Arquivo - Departamento de Matemática

⎡
⎢
uma matriz coluna X = ⎢
⎣
que
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦ . Agora vamos considerar a base E = {e1, · · · , en+1}, em
e1 = 1
√ 2 en − 1
√ 2 en+1, e2 = e1, · · · , en = en−1, en+1 = 1
√ 2 en + 1
√ 2 en+1.
A matriz D mudança de base, da base E para a base canônica E, é:
⎡
⎢
D = ⎢
⎣
0
√1 2
In−1
0
0
√2 1
⎤
⎥
⎦
0 √2 1
e D−1 = Dt ⎡
0
⎢
= ⎢
⎣
√2 1 − 1
In−1 0
√
2
0
⎤
⎥
⎦
0 √2 1
− 1
√ 2
no sentido que D[X]E = X e D−1X = [X]E , em que [X]E e X são matrizes colunas
que representam as coordenadas de um vetor X ∈ Rn+1 respectivamente nas bases E e E.
Vamos agora expressar a forma bilinear simétrica 〈X, Y 〉 = x1y1 +· · ·+xnyn −xn+1yn+1
na base E. Para isso, observe primeiramente que, se
In 0
In,1 =
0 −1
então 〈X, Y 〉 = X t In,1Y , sendo que X e Y são matrizes colunas iguais às coordenadas
de X e Y na base canônica de R n+1 . Daí, temos que
〈X, Y 〉 = X t In,1Y = (D[X]E )t In,1(D[Y ]E ) = [X]tE (Dt In,1D)[Y ]E
Por um cálculo direto verifica-se que
Deste modo, se [X]E =
donde concluímos que
D t In,1D := In,1 =
⎡
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
⎡
⎢
⎣
⎥ ⎢
⎥
⎦ e [Y ]E = ⎢
⎣
0 1
In−1
1 0
⎡ ⎤
y1
.
yn+1
⎤
⎥
⎦ .
⎥
⎦ , então
⎡
⎤ ⎡
〈X, Y 〉 = x1 · · ·
0
⎢
xn+1
⎢
⎣ In−1
1
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
1 0
y1
.
yn+1
〈X, Y 〉 = x1yn+1 + x2y2 + · · · + xnyn + xn+1y1.
29
⎤
1√ 2
⎥
⎦ ,