Arquivo - Departamento de Matemática

cosh 2 (dF (x, y)) =
〈X, Y 〉〈Y, X〉
〈X, X〉〈Y, Y 〉 = 〈X, Y 〉2 .
Segue que cosh(dF (X, Y )) = |〈X, Y 〉|. Entretanto, da demonstração do teorema 1.6,
podemos assumir, sem perda de generalidade, que
X = xn+1en+1 = (0, · · · , 0, xn+1) e Y = (y1, · · · , yn+1).
e então vemos que 〈X, Y 〉 = −xn+1yn+1 < 0 para quaisquer X e Y em F n . Assim, concluímos
que, nesse caso,
cosh(dF (X, Y )) = −〈X, Y 〉. (2.2)
O conjunto F n munido da métrica dF é o modelo do hiperbolóide do espaço
hiperbólico real H n
R.
2.3 O Modelo da Bola
Identifique R n com R n × {0} em R n+1 . Seja B n = {x ∈ R n : |x| < 1} a bola aberta
unitária centrada na origem, em que |x| é a norma euclidiana. A projeção estereográfia ζ de
B n sobre F n é definida da seguinte forma: se x ∈ B n , então ζ(x) é a interseção de F n com
a reta que passa por −en+1 e x. Como ζ(x) está sobre a reta que passa por x e tem vetor
diretor x + en+1, então existe um escalar λ tal que ζ(x) = x + λ(x + en+1). Para ζ(x) ∈ F n ,
temos 〈ζ(x), ζ(x)〉 = −1. Como x = (x1, · · · , xn, 0) ∈ B n , então 〈x, en+1〉 = 0. Logo, temos
que
−1 = 〈ζ(x), ζ(x)〉 = 〈x+λx+λen+1, x+λx+λen+1〉 = 〈x, x〉+λ〈x, x〉+λ〈x, x〉+λ 2 〈x, x〉−λ 2
⇔ λ 2 (|x| 2 − 1) + 2λ|x| 2 + |x| 2 + 1 = 0 ⇔ (λ + 1)(λ(|x| 2 − 1) + |x| 2 + 1) = 0.
Se λ = −1, ζ(x) = −en+1. E como −en+1 não pertence a F n , então
ou seja,
λ =
1 + |x|2
.
1 − |x| 2
Obtemos a seguinte expressão explícita para a projeção estereográfica ζ : Bn → F n
1 + |x|2
ζ(x) = x1 +
1 − |x| 2 x1,
1 + |x|2 1 + |x|2
· · · , xn + xn,
1 − |x| 2 1 − |x| 2
,
ζ(x) =
2x1 2xn 1 + |x|2
, · · · , ,
1 − |x| 2 1 − |x| 2 1 − |x| 2
.
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