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Resumo
Este trabalho consiste em apresentar uma resposta para a seguinte pergunta: dados
(p1, . . . , pk) e (q1, . . . , qk) dois conjuntos ordenados de k pontos distintos na fronteira do
espaço hiperbólico real, quais são as hipóteses necessárias e suficientes para que exista uma
isometria f de H n R tal que f(pi) = qi, para i = 1, . . . , k ?
Primeiramente, tomamos levantamentos dos dois conjuntos pontos na fronteira para
vetores do espaço R n,1 e demonstramos que existe uma transformação ortogonal que leva um
conjunto de vetores no outro conjunto de vetores se, e somente se, as matrizes de Gram dos
respectivos conjuntos são iguais. Porém, como cada conjunto de pontos possui uma infinidade
de levantamentos, as matrizes de Gram não são unicamente determinadas. Introduzimos,
então, o conceito de matriz de Gram normalizada, que é uma matriz de Gram com uma
forma especial e única. Daí, resolvemos o problema proposto.
Entretanto, como para o cálculo da matriz de Gram normalizada fazemos uma escolha
bastante especial de levantamentos, é interessante formular a classificação de classes de
equivalência de k-upla de pontos distintos em ∂H n R
em uma linguagem que utilize invariantes
do espaço hiperbólico. Então, respondemos a pergunta proposta mais uma vez, utilizando o
invariante de Korányi-Riemann.
Considerando o caso particular n = 3 e o modelo do semi-espaço superior para o espaço
hiperbólico H3 R , conseguimos reescrever os principais resultados obtidos em termos da razão
cruzada clássica.
Por fim, demonstramos resultados análogos aos que vimos para pontos na fronteira, e
caracterizamos quando dois conjuntos ordenados de k pontos no interior do espaço hiperbólico
real são equivalentes por uma isometria.
Palavras-chave: espaço hiperbólico real, fronteira, isometria, matriz de Gram, matriz
de Gram normalizada, teoremas de Witt, razão cruzada clássica, invariante de Korányi-
Riemann, espaço de módulos, espaço de configurações.