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Teorema 4.2. Seja q uma forma quadrática não-degenerada em R n e seja V um subespaço
de R n . Então V ⊥ ⊥ = V.
Demonstração. Por definição temos que
V ⊥ = {w ∈ R n | 〈w, v〉 = 0 ∀ v ∈ V } .
V ⊥ ⊥ = {x ∈ R n | 〈w, x〉 = 0 ∀ w ∈ V ⊥ } .
Se v ∈ V então 〈w, v〉 = 0 para todo w ∈ V ⊥ . Isto implica que v ∈ V ⊥ ⊥ e que V ⊂ V ⊥ ⊥ .
Mas, do teorema anterior, temos que
dim V + dim V ⊥ = n e dim V ⊥ + dim V ⊥ ⊥ = n .
Daí temos que dim V = dim V ⊥ ⊥ . Desta igualdade e do fato que V ⊂ V ⊥ ⊥ , podemos
concluir que V = V ⊥ ⊥ .
Definição 4.5. Seja q uma forma quadrática em R n e sejam V e W subespaços de R n .
Dizemos que R n é a soma direta ortogonal de V e W se R n = V ⊕ W e se V e W são
subespaços ortogonais de R n . Se este é o caso, escrevemos R n = V ○⊥ W .
Proposição 4.2. Seja q uma forma quadrática não-degenerada em R n e seja V um subespaço
de R n . As seguintes afirmações são equivalentes:
(1) V é não-degenerado.
(2) V ⊥ é não-degenerado.
(3) V ∩ V ⊥ = {0 }.
(4) R n = V + V ⊥ .
(5) R n = V ○⊥ V ⊥ .
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