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Para fazer o mapeamento das densidades, utiliza-se um uma média ponderada, ou seja, um
dado nó terá maior influência nas densidades dos elementos que estiverem mais perto dele. A média
pode ser expressada através da equação 2, onde r é o raio e d a distância entre o nó e o centróide do
elemento em questão.
ω =
r− d
r
se d r
0 se d r (2)
É importante ressaltar que existem dois métodos de projeção, o primeiro é a projeção simples,
onde se projeta a parte sólida, ou seja, determina-se onde haverá material. A outra forma de projeção é
a projeção dupla, que além de projetar os espaços com material também projeta os espaços vazios. O
último método contém então o dobro de variáveis de projeto que o primeiro, porém permite controlar
efetivamente a dimensão dos raios de concordância nos contornos obtidos pelo método de otimização
topológica. Nesse trabalho será abordado o segundo método.
Tendo-se calculado ω pode-se calcular µ, que é a intensidade das projeções próximas aos nós e
pode ser expressada pela equação 3.
e = ∑ i N e x i
w
∑ iN
e w
Considerando o cálculo da densidade de um elemento, deve-se levar em consideração que no método
das projeções duplas são calculadas duas densidades; a que determina onde haverá material e a que
determina onde não haverá material.
(3)
1 e = 1− e − 1 1
e 1 e e − 1
0 e = e − 0 0
e− 0 e e − 0
(4)
(5)
Onde ß é um parâmetro utilizado para aproximação da função heaviside. Quanto maior o valor de ß,
mais fiel será a aproximação. As equações 4 e 5 permitem a obtenção de duas densidades, porém cada
elemento possui apenas uma densidade final, logo obtém-se uma densidade final por meio de uma
média simples (Eq. 6).
e = 1 2 e 0 e 1
(6)
Substituido as equações 4 e 5 na equação 6 têm-se a densidade final para projeção dupla.
e = 1 2 e− 0 0
e
− 0 e e − 01− e − 1 1
e 1 e e − 1
(7)
Um ponto importante a ressaltar é o cálculo das derivadas, pois as variáveis de projeto não são mais as
densidades dos elementos e sim as variáveis nodais. Sabe-se que as derivadas são todas em relação à
Projeto de Pesquisa - N o 1083 – DEM
2 Orientador, Professor do Departamento de Engenharia Mecânica – lenz@joinville.udesc.br
3 Acadêmica do Curso de Engenharia Mecânica, bolsista de iniciação científica PROBIC/UDESC