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Exemplo: Em R n+1 considere a forma quadrática q(x) = x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n − x 2 n+1, que
define a seguinte forma bilinear simétrica em R n+1
〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn − xn+1yn+1 .
Neste caso, o grupo O(R n+1 , q) é exatamente o grupo O(n, 1) definido no capítulo 1.
Definição 4.7. Seja q uma forma quadrática em R n e seja v ∈ R n um vetor não-isotrópico,
isto é, v é tal que q(v) = 〈v, v〉 = 0. A reflexão ao redor de v é a seguinte isometria iv de
R n
〈x, v〉
iv(x) = x − 2 v .
〈v, v〉
Efetuando alguns cálculos simples verifica-se que iv ∈ O(R n , q), que iv tem ordem dois e que
iv(v) = −v.
Na demonstração do Teorema do Cancelamento de Witt, além do conceito de involução,
utilizaremos a seguite proposição.
Proposição 4.3. Seja q uma forma quadrática em R n e seja k um número real tal que k = 0.
O grupo O(R n , q) age transitivamente no conjunto
{ x ∈ R n | q(x) = k } .
Demonstração. Sejam x e y vetores em R n tais que q(x) = q(y) = k = 0. Queremos mostrar
que existe uma isometria de R n que manda x em y. Para isso, observe primeiramente que
〈x − y, x + y〉 = 〈x, x〉 − 〈y, y〉 = 0 .
Isto implica que q(x − y) = 0 ou que q(x + y) = 0 pois, caso contrário, se q(x − y) = 0 e se
q(x + y) = 0 teríamos que q(x) = 0 pois x = 1
[(x − y) + (x + y)].
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Se x − y é não-isotrópico, a reflexão ix−y é tal que
ix−y(x − y) = −x + y e ix−y(x + y) = x + y .
Somando essa duas expressões temos que ix−y(x) = y, como queríamos demonstrar.
Se x + y é não-isotrópico, a reflexão ix+y é tal que
ix+y(x + y) = −x − y e ix+y(x − y) = x − y .
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