Arquivo - Departamento de Matemática

onde V1 também é um subespaço não degenerado de R n . Do mesmo modo, também podemos
escrever
W = span{σ(v0)} ○⊥ σ(V1)
onde σ(V1) é um subespaço não degenerado de R n . Deste modo temos que
R n = V ○⊥ V ⊥ ⇒ R n = span{v0} ○⊥ V1 ○⊥ V ⊥ .
R n = W ○⊥ W ⊥ ⇒ R n = span{σ(v0)} ○⊥ σ(V1) ○⊥ W ⊥ .
Aplicando o Teorema do Cancelando de Witt para o caso 1-dimensional (que acabamos de
demonstrar), podemos concluir que existe uma isometria f : V1 ○⊥ V ⊥ → σ(V1) ○⊥ W ⊥ .
Como f(V1 ○⊥ V ⊥ ) = f(V1) ○⊥ f(V ⊥ ) e como f é sobrejetora, concluímos que
f(V1) ○⊥ f(V ⊥ ) = σ(V1) ○⊥ W ⊥ .
Como f(V1) ≈ σ(V1) e como dim(f(V1)) = dim(V1) = dim(V )−1 = k, a hipótese da indução
implica que f(V ⊥ ) ≈ W ⊥ . Agora, como evidentemente f(V ⊥ ) ≈ V ⊥ , por transitividade
concluímos finalmente que V ⊥ ≈ W ⊥ .
Para a demonstração do Teorema de Extensão de Witt, além do Teorema de Cancelamento,
precisaremos do seguinte lema.
Lema 4.1. Seja q uma forma quadrática não-degenerada em R n e seja V um subespaço
degenerado de R n . Se v0 ∈ V ∩ V ⊥ é um vetor não-nulo e se R é o complemento linear de
span{v0} em V , no sentido que V = span{v0} ⊕ R, então existe um vetor u ∈ R n tal que:
• u é isotrópico.
• u é ortogonal a R, isto é, 〈u, r〉 = 0 para todo r ∈ R.
• 〈v0, u〉 = 1.
• u /∈ V .
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