Arquivo - Departamento de Matemática

Capítulo 1
O espaço de Lorentz
Neste capítulo, veremos algumas considerações preliminares para iniciarmos o estudo
da geometria hiperbólica. Primeiramente, vamos definir uma forma bilinear simétrica em
R n+1 e o espaço de Lorentz, R n,1 . Em seguida, vamos ver as definições básicas para construir
o grupo ortogonal e os principais resultados de R n,1 .
Sejam X = (x1, · · · , xn, xn+1) e Y = (y1, · · · , yn, yn+1) vetores de R n+1 . Considere a
forma bilinear simétrica 〈·, ·〉 de assinatura (n, 1)
〈X, Y 〉 = x1y1 + · · · + xnyn − xn+1yn+1. (1.1)
O espaço vetorial real R n+1 munido da forma bilinear simétrica (1.1) é chamado espaço
de Lorentz e denotado por R n,1 .
Considere os seguintes sub-conjuntos de R n,1 :
V0 = {X ∈ R n,1 : 〈X, X〉 = 0}
V− = {X ∈ R n,1 : 〈X, X〉 < 0}
V+ = {X ∈ R n,1 : 〈X, X〉 > 0}
Os vetores em V0, V− e V+, são chamados, respectivamente, de vetores nulos, nega-
tivos e positivos. Se x ∈ V0 e x = −→ 0 , então x é isotrópico.
Note que se um vetor X = (x1, · · · , xn, xn+1) é negativo, então x 2 1 + · · · + x 2 n − x 2 n+1 < 0
e isso implica que xn+1 = 0. Chamaremos um tal vetor X de vetor negativo especial se
xn+1 > 0 e vamos denotar por SV− o conjunto dos vetores negativos especiais de R n,1 :
SV− = {X = (x1, · · · , xn, xn+1) ∈ R n,1 : 〈X, X〉 < 0 e xn+1 > 0}.
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