Arquivo - Departamento de Matemática

Ou seja, a aplicação σ transforma o semi-espaço inferior na bola unitária B n centrada na
origem de R n . Assim, se considerarmos a inversão ρ(x1, · · · , xn−1, xn) = (x1, · · · , xn−1, −xn)
no plano xn = 0 de R n , vemos que a composição
transforma o semi-espaço superior
na bola unitária B n .
ϕ = σρ : U n → B n
U n = {x = (x1, · · · , xn) ∈ R n : xn > 0}
A métrica dU em U n é definida de tal modo que a aplicação ϕ = σρ : U n → B n seja
uma isometria entre U n e B n , isto é,
dU(x, y) = dB(ϕ(x), ϕ(y)).
Essa métrica é chamada de métrica de Poincaré em U n , e o conjunto U n munido
dessa métrica é o modelo do semi-espaço superior para o espaço hiperbólico real H n
R.
Teorema 2.2. Se x = (x1, · · · , xn) e y = (y1, · · · , yn) são pontos em U n , então,
|x − y|2
cosh dU(x, y) = 1 + .
2xnyn
Demonstração. Da definição de dU e do teorema 2.1, temos que
obtemos
cosh dU(x, y) = cosh dB(ϕ(x), ϕ(y)) = 1 +
Da expressão (2.3), temos que
|ϕ(x) − ϕ(y)| = |σ(ρ(x)) − σ(ρ(y))| =
2|ϕ(x) − ϕ(y)| 2
(1 − |ϕ(x)| 2 )(1 − |ϕ(y)| 2 . (2.6)
)
2|ρ(x) − ρ(y)|
|ρ(x) − en||ρ(y) − en| .
Como |ρ(x) − ρ(y)| = |x − y|, |ρ(x) − en| = |x + en| e |ρ(y) − en| = |y + en|, obtemos
|ϕ(x) − ϕ(y)| =
2|x − y|
|x + en||y + en| .
Como ρ(x) = (x1, · · · , xn−1, −xn) e ρ(y) = (y1, · · · , yn−1, −yn), da expressão (2.5),
1 − |ϕ(x)| 2 = 1 − |σ(ρ(x))| 2 = −4(−xn) 4xn
=
|ρ(x) − en| 2 |x + en| 2
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