Arquivo - Departamento de Matemática

e
⎡
φ −1
⎢
⎣
x1
.
xn+1
⎤
⎥
⎦ =
φ : ∂U n → ∂H n
R = P(V0)
⎡
2x1
⎢ .
⎢
φ(x1, · · · , xn−1, 0) = ⎢ 2xn−1 ⎢
⎣ |x| 2 − 1
|x| 2 ⎤
⎥
⎦
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢ . ⎥
⎢ ⎥
e φ(p∞) = ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎣ 1
⎥
⎦
+ 1
1
x1
xn+1 − xn
φ −1 : ∂H n
R = P(V0) → ∂U n
, · · · ,
xn−1
xn+1 − xn
, 0
se xn+1 = xn e φ −1
(3.1)
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢ . ⎥
⎢ ⎥
⎢ 0 ⎥ = p∞. (3.2)
⎢ ⎥
⎢
⎣ 1
⎥
⎦
1
Como um caso particular, considere n = 3. Podemos representar semi-espaço superior
U 3 como o produto cartesiano C × R+, em que identificamos (x, y, t) ∈ U 3 com (x + iy, t) ∈
C × R+. Daí, vemos que ∂U 3 fica identificado com o plano complexo estendido C. Após essa
identificação podemos reescrever as aplicações (3.1) e (3.2) do seguinte modo:
e
φ(z) =
φ : C → ∂H 3 R = P(V0)
⎡
2Re(z)
⎢
2Im(z)
⎢
⎣|z|
2 − 1
|z| 2 ⎤
⎥
⎦
+ 1
e φ(p∞) =
φ −1 : ∂H 3 R = P(V0) → C
35
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
⎢
0 ⎥
⎢
⎣1
⎥
⎦
1
(3.3)