Arquivo - Departamento de Matemática

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ζ(y) =
2y1 2yn 1 + |y|2
, · · · , ,
1 − |y| 2 1 − |y| 2 1 − |y| 2
.
−〈ζ(x), ζ(y)〉 = −4x1y1 − · · · − 4xnyn + (1 + |x| 2 )(1 + |y| 2 )
(1 − |x| 2 )(1 − |y| 2 )
= −4x1y1 − · · · − 4xnyn + [(1 + |x| 2 )(1 − |y| 2 ) + 2|x| 2 + 2|y| 2 ]
(1 − |x| 2 )(1 − |y| 2 )
= (1 − |x|2 )(1 − |y| 2 ) + 2[|x| 2 − 2x1y1 − · · · − 2xnyn + |y| 2 ]
(1 − |x| 2 )(1 − |y| 2 )
= (1 − |x|2 )(1 − |y| 2 ) + 2|x − y| 2
= 1 +
(1 − |x| 2 )(1 − |y| 2 )
2|x − y| 2
(1 − |x| 2 )(1 − |y| 2 ) .
2.4 O Modelo do Semi-espaço
A esfera de centro em a e raio r em R n é dada por S(a, r) = {x ∈ R n : |x − a| = r},
em que a ∈ R n e r > 0.
Seja R n = R n ∪ {∞}.
Definição 2.1. A inversão na esfera de centro a e raio r em R n é a aplicação σ : R n → R n
dada por
ou seja,
σ(x) = a +
2 r
(x − a), σ(a) = ∞ e σ(∞) = a.
|x − a|
A aplicação σ tem ordem dois, pois
σ(σ(x)) =
r
a +
=
2 2
r
r 2(x (x − a)
− a) |x − a|
|x−a|
2 |x − a|
a +
r2 2 r
|x − a| 2
(x − a)
= a + x − a = x.
Dados x, y = a quaisquer em R n , temos a seguinte identidade:
|x − y| 2 = |x − a| 2 − 2〈x − a, y − a〉 + |y − a| 2 ,
−2〈x − a, y − a〉 = |x − y| 2 − |x − a| 2 − |y − a| 2 .
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