) Se G é a matriz de Gram normalizada de um conjunto de k ≥ 4
pontos distintos em ∂H n R , então G tem a forma (6.3), gij < 0 (i ≥ 2, j ≥ 4 e
i < j), det(G12,I) = 0 ∀I ⊂ {3, 4, · · · , k}, |I| ≥ n, e det(G123,J) ≤ 0 para todo
J ⊂ {4, 5, . . . , k}.
(b) Reciprocamente, seja G = (gij) uma matriz k × k (k ≥ 4) de entradas reais da forma
(6.3) com gij < 0 (i ≥ 2, j ≥ 4 e i < j). Seja n é um inteiro positivo tal que
det(G12,I) = 0 ∀I ⊂ {3, 4, · · · , k}, |I| ≥ n. Se para todo subconjunto J ⊂ {4, 5, . . . , k}
temos det(G123,J) ≤ 0, então G é a matriz de Gram normalizada de um conjunto de k
pontos distintos em ∂H n R .
Vamos considerar agora o caso particular n = 3. Isto é, vamos caracterizar as ma-
trizes de Gram normalizadas de um conjunto de k ≥ 4 pontos distintos em ∂H3 R . As duas
afirmações do teorema anterior podem ser escritas do seguinte modo:
Teorema 6.4. (a) Seja G a matriz de Gram normalizada de um conjunto de k ≥ 4 pontos
distintos em ∂H 3 R . Então det(G12,I) = 0, ∀I ⊂ {3, 4, · · · , k}, |I| ≥ 3, gij < 0 (i ≥ 2,
j ≥ 4 e i < j) e det(G123,J) ≤ 0 para todo J ⊂ {4, 5, . . . , k}.
(b) Reciprocamente, seja G = (gij) uma matriz k × k (k ≥ 4) da forma (6.3) e de entradas
reais. Suponhamos que det(G12,I) = 0, ∀I ⊂ {3, 4, · · · , k}, |I| ≥ 3 e que gij < 0 (i ≥ 2,
j ≥ 4 e i < j). Se para todo subconjunto J ⊂ {4, 5, . . . , k} temos det(G123,J) ≤ 0,
então G é a matriz de Gram normalizada de um conjunto de k pontos distintos em
∂H 3 R .
6.3 O invariante de Korányi-Riemann
Sejam p1, p2, p3 e p4 quatro pontos distintos na fronteira do espaço hiperbólico real
∂H n R . O invariante de Korányi e Riemann desses pontos é o número real χ(p1, p2, p3, p4)
definido por:
χ(p1, p2, p3, p4) = 〈P1, P3〉〈P2, P4〉
〈P1, P2〉〈P3, P4〉
85

sendo P1, P2, P3 e P4 vetores nulos em R n,1 que se projetam, respectivamente em p1, p2, p3
e p4.
Observe que χ está bem definido pois não depende da escolha dos levantamentos de
p1, p2, p3 e p4 e, como Isom(H n R ) = PO(n, 1), se f é uma isometria de Hn R então
χ(f(p1), f(p2), f(p3), f(p4)) = χ(p1, p2, p3, p4) .
Como o grupo de isometrias de H n R age triplamente transitivamente na fronteira ∂Hn R ,
escolhendo adequadamente p1, p2 e p3 podemos provar que χ(p1, p2, p3, p4) > 0 para quaisquer
quatro pontos distintos p1, p2, p3 e p4 de ∂H n R .
Simetrias do invariante de Korányi-Riemann
sejam
Dado um conjunto ordenado p = (p1, p2, p3, p4) de quatro pontos distintos de ∂H n R ,
χ1 = χ1(p) = χ(p1, p2, p3, p4)
χ2 = χ2(p) = χ(p2, p1, p3, p4)
Efetuando algumas contas simples, prova-se que o invariante de Korányi-Riemann de
qualquer permutação de p1, p2, p3 e p4 pode ser escrito em termos que χ1 e χ2, conforme a
lista a seguir:
χ(p1, p2, p3, p4) = χ(p4, p3, p2, p1) = χ(p2, p1, p4, p3) = χ(p3, p4, p1, p2) = χ1
χ(p2, p1, p3, p4) = χ(p4, p3, p1, p2) = χ(p1, p2, p4, p3) = χ(p3, p4, p2, p1) = χ2
χ(p1, p3, p2, p4) = χ(p4, p2, p3, p1) = χ(p3, p1, p4, p2) = χ(p2, p4, p1, p3) = 1
χ1
χ(p1, p4, p2, p3) = χ(p3, p2, p4, p1) = χ(p4, p1, p3, p2) = χ(p2, p3, p1, p4) = 1
χ(p1, p4, p3, p2) = χ(p2, p3, p4, p1) = χ(p4, p1, p2, p3) = χ(p3, p2, p1, p4) = χ1
χ(p1, p3, p4, p2) = χ(p2, p4, p3, p1) = χ(p3, p1, p2, p4) = χ(p4, p2, p1, p3) = χ2
86
χ2
χ2
χ1

6.4 Matrizes de Gram e o invariante de Korányi-Riemann
Neste capítulo vimos que a matriz de Gram normalizada determina a classe de con-
gruência de uma k-upla de pontos distintos em ∂H n R . Entretanto, como um ponto em ∂Hn R
possui vários levantamentos, como as entradas de uma matriz de Gram dependem da es-
colha dos levantamentos, e como para o cálculo da matriz de Gram normalizada fazemos
uma escolha bastante especial de levantamentos, é interessante formular a classificação de
classes de equivalência de k-upla de pontos distintos em ∂H n R
numa linguagem que utilize
invariantes do espaço hiperbólico. Nesta seção, veremos como determinar as entradas da
matriz de Gram normalizada em termos de invariantes de Korányi-Riemann. Feito isto,
teremos uma lista de invariantes associada a uma k-upla de pontos distintos em ∂H n R que
terão a seguinte propriedade: duas dessas k-uplas serão equivalentes se, e somente se, esses
invariantes forem iguais para estes dois conjuntos de pontos.
Proposição 6.3. Seja G = (gij) a matriz de Gram normalizada de um conjunto de k ≥ 4
pontos distintos p1, p2, . . . , pk em ∂Hn R . Então para todos os índices i e j tais que i =
3, 4, . . . , k , j = 4, 5, . . . , k e i < j temos que
(a) χ(p1, pj, p3, p2) = −g2j .
(b) χ(p2, pi, p1, pj) = gij
Reciprocamente,
g2i
(A) g2j = −χ(p1, pj, p3, p2).
(B) gij = −χ(p1, pi, p3, p2) χ(p2, pi, p1, pj) .
.
Demonstração. Sejam P1, P2, . . . , Pk levantamentos de p1, p2, . . . , pk tais que a matriz de
Gram normalizada G é dada por G = ( gij = 〈Pi, Pj〉 ). Pela definição do invariante de
Korányi-Riemann temos:
(a) χ(p1, pj, p3, p2) = g13 gj2
g1j g32
(b) χ(p2, pi, p1, pj) = g21 gij
g2i g1j
= −g2j .
= gij
g2i
.
87

Os itens (A) e (B) seguem imediatamente dos itens (a) e (b).
Observação: Como o invariante de Korányi-Riemman de quatro pontos distintos de ∂H n R
sempre é um número positivo, as igualdades (A) e (B) da proposição anterior implicam que
todos os termos indicados por gij (i ≥ 2, j ≥ 4 e i < j) na matriz (6.3), são números
negativos. Isto já havia sido concluído na observação da página 75.
Utilizando o teorema 6.1, que nos diz que duas k-uplas de pontos distintos em ∂H n R
são equivalentes se, e somente se, elas possuem a mesma matriz de Gram normalizada, e
utilizando a proposição anterior que permite o cálculo das entradas da Matriz de Gram
normalizada em termos de invariantes de Korányi-Riemann, podemos concluir o seguinte
resultado.
Teorema 6.5. Se k ≥ 4, então duas k-uplas ordenadas p = (p1, p2, . . . , pk) e q = (q1, q2, . . . , qk)
de pontos distintos em ∂H n R
são equivalentes se, e somente se
χ(p1, pj, p3, p2) = χ(q1, qj, q3, q2) e χ(p2, pi, p1, pj) = χ(q2, qi, q1, qj)
para todos os índices i e j tais que i = 3, 4, . . . , k , j = 4, 5, . . . , k e i < j.
Observação: Dada uma k-upla ordenada p = (p1, p2, . . . , pk) de pontos distintos em ∂H n R ,
associamos a ela d =
k(k − 3)
2
invariantes:
χj = χ(p1, pj, p3, p2) e χij = χ(p2, pi, p1, pj)
k(k − 3)
onde i = 3, 4, . . . , k , j = 4, 5, . . . , k e i < j. Observe que esta quantidade d = de
2
invariantes é igual a quantidade de entradas representadas pelas letras gij (i ≥ 2, j ≥ 4, i <
j) na matriz de Gram normalizada (6.3).
88

6.5 O espaço de Módulos para C(k, n)
Lembre-se da seguinte definição: dois conjuntos ordenados de k ≥ 4 pontos p =
(p1, p2, . . . , pk) e q = (q1, q2, . . . , qk) na fronteira do espaço hiperbólico real são equivalentes
se existir uma isometria f ∈ PO(n, 1) = Isom(H n R ) tal que f(pi) = qi, ∀i = 1, 2, . . . , k.
Evidentemente essa equivalência é uma relação de equivalência. O conjunto das classes de
equivalência desta relação, munido da topologia quociente, é chamado de espaço de con-
figurações de k pontos em ∂Hn R . Este espaço de configurações é denotado por C(k, n).
Nesta seção vamos construir um espaço de Módulos M(k, n) para este
espaço de configurações. Seja M(k, n) o conjunto dos vetores (χj, χij) de R d +
(i = 3, 4, . . . , k , j = 4, 5, . . . , k e i < j) que satisfazem as seguintes relações: construa a
matriz simétria G = (gij), que tem a forma (6.3), sendo suas entradas dadas pela proposição
6.3:
• g1j = 1 para todo j = 2, 3, . . . , k .
• g23 = −1 .
• gii = 0 .
• g2j = −χj se j = 4, 5, . . . , k.
• gij = −χi χij se i = 3, 4, . . . , k , j = 4, 5, . . . , k e i < j.
Observação: como χj só está definido para j = 4, 5, . . . , k, para a última igualdade da lista
acima fazer sentido para i = 3 considere que χ3 = 1.
Assuma que os d =
hipóteses do teorema 6.3:
k(k − 3)
2
(1) det(G12,I) = 0, ∀I ⊂ {3, 4, · · · , k}, tal que|I| ≥ n.
número χj e χij sejam tais que a matriz G satisfaça as
(2) Para todo subconjunto I ⊂ {4, 5, . . . , k} temos det(G123,I) ≤ 0.
Dada uma k-upla ordenada p = (p1, p2, . . . , pk) de pontos distintos em ∂Hn R , represente
por m(p) ∈ C(k, n) a classe de equivalência de p em C(k, n). Agora defina a aplicação
τ : C(k, n) −→ R d +
89

por τ(m(p)) = (χj, χij), sendo (χj, χij) o vetor de R d + (i = 3, 4, . . . , k , j = 4, 5, . . . , k e i < j)
cujas coordenadas χj e χij são dadas pela observação da página 88:
χj = χ(p1, pj, p3, p2) e χij = χ(p2, pi, p1, pj)
Feitas estas definições, podemos enunciar o teorema principal deste capítulo.
Teorema 6.6. A aplicação τ : C(k, n) −→ R d + está bem definida e ela induz uma bijeção
σ : C(k, n) −→ M(k, n).
Demonstração.
• A aplicação τ está bem definida pois o invariante de Korányi-Riemann é preservado por
isometrias do espaço hiperbólico. Logo, a definição de τ(m(p)) independe da escolha
do representante p = (p1, p2, . . . , pk) em m(p).
• O teorema 6.3 implica que realmente σ(m(p)) é um ponto no conjunto M(k, n).
• Este mesmo teorema garante que a aplicação σ é sobrejetiva.
• O teorema 6.5 implica que σ é injetiva.
O conjunto M(k, n) é um espaço de módulos para o espaço de configurações C(k, n).
90

Capítulo 7
Quatro pontos distintos na fronteira
de H 3 R
Nesta seção vamos considerar o conjunto M4 de quádruplas ordenadas de pontos distin-
tos na fronteira do espaço hiperbólico real H3 R . Vamos ver que cada uma dessas quádruplas
fica bem caracterizada, a menos de transformações de Möbius, pela razão cruzada clássica
dos pontos, e que elas ficam caracterizadas a menos de qualquer isometria de H 3 R
91
por dois
invariantes de Korányi-Riemann dos quatro pontos. Nosso objetivo é caracterizar o espaço
de configurações
C4 =
M4
Isom(H 3 R )
obtido pela relação de quivalência: se z = (z1, z2, z3, z4) e w = (w1, w2, w3, w4) são pontos
em M4 então z é equivalente a w se existir uma isometria f de H 3 R tal que f(zj) = wj
para j = 1, 2, 3, 4. Em M4 consideramos a topologia produto e em C4 a topologia quociente.
Representaremos a classe de equivalência de um ponto z = (z1, z2, z3, z4) ∈ M4 por 〈z〉 ∈ C4.
7.1 A razão cruzada clássica em C
Sejam dados quatro pontos distintos z1, z2, z3 e z4 no plano complexo estendido C.
Utilizando a mesma nomencladutra do livro do Beardon [1], página 75, a razão cruzada
desses pontos é o número complexo [z1, z2, z3, z4] definido por:
[z1, z2, z3, z4] = (z1 − z3)(z2 − z4)
(z1 − z2)(z3 − z4) , se z1, z2, z3, z4 ∈ C
[∞, z2, z3, z4] = z2 − z4
, se z1 = ∞
z3 − z4

Observações:
[z1, ∞, z3, z4] = z3 − z1
, se z2 = ∞
z3 − z4
[z1, z2, ∞, z4] = z4 − z2
, se z3 = ∞
z1 − z2
[z1, z2, z3, ∞] = z1 − z3
, se z4 = ∞
z1 − z2
• Para todo z ∈ C tal que z = 0 e z = 1 tem-se que
[1, 0, ∞, z] = z .
• Dados três pontos distintos z1, z2 e z3 em C, se f : C → C é definida por
f(z) = [z1, z2, z3, z] ,
então f é o único elemento de PSL(2, C), ou seja, o conjunto de todas as transformações
de Möbius, tal que f(z1) = 1, f(z2) = 0 e f(z3) = ∞.
• Das expressões que definem a razão cruzada clássica segue que
para qualquer z = (z1, z2, z3, z4) ∈ M4.
Simetrias da razão cruzada
[z1, z2, z3, z4] = 0 e [z1, z2, z3, z4] = 1
Dado um conjunto ordenado (z1, z2, z3, z4) de quatro pontos distintos no plano complexo
estendido, seja
λ = [z1, z2, z3, z4] .
Efetuando algumas contas simples (ver Beardon [1], páginas 76-77), prova-se que a
razão cruzada de qualquer permutação de z1, z2, z3 e z4 pode ser escrita em termos que λ,
conforme a seguinte lista:
[z1, z2, z3, z4] = [z4, z3, z2, z1] = [z2, z1, z4, z3] = [z3, z4, z1, z2] = λ
[z2, z1, z3, z4] = [z4, z3, z1, z2] = [z1, z2, z4, z3] = [z3, z4, z2, z1] = 1 − λ
[z1, z3, z2, z4] = [z4, z2, z3, z1] = [z3, z1, z4, z2] = [z2, z4, z1, z3] = 1
λ
92

[z1, z4, z2, z3] = [z3, z2, z4, z1] = [z4, z1, z3, z2] = [z2, z3, z1, z4] = 1
1 − λ
[z1, z4, z3, z2] = [z2, z3, z4, z1] = [z4, z1, z2, z3] = [z3, z2, z1, z4] = λ
λ − 1
[z1, z3, z4, z2] = [z2, z4, z3, z1] = [z3, z1, z2, z4] = [z4, z2, z1, z3] =
O seguinte teorema está demonstrado no livro do Beardon [1], página 75.
λ − 1
λ
az + b
Teorema 7.1. (a) Se g : C → C é uma transformação de Möbius, g(z) =
cz + d com
ad − bc = 0, então [g(z1), g(z2), g(z3), g(z4)] = [z1, z2, z3, z4], para quaisquer quatro
pontos distintos z1, z2, z3 e z4 em C.
(b) Sejam z1, z2, z3 e z4 quatro pontos distintos em C, e sejam w1, w2, w3 e w4 quatro pon-
tos distintos em C. Se [z1, z2, z3, z4] = [w1, w2, w3, w4], então existe uma transformação
de Möbius g : C → C tal que g(zj) = wj, j = 1, 2, 3, 4.
Definição 7.1. Identificando a fronteira do espaço hiperbólico H 3 R
estendido C, vamos representar por
C4 + =
M4
PSL(2, C)
com o plano complexo
o conjunto obtido de M4 pela relação de equivalência: se z = (z1, z2, z3, z4) e w = (w1, w2, w3, w4)
são pontos em M4 então z é equivalente a w se existir uma transformação de Möbius g de C
tal que g(zj) = wj para j = 1, 2, 3, 4. Neste caso, vamos representar a classe de equivalência
de um ponto z = (z1, z2, z3, z4) ∈ M4 por 〈z〉+ ∈ C4.
Considere agora a aplicação τ : C4 + → C definida por: se 〈z〉+ ∈ C4 é classe de
equivalência de z = (z1, z2, z3, z4) ∈ M4, então
τ(〈z〉+) = [z1, z2, z3, z4] ,
ou seja, τ(〈z〉+) é igual a razão cruzada dos pontos z = (z1, z2, z3, z4).
Teorema 7.2. Esta aplicação τ : C4 + → C \ {0, 1} está bem definida e é uma bijeção.
Demonstração.
93

• Devemos mostrar que a definição de τ, τ(〈z〉+) = [z1, z2, z3, z4], não depende da escolha
do representante z da classe de equivalência 〈z〉+. Então sejam z = (z1, z2, z3, z4) e
w = (w1, w2, w3, w4) pontos equivalentes em M4, isto é, 〈z〉+ = 〈w〉+. Isso significa
que existe uma transformação de Möbius g : C → C tal que g(zj) = wj, j = 1, 2, 3, 4.
Da parte (a) do teorema 7.1 isso implica que [z1, z2, z3, z4] = [w1, w2, w3, w4]. Logo
τ(〈z〉+) = [z1, z2, z3, z4] é igual a τ(〈w〉+) = [w1, w2, w3, w4]. Desse modo, mostramos
que a aplicação τ está bem definida.
• Agora vamos mostrar que τ é injetiva. Para isso suponhamos que τ(〈z〉+) = τ(〈w〉+),
em que 〈z〉+ ∈ C4 é classe de equivalência de z = (z1, z2, z3, z4) ∈ M4 e 〈w〉+ ∈ C4
é classe de equivalência de w = (w1, w2, w3, w4) ∈ M4. Como τ(〈z〉+) = τ(〈w〉+)
vemos que [z1, z2, z3, z4] = [w1, w2, w3, w4] e, pela parte (b) do teorema 7.1, existe uma
transformação de Möbius g : C → C tal que g(zj) = wj, j = 1, 2, 3, 4. Assim, z e w
são pontos equivalentes em M4, 〈z〉+ = 〈w〉+, e portanto τ é injetiva.
• Finalmente vamos mostrar que τ é sobrejetiva. Para isso seja c um número complexo
qualquer, c = 0 e c = 1. Se z1 = 0, z2 = 1, z3 = c e z4 = ∞ então esses pontos são
distintos e [z1, z2, z3, z4] = [0, 1, c, ∞] = c. Para esses pontos, se 〈z〉+ ∈ C4 é a classe de
equivalência de z = (z1, z2, z3, z4) ∈ M4, segue que τ(〈z〉+) = c. Logo τ é sobrejetiva.
O teorema 7.1 nos mostra que a razão cruzada caracteriza, a menos de aplicações de
Möbius, quatro pontos distintos no plano complexo estendido. Para caracterizarmos esses
pontos a menos de qualquer isometria do espaço hiperbólico, utilizaremos dois invariantes,
a razão cruzada clássica e o invariante de Korányi-Riemann.
7.2 A razão cruzada clássica e o invariante de Korányi-
Riemann
Teorema 7.3. No modelo do semi-espaço superior, para quaisquer quatro pontos distintos
z1, z2, z3, z4 em C,
χ(z1, z2, z3, z4) = [z1, z2, z3, z4] .
94

Demonstração. Como o invariante de Korányi-Riemann e a razão cruzada são invariantes
por transformações de Möbius, e como PSL(2, C) age triplamente transitivamente em C, sem
perda de generalidade podemos supor que z1 = 0, z2 = 1, z3 = ∞ e z4 = x + iy qualquer.
Daí
Logo
[z1, z2, z3, z4] = [0, 1, ∞, z4] = z4 − 1
0 − 1 = 1 − z4 = 1 − x − iy .
[z1, z2, z3, z4] = (1 − x) 2 + y 2 = 1 − 2x + x 2 + y 2 .
Por outro lado, pela aplicação (3.7), podemos considerar os seguintes levantamentos de
z1 = 0, z2 = 1, z3 = ∞ e z4 = x + iy:
Assim,
P1 =
⎡ ⎤
−1
⎢ ⎥
⎢
0 ⎥
⎢
⎣ 0
⎥
⎦
0
, P2
⎡ ⎤
−1
⎢√
⎥
⎢
= ⎢
2 ⎥
⎢
⎣ 0
⎥
⎦
1
, P3
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢
= ⎢
0 ⎥
⎢
⎣0
⎥
⎦
1
e P4
⎡
⎢
= ⎢
⎣
−1
√
2 x
√
2 y
⎤
⎥
⎦ .
χ(z1, z2, z3, z4) = 〈P1, P3〉〈P2, P4〉
〈P1, P2〉〈P3, P4〉 = (−1) · (−x2 − y2 + 2x − 1)
(−1) · (−1)
Portanto concluímos que χ(z1, z2, z3, z4) = [z1, z2, z3, z4] .
x 2 + y 2
= x 2 + y 2 − 2x + 1 .
Seguindo a mesma notação do capítulo anterior, temos que, dada uma quádrupla
ordenada p = (p1, p2, p3, p4), para i = 3, 4, j = 4 e i < j, temos
χ4 = χ(p1, p4, p3, p2) e χ34 = χ(p2, p3, p1, p4).
E até o final desta seção, usaremos a seguinte definição:
Definição 7.2. Dado z = (z1, z2, z3, z4) ∈ M4 vamos considerar as seguintes notações:
χ1 = χ4 = χ(z1, z4, z3, z2)
χ2 = χ34 = χ(z2, z3, z1, z4).
95

Pelo teorema 6.3, temos que a matriz de Gram normalizada G de uma quádrupla
ordenada de pontos distintos em ∂H3 R , pode ser escrita como
⎡
0
⎢
G = ⎢
1
⎢
⎣ 1
1
0
−1
1
−1
0
⎤
1
⎥
−χ1 ⎥
−χ2 ⎦
1 −χ1 −χ2 0
Vamos relembrar as hipóteses do teorema 6.3:
(1) det(G12,I) = 0, ∀I ⊂ {3, 4, · · · , k}, tal que|I| ≥ n.
(2) Para todo subconjunto I ⊂ {4, 5, . . . , k} temos det(G123,I) ≤ 0.
Se aplicarmos essas hipóteses para n = 3 e k = 4, o item (1) desaparece e teremos que
G123,I = G. Logo,
∂H 3 R
det(G) ≤ 0 ⇒ 4χ2 − (χ2 − χ1 + 1) 2 ≥ 0
E como sabemos que χ(p1, p2, p3, p4) > 0 para quaisquer quatro pontos distintos de
, vamos utilizar a seguinte definição:
Definição 7.3. Seja M4 a seguinte região do plano R 2 : (χ1, χ2) ∈ M4 se, e somente se,
4χ2 − (χ2 − χ1 + 1) 2 ≥ 0 , χ1 > 0 e χ2 > 0 .
Este conjunto M4 é chamado de espaço de moduli do espaço de configurações C4.
Esta região M4 corresponde a área hachurada na figura 7.1, juntamente com o seu
contorno, excluíndo-se os dois pontos em que esse contorno parabólico fica tangente aos
eixos coordenados χ1 e χ2.
Observação: Apesar do próximo resultado ser exatamente o teorema 6.6 para o caso n = 3
e k = 4, apresentaremos uma nova demonstração para este caso especial.
Teorema 7.4. A aplicação σ : C4 → M4 dada por σ(〈z〉) = (χ1(z), χ2(z)) está bem definida
e é um homeomorfismo.
Demonstração.
96

χ2
1
1
M4
χ1
Figura 7.1: O espaço de moduli M4.
• A aplicação σ está bem definida pois o invariante de Korányi-Rimann é invariante por
isometrias.
• Vamos mostrar que para todo z = (z1, z2, z3, z4) ∈ M4, a imagem τ(〈z〉) = (χ1, χ2) está
contida na região M4. De fato, se z = (z1, z2, z3, z4) ∈ M4, como o grupo de isometrias
de H3 R age triplamente transitivamente em ∂H3R , e como o invariante de Korányi-
Riemann é invariante por isometrias, podemos supor, sem perda de generalidade, que
z1 = 0, z2 = 1, z3 = ∞ e z4 = x+iy qualquer. Pela aplicação (3.7), podemos considerar
os seguintes levantamentos de z1 = 0, z2 = 1, z3 = ∞ e z4 = x + iy:
Assim,
P1 =
⎡ ⎤
−1
⎢ ⎥
⎢
0 ⎥
⎢
⎣ 0
⎥
⎦
0
, P2
⎡ ⎤
−1
⎢√
⎥
⎢
= ⎢
2 ⎥
⎢
⎣ 0
⎥
⎦
1
, P3
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢
= ⎢
0 ⎥
⎢
⎣0
⎥
⎦
1
e P4
⎡
⎢
= ⎢
⎣
−1
√
2 x
√
2 y
x2 + y2 ⎤
⎥
⎦ .
χ1 = χ(z1, z4, z3, z2) = 〈P1, P3〉〈P4, P2〉
〈P1, P4〉〈P3, P2〉 = x2 + y2 − 2x + 1
x2 + y2 χ2 = χ(z2, z3, z1, z4) = 〈P2, P1〉〈P3, P4〉
〈P2, P3〉〈P1, P4〉 =
1
x2 .
+ y2 De χ1 = (x − 1)2 + y2 x2 + y2 1
e χ2 =
x2 + y2 segue que χ1 ≥ 0 e χ2 ≥ 0. Além disso, como
z4 = x + iy é diferente de z1 = 0 vemos que x2 + y2 = 0 e, como z4 = x + iy é diferente
97
.

de z2 = 1 vemos que (x − 1) 2 + y 2 = 0. Assim, provamos que χ1 > 0 e χ2 > 0. Agora,
observe que das expressões de χ1 e χ2 obtemos χ1
χ1
χ2
= 1
− 2x + 1, o que implica que
χ2
x = χ2 − χ1 + 1
2χ2
e y 2 = 1
χ2
χ2
= x 2 + y 2 − 2x + 1 e, portanto,
− x 2 = 4χ2 − (χ2 − χ1 + 1) 2
4χ 2 2
Desta expressão de y 2 segue que 4χ2 − (χ2 − χ1 + 1) 2 ≥ 0. Assim demonstramos que
para todo z = (z1, z2, z3, z4) ∈ M4, a imagem τ(〈z〉) = (χ1, χ2) realmente está contida
na região M4.
• Vamos mostrar que σ é sobrejetiva. Para isso seja dado (χ1, χ2) ∈ M4. Devemos
mostrar que existe z = (z1, z2, z3, z4) ∈ M4 tal que τ(〈z〉) = (χ1, χ2). Observe que,
como o grupo de isometrias de H3 R age triplamente transitivamente em ∂H3R , sem
perda de generalidade, podemos provar a existência desses pontos supondo que z1 = 0,
z2 = 1, z3 = ∞ e z4 = x + iy qualquer. Além disso, aplicando, se necessário, a
isometria (z, t) ↦→ (z, t), podemos supor ainda que y ≥ 0. Pela aplicação (3.7), podemos
considerar os seguintes levantamentos de z1 = 0, z2 = 1, z3 = ∞ e z4 = x + iy:
P1 =
⎡ ⎤
−1
⎢ ⎥
⎢
0 ⎥
⎢
⎣ 0
⎥
⎦
0
, P2
⎡ ⎤
−1
⎢√
⎥
⎢
= ⎢
2 ⎥
⎢
⎣ 0
⎥
⎦
1
, P3
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢
= ⎢
0 ⎥
⎢
⎣0
⎥
⎦
1
e P4
⎡
⎢
= ⎢
⎣
−1
√
2 x
√
2 y
⎤
⎥
⎦ .
Assim, precisamos determinar x e y tais que
x 2 + y 2
χ1 = χ(z1, z4, z3, z2) = 〈P1, P3〉〈P4, P2〉
〈P1, P4〉〈P3, P2〉 = x2 + y2 − 2x + 1
x2 + y2 χ2 = χ(z2, z3, z1, z4) = 〈P2, P1〉〈P3, P4〉
〈P2, P3〉〈P1, P4〉 =
Destas expressões de χ1 e χ2 obtemos χ1
x = χ2 − χ1 + 1
2χ2
χ2
e y 2 = 1
χ2
= x 2 + y 2 − 2x + 1 e
1
x2 .
+ y2 − x 2 = 4χ2 − (χ2 − χ1 + 1) 2
4χ 2 2
Como (χ1, χ2) ∈ M4 temos que 4χ2 − (χ2 − χ1 + 1) 2 ≥ 0. Assim, dados (χ1, χ2) em
M4 podemos definir os seguintes números reais:
98
.
.
.

x = χ2 − χ1 + 1
2χ2
e y =
4χ2 − (χ2 − χ1 + 1) 2
4χ 2 2
. (7.1)
Agora considere o número complexo z4 = x+iy, em que x e y são dados pelas expressões
1
acima. Como χ2 =
x2 + y2 e χ2 > 0, vemos que z4 = 0. Como χ1 = (x − 1)2 + y2 x2 + y2 e
χ1 > 0, vemos que z4 = 1. Assim, concluímos que os pontos z1 = 0, z2 = 1, z3 = ∞
e z4 = x + iy são distintos, z = (z1, z2, z3, z4) ∈ M4, e que σ(〈z〉) = (χ1, χ2). Isso
demonstra que a aplicação σ : C4 → M4 é sobrejetiva.
• Agora vamos demonstrar que σ é injetiva. Para isso, sejam dados z = (z1, z2, z3, z4) ∈
M4 e w = (w1, w2, w3, w4) ∈ M4 tais que σ(〈z〉) = σ(〈w〉) = (χ1, χ2).
Sabemos que existe uma isometria f de H 3 R tal que f(z1) = 0, f(z2) = 1, f(z3) = ∞
e f(z4) = x1 + iy1 com y1 ≥ 0. Da argumentação que demos para provar que σ é
sobrejetiva, vemos que os números x1 e y1 são escritos em termos de σ(〈z〉) = (χ1, χ2)
como na equação (7.1).
Analogamente, sabemos que existe uma isometria g de H 3 R tal que g(w1) = 0, g(w2) =
1, g(w3) = ∞ e g(w4) = x2 + iy2 com y2 ≥ 0. E, como acima, os números x2 e y2 são
escritos em termos de σ(〈w〉) = (χ1, χ2) como na equação (7.1).
Como σ(〈z〉) = σ(〈w〉), estas considerações implicam que x1 = x2 e y1 = y2. Assim
vemos que f(z1) = g(w1), f(z2) = g(w2), f(z3) = g(w3) e f(z4) = g(w4). Desse modo
a isometria g −1 ◦ f e tal que g −1 ◦ f(zi) = wi, i = 1, 2, 3, 4. Daí vemos que 〈z〉 = 〈w〉 e
que a aplicação σ é injetiva.
Observação: Da demonstração do teorema anterior temos que se z1, z2, z3, z4 são quatro
pontos distintos em C, se calculamos os números χ1 = χ(z1, z4, z3, z2) e χ2 = χ(z2, z3, z1, z4),
então existe uma isometria f do espaço hiperbólico real tal que f(z1) = 0, f(z2) = 1,
f(z3) = ∞ e f(z4) = x + iy, em que
x = χ2 − χ1 + 1
2χ2
e y =
4χ2 − (χ2 − χ1 + 1) 2
Observação: Agora vamos dar uma intepretação para as três componentes do conjunto dos
4χ 2 2
pontos de M4 que estão na sua fronteira. Observe a figura a seguir.
99
.

χ2
1
x > 1
0 < x < 1
1
x < 0
χ2 = 1 − χ1
χ2 = χ1 − 1
Figura 7.2: As três componentes da fronteira do espaço de moduli M4.
Temos que os pontos do espaço de moduli M4 que estão na sua fronteira correspondem
a configurações de quatro pontos z1, z2, z3 e z4 que estão na fronteira de um subespaço
totalmenete geodésico (isomorfo a H2 R ) contido em H3R . De fato, pela equação (7.1) vemos
que nesse contorno, temos que y = 0, e assim podemos supor z1 = 0, z2 = 1, z3 = ∞ e
z4 = x = χ2 − χ1 + 1
, que estão sobre o eixo real do plano complexo. Observe também
2χ2
que esse contorno do espaço de moduli possui três componentes conexas. Cada uma destas
componentes pode ser interpretada do seguinte modo: seja Σ é a reta ou o círculo que contém
z1, z2, z3 e z4. Observe que os pontos z1, z2 e z3 dividem Σ em três componentes conexas.
Então as três componentes conexas dos pontos de M4 que estão em ∂M4 correspondem a
posição de z4 sobre cada uma destas componentes de Σ, isto é, se z4 está entre z1 e z2, ou
se z4 está entre z2 e z3, ou se z4 está entre z3 e z1. De fato, considerando z1 = 0, z2 = 1,
z3 = ∞ e z4 = x = χ2 − χ1 + 1
vemos que
2χ2
x > 1 ⇔ χ2 − χ1 + 1
2χ2
x < 0 ⇔ χ2 − χ1 + 1
2χ2
χ1
> 1 ⇔ χ2 < 1 − χ1 .
< 0 ⇔ χ2 < χ1 − 1 .
Além disso, as retas χ2 = 1 − χ1 e χ2 = χ1 − 1 dividem o contorno do espaço de moduli nas
suas três componentes. Em uma delas x < 0, na outra 0 < x < 1 e na outra x > 1. E isso
100

corresponde, respectivamente, às situações: se z4 está entre z1 e z3, ou se z4 está entre z1 e
z2, ou se z4 está entre z2 e z3 (veja figura 7.2).
101

Capítulo 8
O espaço de k pontos distintos na
fronteira de H 3 R
Neste capítulo, vamos considerar o conjunto Mk de k pontos distintos e ordenados
na fronteira do espaço hiperbólico real H3 R . Neste conjunto vamos definir duas relações de
equivalência: dois conjuntos ordenados p = (z1, z2, . . . , zk) e q = (w1, w2, . . . , wk) em Mk são
• PSL-equivalentes se existir uma transformação de Möbuis f ∈ PSL(2, C) tal que
f(zi) = wi, ∀i = 1, 2, . . . , k.
• equivalentes se existir uma uma isometria h de H 3 R tal que h(zi) = wi, ∀i = 1, 2, . . . , k.
Obviamente PSL-equivalência implica equivalência. Os conjuntos das classes de equivalência
destas relações, munidos da topologia quociente, são respectivamente chamados de espaço
de PSL-configurações e espaço de configurações de k pontos em ∂H 3 R :
Ck + =
Mk
PSL(2, C)
Ck =
Mk
Isom(H 3 R )
O objetivo é construir espaços de moduli Mk + e Mk para estes espaços de configurações.
Para isso usaremos razões cruzadas clássicas.
8.1 O espaço de PSL-configurações
Teorema 8.1. Sejam p = (z1, z2, . . . , zk) e q = (w1, w2, . . . , wk) dois conjuntos ordenados
de k ≥ 4 pontos distintos em ∂H3 R . Existe uma transformação de Möbius f ∈ PSL(2, C) tal
102

que f(zi) = wi, i = 1, 2, . . . , k se, e somente se,
para todo j = 4, 5, . . . , k.
[z1, z2, z3, zj] = [w1, w2, w3, wj]
Demonstração. Sejam p = (z1, z2, . . . , zk) e q = (w1, w2, . . . , wk) dois pontos em Mk. Se p e q
são PSL-equivalentes, pela parte (a) do teorema 7.1, segue que [z1, z2, z3, zj] = [w1, w2, w3, wj]
para todo j = 4, 5, . . . , k.
Reciprocamente, suponhamos que [z1, z2, z3, zj] = [w1, w2, w3, wj] para todo j = 4, 5, . . . , k.
Considere agora a transformação de Möbuis g tal que g(z1) = 1, g(z2) = 0 e g(z3) = ∞, e
também considere a transformação de Möbius h tal que h(w1) = 1, h(w2) = 0 e h(w3) = ∞.
Vamos demonstrar que a hipótese considerada implica que g(zj) = h(wj) para todo j =
4, 5, . . . , k. De fato, utilizando a propriedade dada na observação da página 92, temos
g(zj) = [1, 0, ∞, g(zj)]
= [g(z1), g(z2), g(z3), g(zj)]
= [z1, z2, z3, zj]
= [w1, w2, w3, wj]
= [h(w1), h(w2), h(w3), h(wj)]
= [1, 0, ∞, h(wj)]
= h(wj) .
Assim concluímos que g(zi) = h(wi) para todo i = 1, 2, . . . , k. Portanto f = h −1 g é tal que
f(zi) = wi, i = 1, 2, . . . , k. Portanto p e q são PSL-equivalentes.
Seja (z1, z2, . . . , zk) um conjunto ordenado de k ≥ 4 pontos distintos em ∂H3 R . Considere
os números complexos rj = [z1, z2, z3, zj] para j = 4, 5, . . . , k. Considere também a
aplicação de Möbius g tal que g(z1) = 1, g(z2) = 0 e g(z3) = ∞. Como na demonstração
acima temos que:
103

j = [z1, z2, z3, zj]
= [g(z1), g(z2), g(z3), g(zj)]
= [1, 0, ∞, g(zj)]
= g(zj) .
De rj = g(zj) e do fato de g ser injetiva, concluímos que os números r4, r5, . . ., rk
são distintos. Além disso, dada uma lista de números complexos distintos r4, r5, . . ., rk no
conjunto R = C \ {0, 1}, definindo z1 = 1, z2 = 0, z3 = ∞ e zj = rj para j = 4, 5, . . . , k,
obtemos k pontos distintos em ∂H 3 R tais que [z1, z2, z3, zj] = rj.
Seja Mk + o subconjunto dos vetores (r4, r5, . . . , rk) ∈ R k−3 que possuem todas as
coordenadas diferentes. As considerações que acabamos de fazer implicam que esse conjunto
pode ser considerado como um espaço de Moduli para o espaço de PSL-configurações Ck + .
O próximo teorema resume a discussão desta seção.
Teorema 8.2. Para todo k ≥ 4, considere a aplicação τ : Ck + −→ Mk + definida por:
se p ∈ Ck + representa a classe de PSL-equivalência de (z1, z2, . . . , zk) ∈ Mk então τ(p) =
(r4, r5, . . . , rk) sendo rj = [z1, z2, z3, zj]. Temos que τ está bem definida e é um homeomor-
fismo.
8.2 O espaço de configurações
Sabemos que cada isometria f de H3 R , no modelo do semi-espaço superior, se restringe
a uma aplicação de um dos seguintes tipos em C:
f(z) =
az + b
cz + d
ou f(z) =
az + b
cz + d ,
sendo a, b, c e d números complexos tais que ad − bc = 0. As aplicações do primeiro
tipo são as transformações de Möbius que constituem um grupo isomorfo a PSL(2, C). As
aplicações do segundo tipo não constituem um grupo e, segundo Maskit, são chamadas de
reflexões fracionárias lineares. O próximo resultado, análogo ao teorema 7.1, mostra algumas
propriedades destas aplicações em relação a razão cruzada clássica.
104

az + b
Teorema 8.3. (a) Se g : C → C é uma reflexão fracionária linear, g(z) =
cz + d com
ad − bc = 0, então [g(z1), g(z2), g(z3), g(z4)] = [z1, z2, z3, z4], para quaisquer quatro
pontos distintos z1, z2, z3 e z4 em C.
(b) Sejam z1, z2, z3 e z4 quatro pontos distintos em C, e sejam w1, w2, w3 e w4 quatro
pontos distintos em C. Se [z1, z2, z3, z4] = [w1, w2, w3, w4], então existe uma reflexão
fracionária linear g : C → C tal que g(zj) = wj, j = 1, 2, 3, 4.
Agora podemos enunciar o seguinte resultado, análogo ao teorema 8.1.
Teorema 8.4. Sejam p = (z1, z2, . . . , zk) e q = (w1, w2, . . . , wk) dois conjuntos ordenados
de k ≥ 4 pontos distintos em ∂H3 R . Existe uma reflexão fracionária linear f : C → C tal que
f(zi) = wi, i = 1, 2, . . . , k se, e somente se,
para todo j = 4, 5, . . . , k.
[z1, z2, z3, zj] = [w1, w2, w3, wj]
Demonstração. Sejam p = (z1, z2, . . . , zk) e q = (w1, w2, . . . , wk) dois pontos em Mk. Se
existe uma tal f, com f(zi) = wi, então [z1, z2, z3, zj] = [w1, w2, w3, wj] pela parte (a) do
teorema anterior.
Reciprocamente, suponhamos que [z1, z2, z3, zj] = [w1, w2, w3, wj] para todo j = 4, 5, . . . , k.
Considere agora uma transformação de Möbuis g tal que g(z1) = 1, g(z2) = 0 e g(z3) = ∞, e
também considere a reflexão fracionária linear h tal que h(w1) = 1, h(w2) = 0 e h(w3) = ∞.
Vamos demonstrar que a hipótese considerada implica que g(zj) = h(wj) para todo j =
4, 5, . . . , k. De fato, utilizando a propriedade dada na observação da página 92 e o teorema
anterior, temos
g(zj) = [1, 0, ∞, g(zj)]
= [g(z1), g(z2), g(z3), g(zj)]
= [z1, z2, z3, zj]
= [w1, w2, w3, wj]
= [h(w1), h(w2), h(w3), h(wj)]
= [1, 0, ∞, h(wj)]
= h(wj) .
105

Assim concluímos que g(zi) = h(wi) para todo i = 1, 2, . . . , k. Portanto f = h −1 g é tal que
f(zi) = wi, i = 1, 2, . . . , k. Como g é transformação de Möbius e h é reflexão fracionária
linear, vemos que f é reflexão fracionária linear.
106

Capítulo 9
A matriz de Gram de k pontos no
interior de H n R
Neste capítulo, vamos definir e caracterizar matrizes de Gram normalizadas de k pontos
distintos no interior de H n
R, além de mostrar os principais resultados relacionados a essa
matriz.
Para isso, vamos considerar uma base em R n+1 de modo que a forma bilinear simétrica
de assinatura (n, 1) em R n,1 se expresse do seguinte modo:
〈V, W 〉 = v1w1 + v2w2 + · · · + vnwn − vn+1wn+1,
em que V = (v1, v2, · · · , vn+1) e W = (w1, w2, · · · , wn+1). Daí, temos que
e nesse caso, H n
R = P(V−) B n .
V− = {X ∈ R n,1 |v 2 1 + v 2 2 + · · · + v 2 n − v 2 n+1 < 0}
Seja Mk o conjunto de k pontos distintos e ordenados no interior do espaço hiperbólico
real H n
R. Com isso podemos definir:
Definição 9.1. Sejam p = (p1, p2, · · · , pk) ∈ Mk e Pi levantamento de pi, para i = 1, 2, · · · , k.
Se gij = 〈Pi, Pj〉, então a matriz kxk simétrica
é a matriz de Gram de p.
G = (gij), i, j = 1, 2, · · · , k
107

Observe que essa matriz depende dos levantamentos escolhidos e por isso ela não é
única. Para definir uma matriz de Gram que seja única para cada p ∈ Mk, vamos ajustar os
levantamentos escolhidos.
Proposição 9.1. Seja p = (p1, p2, · · · , pk) ∈ Mk. Para cada i = 1, 2, · · · , k podemos escolher
um levantamento Pi de pi tal que a matriz de Gram de p satisfaz as condições
gii = −1 e g1j > 0 ∀ j = 2, 3, · · · , k.
Ou seja, G tem a seguinte aparência:
⎡
−1
⎢ g12 ⎢
G = ⎢ g13
⎢
⎣ .
g12
−1
g23
.
g13
g23
−1
· · ·
· · ·
. ..
⎤
g1k
⎥
g2k ⎥
g3k ⎥ ,
⎥
.
⎥
⎦
(9.1)
g1k g2k g3k · · · −1
com g1j > 0 para j = 2, 3, · · · , k. Além disso, existe uma única matriz com essa aparência,
que é a matriz de Gram normalizada de p.
Demonstração. Sejam P1, P2, · · · , Pk levantamentos quaisquer de p1, p2, · · · , pk. Devemos
determinar λi ∈ R, λi = 0, tal que se P ′
i = λiPi, então
g ′ ii = 〈P ′
i , P ′
i 〉 = λ 2 i 〈Pi, Pi〉 = λ 2 i gii = −1 e
g ′ 1j = 〈P ′ 1, P ′ j〉 = λ1λj〈P1, Pj〉 = λ1λjg1j > 0, ∀ j = 2, 3, · · · , k.
−1
Da primeira equação acima, obtemos que λi = ± . Dessa forma, fixado λ1, como
gii
g ′ 1j = λ1λjg1j, podemos escolher o sinal de λ2, λ3, · · · , λk de forma que g ′ 1j > 0, para j =
2, 3, · · · , k.
Para os valores determinados acima de λ1, · · · , λk, os levantamentos de P ′ 1, · · · , P ′ k de
p1, · · · , pk são tais que a matriz de Gram de p tem a apareência desejada.
A parte da unicidade segue do fato de que (a menos do sinal de λ1) os escalares
λ1, · · · , λk ficam determinados unicamente a partir de dados levantamentos de p1, · · · , pk.
Além disso, a troca do sinal de λ1 não afeta a aparência da matriz de Gram desejada.
Lema 9.1. Se V é um vetor negativo e W é um vetor isotrópico de R n,1 então 〈V, W 〉 = 0.
108

Demonstração. Como V é negativo e W é isotrópico temos que o vetor V se projeta para
um ponto v no interior do espaço hiperbólico real e o vetor W se projeta para um ponto na
fronteira do espaço hiperbólico real. Além disso, como o grupo Isom(Hn R ) = PO(n, 1) age
transitivamente em Hn R , podemos assumir, sem perda de generalidade, que v é o centro da
bola B n ∼ = H n R = P(V−).
Assim, para demonstrar o lema desejado, considerando V um levantamento do centro da
bola, podemos supor que V = (0, 0, . . . , 0, vn+1) e que W = (w1, w2, . . . , wn, wn+1) é um
vetor isotrópico qualquer. Sendo V um vetor negativo e W um vetor nulo, é claro que
vn+1 = 0 e wn+1 = 0. Portanto, concluímos que 〈V, W 〉 = −vn+1wn+1 = 0.
Proposição 9.2. Sejam p1, p2, . . . , pk pontos distintos em H n R e sejam P1, P2, . . . , Pk respec-
tivos levantamentos destes pontos para vetores negativos em R n,1 . Então W = span{P1, . . . , Pk}
é um subespaço não-degenerado de R n,1 .
Demonstração. Suponhamos, por redução ao absurdo, que W = span{P1, . . . , Pk} seja um
subespaço degenerado de R n,1 . Assim, existe um vetor w0 ∈ W , w0 = 0, tal que 〈w0, x〉 = 0
para todo x ∈ W . Isto implica, em particular, que 〈w0, w0〉 = 0 e que 〈w0, P1〉 = 0. Logo
w0 é um vetor isotrópico tal que 〈w0, P1〉 = 0, sendo P1 um vetor negativo. Isto contraria a
conclusão do lema anterior pois, neste caso, deveríamos ter 〈w0, P1〉 = 0.
Teorema 9.1. Se p = (p1, · · · , pk) ∈ Mk e q = (q1, · · · , qk) ∈ Mk, então existe f ∈
Isom(H n R ) tal que f(pi) = qi se, e somente se, p e q possuem as mesmas matrizes de Gram
normalizadas.
Demonstração. Análoga à demonstração do teorema 6.1.
Vamos caracterizar agora quando uma matriz da forma (9.1) realmente é matriz de
Gram normalizada de k pontos distintos em H n R .
Lema 9.2. Seja G = (gij) uma matriz simétrica k × k de entradas reais e que tem a forma
(9.1). Isto é,
• gii = −1.
109

• g1j > 0, para j = 2, · · · , k.
Então, via operações elementares nas linhas e colunas de G, esta pode ser transformada
na matriz de blocos
G ′ =
−1 0
0 G
sendo G a seguinte matriz simétrica (k − 1) × (k − 1)
⎡
g
⎢
G
⎢
= ⎢
⎣
2 12 − 1
g13g12 + g23
g12g13 + g23
g
g12g14 + g24 · · · g12g1k + g2k
2 g14g12 + g24
13 − 1
g14g13 + g34
g13g14 + g34
g
· · · g13g1k + g3k
2 .
.
14 − 1
.
· · ·
. ..
g14g1k + g4k
.
g1kg12 + g2k g1kg13 + g3k g1kg14 + g4k · · · g2 ⎤
⎥
⎦
1k − 1
Demonstração. Basta utilizar as seguintes operações elementares
1. Li ← Li + g1iL1
2. Ci ← Ci + g1iC1
para i = 2, 3, · · · , k. Observe que, sendo G simétrica, este par de operações elementares em
linhas e colunas garante que G é simétrica.
Definição 9.2. A matriz simétrica G do lema anterior é a matriz associada da matriz
simétrica G.
Observação: Seja I = {i1, i2, . . . , im} uma coleção de índices distintos contidos em
{1, 2, . . . , k − 1}, e seja GI o menor principal de G constituído das linhas e das colunas
de G cujos índices estão em I. Seja G1,I o menor principal de G constituído das suas linhas
e colunas 1, i1 + 1, i2 + 1, . . . , im + 1, e seja G ′ 1,I o correspondente menor principal de G′ .
Analisando as operações elementares que foram utilizadas na demonstração do lema anterior,
vemos que det(G1,I) = det(G ′ 1,I ). Como G′ é uma matriz de blocos, temos então que
det(G1,I) = det(G ′ 1,I) = det [−1] · det( GI) = − det( GI) . (9.2)
Com isso, podemos enunciar e demonstrar o teorema de caracterização de matrizes
simétricas da forma (9.1) e de entradas reais que são matrizes de Gram normalizadas de um
conjunto de k pontos distintos em H n R .
110

Teorema 9.2. Uma matriz simétrica G da forma (9.1) é matriz de Gram normalizada de
k pontos distintos em H n R se, e somente se, sua matriz associada G é semi-definida positiva
e posto( G) ≤ n.
Demonstração. Suponhamos que G seja matriz de Gram normalizada de um conjunto de
k pontos distintos {p1, p2, . . . , pk} em H n R . Seja G a matriz associada de G. De acordo
com o teorema 5.5, para mostrar que G é semi-definida positiva basta mostrarmos que
todos os menores principais de G possuem determinantes não negativos. Então seja I =
{i1, i2, . . . , im} uma coleção de índices distintos contidos em {1, 2, . . . , k − 1}, e seja GI o
menor principal de G constituído das linhas e das colunas de G cujos índices estão em I.
Pela equação (??) temos que det( GI) = − det(G1,I), sendo G1,I o menor principal de G
constituido das suas linhas e colunas 1, i1+1, i2+1, . . . , im+1. Como G1,I é a matriz de Gram
de levantamentos de p1, pi1+1, pi2+1, . . ., pim+1, pela observação da página 73, sabemos que
isto implica que det(G1,I) ≤ 0. Logo concluímos que det( GI) = − det(G1,I) ≥ 0. Portanto
todos os menores principais de G possuem determinante não negativo e, pelo teorema 5.5,
concluímos que G é semi-definida positiva.
Para mostrar que posto( G) ≤ n, podemos escrever X =
que X ′ e Y ′ ∈ R n .
X ′
xn+1
e Y =
Y ′
Daí, o produto interno em R n,1 definido por 〈X, Y 〉 = x1y1 + · · · + xnyn − xn+1yn+1
pode ser escrito como
em que 〈〈 . , . 〉〉 é o produto escalar usual em R n .
Como o grupo de isometrias de H n R
yn+1
, em
〈X, Y 〉 = 〈〈X ′ , Y ′ 〉〉 − xn+1yn+1, (9.3)
age simplesmente transitivamente no interior do
espaço hiperbólico real, podemos supor que p1, p2, · · · , pk são tais que seus levantamentos
são os seguintes vetores de R n,1 :
vetores é
P1 =
0
1
, P2 =
v2
w2
, P3 =
v3
w3
, · · · , Pk =
vk
em que vi ∈ R n e wj ∈ R. Da expressão (9.3), vemos que a matriz de Gram desses
111
wk
,

⎡
−1
⎢ −w2
⎢
G = ⎢
⎣
−w2
v22 − w
−w3 −w4 · · · −wk
2 −w3
2
v23 − w2w3
v23 − w2w3
v33 − w
v24 − w2w4 · · · v2k − w2wk
2 −w4 v24 − w2w4
3
v34 − w3w4
v34 − w3w4
v44 − w
· · · v3k − w3wk
2 ⎤
. .
.
4
.
· · ·
. ..
⎥
vk4 −
⎥
wkw4 ⎥
. ⎥
⎦
−wk v2k − w2wk v3k − w3wk vk4 − wkw4 . . . vkk − w 2 k
sendo vij = 〈〈vi, vj〉〉 o produto escalar usual dos vetores vi e vj de R n .
Escrevendo as entradas desta matriz G como gij, obtemos as seguintes relações:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
wj = −g1j
vjj − w 2 j = −1
vjl − wjwl = gjl
Substituindo wj = −g1j demais relações, obtemos as igualdades
vjj = g 2 1j − 1
vjl = gjl − g1j
Essas igualdades implicam que a matriz de Gram dos vetores v1, · · · , vk no produto
escalar usual de R n é exatamente a matriz G:
⎡
g
⎢
G
⎢
= ⎢
⎣
2 12 − 1
g13g12 + g23
g12g13 + g23
g
g12g14 + g24 · · · g12g1k + g2k
2 g14g12 + g24
13 − 1
g14g13 + g34
g13g14 + g34
g
· · · g13g1k + g3k
2 .
.
14 − 1
.
· · ·
. ..
g14g1k + g4k
.
g1kg12 + g2k g1kg13 + g3k g1kg14 + g4k · · · g2 ⎤
⎥
⎦
1k − 1
Aplicando o lema 5.3, concluímos de uma outra maneira que a matriz G é semi-definida
positiva e que posto( G) ≤ n.
Por outro lado, seja G = (gij) uma matriz k × k (k ≥ 4) de entradas reais da forma
(9.1). Suponha que n é um inteiro positivo tal que posto( G) ≤ n e que a matriz associada G é
semi-definida positiva. Devemos mostrar que, neste caso, G é a matriz de Gram normalizada
de um conjunto de k pontos distintos em Hn R . Isto é, devemos mostrar que existem k vetores
112

negativos P1, P2, . . ., Pk tais que a matriz de Gram G(P1, P2, . . . , Pk) desses vetores seja
igual a G. Como o grupo de isometrias de H n R
podemos supor que esses vetores são
vetores é
P1 =
0
1
, P2 =
v2
w2
, P3 =
age simplesmente transitivamente na fronteira
v3
w3
, · · · , Pk =
vk
em que vi ∈ R n e wj ∈ R. Da expressão (9.3), vemos que a matriz de Gram desses
⎡
−1
⎢ −w2
⎢
G = ⎢
⎣
−w2
v22 − w
−w3 −w4 · · · −wk
2 −w3
2
v23 − w2w3
v23 − w2w3
v33 − w
v24 − w2w4 · · · v2k − w2wk
2 −w4 v24 − w2w4
3
v34 − w3w4
v34 − w3w4
v44 − w
· · · v3k − w3wk
2 ⎤
. .
.
4
.
· · ·
. ..
⎥
vk4 −
⎥
wkw4 ⎥
. ⎥
⎦
−wk v2k − w2wk v3k − w3wk vk4 − wkw4 . . . vkk − w 2 k
sendo vij = 〈〈vi, vj〉〉 o produto escalar usual dos vetores vi e vj de R n .
Para G ser igual a G(P1, · · · , Pk), devemos ter
⎧
⎪⎨
⎪⎩
wj = −g1j
vjj − w 2 j = −1
vjl − wjwl = gjl
Observe que, dada a matriz G = (gij), da primeira destas equações, obtemos que wj = −g1j,
para j = 2, 3, . . . , k. Assim, para a determinação completa dos vetores P1, P2, . . ., Pk falta o
cálculo dos vetores vj em termos das entradas de G. Para efetuar isso, substitua wj = −g1j
nas duas últimas equações do sistema linear acima. Neste caso, estas equações tomam a
forma
vjj = g 2 1j − 1
vjl = gjl − g1j
Essas igualdades implicam que a matriz de Gram dos vetores v1, · · · , vk no produto
escalar usual de R n deve ser exatamente a matriz G:
113
wk
,

⎡
g
⎢
G
⎢
= ⎢
⎣
2 12 − 1
g13g12 + g23
g12g13 + g23
g
g12g14 + g24 · · · g12g1k + g2k
2 g14g12 + g24
13 − 1
g14g13 + g34
g13g14 + g34
g
· · · g13g1k + g3k
2 .
.
14 − 1
.
· · ·
. ..
g14g1k + g4k
.
g1kg12 + g2k g1kg13 + g3k g1kg14 + g4k · · · g2 ⎤
⎥
⎦
1k − 1
Mas como G é uma matriz (k − 1) × (k − 1) simétrica semi-definida positiva e, por hipótese,
posto( G) ≤ n, o teorema 5.8 implica que existem vetores v2, v3, . . ., vk em R n tais que a
matriz de Gram desses vetores, no produto escalar usual de R n , é exatamente a matriz G.
Como já havíamos calculados os valores de w2, · · · , wk e agora provamos a existência de
vetores v2, · · · , vk (tudo isso em termos das entradas das matriz G) demonstramos que
existem vetores nulos P1, . . ., Pk tais que G é a matriz de Gram dos pontos p1, . . ., pk de H n R
definidos por esses vetores nulos. Finalmente, como gij = 0 para i = j, vemos que os pontos
p1, . . ., pk são dois a dois distintos.
Agora vamos ver como essas duas condições
1. G é semi-definida positiva.
2. posto( G) ≤ n.
se expressam em termos da matriz G.
Observação: Seja I = {i1, i2, · · · , im} uma coleção de índices distintos contidos em
{1, 2, · · · , k − 1} e seja GI o menor principal de G constituído das linhas e colunas de
G cujos índices estão em I. Seja G1,I o menor principal de G constituído das suas linhas e
colunas de índices 1, i1 +1, i2 +1, · · · , im +1, e seja G ′ 1,I o correspondente menor principal de
G ′ , ou seja, formado pelas linhas e colunas de G ′ de índices 1, i1 + 1, i2 + 1, · · · , im + 1.
Analisando as operações elementares que foram utilizadas no lema anterior, vemos que
det(G1,I) = det(G ′ 1,I ). Como G′ é uma matriz de blocos, temos então que
Mas
det(G1,I) = det(G ′ 1,I) = (−1). det( GI)
114

1. G é semi-definida positiva ⇔ det( GI) ≥ 0, ∀ I ⊂ {1, 2, · · · , k − 1} ⇔ det(G1,I) ≤
0, ∀ I ⊂ {1, 2, · · · , k − 1}.
2. Pelo teorema 5.1, temos que posto( G) ≤ n ⇔ det( GI) = 0, ∀ I ⊂ {1, 2, · · · , k − 1} e
|I| > n ⇔ det(G1,I) = 0, ∀ I ⊂ {1, 2, · · · , k − 1} e |I| > n.
Isso demonstra o seguinte teorema:
Teorema 9.3. Uma matriz simétrica G da forma (9.1) é matriz de Gram normalizada de
k pontos distintos em H n R
se, e somente se,
1. det(G1,I) ≤ 0, ∀ I ⊂ {1, 2, · · · , k − 1}.
2. det(G1,I) = 0, ∀ I ⊂ {1, 2, · · · , k − 1} e |I| > n.
115

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