Arquivo - Departamento de Matemática

2.9 O Espaço Hiperbólico: base E
Nesta seção, vamos considerar a base E de Rn+1 . Assim, se um vetor X em Rn+1 ⎡ ⎤
tem
coordenadas [X] =
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎥
⎦ nesta base, então 〈X, X〉 = 2x1xn+1 + x 2 2 + · · · + x 2 n. Logo, um
vetor X ∈ R n+1 é negativo se suas coordenadas nessa base forem tais que 2x1xn+1 + x 2 2 +
· · · + x 2 n < 0. Considerando coordenadas na base E temos:
V− =
X ∈ R n+1 : [X]E =
⎡
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦ , 2x1xn+1 + x 2 2 + · · · + x 2
n < 0 .
De qualquer modo, tanto na base canônica, quanto na base E, o espaço hiperbólico
real é definido como H n
R = P(V−).
Compondo a mudança de coordenada D, da base E para a base E, com as aplicações
(2.8) e (2.9) obtemos as seguintes isometrias entre o modelo do semi-espaço superior U n com
H n
R = P(V−), sendo que em V− estamos escrevendo coordenadas na base E.
em que x = (x1, · · · , xn) e
⎡
φ −1
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦ =
φ : U n → H n
R = P(V−)
⎡
⎢
φ(x) = ⎢
⎣
−1
√ 2x1
.
√ 2xn−1
|x| 2
⎤
φ −1 : H n
R = P(V−) → U n
−x2
√ , · · · ,
2x1
−xn
√ ,
2x1
31
⎥ , (2.10)
⎥
⎦
− 2x1xn+1 + x 2 2 + · · · + x 2 n
2x 2 1
. (2.11)