Arquivo - Departamento de Matemática

Corolario 1.1. O conjunto SV− dos vetores negativos especiais é um subconjunto convexo
de R n,1 .
Demonstração. Se X e Y são vetores negativos especiais e 0 < t < 1 então, pelo teorema
1.1, temos que (1 − t)X + tY é vetor negativo especial.
1.1 O Grupo Ortogonal
Definição 1.1. Uma aplicação linear T : R n,1 → R n,1 é dita ortogonal se T preserva a
forma bilinear simétrica definida acima em R n,1 , ou seja, se
〈T (X), T (Y )〉 = 〈X, Y 〉, para todo X, Y ∈ R n,1 .
Definição 1.2. Uma base {V1, · · · , Vn+1} de R n,1 é uma base ortonormal se
〈V1, V1〉 = 1, · · · , 〈Vn, Vn〉 = 1, 〈Vn+1, Vn+1〉 = −1 e 〈Vi, Vj〉 = 0 para i = j.
Observe que a base canônica {e1, · · · , en+1} de R n+1 é uma base ortonormal de R n,1 .
Teorema 1.2. A aplicação T : R n,1 → R n,1 é ortogonal se, e somente se, T é linear e
{T (e1), · · · , T (en+1)} é uma base ortonormal de R n,1 .
Demonstração. Suponha que T seja uma aplicação ortogonal. Então, por definição, T é
aplicação linear tal que:
e
〈T (e1), T (e1)〉 = 〈e1, e1〉 = 1,
.
〈T (en), T (en)〉 = 〈en, en〉 = 1,
〈T (en+1), T (en+1)〉 = 〈en+1, en+1〉 = −1,
〈T (ei), T (ej)〉 = 〈ei, ej〉 = 0 para i = j.
Assim, {T (e1), · · · , T (en+1)} é uma base ortonormal de R n,1 .
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