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Introdução
O objetivo principal da presente dissertação é apresentar uma resposta para a seguinte
pergunta: quais são as hipóteses necessárias e suficientes para que, dados (p1, . . . , pk) e
(q1, . . . , qk) dois conjuntos ordenados de k pontos distintos na fronteira do espaço hiperbólico
real, exista uma isometria f de H n R tal que f(pi) = qi, para i = 1, . . . , k ?
Para atingir este objetivo, utilizaremos o invariante de Korányi-Riemann, e para isso
precisamos utilizar o modelo projetivo para o espaço hiperbólico real. Este modelo é definido
do seguinte modo: em R n+1 considere a forma bilinear simétrica 〈·, ·〉 dada por
〈X, Y 〉 = x1y1 + · · · + xnyn − xn+1yn+1,
sendo X = (x1, . . . , xn, xn+1) e Y = (y1, . . . , yn, yn+1). O espaço vetorial R n+1 munido desta
forma bilinear será denotado por R n,1 . Se
V− = {X ∈ R n+1 : 〈X, X〉 < 0}, V0 = {X ∈ R n+1 : 〈X, X〉 = 0}
e se P : R n+1 \ {0} → RP n denota a projeção natural sobre o espaço projetivo real, então o
espaço hiperbólico real H n R pode ser definido como P(V−). A fronteira de H n R
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é então dada
por P(V0), os vetores em V− são chamados de vetores negativos e os vetores diferentes de 0
em V0 são chamados de vetores isotrópicos.
Começamos a dissertação, então, apresentando algumas noções básicas sobre o modelo
projetivo do espaço hiperbólico real. Além disso, definimos outros modelos relevantes para
e apresentamos mudanças de coordenadas que os relacionam. E como no modelo do semi-
Hn R
espaço superior é bem sabido que o grupo de isometrias de Hn R
é gerado por translações,
rotações, dilatações e a inversão, apresentamos matrizes que agem como transformações
ortogonais de R n,1 e que induzem estas isometrias em H n R .
Agora observe que se (p1, . . . , pk) e (q1, . . . , qk) são dois conjuntos ordenados de k pontos
distintos na fronteira do espaço hiperbólico real, considerando levantamentos destes pontos