x - Natur och Kultur

lena Alfredsson 

kajsa bråting 

patrik erixon 

hans heikne 

Matematik 

5000 

kurs 3c blå lärobok 

natur & kultur 

Bla 3c.indb 1 2012-07-10 09.34

NATUR & KULTUR 

Box 27 323, 102 54 Stockholm 

Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se 

Redaktion: Tel 08-453 86 00, info@nok.se 

www.nok.se 

Order och distribution: Förlagssystem, 

Box 30 195, 104 25 Stockholm 

Tel 08-657 95 00, order@forlagssystem.se 

www.fsbutiken.se 

Projektledare: Irene Bonde 

Textredaktör: Mats Karlsson/Devella HB 

Bildredaktör: Erica Högsborn 

Grafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa Lundbom 

Layout: Måns Björkman/Typ & Design och 

Mats Karlsson/Devella HB 

Sättning: Måns Björkman/Typ & Design och 

Mats Karlsson/Devella HB 

Kopieringsförbud! 

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, 

utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk 

enligt avtal med Bonus Presskopia och den mycket begränsade rätten 

till kopiering för privat bruk. 

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän 

åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli 

skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. 

© 2012 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin, 

Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne, Anna Palbom 

och Natur & Kultur, Stockholm 

Tryckt i Lettland 2012 

Första utgåvans första tryckning 

ISBN 978-91-27-42628-3 

Bla 3c.indb 2 2012-07-10 09.34

Välkommen till Matematik 5000 

Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan 

och vuxenutbildningen. Den är inriktad 

på färdigheter, förståelse, kommunikation och 

problemlösning och erbjuder stora möjligheter till 

en varierad undervisning. 

Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar 

att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål 

som beskrivs i den nya ämnesplanen. 

Denna bok, Kurs 3c Blå lärobok, riktar sig till 

elever som studerar på teknikprogrammet eller 

naturvetenskapsprogrammet. 

Hur är boken upplagd? 

• Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel 

som framställs och förklaras på ett sätt som 

ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka 

matematiken. 

Teorin avslutas med flera lösta exempel som 

belyser det viktigaste. 

Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, 

a, b och c, i stigande svårighetsgrad. 

• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera 

undervisningen. De finns i fyra olika kategorier: 

Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera. 

De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje 

kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet 

som introducerar delar av kapitlets innehåll. 

• I Teman finns teori och uppgifter anpassade 

till naturvetenskapsprogrammet och teknikprogrammet 

och i Historik, med tillhörande 

uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt 

sammanhang. 

• På många sidor blandas uppgifter av standardkaraktär 

med uppgifter som kräver matematisk 

problemlösning. 

Varje kapitel avslutas med: 

• En Aktivitet som uppmuntrar till kommunikation: 

Sant eller falskt? 

• En kort Sammanfattning av kapitlet. 

• Kan du det här? och Diagnos som tillsammans 

ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. 

I Kan du det här? kan eleverna i par 

eller smågrupper värdera sina kunskaper om 

matematiska begrepp och strategier och 

i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande 

kunskaper. 

• Om en elev behöver repetera delar av kapitlet 

finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. 

Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta 

uppgifterna i bokens teoriavsnitt. 

• Två olika varianter av Blandade övningar avslutar 

varje kapitel. Den första innehåller endast 

uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra 

innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. 

Blandade övningar består av tre delar: Utan 

räknare, Med räknare och Utredande uppgifter. 

I Svarsdelen finns ledtrådar till många uppgifter. 

Till läroboken finns en lärarhandledning med 

kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter 

samt en provbank. 

Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever 

till en variation av arbetssätt och arbetsformer 

och erbjuder många olika möjligheter för eleverna 

att utveckla sina matematiska förmågor. 

Mer information om läromedlet och digitalt material 

finns på www.nok.se/matematik5000 

Lycka till med matematiken! 

önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik 

förord 3 

Bla 3c.indb 3 2012-07-10 09.34

Innehåll 

1. Algebra och funktioner 6 

Centralt innehåll 6 

Inledande aktivitet: Vilka uttryck är lika? 7 

1.1 Algebra och polynom 8 

Polynom och räkneregler 8 

Potenser 12 

Kvadratrötter och absolutbelopp 14 

Ekvationer 17 

Polynom i faktorform 22 

Aktivitet: Upptäck – Pascals triangel 24 

1.2 Rationella uttryck 26 

Vad menas med ett rationellt uttryck? 26 

Förlängning och förkortning 28 

Addition och subtraktion 33 

Multiplikation och division 38 

1.3 Funktioner 40 

Inledning 40 

Historik: Hur funktionsbegreppet utvecklats 42 

Räta linjens ekvation 43 

Andragradsfunktioner 46 

Exponentialfunktioner och potensfunktioner 50 

Aktivitet: Laborera – Pendeln 54 

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 55 

Sammanfattning 1 56 

Kan du det här? 1 58 

Diagnos 1 59 

Blandade övningar kapitel 1 60 

2. Förändringshastigheter och derivator 64 


Inledande aktivitet: Hastighet och lutning 65 

2.1 Ändringskvoter och begreppet derivata 66 

Ändringskvoter 66 

Begreppet derivata 71 

2.2 Gränsvärde och derivatans definition 77 

Gränsvärde 77 

Derivatans definition 80 

2.3 Deriveringsregler I 83 

Derivatan av polynom 83 

Tema: Hastighet och acceleration 90 

Aktivitet: Laborera – Kvadratiska pappskivor 92 

Derivatan av potensfunktioner 93 

Historik – Tangenter och derivata 96 

Aktivitet: Undersök – Det märkliga talet e 97 

2.4 Deriveringsregler II 98 

Derivatan av exponentialfunktionen y = e kx 98 

Naturliga logaritmer 102 

Derivatan av exponentialfunktionen y = a x 105 

Tillämpningar och problemlösning 107 

2.5 Grafisk och numerisk derivering 111 

Olika differenskvoter 111 

Grafritande räknare och derivators värde 114 




Diagnos 2 121 


Blandade övningar kapitel 1–2 125 

4 innehåll 

Bla 3c.indb 4 2012-07-10 09.34

3. Kurvor, derivator och integraler 128 


Inledande aktivitet: Max och min 129 

3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen? 130 

Inledning 130 

Extrempunkter och extremvärden 131 

Växande och avtagande 133 

Förstaderivatan och grafen 136 

Skissa grafer 140 

Historik – Matematik till och från Sverige 143 

Största och minsta värde 144 

3.2 Derivator och tillämpningar 147 

Polynomfunktioner 147 

Potensfunktioner 154 

Andraderivatan 157 

Andraderivatan och grafen 158 

Aktivitet: Laborera – Vem tillverkar största lådan? 161 

Grafritande räknare 162 


Aktivitet: Undersök – Funktioner och derivator 168 

Kan alla funktioner deriveras? 170 

Aktivitet: Undersök – Antiderivata 172 

3.3 Från derivata till funktion 173 

Primitiva funktioner 173 

Primitiva funktioner med villkor 176 

3.4 Integraler 178 

Inledning 178 

Aktiviet: Undersök – Finn arean 181 

Integralberäkning med primitiv funktion 182 





Diagnos 3 195 



4. Trigonometri 204 


Inledande aktivitet: 

Trigonometri i rätvinkliga trianglar 205 

4.1 Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar 206 

Trigonometri i rätvinkliga trianglar 206 

Två speciella trianglar 209 

Cirkelns ekvation 210 

Godtyckliga trianglar 211 

Aktivitet: Undersök - Enhetscirkeln 212 

4.2 Triangelsatserna 216 

Areasatsen 216 

Sinussatsen 219 

När ger sinussatsen två fall? 221 

Cosinussatsen 226 


Aktivitet: Laborera – Avståndsmätning 234 

Historik – Trigonometri och geodesi 235 




Diagnos 4 239 



Repetitionsuppgifter 246 

Svar, ledtrådar och lösningar 252 

Register 286 

innehåll 5 

Bla 3c.indb 5 2012-07-10 09.34

1 

ALGEBRA OCH 

FUNKTIONER 

Centralt innehåll 

✱ hantering av algebraiska uttryck och 

ekvationer. 

✱ generalisering av aritmetikens lagar och 

begreppet absolutbelopp. 

✱ begreppen polynom och rationellt uttryck. 

✱ kontinuerlig och diskret funktion. 

✱ polynom-, potensoch exponentialfunktioner. 

I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och 

volym, skala och likformighet samt trigonometri. 

Bla 3c.indb 6 2012-07-10 09.34

238876744 

894789475849 

7547 

15343274 

55 

112 

777 

1 

482398678567 

894789475849 

Inledande aktivitet 

VILKA UTTRYCK ÄR LIKA? 

Dela ett A4-papper så du får 16 papperlappar. På lapparna skriver du följande 

matematiska uttryck (ett uttryck per lapp). 

Gruppera lapparna så att de uttryck som är lika hamnar i samma grupp. 

1 

x 2 + 1 

2 

(2x – 1) 2 3 

(x – 1) 2 4 

(2x) 2 – 1 2 

5 

1 – 2x + x 2 6 

x 2 – x 

7 

4x 2 – 1 

8 

(x + 1)(x – 1) 

9 

3 – 2(1 – x 2 ) – x 2 10 

x + x + 1 

11 

–x(1 – x) 

12 

4x 2 – 4x + 1 

13 

– (1 – x 2 ) 

14 

(2x + 1)(2x – 1) 

15 

x 2 – 1 

16 

(x + 1) 2 

Bla 3c.indb 7 2012-07-10 09.34

1.1 Algebra och polynom 

Polynom och räkneregler 

Exempel 

polynom 

gradtal 

I många situationer kan vi använda enkla polynom som matematiska 

modeller. Bollens bana i figuren är en parabel och kan beskrivas av 

sambandet 

y (x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x 2 

Högerledet är ett polynom som består av tre termer, en konstantterm 

och två variabeltermer. 

Kontrollera sambandet genom att sätta in de värden som visas i figuren! 

Ett polynom är en summa av termer av typen a ∙ x n , där x är en variabel, 

exponenten n ett naturligt tal och a en konstant som ofta kallas 

koefficient. Varje polynom kan skrivas 

n 

a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . + a n x n = ∑ a k x k 

k = 0 

Den största exponenten i ett polynom i en variabel anger polynomets gradtal. 

y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x 2 är ett exempel på ett andragradspolynom. 

x 2 y 2 + 2x 3 +5xy är ett polynom i två variabler x och y. Polynomets 

gradtal är 4. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda 

exponenten. 

Polynom av första graden skrivs ofta p(x) = ax + b. 

Polynom av andra graden skrivs ofta p(x) = ax 2 + bx + c. 

Summan, differensen och produkten av två polynom är också ett polynom. 

8 1.1 Algebra och polynom 

Bla 3c.indb 8 2012-07-10 09.34

Vi repeterar några regler och lagar som kan användas vid räkning med 

polynom. I reglerna och lagarna nedan kan bokstäverna a, b , c och d 

representera ett tal, en variabel eller ett polynom med flera termer. 

Parentesreglerna 

(a + b) + (c – d ) = a + b + c – d 

(a + b) – (c + d ) = a + b – c – d 

(a + b) – (c – d ) = a + b – c + d 

Distributiva lagen 

a(b + c) = ab + ac 

(a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd 

Konjugatregeln 

(a + b)(a – b) = a 2 – b 2 

Kvadreringsreglerna 

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 

1101 

Ge exempel på ett fjärdegradspolynom med tre termer. 

Den största exponenten ska vara 4. 

T ex p (x) = x 4 + 5x 2 – 4 eller p (x) = 2x 4 – x 3 + 10x 

1102 

Förenkla x + (2x + 5) 2 – 4(x + 3)(x – 3). 

x + (2x + 5) 2 – 4(x + 3)(x – 3) = 

Utveckla med kvadreringsoch 

konjugatregel. 

= x + (4x 2 + 20x + 25) – 4(x 2 – 9) = Multiplicera in i parentes. 

= x + 4x 2 + 20x + 25 – 4x 2 + 36 = Förenkla. 

= 21x + 61 

Har du en avancerad räknare som kan göra algebraiska förenklingar 

och lösa ekvationer? Använd den gärna för kontroll, men lös först 

uppgiften utan räknare. 


Bla 3c.indb 9 2012-07-10 09.34

1103 Enligt en modell växer en bakteriekultur enligt formeln 

N(x) = 2 500 + 350x + 25x 2 

där N(x) är antalet bakterier x minuter 

efter försökets början. 

Beräkna och tolka N(5) – N(4). 

N(4) = 2 500 + 350 ∙ 4 + 25 ∙ 4 2 = 4 300 

N(5) = 2 500 + 350 ∙ 5 + 25 ∙ 5 2 = 4 875 

efter 4 minuter finns 

det 4 300 bakterier. 

efter 5 minuter finns 

det 4 875 bakterier. 

N(5) – N(4) = 4 875 – 4 300 = 575 ≈ 580 

Antalet bakterier ökar med cirka 580 under den femte minuten. 

1104 Utveckla och förenkla 

a) 4x + 2(2x – 3) c) (x + 3)(2x + 4) 

b) 6a – 2(11 – 7a) d) (y – 4)(2 – y) 

1105 Utveckla med konjugatregeln 

a) ( x – 4)(x + 4) b) (7 – 2a)(7 + 2a) 

1106 Utveckla med kvadreringsreglerna 

a) (a + 5) 2 c) (3x + 4) 2 

b) (x – 9) 2 d) (5 – 6y) 2 

1107 Diagonalerna i figuren har samma summa 

som kolumnen i mitten. 

Vad ska stå i A och B? 

A 

a – b 

2a – 4 

3(b – a) 

6(a – b + 1) 

B 

b – a 

1108 Ge ett exempel på ett andragradspolynom 

med 

a) tre termer 

b) två termer. 

1109 Om biljettpriset till en tennismatch är p kr 

uppskattar man att antalet åskådare N( p) 

kan beräknas med 

N( p) = 3 000 – 20p 

Beräkna N(140) och tolka resultatet i ord. 

1110 Beräkna värdet för uttrycket 

2(a – 2) 2 – 2a (a – 3) om a = 4 

a) före förenkling 

b) efter förenkling. 


a) 5x 2 – 4(2x – 3)(x – 5) 

b) 3(a – b) 2 – 2(a – b) 2 

c) (x – 2) 3 

d) (x – 1)x + (x 2 – 2x – 4)(x + 1) 

1112 p( x) är ett tredjegradspolynom. Vilken grad 

får det polynom som bildas då p (x) 

a) adderas med x 2 

b) multipliceras med x 2 ? 

Motivera dina svar. 

10 1.1 AlgebrA och polynom 

Bla 3c.indb 10 2012-07-10 09.34


a) 2x(x + y) – 2y(x – y) 

b) 2 ⎛ ⎝ x + 1 2 

2⎞ 

⎠ – 2 ⎛ ⎝ 

x – 1 2 

⎞ 

2⎠ 

c) 2x(x + y) 2 – 2y(x – y) 2 


a) (2a + 5) 3 

b) (a + b + 5)(a – b – 5) 

1117 Kostnaden K kr att producera x tröjor är 

K( x) = 800 + 15 x + 0,3 x 2 

Vinsten vid försäljning av x tröjor är 

V( x) kr. 

Ställ upp och förenkla ett uttryck för vinsten 

då tröjorna säljs för 90 kr/st. 

1113 Konstreproduktioner AB producerar högst 

30 målningar per vecka. Om firman en 

vecka producerar x målningar, räknar man 

med följande kostnader och intäkter: 

Kostnad i kr: K( x) = 5 000 + 80x + 10x 2 

Intäkt i kr: I ( x) = x(1 200 – 20x) 

Om intäkterna är större än kostnaden gör 

företaget en vinst. 

Ställ upp och förenkla ett uttryck för 

vinsten, V( x). 

1114 Bollens höjd y m över golvet vid ett 

straffkast i basket kan beräknas med 

formeln 

y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x 2 

där x m avståndet från utkastet räknat 

längs golvet. 

Beräkna och tolka y (2,5) – y (2,0). 

1118 Elleholms Finmekaniska tillverkar detaljer 

till en fiskerulle. Firmans totala kostnad 

K kr för att producera x detaljer uppskattas 

till K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x 2 . 

Ställ upp ett uttryck för hur kostnaden 

ändras om produktionen höjs från x detaljer 

till (x + 1) detaljer. 

1119 I en stugby finns 60 stugor att hyra. Ägaren 

har upptäckt att hon får alla stugor uthyrda 

om hon tar 3 000 kr för en vecka, och för 

varje hundralapp som hon ökar hyran med 

förlorar hon en hyresgäst. 

Ställ upp ett uttryck för hur den totala intäkten 

beror av en höjning med x hundralappar och 

undersök vad den maximala intäkten är. 

1120 p(a + 1) = a 2 + 2a + 1. Bestäm p(x). 

1121 Bestäm det andragradspolynom p(x) sådant 

att p(–1) = 0, p(0) = 5 och p(2) = –3. 

1.1 AlgebrA och polynom 11 

Bla 3c.indb 11 2012-07-10 09.34

Potenser 

Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner för potenser. 

Potenslagarna 

För reella exponenter x och y med samma positiva bas a gäller 

a x a y = a x + y a x 

a = a x – y (a x ) y = a xy 

y 

För positiva baser a och b med samma reella exponent x gäller 

a x b x = (a b) x a x 

b = ⎛ x ⎝ a b ⎞ x 

⎠ 

Definitioner 

a 0 = 1 a –x = 1 a x a ≠ 0 

Basen är positiv och exponenten är ett reellt tal. 

1122 

Förenkla med potenslagarna 

4 

3 

a) 2x · x – 1 3 

b) 165 

8 c) (–3a –3 ) 2 

5 a –4 

4 

3 

a) 2x · x – 1 3 

= 2x 

4 

3 + ⎛ ⎝ – 1 ⎞ 

3 

b) 165 

8 = ⎛ 5 ⎝ 16 5 

⎞ 

8 ⎠ = 2 

5 

= 32 eller 

4 

⎠ 3 

= 2x 

– 1 3 3 

= 2x = 2x 1 = 2x 

3 

16 5 (2 · 8)5 

= = 25 · 8 5 

= 2 5 = 32 

5 

8 8 5 8 5 

c) (–3a–3 ) 2 

= (–3)2 · a –3 · 2 –6 

9a 

= 

a –4 a –4 a = 9a –6 – (–4) = 9a –6 + 4 = 9a –2 = 9 –4 a 2 

1123 

a) Utveckla (3 x + 3 –x ) 2 

b) Bryt ut 2 x ur 2 x + h – 2 x , dvs skriv i faktorform. 

c) Lös ekvationen 2 x–1 = 4 7 

a) (3 x + 3 –x ) 2 = (3 x ) 2 + 2 · 3 x · 3 –x + (3 –x ) 2 = 

= 3 2x + 2 · 3 0 + 3 –2x = 3 2x + 2 + 3 –2x 

b) 2 x + h – 2 x = 2 x · 2 h – 2 x = 2 x (2 h – 1) 

c) 2 x–1 = 4 7 ⇒ 2 x–1 = (2 2 ) 7 ⇒ x – 1 = 2 · 7 ⇒ x = 15 


Bla 3c.indb 12 2012-07-10 09.34

1124 Skriv som en enda potens 

1130 Uttrycket 34 kan användas för att 

4 

3 

a) x 7 ∙ x –2 d) a5 

a –3 

motivera att a 0 = 1 och uttrycket 34 

3 7 

b) x6 

x e) 8 (b2 ) –4 

för att motivera a –n = 1 a n 

c) (4 x ) 3 f) b–3 

Förklara hur. 

b 

1125 Vilka av förenklingarna är felaktiga? 

1131 Förenkla 

Förklara vad som är fel. 

a) (5 x + 5 –x ) 2 

b) a 

1 

x (a 3x + 2a –x ) 

–4 

a) 

förenklas till 3 

3 · 3 · 3 · 3 

b) 5 + 5 + 5 + 5 förenklas till 5 4 

1132 Lös ekvationen 

c) (3x) 0 + 3x 0 a) 2 

förenklas till 4 

5x – 2 = 2 x 

b) 2 5x – 2 = 4 x 

d) (4a) 3 förenklas till 12a 3 

c) 3 2x = 1 

e) 2 ∙ 2 3 förenklas till 4 3 

27 

d) 2 3x ∙ 2 –5 = 2 x 


a) (2 ∙ x 4 ) 3 + 2 ∙ (x 4 ) 3 

1133 Bryt ut och skriv i faktorform 

b) ⎛ ⎝ 2a 2 

a) x 

⎞ 2 x a – 3x a 

b 2 ⎠ b) a 3 + h – a 3 

1 1 

c) a 2 n + a n 

2 3 

c) x · x 

m 

d) x 1134 Förenkla 

2 

m 

3 

a) 33 + 2x + 3 2x 

x 

3 2 + x – 3 b) 23x + 4 – 16 

x 2 6x – 2 3x 

1127 Låt y = 2 20 och bestäm 

1135 Bestäm talet x 

a) hälften av y b) en fjärdedel av y. 

a) 2 59 + 2 58 = x ∙ 2 58 

1 


a) (2ab)3 

2ab ( c) 2 –3 x ) –3 

b) 42 2 

· 4 

4 · 4 = 0 2x 

c) 2 

b) 4a3 b –2 (3a) 2 

d) 

3a –4 b 

( 1 x ) x + 58 · 2 x – 58 = 2 59 

–n 

d) 97+ x 

3 = 1 7 + x 9 


a) 3 ∙ 10 –a ∙ 3 ∙ 10 –a 


b) 3 ∙ 10 –a + 3 ∙ 10 –a 

a) 3a+1 · 3 2 

c) 3n + 1 · 9 n 

c) (3 x + 3 x ) 2 

3 3 27 2n / 3 

d) (3 x + 3 x + 3 x ) 2 b) (x2m ) 3 · x –n 

d) 163n / 4 · 4 n + 1 

x 2m + n 8 5n / 3 


Bla 3c.indb 13 2012-07-10 09.34

Kvadratrötter och absolutbelopp 

Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner om kvadratrötter. 

Definition 

Med kvadratroten ur a menas det positiva tal, vars kvadrat är a. 

(√a ) 2 = √a · √a = a a ≥ 0 

Lägg märke till följande: 

1 Kvadratroten ur ett tal är enligt definitionen ett positivt tal. 

√25 står alltså bara för det positiva talet 5. 

2 Ekvationen x 2 = 25 har däremot två lösningar. 

De är x 1 = √25 = 5 och x 2 = – √25 = –5. Vi skriver detta x = ±5 

3 – √25 är inte detsamma som √–25 

– √25 = –5 , medan beräkningen √–25 inte kan göras med reella tal. 

1 

2 

Sambandet a = √a ger tillsammans med potenslagarna 

a x b x = (ab) x och ax 

b = ⎛ x ⎝ a x 

⎞ 

b ⎠ följande lagar. 

Lagar för kvadratrötter 

√a · √b = √ab a ≥ 0 b ≥ 0 

√a 

√b = √ a b 

a ≥ 0 b > 0 

1137 

Beräkna utan räknare 

2 

a) √25 + √2 · √50 b) 9 + 4 –0,5 

1 

a) √25 + √2 · √50 = 5 + √2 · 50 = 5 + √100 = 5 + 10 = 15 

1 

2 

b) 9 + 4 –0,5 1 

= √9 + 

4 = 3 + 1 0,5 

√ 4 = 3 + 1 2 = 3,5 

1138 

1 √ Visa att 

√2 = 2 

2 

1 

√2 = 1 · √2 √ 

√2 · √2 = 2 

2 


Bla 3c.indb 14 2012-07-10 09.34

Exempel 1 Om x > 0 så gäller likheten √x 2 = x. 

T ex √5 2 = √25 = 5. 

Om x är ett negativt tal så gäller däremot likheten √x 2 = –x 

T ex √(–5) 2 = √25 = 5 = –(–5) 

absolutbelopp 

Detta kan uttryckas med hjälp av begreppet absolutbeloppet av x, som 

skrivs |x|. 

Sammanfattning 

√x 2 = |x | = ⎧ ⎨ 

⎩ 

x om x ≥ 0 

–x om x < 0 

Exempel 2 

Absolutbeloppet av ett reellt tal kan definieras som talets avstånd till origo. 

Absolutbeloppet av 5 skrivs |5|och är lika med 5. 

Absolutbeloppet av –5 skrivs |–5| och är också lika med 5. 

| x – y| kan tolkas som avståndet mellan punkterna x och y. 

| x| = |x − 0| 

⎧ ⎪⎨⎪⎩ 

x 0 y 

⎧ 

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 

| x − y| = | y − x| 

1139 

Beräkna 

a) |6| + |– 4| – |–7| b) √(–15) 2 

a) |6| + |– 4| – |–7| = 6 + 4 – 7 = 3 

b) √(–15) 2 = |–15| = 15 

1140 

Lös ekvationen |x – 3| = 4. 

Vi söker punkter med avståndet 4 till punkten 3. 

4 

⎧ ⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ 

⎧ ⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ 

4 

−2 

−1 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 

Ekvationens lösning är x = –1 och x = 7. 


Bla 3c.indb 15 2012-07-10 09.34

Arbeta utan räknare. 

1141 Beräkna 

a) √4 + √9 c) √2 · √8 

b) √4 · √9 d) (√2) 2 + √8 · √8 

1142 Skriv som en potens med basen 10 

a) √10 c) 10 √10 

1 

1 

b) 

d ) 

√10 

10 √10 

1143 Beräkna 

a) 100 0,5 c) 100 –0,5 

b) √10 · √10 d ) √5 · √20 

1144 Beräkna 

a) |–5| + |–2| b) |–5| – |–2| 

1150 Det finns två tal x för vilka gäller att 

|x – 5| = 15 

Vilka tal är det? 


a) |x – 1| = 1 b) |x| = 2 

1152 För vilka x gäller olikheten |x – 7| < 2 ? 

1153 Beskriv intervallet 7 ≤ x ≤ 13 med hjälp av 

absolutbelopp. 

1154 Skriv ett uttryck för triangelns tredje sida. 

a) 

a 

1145 Beräkna 

a) √(–3) 2 c) √4 · 10 8 

b) √3 2 + 4 2 d) √9 · 10 –2 

b) 

a 

1146 Bestäm den exakta lösningen till ekvationen 

a) x 2 = 10 c) x 2 + 2 2 = 3 2 

b) 2x 2 = 10 d ) x2 

2 = 52 

1147 Om du vet att √7 ≈ 2,646 vad är då 

a) √700 b) √70 000? 

1148 Visa att 

√ 32 

a) 2 √3 = √12 b) 

4 = √2 

1149 Förenkla så långt som möjligt 

√3 · √3 · √3 

a) 

√3 + √3 + √3 

b) x √x + x √x 

√x · √x 


a) (√a + √b) (√a – √b) 

b) (√x + h + √x ) (√x + h – √x ) 

c) (√a + √b) 2 – (√a + b) 2 

1156 Bestäm exponenten x 

a) 

√ a b√ a b = ⎛ ⎝ a x 

b⎞ 

⎠ 

2a 

√ 

b) a b √ b a √ a b = ⎛ ⎝ a x 

b⎞ 

⎠ 

a 


Bla 3c.indb 16 2012-07-10 09.34

Ekvationer 

Exempel 

Formeln s = v 0 t + at2 

2 

beskriver sambandet mellan 

sträcka, begynnelsehastighet, 

acceleration och tid. 

◗◗ 

Vilken är accelerationen om hastigheten 

är 15 m/s, tiden 4,0 s och sträckan 100 m? 

Svaret får vi med hjälp av förstagradsekvationen 

100 = 15 · 4 + a · 42 

2 

◗◗ 

Vilken är tiden om hastigheten är 15 m/s, accelerationen 4,0 m/s 2 och 

sträckan 100 m? 

Svaret får vi med hjälp av andragradsekvationen 

100 = 15t + 4t2 

2 

Vi repeterar några lösningsmetoder för ekvationer. 

Lösningsformeln 

Ekvationen x 2 + px + q = 0 har lösningarna 

x = – p 2 ± √( p 2 ) 2 – q 

Andragradsekvationen saknar reella rötter om 

( p 2 ) 2 – q < 0, dvs om vi får 

ett negativt tal under rottecknet. 

1157 

Lös ekvationen 3x 2 + 9x – 12 = 0 utan räknare. 

Vi dividerar först med 3 och använder sedan lösningsformeln. 

3x 2 + 9x – 12 = 0 

x 2 + 3x – 4 = 0 

x = – 3 2 √ ± ⎛ ⎝ 3 2 

2⎞ 

⎠ + 4 

x = – 3 2 ± √ 9 4 + 16 

4 

x = – 3 2 ± 5 2 

x 1 = 1 x 2 = – 4 

1.1 AlgebrA och polynom 17 

Bla 3c.indb 17 2012-07-10 09.35

1158 

kvadratrotsmetoden 

Lös ekvationen 6(x – 1) 2 = 30 

Vi kan lösa ekvationen genom att utveckla kvadraten, skriva om 

ekvationen och använda lösningsformeln, men det finns en 

enklare metod. 

Vi dividerar först med 6 och drar sedan kvadratroten ur båda 

leden. 

6(x – 1) 2 = 30 

(x – 1) 2 = 5 

x – 1 = ± √5 

x = 1 ± √5 

x 1 = 1 + √5 eller x 1 ≈ 3,236 

x 2 = 1 – √5 eller x 2 ≈ –1,236 

nollproduktmetoden 

Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll. Detta kan vi ibland 

använda för att lösa ekvationer. Förutsättningen är att ekvationen kan 

skrivas så att det ena ledet är noll och det andra ledet kan faktoriseras. 

Metoden kallas nollproduktmetoden. 

1159 

Lös ekvationen 5x(2x – 12)(3x + 15) = 0 

5x(2x – 12)(3x + 15) = 0 

1. 5x = 0 vilket ger x = 0 

2. (2x – 12) = 0 vilket ger x = 6 

3. (3x + 15) = 0 vilket ger x = – 5 

x 1 = 0 x 2 = 6 x 3 = – 5 

1160 

Lös ekvationen x 3 – 2x 2 – 3x = 0 

x 3 – 2x 2 – 3x = 0 

Vi faktoriserar VL genom att bryta ut x. 

x(x 2 – 2x – 3) = 0 

1. x = 0 

2. x 2 – 2x – 3 = 0 och lösningsformeln ger 

x = 1 ± √1 + 3 

x = 1 ± 2 

x 1 = 0 x 2 = 3 x 3 = – 1 


Bla 3c.indb 18 2012-07-10 09.35

Lös ekvationerna. 

1161 a) 3x + 2 = 5x – 3 

b) 3x 2 = 15 

c) x(x + 5) = 0 

d) x 2 – 4x + 3 = 0 

1162 a) 3x(2x – 8) = 0 

b) x 2 + 10x= 0 

c) (z – 4) 2 = 64 

d) x 2 + 8x – 9 = 0 

1163 a) 3x 2 – 18 = x 2 

b) (z – 1)(z – 2) = (z – 3)(z – 4) 

c) 8x 2 – 8x + 2= 0 

1164 a) 2t 2 + 40t + 34 = 0 

b) 3x 2 + 12x = 36 

c) (x + 3)(x – 2) = 7 

1165 a) 4(x + 7) 2 = 36 

b) 4x 2 = 2x 

c) (x +3)(x – 4)(2x + 1) = 0 

1166 (Tal 1) 2 – (Tal 2) 2 = 14 

Tal 1 är 2 större än Tal 2. 

Vilka är talen? 

1167 Lös ekvationerna och besvara frågorna från 

det inledande exemplet på förra uppslaget. 

a) 100 = 15 · 4 + a · 42 

2 

b) 100 = 15t + 4t2 

2 , t > 0 

1168 Ge ett exempel på hur en andragradsekvation 

kan se ut om lösningarna är 

a) x = 2 och x = –2 

b) x = 0 och x = 8 

c) x = 1 2 och x = 1 3 

d) icke-reella. 

1169 Den totala kostnaden K kronor för att 

producera x detaljer i en mekanisk verkstad 

kan beskrivas med 

K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x 2 

a) Beräkna kostnaden för att producera 

450 detaljer. 

b) Hur många detaljer kan produceras för 

100000 kr? 


a) x 3 – 4x = 0 

b) x 3 – 8x 2 + 15x = 0 

c) 4(3 – 3x)(8 – 2x 2 ) = 0 

1171 Ekvationen x 2 (4x + 5a) = 0 har 

lösningarna x = 0 och x = 2. 

Vilket värde har a? 

1172 En bakteriekultur tillväxer enligt formeln 

N( x) = 2 500 + 350x + 25x 2 

där N( x) är antalet bakterier x minuter 

efter försökets början. 

Hur lång tid tar det innan antalet bakterier 

har fördubblats? 


a) x 2 (x + 1) – 64(x + 1) = 0 

b) (x 3 – 3x 2 ) – (2x – 6) = 0 

1174 I ekvationen 4x 2 – (2 – k) 2 = 0 är k en 

konstant. 

Lös ekvationen. Svara på så enkel form som 

möjligt. 


Bla 3c.indb 19 2012-07-10 09.35

substitution 

Nya typer av ekvationer kan vi ibland omforma och lösa med kända 

metoder. Ett sätt att omforma en ekvation är att ersätta ett uttryck med ett 

annat, enklare uttryck. Vi gör en substitution. 

1175 

Lös ekvationen x 4 – 8x 2 – 9 = 0 

Vi ersätter x 2 med t. Då kan x 4 ersättas med t 2 och vi får 

andragradsekvationen t 2 – 8t – 9 = 0 

t = 4 ± √16 + 9 

t = 4 ± 5 

t 1 = 9 och t 2 = –1 

Vi får x 2 = 9 och x 2 = –1 

Ekvationen x 2 = 9 har lösningen x = ±3 

Ekvationen x 2 = –1 saknar reell lösning 

(men de komplexa 

rötterna är x = ±i ) 

Svar: Ekvationen x 4 – 8x 2 – 9 = 0 har den reella lösningen x = ±3 

1176 

Lös ekvationen 

a) (x 2 – 2) 2 – 16(x 2 – 2) + 28 = 0 b) x + √ x = 12 

a) Sätt x 2 – 2 = t b) Sätt √ x = t Då blir x = t 2 . 

t 2 – 16t + 28 = 0 t 2 + t – 12 = 0 

t = 8 ± √64 – 28 t = – 1 2 ± √ 1 4 + 12 

t = 8 ± √36 t = – 1 2 ± √ 1 4 + 48 

4 

t = 8 ± 6 t = – 1 2 ± 7 2 

t 1 = 14 t 2 = 2 t 1 = 3 t 2 = – 4 

x 2 – 2 = 14 x 2 – 2 = 2 √ x = 3 √ x = – 4 

x 2 = 16 x 2 = 4 x = 9 Saknar lösning. 

x = ± 4 x = ± 2 

Svar: a) Lösningarna är –4, –2, 2 och 4. 

b) Lösningen är 9. 

√x är 

positivt. 


Bla 3c.indb 20 2012-07-10 09.35

otekvation 

Ekvationer där den obekanta förekommer under ett rottecken kallas 

rotekvationer. Rotekvationer kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket 

dock kan ge falska rötter. 

1177 Lös ekvationen √ x – 3 = 5 – x 

Vi kvadrerar båda leden, löser andragradsekvationen och prövar 

lösningen. 

√ x – 3 = 5 – x 

x – 3 = (5 – x) 2 

x – 3 = 25 – 10x + x 2 

x 2 – 11x + 28 = 0 

x = 5,5 ± √30,25 – 28 

x = 5,5 ± 1,5 

x 1 = 4 x 2 = 7 

Prövning i den ursprungliga ekvationen: 

x = 4: VL = √4 – 3 = 1 HL = 5 – 4 = 1 VL = HL 

x = 7: VL = √7 – 3 = 2 HL = 5 – 7 = –2 VL ≠ HL Falsk rot! 

En grafisk jämförelse mellan den ursprungliga och den 

kvadrerade ekvationen visar tydligt att antalet rötter är olika. 

Svar: Ekvationen √ x – 3 = 5 – x har lösningen x = 4. 

Lös ekvationerna. 

1178 a) x 4 – 2x 2 – 8 = 0 

b) x 4 – 2x 2 – 3 = 0 

1179 a) (x + 4) 2 – 16(x + 4) + 63 = 0 

b) (x 2 + 5) 2 – 15(x 2 + 5) + 54 = 0 

1180 Du har ekvationen √ x + 2 = x 

a) Kvadrera båda leden och skriv resultatet 

som en andragradsekvation. 

b) Vilka rötter har ekvationen i a)? 

c) Pröva rötterna i den ursprungliga 

ekvationen. Duger båda rötterna? 

d) Vilken lösning har ekvationen 

√x + 2 = x? 

1181 Bestäm med två decimalers noggrannhet 

rötterna till följande ekvationer. 

a) x 4 – 14 x 2 + 44 = 0 

b) x 4 – 6x 2 – 1 = 0 

1182 Lös ekvationen 13 √x = x + 36 

a) genom kvadrering och prövning 

b) genom att sätta √x = t 

Lös ekvationerna 

1183 a) x 2 (x + 1) – 64(x + 1) = 0 

b) √3x – 2 + 2 – x = 0 

1184 a) x – 5√x + 4 = 0 

b) (x + 1) – 27√x + 1 + 170 = 0 

c) (x 2 + 2x – 3) 2 + 2(x 2 + 2x – 3) – 3 = 0 


Bla 3c.indb 21 2012-07-10 09.35

Polynom i faktorform 

nollställe 

från nollställen 

till faktorform 

Vi har tidigare använt två metoder för att faktorisera polynom. 

1. Utbrytning av största möjliga faktor, t ex 

4x 2 + 12x = 4x ∙ x + 4x ∙ 3 = 4x(x + 3) 

5(x + 2) – x(x + 2) = (x + 2)(5– x) 

2. ”Omvänd” användning av konjugatregeln och kvadreringsreglerna, t ex 

4x 2 – 25 = (2x) 2 – 5 2 = (2x + 5)(2x – 5) 

x 2 – 6x + 9 = x 2 – 2 ∙ 3x + 3 2 = (x – 3) 2 

Vi ska nu visa en tredje metod. 

Ett nollställe till ett polynom p(x) är ett tal a sådant att p(a) = 0. 

Om vi har ett polynom i faktorform, t ex p(x) = (x + 2)(5 – x), så kan 

vi bestämma polynomets nollställen. Polynomet p(x) = (x + 2)(5 – x) 

har nollställena –2 och 5. 

Omvänt så kan vi faktorisera ett polynom om vi vet samtliga nollställen. 

Vill vi faktorisera polynomet p(x) = x 2 + 2x – 15 så börjar vi med att lösa 

ekvationen x 2 + 2x – 15 = 0 med lösningsformeln. Rötterna är –5 och 3. 

p(x) = x 2 + 2x – 15 = (x – (–5))(x – 3) = (x + 5)(x – 3) 

Om vi vill så kan vi kontrollera resultatet genom att multiplicera 

parenteserna. 

Ett polynom som saknar nollställen kan inte faktoriseras. 

Andragradspolynom 

i faktorform 

Ett andragradspolynom p (x) med nollställena a och b kan skrivas 

p (x) = k (x – a)(x – b) 

där k är en konstant. 

1185 

Faktorisera 18x 2 + 12x + 2 

Vi bryter ut 2 och använder 1:a kvadreringsregeln ”omvänt”. 

18x 2 + 12x + 2 = 2(9x 2 + 6x + 1) = 2(3x + 1) 2 

1186 

Faktorisera (x + 1) 2 – 4y 2 

Vi använder konjugatregeln ”omvänt”. 

(x + 1) 2 – 4y 2 = (x + 1) 2 – (2y) 2 = (x + 1 + 2y)(x + 1 – 2y) 


Bla 3c.indb 22 2012-07-10 09.35

1187 Faktorisera polynomet p( x) = – 4x 2 + 24x – 32 

Vi löser ekvationen p( x) = 0 genom att bryta ut – 4 och använda 

lösningsformeln. 

p( x) = – 4x 2 + 24x – 32 = – 4(x 2 – 6x + 8) 

x 2 – 6x + 8 = 0 

x = 3 ± √9 – 8 

x 1 = 4 x 2 = 2 

p( x) = – 4(x – 4)(x – 2) 

1188 Bryt ut så mycket som möjligt. 

a) 5x + 25x 3 c) 24h + 4h 2 

b) 4h + 8h 2 + 12 d) 6hx + 3h 2 x 

1189 Faktorisera med konjugat- eller 

kvadreringsregel 

a) x 2 – 49 c) 81x 2 – 16 y 2 

b) x 2 – 6x + 9 d) 16x 2 + 8x + 1 

1190 Ange polynomets nollställen, 

dvs lös ekvationen p( x) = 0. 

a) p( x) = (x + 3)(x – 10) 

b) p( x) = 5x(x – 4) 

1191 Du vet att polynomet 

f ( x) = x 2 – 12x + 35 

har nollställena 5 och 7. 

Skriv f( x) i faktorform. 

1192 Skriv i faktorform 

a) p( x) = x 2 – 10x + 16 

b) g( x) = x 2 – 5x + 6 

1193 Faktorisera polynomen 

a) h(x) = 4x 2 – 24x + 32 

b) p(z) = 6 + 3z – 3z 2 

c) p( x) = 2x 2 – 18 

1194 Tobbe och Carro ska skriva polynomet 

p( x) = 3x 2 – 24x + 21 i faktorform. 

Tobbe får p(x) = 3(x + 1)(x + 7) 

Carro får p( x) = (x – 1)(x – 7) 

Båda har gjort fel. 

Förklara vilka fel de gjort. 

1195 Skriv två olika polynom som båda har 

nollställena –10 och 20. 

1196 Skriv i faktorform 

a) f (t) = 4t – 4t 2 – 1 

b) h(x) = 4x 2 + 4x + 4 

c) p(x) = –3x 2 – 2x + 1 

1197 Ett andragradspolynom p(x) har 

nollställena 1 och 4 och p(0) = –2. 

Är det sant att p(0) = p(6)? 

Motivera ditt svar. 

1198 Tredjegradspolynomet 

p( x) = x 3 + ax 2 + bx + c 

har nollställena –3, 1 och 5. 

Bestäm a, b och c. 

1199 Finn nollställena till polynomet 

p(x) = x 2 – (a + b)x + ab 

och försök tolka resultatet. 


Bla 3c.indb 23 2012-07-10 09.35

Aktivitet 

✽ Upptäck 

Pascals triangel 

Ett polynom är en summa av termer där termernas exponenter är naturliga tal. 

x 2 y + 2 x 2 + x y är ett tredjegradspolynom i två variabler x och y. Gradtalet 

ges av den term som har den största sammanlagda exponenten. 

1 Skriv (x + y) 2 som ett polynom. 

2 Skriv (x + y) 3 som ett polynom. Du kan använda 

sambandet (x + y) 3 = (x + y)(x + y) 2 = 

= (x + y)(x 2 + 2 xy + y 2 ). 

3 Skriv (x + y) 4 som ett polynom. 

4 Studera resultatet i uppgift 1, 2 och 3. 

Jämför exponenten i (x + y) n med 

a) antal termer i polynomet. 

Vad upptäcker du? 

b) gradtalet för varje term i polynomet. 



Bla 3c.indb 24 2012-07-10 09.35

Tabellen nedan visar en del av Pascals triangel. Blaise Pascal (1623 – 1662) var en fransk matematiker, 

vetenskapsman och filosof som bland annat utvecklade talteorin. 

Siffrorna i de färgade kvadraterna är koefficienterna till de olika variabeltermerna då vi utvecklar (a + b) n . 

a + 

1 

1 

1 2 

a 3 + 

Den översta raden ger (a + b) 0 = 1 

Den andra raden ger (a + b) 1 = a + b 

Den tredje raden ger (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 

1 b 

a 2 + ab + 1 b 2 

a 2 b + ab 2 + b 3 

5 a) Skriv av triangeln ovan och fyll i 

koefficienterna i den fjärde raden. 

b) Utöka triangeln med en femte rad 

som visar utvecklingen av (a + b) 4 . 

c) Förklara hur du kan finna koefficienterna 

i en rad med hjälp koefficienterna i raden 

ovanför. 

6 a) Vilket gradtal får varje term då (a + b) 5 

utvecklas och skrivs som ett polynom? 

b) Skriv nästa rad i Pascals triangel. 

c) Utveckla (a + b) 5 

d ) Utveckla (a + b) 6 

7 a) Jämför den andra koefficienten i varje rad 

med exponenten i (a + b) n . 


b) Utgå från det mönster som du har upptäckt. 

Vilka är de två första termerna i 

utvecklingen av (a + b) 10 ? 

8 Kan vi använda Pascals triangel för att utveckla 

(a – b) 2 , (a – b) 3 , ... ? 

Vad blir det för skillnad? 


Bla 3c.indb 25 2012-07-10 09.35

1.2 Rationella uttryck 

Vad menas med ett rationellt uttryck? 

rationellt tal 

En kvot av två heltal a b 

där b ≠ 0 kallar vi ett rationellt tal. 

Exempel på rationella tal är 5 7 och – 13 9 

rationellt uttryck 

Ett rationellt uttryck definieras som en kvot av två polynom p(x) 

q(x) 

Exempel på rationella uttryck är x + 5 

x 

och x2 + 4x + 2 

x – 2 

Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med noll. 

1201 Kostnaden K (x) i tusental kr för ett företag att avlägsna 

x % av förbränningsgasernas föroreningar kan uppskattas 

50 x 

vara K (x) = 

100 – x 

a) Beräkna och tolka K (90). 

b) Ange definitionsmängden, dvs tillåtna värden på x. 

50 · 90 

a) K (90) = 

100 – 90 = 450 

Det kostar 450 000 kr att ta bort 90 % av föroreningarna. 

b) 0 ≤ x < 100, K (x) är inte definierad för x = 100. 

26 1.2 rAtionellA Uttryck 

Bla 3c.indb 26 2012-07-10 09.35

1202 För vilka x-värden är uttrycket inte definierat? 

a) 

5x – 1 

2 x 

a) När x = 0. 

b) 

5x 

2 x + 4 

c) 

b) När 2x + 4 = 0 dvs då x = –2. 

2x 

x 2 + 1 

d) 

x 2 – 10 

x 2 – 12 x + 35 

c) x 2 + 1 kan inte bli noll. Uttrycket är definierat för alla värden 

på x. 

d) x 2 – 12x + 35 = 0 

x = 6 ± √ 36 – 35 

Uttrycket är inte definierat då x = 5 och x = 7. 

1203 Du har uttrycket G(x) = x + 7 

2x – 8 

a) Beräkna G(5). 

b) För vilket x-värde är nämnaren lika 

med noll? 

1204 Du har uttrycket G(x) = x2 + 3x – 2 

3x + 6 

a) Beräkna G(2). 

b) För vilket värde på x är uttrycket ej 

definierat? 

c) Är det sant att G(–3) < G(2)? 


1205 Då Lena försöker beräkna värdet av 

2xy 

uttrycket för x = 6 och y = –3 

x + 2y 

med sin räknare visas ”ERROR” i räknarens 

fönster. Förklara varför. 

1206 För vilka variabelvärden är uttrycken inte 

definierade? 

x – 6 

x – 6 

a) 

c) 

2 x 2 + 10 x 2 x 2 + 10x + 12 

x – 6 

2 x – 10 

b) 

d) 

2 x 2 + 10 

2 x 3 – 50 x 

1207 Skriv ett rationellt uttryck som 

a) inte är definierat för x = 7 

b) antar värdet 0 för x = 7 

c) inte är definierat för x = ± 3 

d) är definierat för alla x. 

1208 För en lastbil kan bränsleförbrukningen i 

liter/km beräknas med formeln 

1 

G(x) = ⎛ 

250 ⎝ 2 500 + x ⎞ x ⎠ 

där x är hastigheten i km/h. 

a) Hur mycket kostar en färd på 100 

mil, om bränslet kostar 16 kr/l och 

hastigheten är 100 km/h? 

b) Hur långt kommer vi på samma mängd 

bränsle, om hastigheten är 50 km/h? 

1209 Uttrycket f (x) = 2 x3 + A 

kan användas 

3x 2 3 

för att beräkna ett närmevärde till √A, 

om x är ett lämpligt startvärde. 

Sätt A = 10. 

a) Beräkna f (2). Hur nära √10 är det? 

b) Beräkna f ( f (2)). Hur nära √10 är det? 

3 

3 


Bla 3c.indb 27 2012-07-10 09.35

Förlängning och förkortning 

förlängning 

Förlängning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett 

rationellt uttryck multipliceras med samma tal eller uttryck. 

1 

2 = 5 · 1 

5 · 2 = 5 

10 

2 

x + 3 = x · 2 

x · (x + 3) = 2x 

x 2 + 3x 

Förlängning med 5. 

Förlängning med x. 

förkortning 

Förkortning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett 

rationellt uttryck divideras med en gemensam delare. 

6 x 

8 = 6 x /2 

8 /2 = 3 x 

4 

Förkortning med 2. 

För att se gemensamma delare måste vi ibland faktorisera. 

5 x 3 

5x 2 – 10x = 5x · x 2 

5x (x – 2) = x 2 

x – 2 

Förkortning med 5x. 

enklaste form 

Ett bråk eller ett rationellt uttryck som inte kan förkortas är skrivet 

i enklaste form. 

1210 

Förläng med 3. 

a) 2 x b) 6x c) x – 4 

5 

2 x 

a) 2 x 

5 = 2 x · 3 

5 · 3 = 6 x 

15 

b) 6 x = 6 x 

1 = 6 x · 3 

1 · 3 = 18 x 

3 

c) x – 4 3 (x – 4) 

= 

2 x 3 · 2 x = 3 x – 12 

6 x 

1211 

Förläng så att nämnaren blir 24x. 

a) 3 b) x + 3 

4 

6 

a) 3 4 = 3 · 6 x 

4 · 6 x = 18 x 

24 x 

b) x + 3 4 x (x + 3) 

= = 4 x2 + 12 x 

6 4 x · 6 24 x 

28 1.2 Rationella uttryck 

Bla 3c.indb 28 2012-07-10 09.35

1212 

Skriv i enklaste form 

2 x 

a) 

14 x b) 3 x 5 y 2 

12 x – 30 

c) 2 15 x 2 7 

y 3 x + 6 

a) Vi faktoriserar och förkortar med 2 och med x. 

2 x 

14 x = 2 · x 

2 2 · 7 · x · x = 1 7x 

b) Vi faktoriserar och förkortar med 3x 2 och med y 2 . 

3 x 5 y 2 

15 x 2 y = 3 x 2 · x 3 · y 2 

7 5 · 3 x 2 · y 2 · y = x3 

5 5 y 5 

c) Vi faktoriserar och förkortar med 3. 

12 x – 30 

3 x + 6 

3(4 x – 10) 

= 

3(x + 2) = 4 x – 10 

x + 2 

1213 

Förenkla om möjligt följande uttryck 

a) 

x 

x + x 2 

b) x2 – 3 x 

2 x – 6 

c) 2 x – 3y 

6 x y 

a) 

x 

x + x = x 

2 x (1 + x) = 1 

1 + x 

b) x2 – 3 x 

2 x – 6 

c) 2 x – 3y 

6 x y 

= 

x (x – 3) 

2(x – 3) = x 2 

Täljaren kan inte faktoriseras. 

Ingen förenkling är möjlig. 

1214 

Förenkla dubbelbråket 

x 

2 – y 5 

x 

2 + y 5 

= 

10 ( 

x 

2 – y 5 ) 

10 ( x 2 + y 5 ) 

x 

2 – y 5 

x 

2 + y 5 

= 

5x – 2y 

5x + 2y 

genom att förlänga med 10. 


Bla 3c.indb 29 2012-07-10 09.35

Vi kan bara förkorta ett uttryck om täljaren och nämnaren 

innehåller gemensamma faktorer. 

x + 3y 

kan därför inte förkortas. 

x 

VARNING 

Du frestas väl inte att förkorta och stryka x -termerna? 

1215 Förläng med 2. 

a) 3 x 

7 

b) 4 x 

c) x + 3 

7 

d) x – 3 

x 

1216 Förläng så att nämnaren blir 15x. 

a) 2 c) x – 2 

x 

5 x 

b) 2 d) 2 x + 1 

3 x 

3 

1217 Skriv i enklaste form 

a) 28 

32 

c) 

3 ab 3 

18 a 3 b 

b) 10 x 3 

15 x 2 d) 2 x + 2 

2 x 

1218 Skriv i enklaste form. Börja med att 

bryta ut. 

10 

a) 

5 x + 15 

b) 2 x – 4 

6 x + 8 

c) 

1219 Skriv i enklaste form. 

a) 4 h + h2 

h 

3 h 

b) 

3 h + x 

2 x 

5 x + x 2 

d) x 2 + 4 x 

x 2 + 3 x 

c) 

h 

2 x h + h 2 

d) 2 h2 – 4 h 

3 h – 6 

1220 Förklara varför 2 x + 2 y kan förkortas men 

x + y 

2 x + y 

inte 

x + y 

1221 Vad ska stå i parentesen? 

(?) 

a) 

28 x y = 35 x 

7y 

b) 4 x + 2 

10 x + 5 = (?) 

5 

3 a x 

c) 

a x 2 + a 2 x = 3 

(?) 


6 y 2 – 8 y 

om y = 9 

9 y – 12 



1223 Förläng med 12 och förenkla 

a) 

(4 + 1/3) 

(3 – 1/4) 

b) 

2 a 

3 – 2 b 

4 

a 

3 + b 4 

1224 Polynomet p(x) beskrivs av formeln 

p(x) = 6 x 2 – 48 x. 

Vilket polynom är q(x) om det rationella 

uttrycket p (x) kan förenklas till 

q (x) 

a) 2 b) 3x c) x – 8 

2 x ? 


Bla 3c.indb 30 2012-07-10 09.35


a) x2 – 9 

x – 3 

b) 2 x2 – 98 

3 x + 21 

c) x 2 – 12 x + 36 

x 2 – 36 

a) Vi faktoriserar med konjugatregeln: 

x 2 – 9 

x – 3 

= 

(x + 3) (x – 3) 

(x – 3) 

= x + 3 

b) Utbrytning och faktorisering med konjugatregeln ger 

2 x 2 – 98 

3 x + 21 = 2 (x2 – 49) 2 (x + 7) (x – 7) 2 (x – 7) 

= = 

3 (x + 7) 3 (x + 7) 3 

c) Faktorisering med ena kvadreringsregeln samt 

konjugatregeln ger 

x 2 – 12 x + 36 

x 2 – 36 

(x – 6)2 

= 

(x + 6) (x – 6) = x – 6 

x + 6 


1231 Felicia förenklar: 7 (9 – z 2 ) 

a) x2 – 25 

b) x + 4 

21 + 7z = 3 + z 

49 – x2 

c) och är osäker på om det blev rätt. 

x + 5 

x 2 – 16 

7 – x 

Pröva om HL = VL för z = 0 

1227 Förkorta så långt som möjligt. 

respektive z = 1. 

a) a + 1 

c) 2a2 + 4a 

a 2 – 1 

a 2 – 4 


b) a 2 + 1 

a – b 

a) (4 + h)2 – 4 2 

d) 

h 

a + 1 

a 2 – b 2 

b) 2(3 + h)2 – 2 · 3 2 

1228 Förkorta så långt som möjligt. 

h 

a) 6 + 2 x 

9 – x c) x 2 + 2 x + 1 1233 Förenkla genom att förlänga med x. 

2 x + 1 

b) 5 x 2 – 5 

d) x a) ⎛ 2 – 8 x + 16 

⎝ 4 x – x⎞ ⎠ / ⎛ ⎝ x + 4 x + 4⎞ ⎠ 

x – 1 

x – 4 

b) 1 – x 

x –1 – 1 


4 x 

a) 

2 – 4 x 

2 a 

b) 

2 – 18 b 2 1234 Förenkla uttrycket (x + h)2 – x 2 

genom att 

h 

8 x 2 – 16 x + 8 a 2 – 6 a b + 9 b 2 

a) först använda kvadreringsregeln 

b) först använda konjugatregeln omvänt. 

1230 Beräkna utan räknare värdet för uttrycket 

9 – x 2 

3 – x om x = 2,999. 


Bla 3c.indb 31 2012-07-10 09.35

Exempel 

Hur kan vi förenkla uttrycken 3 + x 

x + 3 och 3 – x 

x – 3 ? 

3 + x 

x + 3 = x + 3 

x + 3 = 1 

Uttrycken 3 + x och x + 3 är lika. 

Däremot är 3 – x inte lika med x – 3. 

3 – x 

x – 3 = – x + 3 – 1(x – 3) 

= 

x – 3 x – 3 

= –1 

Vi bryter ut −1 

Kom ihåg: 

Bryt ut –1 

b – a = (–1) ∙ (a – b) 

1235 

Förenkla 

a) 15 – 5 a 

a – 3 

b) a 2 – 4 

6 – 3 a 

a) 15 – 5 a 

a – 3 

= 

5(3 – a) 

a – 3 

= 

–5(a – 3) 

a – 3 

= –5 

b) a 2 – 4 (a + 2)(a – 2) (a + 2)(a – 2) 

= = = a + 2 

6 – 3 a 3(2 – a) – 3(a – 2) – 3 = – a + 2 

3 

1236 Bryt ut –1 i täljaren. 

Förenkla 

a) 2 – x 

3 

1237 a) 8 – x 

x – 8 

b) 2 x – 14 

7 – x 

1238 a) 

(2 a – 1)2 

1 – 2 a 

b) 3 – 2 x – x 2 

4 

c) 9 – a2 

a – 3 

d) 20 – 4 y 

y 2 – 25 

b) 

10a – 50 

25 – a 2 

1239 a) a 2 – 1 

a – a 2 b) 36 x 2 – 12 x + 1 

1240 a) ⎛ ⎝ x + 1 2 

⎞ 

1 + x⎠ 

b) ⎛ ⎝ b – a 2 

⎞ 

a – b ⎠ 

1241 a) 4 x 2 – 4 x + 1 

5 x – 10 x c) 2 x3 – 8x 

2 4x 2 – 2 x 3 

(12 – 2 x) 

b) 

2 1 – x 

b) 

2 

x 2 – 12 x + 36 (x – 1) 2 

1242 Bryt ut (– 2) ur parentesen och förenkla 

(4 – 2 x) 

(4 – 2 x)3 

a) c) 

x – 2 

x – 2 

(4 – 2 x)2 

(4 – 2 x)6 

b) d) 

x – 2 

x – 2 

1 – 36 x 2 


Bla 3c.indb 32 2012-07-10 09.35

Addition och subtraktion 

lika nämnare 

Bråk med lika (samma) nämnare kan adderas och subtraheras direkt. 

4 

9 + 2 9 = 4 + 2 = 6 9 9 = 2 3 

På samma sätt förenklas rationella uttryck med lika nämnare. 

x 

x + 2 + 4 x 

x + 2 = x + 4 x 

x + 2 = 5 x 

x + 2 

olika nämnare 

gemensam nämnare 

MGN 

Bråk med olika nämnare kan inte adderas eller subtraheras direkt. 

Först måste vi förlänga så att de får lika (samma) nämnare. 

En gemensam nämnare är ett heltal eller ett polynom som är delbart 

med samtliga nämnare i två eller flera bråk eller rationella uttryck. 

Den minsta (positiva) gemensamma nämnaren betecknas MGN. 

5 

6 + 3 =___ Vilken gemensam nämnare ska vi välja? 

4 

Vi ska välja ett tal som är delbart med både 6 och 4, t ex 12, 24 eller 36. 

Om vi väljer MGN, som här är 12, blir beräkningarna enklast: 

5 

6 + 3 4 = 10 

12 + 9 

12 = 19 

12 

1243 

a) Beräkna 2 – 5 6 – 7 8 

b) Förenkla x 

24 + 1 36 – x 

30 

a) MGN = 24 ger 2 – 5 6 – 7 8 = 2 · 24 

1 · 24 – 5 · 4 

6 · 4 – 7 · 3 

8 · 3 = 48 

24 – 20 

24 – 21 

24 = 7 24 

b) 24 = 2 · 2 · 2 · 3 

36 = 2 · 2 · 3 · 3 

30 = 2 · 3 · 5 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

MGN = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360 

Ta med faktorer 

så att produkten 

blir delbar med 

24, 36 och 30. 

x 

24 + 1 36 – x 

30 = x · 15 

24 · 15 + 1 · 10 

36 · 10 – x · 12 

30 · 12 = 15x 

360 + 10 

360 – 12x 

360 = 

= 

15x – 12x + 10 

360 

= 

3x + 10 

360 


Bla 3c.indb 33 2012-07-10 09.35

1244 

Förenkla 1 6 + 2 3 x 

MGN: 2 ∙ 3 ∙ x = 6 x 

Vi förlänger till nämnaren 6 x: 

1 

6 + 2 3 x = 1 · x 

6 · x + 2 · 2 

2 · 3 x = x 

6 x + 4 6 x = x + 4 

6 x 

1245 

a) Lös ekvationen b) Förenkla uttrycket 

2 x + 1 

6 

+ 2 x 

8 = 6 2 x + 1 

+ 2 x 

6 8 

a) MGN: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 

Multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN 24: 

24 (2 x + 1) 

+ 24 · 2 x = 24 · 6 

6 

8 

4(2x + 1) + 3 ∙ 2x = 144 

8x + 4 + 6x = 144 

14x + 4 = 144 

14x = 140 

x = 10 

b) MGN: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 

Vi förlänger till nämnaren 24: 

2 x + 1 

6 

= 8 x + 4 + 6 x 

24 

+ 2 x 4(2 x + 1) 

= 

8 4 · 6 

= 14 x + 4 = 

24 

+ 3 · 2 x 

3 · 8 = 8 x + 4 

24 

2 (7x + 2) 

= 7x + 2 

2 · 12 12 

+ 6 x 

24 = 

Sammanfattning 

I en ekvation med rationella uttryck kan vi multiplicera båda leden 

(samtliga termer) med MGN. Detta ger en enklare ekvation. 

När vi förenklar ett rationellt uttryck förlänger vi (samtliga termer) till 

MGN. Detta ändrar inte uttryckets värde. 


Bla 3c.indb 34 2012-07-10 09.35

1246 Beräkna/förenkla 

a) 5 8 + 1 8 

b) 3 4 – 17 

8 


a) 1 a + 3 a 

b) 3 4 + 1 4 x 

c) x 7 + x 3 

d) 2x 

15 + x 6 

c) 2 x + 1 2x 

d) 5 

3 a + 1 2a 

1248 Lös ekvationen. Börja med att 

multiplicera alla termer med MGN. 

a) x 2 – x 

5 = 6 c) y 6 – y 

8 = 5 

b) x 3 + x 6 = 2 d) x 3 – 2 = x 4 

1249 a) Lös ekvationen 

3 x – 5 

4 

+ 9 – 2 x 

3 

= 2 

b) Förenkla uttrycket 

3 x – 5 

4 

+ 9 – 2 x 

3 

1253 Vid produktionen av x böcker är den 

genomsnittliga kostnaden G( x) kr 

per bok, där G(x) = 9 000 + 40 + x 

x 

30 

Hur många böcker tillverkas, om den 

genomsnittliga kostnaden är 96 kr? 

1254 Nora och My klipper en stor gräsmatta. 

Nora har motorgräsklippare och kan ensam 

klippa gräsmattan på 4,0 h. My har en 

vanlig handgräsklippare. Tillsammans kan 

de klippa hela gräsmattan på 3,0 h. 

a) Hur stor del av hela arbetet utför Nora på 

1,0 h? 

b) Hur stor del av hela arbetet gör de 

tillsammans på 1,0 h? 

c) Om My ensam klipper gräsmattan på 

x h, hur stor del av arbetet gör hon då 

på 1,0 h? 

d) Ställ upp en ekvation där x kan 

bestämmas. 

e) Hur lång tid tar det för My att ensam 

klippa gräsmattan? 


a) 2 3 y + y + 1 

y 

b) 3 y 2 + 1 4 y 


a) x – 2 

3 = x – 3 

2 – 1 

b) 3 x + 1 5 x = 1 

c) 4 x + 6 2 = x 

1252 Pi och Bo förenklar uttrycket 1 x – x + 1 

2 x 

Pi: 2 · 1 

2 · x – x + 1 

Bo: 2 x · 1 

x 

– 

2 x = 2 – x + 1 

2 x 

2 x · (x + 1) 

2 x 

Båda gör fel! Vilka fel gör de? 

= 3 – x 

2 x 

= 2 – (x – 1) 


Bla 3c.indb 35 2012-07-10 09.35

1255 

Förenkla 

a) 2 – 4 – x 

x 

b) 

3 

x – 1 + 2 

1 – x 

a) MGN = x ger 

Obs! Parentes. 

2 – 4 – x = 2 · x 

x 1 · x – 4 – x 

x 

= 

2 x – (4 – x) 

x 

= 2 x – 4 + x = 3 x – 4 

x x 

Vi måste komma ihåg att sätta ut parenteser när vi går över till 

gemensamt bråkstreck och har uttryck med flera termer! 

3 

b) 

x – 1 + 2 

1 – x = 3 

x– 1 + 2 

(–1)(x – 1) = 3 

x – 1 – 2 

x – 1 = 1 

x – 1 

1256 


2 x 2 

x + 1 + 1 = 2 

x + 1 

Definitionsvillkor: x ≠ –1 Definitionsvillkoret innebär att x = –1 

inte kan vara rot till ekvationen. 

Multiplikation med MGN ger 

(x + 1) · 2x 2 

+ (x + 1) · 1 = 

x + 1 

2 x 2 + (x + 1) = 2 

2 x 2 + x – 1 = 0 

x 2 + 1 2 x – 1 2 = 0 

(x + 1) · 2 

x + 1 

x = – 1 4 ± √ 1 16 + 1 2 

x = – 1 4 ± 3 4 

x 1 = 1 2 

x 2 = –1 

x = –1 är en falsk rot, då den inte 

uppfyller definitionsvillkoret. 

Svar: x = 1 2 


Bla 3c.indb 36 2012-07-10 09.35

1257 a) Lös ekvationen 3 y – 5 

4 

b) Förenkla uttrycket 3 y – 5 

4 

Lös ekvationerna 

1258 a) 6 x – 5 = x b) y – 3 

y 

1259 a) x 

x + 4 + 1 = 16 

x + 4 

b) t + 1 

t – 2 = 3 

t – 2 + 5 

c) 1 + 1 y = 6 y 2 

d) 

2 

x – 2 – x 2 = 

x 

x – 2 

– 9 – 2 y 

3 

– 

= 0 

– 9 – 2 y 

3 

y + 2 

= 0 

4 

1260 Om man vet medicindosen för en vuxen, 

kan dosen för ett barn beräknas med 

x 

y = · d där d är vuxendosen, 

x + 12 

y är barndosen och x är barnets ålder. 

a) Hur många tabletter bör en fyraåring få, 

om en vuxen kan ta 6 tabletter? 

b) Vuxendosen är 1 cl och en pojke 

rekommenderas att ta 0,5 cl (5 ml). 

Hur gammal bör pojken vara? 


x 

a) 

x – 2 – 3 x = 1 b) 1 

x – x – 1 2 x = 0 

1262 Förenkla uttrycket 1 + x 

x 2 – 4 – 5 – x 

x 2 – 4 


1264 Ekvationen 

3 

x + 2 = 2 – 6 x 

1 

t – 1 – 

a 

t – 4 = 1 2 

har en lösning t = 2. 

Bestäm värdet på a och eventuella 

ytterligare lösningar. 

1265 Skriv följande uttryck så enkelt som möjligt. 

a) 

2 

a – b – 1 

b – a 

b) a – 10 

a – 5 – a 

5 – a 

c) 

2 

x 2 – 4 + 1 

2 x – x 2 

d) 6 a + 6 

a 2 – 9 + 4 

3 – a 

1266 Johannes förenklar a3 + 1 

a + 1 – a2 till 1 – a. 

Är förenklingen rätt? 

Undersök numeriskt med din räknare eller 

visa algebraiskt. 

1.2 rAtionellA Uttryck 37 

Bla 3c.indb 37 2012-07-10 09.35

Multiplikation och division 

Vi repeterar multiplikation och division av tal i bråkform. 

Multiplikation av bråk 

2 

3 · 5 6 = 2 · 5 

3 · 6 = 1 · 5 

3 · 3 = 5 9 

3 · 8 9 = 3 1 · 8 9 = 3 · 8 

1 · 9 = 1 · 8 

1 · 3 = 8 3 

Förkorta om det går 

innan du multiplicerar. 

Division av bråk 

2 

7 

5 

9 

= 

Vi får förlänga med 

vilket tal vi vill. 

Vi väljer det tal som 

ger nämnaren 1. 

= 

2 

7 · 9 5 

5 

9 · 9 5 

= 

2 

7 · 9 5 

1 

= 2 7 · 9 5 = 18 

35 

inverterat tal 

9 

5 kallas det inverterade talet till 5 9 

Täljare och nämnare 

byter plats. 

Produkten av ett tal och dess inverterade tal är 1. 

Att dividera med 5 9 ger samma resultat som att multiplicera med 9 5 

Vi förenklar rationella uttryck på samma sätt. 


a) 2 x · x2 

6 

b) 4 · x + 3 

x 

c) x + 1 

x / x + 1 

x d) a2 – 4 

2 6 a / 2 

a + 2 

12 a 2 

a) 2 x · x 2 

6 = 2 · x2 

x · 6 = x 3 


b) 4 · x + 3 4 (x + 3) 

= 

x x 

c) x + 1 

x / x + 1 

x = x + 1 

2 x 

d) a2 – 4 

6 a 3 / 

= 4 x + 12 

x 

x 2 

· 

x + 1 a + 2 

12 a = a2 – 4 

2 6 a · 12 a 2 

3 a + 2 

= 

(x + 1) · x2 

x · (x + 1) 

= x 


(a + 2)(a – 2) · 12 a2 2 (a – 2) 

= = 

6 a 3 · (a + 2) 

a 


Bla 3c.indb 38 2012-07-10 09.35

1268 Beräkna utan räknare 


a) 2 3 · 5 9 

c) 7 5 · 2 21 

a) x y 

/ y x 

c) 1 a b / a b 

b) 6 · 1 18 

d) 4 9 · 3 20 

b) y x / x y d) a / a b 


a) 3 4 / 4 7 

b) 4 

/ 16 

3 

c) 16 

3 / 4 

d) 5 6 / 7 3 


a – b b 

· 

2 

om a = 10 och b = 15 

b a 2 2 

– b 




a) 4 a 

5 · 1 2a 

b) 6 x 

7 · 14 

3 x 

c) 3x · 

5 

12 x 

d) 1 9 x · 3 x 2 

10 


a) x2 – x 

y / x2 – 1 

c) x – y 

y 2 x + 2 y / x2 

a 

b) (a – 2) · 

a 2 – 4 

– x y 

x 2 – 4 y 2 

1271 Skriv på ett gemensamt bråkstreck och 

förenkla. 

a) 2 a 

3 b · 12 

a 

b) 5 · 2 x + 3 

2 x 

c) a + 3 

5 a · 10 

a + 3 

d) 5 x · 2 x – 3 

2 x 

1272 Vad är ”dubblan” (dubbelt så mycket) av 

a) 5 7 


a) x 4 / x 8 

b) 4 a 

5 / 2 a 2 

15 

b) a + b c) 

2 

3 · a b 

c) 9 

/ 3x 

28 

d) 12 

5 z / 21 

1274 Vad är tredjedelen av 

a) 5 2 

b) a + b c) 

7 

3 · a b 


a) x y 

6 · x y 

3 

b) a b 

3 c · 2 c 

a b 

c) x y 

6 / x y 

3 

d) a b 

3 c / 2 c 

a b 

d) x + 1 

4 

d) x + 1 

4 

? 

? 


a) a + 3 

b / (a2 – 9) 

b) (x 2 – 2 x + 1)/ x – 1 

2 

1280 Förenkla dubbelbråket 

genom att 

3 

5a – a 

15 

1 

a – 1 3 

a) först förlänga de enskilda bråken 

till MGN 

b) först förenkla täljaren för sig och 

nämnaren för sig och sedan dividera. 

Förenkla. 

a 

3 + b 2 

1281 a) 

a 

3 – b 2 

1282 a) 

1 

z – 1 x 

z – x 

4 – 2 a 

b) 

16 – 4 a 2 

b) 

a 

x – x a 

x – a 

a x 

1283 Låt f (x) = och undersök om man 

2 x + 3 

kan bestämma talet a så att f ( f (x)) = x. 


Bla 3c.indb 39 2012-07-10 09.35

1.3 Funktioner 

Inledning 

Vi repeterar och utvidgar funktionsbegreppet. 

Funktion 

Definitionsmängd 

Värdemängd 

En regel som till varje tillåtet x -värde ger exakt ett y -värde 

kallas en funktion. 

De tillåtna x -värdena kallas funktionens definitionsmängd. 

De y -värden vi då kan få kallas funktionens värdemängd. 

Funktionsregeln kan beskrivas med ord, med en formel, 

en värdetabell eller en graf. 

y = f (x) 

kontinuerlig funktion 

Skrivsättet y = f(x) innebär att y är en funktion av x och f är funktionens 

namn. 

Med f(2) menas det y-värde som funktionsregeln ger då x = 2. 

Funktioner kan karaktäriseras på olika sätt. De funktioner vars graf kan 

”ritas utan att lyfta pennan” kallas för kontinuerliga. 

Med matematikens språk kan vi säga att en funktion är kontinuerlig i en 

punkt x om | f (x + h) – f (x)| kan göras godtyckligt litet genom att välja 

ett tillräckligt litet h. Om detta gäller för alla x i definitionsmängden är 

funktionen kontinuerlig. 

Alla polynomfunktioner är kontinuerliga. 

y 

y = f (x ) 

y 

y = g (x ) 

a 

b 

x 

a 

b 

x 

f är kontinuerlig för a ≤ x ≤ b 

g är diskontinuerlig för a ≤ x ≤ b 

En annan karaktärisering av funktioner kan göras utifrån vilken 

definitionsmängd de har. De funktioner vars definitionsmängd är heltalen 

(eller delmängder av heltalen) kallar vi diskreta. I matematiken betyder 

ordet diskret ungefär detsamma som ”åtskild” eller ”särad”. 

diskret funktion 

En diskret funktion kan aldrig vara kontinuerlig eftersom resonemangen 

med ”godtyckligt litet” respektive ”tillräckligt litet” inte fungerar. 

40 1.3 Funktioner 

Bla 3c.indb 40 2012-07-10 09.35

Exempel 

En handlare säljer äpplen för 20 kr/kg. 

Funktionen y = 20x beskriver priset 

y kronor för äpplen som väger x kg. 

Detta är en kontinuerlig funktion, 

definitionsmängden är de reella talen 

större än eller lika med 0. 

En annan handlare säljer äpplen för 5 kr/st. 

Funktionen y = 5x beskriver priset y kronor 

för x st äpplen. 

Detta är en diskret funktion, 

definitionsmängden är de naturliga talen. 

kr 

60 

y 

kr 

15 

y 

40 

10 

20 

x 

5 

x 

1 2 3 

kg 

1 2 3 

antal 

Priset som funktion av vikten. 

Priset som funktion av antalet. 

1301 Låt f( x) = 6x – 5 och g(x) = x 2 + 3x. 1306 Funktionen f definieras av formeln 

a) y = 2x – 1 c) f( x) = √ x + 3 

a) Bestäm f (–2) + f (2) 

b) y = x 2 d) f( x) = 2 x b) För vilket värde på a är funktionen 

kontinuerlig? 

Bestäm 

1 

f( x) = 

x – 4 

a) f (2) c) f (2) – g (2) 

a) Rita funktionens graf. 

b) g (–3) d) g (b) – f (b) 

b) Ange funktionens definitionsmängd. 

1302 Låt f( x) = 3x – 2 och bestäm 

c) Förklara varför funktionens värdemängd 

a) f (a + 1) b) f (a + h) 

är alla reella tal y ≠ 0. 

1303 Låt g(x) = x 2 – 3 och bestäm 

1307 Låt f( x) = x 2 + 3x och förenkla 

a) g(a – 2) b) g(a + 2) 

f (2 + h) – f (2) f (x + h) – f ( x ) 

a) b) 

h 

h 

1304 Priset y kr för att hyra ett par skidor 

i x dagar beskrivs av funktionen 

y = 200 + 100 x. 

Är funktionen diskret eller kontinuerlig? 

1308 En och samma funktion kan beskrivas 

med olika formler i olika delar av sin 

definitionsmängd. 

Funktionen f är definierad på följande sätt: 


⎧x f ( x) = 

för x ≤ 1 

⎨ 

⎩2 x + a för x > 1 

1305 Bestäm definitions- och värdemängd för 

1.3 fUnktioner 41 

Bla 3c.indb 41 2012-07-10 09.35

Historik 

Hur funktionsbegreppet utvecklats 

Vår önskan att med hjälp av matematiska modeller 

beskriva och förstå omvärlden har med 

tabeller, diagram, formler, ekvationer och grafer 

lett fram till funk tionsbegreppet. 

I mitten av 1700-talet gav 

Euler, en mycket produktiv 

matematiker från Schweiz, 

en samlad beskrivning av de 

enkla funktioner som ingår i 

dagens skolkurser. Euler införde 

beteckningen f (x) och gav 1734 

följande definition: 

Leonhard Euler 

(1707 – 1783) 

Dirichlets definition skiljer sig 

på två viktiga sätt från Eulers: 

Funktionsregeln behöver inte 

vara given med ett algebraiskt 

uttryck, och varje värde på x 

ska ge ett värde på y. 

Den tyske matematikern 

Georg Cantor skapade på 

1870-talet mängdläran 

som ett beskrivningssätt 

för all matematik. Cantors 

funktionsdefinition blir: 

Georg Cantor 

(1845 – 1918) 

”En funktion f( x) är ett algebraiskt uttryck med 

konstanter och variabler, definierat genom en 

ekvation eller en graf.” 

Eulers definition skärptes under nästa århundrade, 

och 1837 gav den tyske matematikern 

Dirichlet oss den definition som än idag används: 

”Om X och Y är två givna mängder, och om till varje 

element x i X är ordnat ett bestämt element y i Y, 

så har vi en funktion från X till Y.” 

Enligt denna definition behöver inte elementen 

x och y vara tal. 

”Om två variabler x och y har 

ett sådant samband, att när vi 

ger x ett värde så ordnas till detta 

automatiskt genom någon regel 

ett bestämt värde på y, då säger vi 

att y är en funktion av x.” 

X 

x 

BC_K1_3_hist 

y 

Y 

Peter Dirichlet 

(1805 – 1859) 

1 En cirkel med radien 2 ges av ekvationen 

y 2 + x 2 = 2 2 . 

a) Beräkna alla värden på y om 

x = –2, –1, 0, 1, 2. 

b) Skissa cirkeln i ett koordinatsystem. 

c) Är detta en funktion enligt Eulers, Dirichlets 

och Cantors definition? 

2 Elementen i Cantors definition behöver inte 

vara tal. Beskriver följande tabell en funktion? 

a) 

x –2 0 2 4 

b) 

y 2 –2 2 14 

x blå röd grön blå 

y röd grön blå blå 

42 1.3 fUnktioner 

Bla 3c.indb 42 2012-07-10 09.35

Räta linjens ekvation 

Vi repeterar från kurs 2c. 

Räta linjens ekvation kan skrivas y = kx + m där k anger lutningen 

och m anger var linjen skär y-axeln. 

Linjen y = 2x – 7 skär y-axeln i punkten (0, –7). 

Bestämning av k ur en graf 

y 

y 

1 

∆y = 3 

∆x = 2 x 

1 

1 

∆x = 1 

∆y = –3 

x 

1 

y 

k = ∆ 

x 

= 3 

∆ 2 

= 

y 

15 , k = ∆ 

x 

= −3 

∆ 

= − 3 

1 

k > 0, linjen stiger 

k < 0, linjen faller 

En horisontell linje har k = 0 och en ekvation av typen y = 3. 

En vertikal linje saknar k-värde och har en ekvation av typen x = 3. 

Formeln för k 

förändringen i y-led 

k = 

förändringen i x-led = ∆ y 

∆ x = y 2 – y 1 

x 2 – x 1 

där x 2 ≠ x 1 . 

Parallella linjer och vinkelräta linjer 

Två icke-vertikala linjer med riktnings koefficienter k 1 och k 2 är 

◗◗ 

parallella om och endast om k 1 = k 2 

(har samma k-värde) 

◗◗ 

vinkelräta om och endast om k 1 ∙ k 2 = –1 

Linjen y = x 4 har k-värdet 1 och är parallell med linjen y = 0,25x + 3 

4 

och vinkelrät mot linjen y = 1 – 4x 


k-form y = kx + m 

enpunktsform y – y 1 = k (x – x 1 ) 

allmän form ax + by + c = 0 


Bla 3c.indb 43 2012-07-10 09.35

1309 

Linjen L går genom punkterna (–2, 1) och (4, –4). 

a) Beräkna k-värdet för linjen. 

b) Bestäm ekvationen för den linje M som går genom 

punkten (–2, 3) och är parallell med linjen L. 

y 

M 

( 2, 3) 

L 

∆x = 6 

( 2, 1) 1 

x 

a) (x 1 , y 1 ) = (–2, 1) och (x 2 , y 2 ) = (4, –4) 

1 

∆y = –5 

k = y 2 – y 1 

x 2 – x 1 

(4, 4) 

k = – 4 – 1 

4 – (–2) = – 5 

6 = – 5 6 

b) Parallella linjer har samma k-värde. 

Linje M har k = – 5 6 

och går genom punkten (–2, 3). 

Metod 1 Metod 2 

Vi använder y = k x + m. 

Vi använder y – y 1 = k(x – x 1 ). 

y = 3, x = – 2 och k = – 5 6 ger 

y 1 = 3, 

x 1 = –2 och k = – 5 6 ger 

3 = – 5 6 · (– 2 ) + m 

3 = 5 3 + m 

m = 4 3 

y =– 5 x 

6 + 4 3 

y – 3 = – 5 (x – (–2)) 

6 

y – 3 = – 5 x 

6 – 5 3 

y = – 5 x 

6 – 5 3 + 9 3 

y = – 5 x 

6 + 4 3 

1310 

Ge ett exempel på ekvationen för en rät linje som är vinkelrät mot linjen 

6 x + 3 y – 12 = 0. 

Vi omvandlar den allmänna formen 6x + 3y – 12 = 0 till k-form: 

3y = – 6x + 12 

y = – 2 x + 4 

k 1 ∙ k 2 = –1 och k 1 = –2 ger k 2 = 0,5. 

Den vinkelräta linjens ekvation kan t ex vara y = 0,5x + 7. 


Bla 3c.indb 44 2012-07-10 09.35

1311 Bestäm lutningen k för en linje genom 

(1, 3) och (–1, 2). 

1312 Bestäm en ekvation för linjen genom 

(3, –2) och med 

a) k = 4 b) k = –3 

1313 Rita grafen till 

a) y = 2 x – 3 b) 5 x + 3y – 9 = 0 

1314 I en glesbygdskommun minskade 

invånarantalet linjärt under 1990-talet 

enligt y = 15 000 – 225 x 

där y är antalet invånare x år efter 1990. 

a) Ange och tolka funktionens m -värde. 

b) Ange och tolka funktionens k -värde. 

1315 Bestäm en ekvation för linjen genom 

(–3, 1) och (2, –9). 

1316 Skriv på allmän form ekvationen för linjen 

genom punkterna (2, 8) och (5, 10). 

1317 Mellan temperaturskalorna Fahrenheit (°F) 

och Celsius (°C) finns ett linjärt samband. 

Vi vet att 20 °C motsvarar 68 °F och 100 °C 

motsvarar 212 °F. 

a) Ställ upp det linjära samband som visar 

hur y °F kan beräknas för x °C. 

b) Beräkna med ditt samband hur många °F 

som motsvarar 0 °C. 

1320 Ett cylinderformat stearinljus har diametern 

23 mm och längden 200 mm. Brinntiden är 

8 timmar. 

a) Hur långt är ljuset då det har brunnit 

i 5 timmar? 

b) Hur lång tid har ljuset brunnit om det är 

120 mm långt? 

c) Ställ upp ett linjärt samband mellan 

ljusets längd f (t) mm och den tid 

t timmar som ljuset har brunnit. 

1321 Ange en ekvation för den linje som går 

genom punkten (1, –4) och är vinkelrät mot 

a) y = x + 3 b) y = – 2 x + 4 

1322 Vilka koordinater har punkten B, om 

lut ningen för linjen genom A och B är 5? 

y = x 

2 

y 

B 

1318 Ange en ekvation för den linje som går 

genom punkten (2, – 5) och är parallell med 

a) y = – 5x + 3 b) 2y – 6x + 12 = 0 

1 

A (1, 1) 

x 

1 

1319 Bestäm linjens ekvation. 

y 

a) b) 

y 

f (x + ∆ x) – f (x) 

1323 Ställ upp och förenkla 

∆ x 

om f ( x ) = a x + b. Tolka ditt resultat. 

1 

1 

x 

c) 

1 

1 

d) 

x 

1324 För en linjär funktion gäller att 

f(a + 1) = a + 2. 

Bestäm funktionen på formen y = k x + m. 


Bla 3c.indb 45 2012-07-10 09.35

Andragradsfunktioner 


En andragradsfunktion definieras av en ekvation av typen 

y = 2 x 2 – 12x + 10 och f ( x ) = 8 x – x 2 

Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas 

allmän andragradsfunktion 

parabel 

symmetrilinje 

vertex 

f( x) = a x 2 + b x + c 

där a, b och c är konstanter och a ≠ 0. 

Grafen till en andragradsfunktion 

y = a x 2 + b x + c kallas en parabel. 

Den har en symmetrilinje som delar 

kurvan i två delar, som är varandras 

spegelbilder. 

Två punkter på kurvan med samma 

y-värde ligger därför på samma 

avstånd från symmetrilinjen, se figuren 

här intill. 

Symmetrilinjen går genom parabelns 

vertex (vändpunkt) som är en maximieller 

minimipunkt på grafen. 

Då ekvationen a x 2 + b x + c = 0 skrivs om till 

x 2 + p x + q = 0 är symmetrilinjens ekvation x = – p 2 

y 

symmetrilinje 

nollställen 

x 

vertex 

minimipunkt 

maximipunkt 

nollställen 

Om a > 0 (t ex y = 3 x 2 ) har kurvan en minimipunkt. 

Om a < 0 (t ex y = –1,5 x 2 ) har kurvan en maximipunkt. 

Där grafen skär x-axeln är y = 0 

x-koordinaten i dessa skärningspunkter 

kallas funktionens nollställen. 

Nollställena är reella lösningar till ekvationen ax 2 + bx + c = 0. 

Saknas reella lösningar skär grafen aldrig x-axeln. 

Där grafen skär y-axeln är x = 0. Grafen skär y-axeln i punkten (0, c). 

En andragradsfunktion är ett exempel på en polynomfunktion. 

polynomfunktion 

En polynomfunktion definieras som en funktion som anges av ett 

polynom. I kommande kapitel ska vi studera polynomfunktioner 

av tredje och fjärde graden. 


Bla 3c.indb 46 2012-07-10 09.35

1325 Undersök andragradsfunktionerna y = x 2 – 6 x och y = –3 x 2 – 6 x – 6. 

a) Var skär grafen y- axeln? 

b) Har funktionen några nollställen? 

c) Bestäm grafens symmetrilinje. 

d) Ange koordinaterna för vertex. 

e) Ange funktionens största/minsta värde. 

f) Kontrollera dina resultat grafiskt. 

y = x 2 – 6 x 

a) x = 0 ger y = 0. 

Grafen skär y-axeln i origo. 

b) y = x 2 – 6 x 

x 2 – 6 x = 0 

x( x – 6) = 0 

Nollställena är 

x 1 = 0 x 2 = 6 

c) Symmetrilinjen är x = 3 

(mitt emellan 0 och 6) 

d) x = 3 ger 

y = 3 2 – 6 ∙ 3 = –9 

(3, – 9) är vertex 

e) x 2 – termen är positiv. 

Funktionen har ett minsta värde – 9 

( y-värdet i vertex). 

y = –3 x 2 – 6 x – 6 

a) x = 0 ger y = –6. 

Grafen skär y-axeln i punkten (0, –6). 

b) y = –3 x 2 – 6 x – 6 

–3 x 2 – 6 x – 6 = 0 

x 2 + 2 x + 2 = 0 

x = –1 ± √ 1 – 2 

Nollställen saknas 

c) Symmetrilinjen är x = –1 

( x = – p/2 om x 2 + p x + q = 0) 

d) x = –1 ger 

y = –3 ∙ (–1) 2 – 6 ∙ (–1) – 6 = – 3 

(–1, – 3) är vertex 

e) x 2 – termen är negativ. 

Funktionen har ett största 

värde – 3. 

f) 15 

f) 0 

–3 1 

(–1, –3) 

–4 10 

–10 

(3, –9) 

–10 


Bla 3c.indb 47 2012-07-10 09.35

4 

x 

1 

2 

1326 Figuren visar grafen till 

en andragradsfunktion. 

Skriv funktionen i 

a) faktorform 

b) utvecklad form. 

1 

4 

y 

2 

x 

Nollställen 

–1 och 2 

a) Nollställena –1 och 2 ger 

f (x) = k (x + 1) (x – 2) 

Vi avläser f (0) = 4, vilket ger 

k (0 + 1) (0 – 2) = 4 

k ∙ 1 ∙ ( –2 ) = 4 

k = –2 

f ( x ) = –2 (x + 1)(x – 2) 

b) f ( x ) = – 2 ( x + 1)(x – 2) = – 2 (x 2 – 2 x + x – 2) = – 2 x 2 + 2 x + 4 

1327 Funktionen y = 6 x – x 2 

a) Har kurvan en maximi– eller 

minimipunkt? 

b) Bestäm kurvans nollställen genom att 

lösa ekvationen 6x – x 2 = 0 

c) Ange kurvans symmetrilinje. 

d) Bestäm koordinaterna för kurvans 

vändpunkt. 

e) I vilken punkt skär kurvan y-axeln? 

f) Skissa först grafen för hand och 

kontrollera sedan med grafräknare. 

1328 Ange funktionens nollställen 

a) f ( x ) = ( x + 3 )( x – 10) 

b) f ( x ) = 5 x ( x – 4) 

1329 ”Om man har ekvationen för en andragradsfunktion 

så finns det en enkel metod att 

avgöra om grafen har en maximieller 

minimipunkt. Inga beräkningar behövs och 

grafen behöver ej ritas.” 

Förklara denna metod. 

1330 Bestäm kurvans eventuella nollställen samt 

max- eller minpunkt. Kontrollera grafiskt. 

a) y = x 2 + 4 x + 3 

b) y = 2 x 2 – 4 x – 10 

c) y = – x 2 + 8 x + 9 

d) y = – 2 x 2 – 6 x – 6 

1331 En andragradsfunktion har ett nollställe 

x = 2 och symmetrilinjen x = –1. 

Bestäm det andra nollstället. 

1332 Beräkna var kurvan skär x-axeln och 

y-axeln. Kontrollera grafiskt. 

a) f ( x ) = –3 x 2 – 3x + 6 

b) f ( x ) = x 2 + 4 

c) y = 10 x – x 2 

d) y = ( x – 4)( x + 1) 

1333 Ge ett exempel på en andragradsfunktion 

som har nollställena 

a) –1 och 3 

b) 0 och –10 


Bla 3c.indb 48 2012-07-10 09.35

1334 Figuren visar grafen till andragradsfunktionen 

y = f( x). 

1 

y 

1 

x 

a) Bestäm f (0). 

b) Lös olikheten f( x) > 0. 

c) f( x) = – ( x – a )( x – b ) 

Bestäm a och b och skriv f( x) i 

utvecklad form. 

d) Ge ett exempel på ekvationen för en rät 

linje som aldrig skär f( x). 

1335 Hur ska vi välja a så att kurvan 

y = x 2 – 8 x – a inte skär x-axeln? 

1336 En rät linje skär f( x) = x 2 – 4 där 

x = –1 och x = 3. 

Ange den räta linjens ekvation. 

1337 Funktionen y = (x – 2) 2 + 4 är given. 

a) För vilket värde på x har y sitt minsta 

värde? 

b) Vad är funktionens minsta värde? 

1341 En fotboll sparkas rakt upp i luften. En 

modell för bollens höjd över marken s ( t ) 

meter efter t sekunder är 

s ( t ) = 0,75 + 18 t – 4,9 t 2 

a) Beräkna och tolka s(2,5). 

b) Vilken är bollens högsta höjd? 

1342 Skriv andragradsfunktionerna dels i 

faktorform och dels i utvecklad form. 

a) 

y 

–2 

b) y 

1 

4 

x 

1338 Skriv två olika funktioner som båda har 

nollställena –10 och 20. 

–2 

6 

x 

1339 En andragradsfunktion har en graf med 

nollställena x = 1 och x = 8. 

Grafen skär y-axeln där y = 4. 

Skriv funktionen i faktorform. 

1340 Stoppsträckan hos en bil kan beskrivas 

med funktionen s( v ) = a v 2 + b v där s är 

stoppsträckan i m vid hastigheten v m/s. 

Bestäm konstanterna a och b om vi vet 

att s(100 ) = 90 och s(120 ) = 122,4. 

–18 

1343 Ange andragradsfunktionen som har 

ett (av två) nollställen x = 1 och en 

minimipunkt (–1, –8). 

1344 En andragradsfunktion y = ax 2 + b x + c 

har endast ett nollställe. 

Ange ett samband mellan a, b och c. 


Bla 3c.indb 49 2012-07-10 09.35

Exponentialfunktioner och potensfunktioner 


Funktioner av typen 

y = 2 x 3 och f( x) = 500 ∙ x –0,5 

är exempel på potensfunktioner. 

Potensfunktion 

f (x ) = C ∙ x a , där C och a är konstanter, kallas en potensfunktion. 

I matematiska tillämpningar där det förekommer någon form av 

proportionalitet mellan två variabler kan en potensfunktion användas som 

modell. 

potensekvation 

Ekvationen 100x 6 = 200 är ett exempel på en potensekvation. 

Ekvationen kan skrivas x 6 = 2 

1 

6 

Den positiva roten är x = 2 ≈ 1,122 

Funktioner av typen 

y = 5 ∙ 1,5 x och f( x) = 20 000 ∙ 0,85 x 

är exempel på exponentialfunktioner. 

Exponentialfunktion 

f ( x ) = C ∙a x , där C och a är konstanter ( a > 0, a ≠ 1), kallas en 

exponentialfunktion. 

I många matematiska tillämpningar har vi en procentuell förändring 

som är konstant. Detta betyder att förändringsfaktorn är konstant och en 

exponentialfunktion kan användas som modell. 

exponentialekvation 

Ekvationen 3 x = 5 är ett exempel på en exponentialekvation. 

Logaritmering av båda leden ger x ∙ lg 3 = lg 5 

Lösningen är x = lg 5 

lg 3 ≈ 1,465 


Bla 3c.indb 50 2012-07-10 09.35

1345 

Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr 

under en femårsperiod. 

Beräkna den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen. 

Antag att den årliga förändringsfaktorn är x. 

Vi får ekvationen 

2,4 ∙ x 5 = 3,2 

x 5 = 3,2 

2,4 

x = ⎛ ⎝ 3,2 

1 

⎞ 5 

2,4⎠ 

≈ 1,0592 

Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år. 

1346 

Kevin arbetar med radioaktiva preparat på ett laboratorium. 

En radioaktiv isotop som han arbetar med avtar exponentiellt 

enligt funktionen 

f( t ) = 72,5 ∙ 0,867 t 

där t är antal år efter 2010 och f ( t ) är mängden i mg. 

a) Tolka talen 72,5 och 0,867 i formeln. 

b) Beräkna och tolka f (10). 

c) När återstår 5,00 mg av den radioaktiva isotopen? 

a) 72,5 betyder att mängden var 72,5 mg år 2010. 

Förändringsfaktorn 0,867 betyder att mängden minskar med 

13,3 % per år. 

b) f (10) = 72,5 ∙ 0,867 10 ≈ 17,4 

År 2020 återstår 17,4 mg av den radioaktiva isotopen. 

c) Vi löser ekvationen 

72,5 ∙ 0,867 t = 5 

0,867 t 5 

= 

72,5 

t · lg 0,867 = lg ⎛ 5 ⎞ 

⎝ 72,5⎠ 

lg ⎛ 5 ⎞ 

⎝ 72,5⎠ 

t = 

lg 0,867 ≈ 18,7 

Ca 18,7 år efter 2010 återstår 5,00 mg. 


Bla 3c.indb 51 2012-07-10 09.35

1347 Beräkna f (5). Svara med tre gällande 

siffror. 

a) f( x) = 400 ∙ x 1,5 b) f( x) = 400 ∙ 1,5 x 

1348 Lös ekvationen. Svara med tre gällande 

siffror. 

a) x 3 = 8 c) 3 x = 8 

b) 2x 5 = 24 d) 2 ∙ 5 x = 24 

1349 Vinsten i ett företag är 80 miljoner kr. 

Ställ upp en funktion som anger vinsten 

y kr efter x år om vinsten förväntas 

a) öka med 5 % varje år 

b) minska med 5 % varje år. 

1350 En dag analyserade Mikael bakteriehalten 

i ett vattenprov. Antalet bakterier 

f( x) = 200 000 ∙ 1,04 x , där x är antalet 

timmar efter kl. 09.00. 

a) Beräkna antalet bakterier kl 12.30. 

b) När är antalet bakterier 500 000? 

1351 Under en 20-årsperiod har Emmas årslön 

trefaldigats. 

Beräkna den årliga procentuella ökningen 

om vi förutsätter att den varit lika stor 

varje år. 

1352 Karl köpte aktier. När han tre år senare 

skulle sälja aktierna hade värdet halverats. 

Vilken årlig procentuell minskning motsvarade 

detta? 

1353 Lufttrycket y millibar avtar med höjden 

x km över havet enligt funktionen 

y = 1 013 ∙ 0,887 x 

a) Hur stort är lufttrycket vid havsnivån? 

b) Med hur många procent minskar trycket 

då höjden ökar med 1 km? 

c) Beräkna lufttrycket på höjden 8 800 m. 

d) På vilken höjd är lufttrycket 

500 millibar? 

1354 A y = 2 √ x 

B y = 3 x 2 

C y = x 2 + x 

D y = 2 x 

Vilken eller vilka av funktionerna ovan är en 

a) andragradsfunktion 

b) potensfunktion 

c) exponentialfunktion? 

1355 Figuren visar grafen till en exponentialfunktion. 

Bestäm funktionen. 

1 

y 

1 

1356 Halten av en luftförorening y gram per m 3 

i ett rum avtar med tiden t timmar enligt 

funktionen y = 40 ∙ 0,92 t 

Med hur många procent minskar halten 

per dygn? 

1357 För en exponentiell modell y = f ( x ) = C a x 

gäller att f (0) = 2 och f (1) = 3. 

Bestäm f (2). 

1358 I tiokamp för herrar beräknas poängen P( t ) 

för löpning 1 500 m med potens funktionen 

P( t ) = 0,037 68 (480 – t ) 1,85 

där t är tiden i sekunder. 

a) Vilken poäng ger tiden 4.10,0? 

b) Vilken poäng ger tiden 4.20,0? 

c) Vilken tid ger 1 000 poäng? 

x 


Bla 3c.indb 52 2012-07-10 09.35

1359 En dator kan sortera N namn på T µs, 

där T = 1,18 ∙ N 1,18 . 

Hur många namn sorteras på 1 min? 

1360 Från år 1995 till 2005 minskade en koloni 

av måsar från 10 000 till 6 000. 

Hur många måsar kan vi förvänta oss 2015, 

om minsk ningen i procent är densamma 

varje år? 

1361 

y 


1363 En patient får en injektion på 5,0 mg av 

ett läkemedel. Man vet att denna mängd 

avtar exponentiellt med tiden och att halva 

mängden återstår efter 24 h. 

När återstår 1,5 mg? 

1364 Då kärnkraftverket i Tjernobyl havererade 

i april 1986 spreds stora mängder 

radioaktivt material, bl a jod-131 med en 

halveringstid på 8,0 dygn och cesium-137 

med en halveringstid på 30,2 år. 

Hur länge dröjer det innan aktiviteten 

reducerats till 1 % av det ursprungliga 

värdet för 

a) jod-131 b) cesium-137? 

100 

1 

Figuren visar grafen till y = f ( x ). 

Beräkna f ( –2 ). 

x 

1365 

y 


y = C · x a 

1362 Flora och fauna på isolerade öar har stort 

intresse inom ekologin. För både växter 

och djur har forskarna funnit att antalet 

arter y på öar med olika area x km 2 kan 

beskrivas med potensfunktionen y = c ∙ x a 

där c och a är konstanter som beror av den 

aktuella organismen och ögruppen. För 

fågelarter inom Bismarcksarkipelagen har 

undersökningar visat att c = 18,9 och 

a = 0,18. 

Hur stor måste en ö vara för att man 

rim ligen ska finna fler än 100 fågelarter? 

10 

1 

Bestäm C och a. 


a) 2 x + 1 

2 x – 1 = – 6 b) x lg x x 

= 

3 

100 

x 


Bla 3c.indb 53 2012-07-10 09.35

Aktivitet 

✽ Laborera 

Pendeln 

Materiel: En pendel (t ex vikt upphängd i 2 m 

långt snöre), stativ eller annan fästanordning, 

tid tagarur och tumstock eller måttband (2 m). 

1 Svängningstiden (fram och tillbaka) för en 

pendel beror av pendelns längd. 

Du ska variera och mäta längden på pendeln, 

mäta svängningstiden och redovisa resultatet 

i en tabell. 

Tips: 

• Mät längden till kulans/viktens tyngdpunkt. 

• Låt pendeln göra ganska små svängningar. 

• Mät tiden för 10 svängningar. 

2 Använd räknare/dator med ett kurvanpassningsprogram 

och anpassa en 

potensfunktion av typen y = C ∙ a x 

till dina mätvärden. 

Låt y vara svängningstiden i sekunder 

och x pendelns längd i meter. 

3 Välj en pendellängd och beräkna svängningstiden 

med hjälp av din funktion. 

Kontrollera sedan experimentellt. 

Stämmer det? 

4 Bygg en ”klocka”! 

Hur lång är den pendel som har en svängningstid 

på exakt en sekund? 

Gör först en beräkning med hjälp av din 

funktion. Kontrollera sedan experimentellt. 

Stämmer det? 

5 Det finns en teoretisk formel för en plan, 

”matematisk” pendel. 

Ta reda på denna formel och jämför med 

din potensfunktion. 

Kommentera likheter och skillnader. 


Bla 3c.indb 54 2012-07-10 09.35

Aktivitet 

✽ Diskutera 

Sant eller falskt? 

Diskutera i par eller grupp. Arbeta utan räknare. 

Sant eller falskt? Motivera svaret! 

1 4 x 2 – 4 kan skrivas som 4( x – 1)(x + 1) 

2 Summan av två andragradspolynom kan vara 

ett fjärdegradspolynom. 

3 x = 3 är en lösning till ekvationen 

2 

x + 1 + 1 

x – 1 = 1 

4 Polynomet p( x ) = (2x – 5)( x + 7) 

har nollställena 5 och 7. 

5 Uttrycket 3 x – 12 är ej definierat då 

2 x – 10 

x = 10. 

6 Summan 2 –1 + 2 –1 är dubbelt så stor som 

produkten 2 –1 · 2 –1 . 

7 y = ( x – 3)( x + 2) är den enda andragradsfunktion 

som har nollställena 3 och – 2. 

8 √ 98 kan skrivas 7 √ 2 

9 Om f ( x ) = x – 1 och g ( x ) = x 2 så saknar 

ekvationen f ( x ) = g ( x ) reella lösningar. 

10 Uttrycket 4 x 2 – 100 

x – 5 

är skrivet i enklaste form. 

11 Funktionen y = x √ x är ett exempel på en 

potensfunktion. 

12 3 x 3 · 3 x 3 · 3 x 3 

3 x 3 + 3 x 3 + 3 x 3 kan förenklas till 3 x 3 . 

1 Algebra och linjära modeller 55 

Bla 3c.indb 55 2012-07-10 09.35

Sammanfattning 1 

Algebra och polynom 

Polynom och räkneregler 

Ett polynom är en summa av termer där 

variabeltermernas exponenter är naturliga tal. 

Exempel: 

2x 3 – x 2 + 10 är ett tredjegradspolynom med 

tre termer. 

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna: 

(a + b)(a – b) = a 2 – b 2 

(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 

(a – b ) 2 = a 2 – 2 a b + b 2 

Potenser 

a x a y = a x + y 

a x b x = (a b) x 

a x 

a = a x – y 

y 

a x 

b = ⎛ x ⎝ a x 

⎞ 

b⎠ 

(a x ) y = a x y 

a 0 = 1 a –x = 1 1 

a a n n 

= √ a 

x 

Exempel: 

(2 x ) 3 · 2 x –1 = 2 3 · x 3 · 2 · x –1 = 16 x 2 

Kvadratrötter och absolutbelopp 

(√ a ) 2 = √ a · √ a = a a ≥ 0 

√ a · √ b = √ ab a ≥ 0 b ≥ 0 

√ a 

√ b √ = a b 

a ≥ 0 b > 0 

Exempel: 

√18 = √ 9 · √ 2 = 3 · √ 2 

Absolutbeloppet av x, skrivs |x| och definieras som 

talets avstånd till origo. 

⎧ x om x ≥ 0 

|x| = ⎨ 

⎩ –x om x < 0 

Ekvationer 

Ekvationen x 2 + p x + q = 0 har lösningarna 

x = – p 2 √ ± ⎛ p 2 

⎞ 

⎝ 2⎠ 

– q 

Ekvationer som kan skrivas så att det ena ledet är 

faktoriserat och det andra ledet är noll kan lösas 

med nollproduktmetoden. 

Exempel: 

4x(3x – 15)(2x + 6) = 0 

1 x = 0 

2 (3 x – 15) = 0 vilket ger x = 5 

3 (2 x + 6) = 0 vilket ger x = – 3 

x 1 = 0 x 2 = 5 x 3 = – 3 

Ekvationer där den obekanta förekommer under 

ett rottecken kallas rotekvationer. Rotekvationer 

kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket dock 

kan ge falska rötter som måste prövas i den 

ursprungliga ekvationen. 

Polynom i faktorform 

Ett nollställe till ett polynom p ( x ) är ett tal a 

sådant att p ( a ) = 0. 

Ett andragradspolynom p ( x ) med nollställena 

a och b skrivs i faktorform 

p ( x ) = k ( x – a )( x – b ) 

där k är en konstant. 

Rationella uttryck 

Vad menas med ett rationellt uttryck? 

Ett rationellt uttryck definieras som en kvot 

av två polynom p(x) 

q(x) 

Ett rationellt uttryck är inte definierat då 

nämnaren är lika med noll. 

56 1 Algebra och linjära modeller 

Bla 3c.indb 56 2012-07-10 09.35


Ett rationellt uttryck som inte kan förkortas är 

skrivet i enklaste form. 

Exempel: 

5 a 2 

15 a = 5 a · a 

3 · 5 · a = a 3 

2 x + 8 

x 2 – 16 = 2 ( x + 4) 

( x + 4)( x – 4) = 2 

x – 4 

Addition och subtraktion 

Förläng till MGN vid förenkling. 

Exempel: 

1 

2 a – 1 

3 a = 3 

6 a – 2 

6 a = 3 – 2 

6 a = 1 

6 a 

MGN = 6a 

Enklaste form 

Multiplicera båda leden med MGN vid 

ekvationslösning. 

Exempel: 


3 

2 a – 2 

3 a = a 

6 a · 3 

2 a 

9 – 4 = 6 a 2 

a 2 = 5/6 

a = ± √ 5 / 6 

– 6 a · 2 

3 a = 6 a · a 

Multiplikation och division 

Exempel: 

a + 1 

2 a / a2 – 1 

= a + 1 

2 2 a · 2 

a 2 – 1 = 

(a + 1) · 2 

= 

2 a (a + 1) (a – 1) = 1 

a (a – 1) 

Funktioner 

Inledning 

En funktion är en regel som till varje tillåtet 

x-värde ger exakt ett y-värde. 

Definitionsmängden är de tillåtna x-värdena. 

Värdemängden är de erhållna y-värdena. 

Alla polynomfunktioner är kontinuerliga. Grafen 

till en sådan funktion kan ritas ”utan att lyfta 

pennan.” 

En funktion vars definitionsmängd är heltalen 

(eller en delmängd av heltalen) kan kallas en 

diskret funktion. 


k-form 

y = kx + m 

enpunktsform y – y 1 = k( x – x 1 ) 

allmän form a x + b y + c = 0 

Andragradsfunktioner 

En andragradsfunktion kan skrivas 

y = a x 2 + b x + c, där a ≠ 0 

Grafen 

• har en maximipunkt om a < 0 

• har en minimipunkt om a > 0 

• skär y-axeln i (0, c) 

• är symmetrisk kring symmetrilinjen 

• har nollställen om ekvationen y = 0 

har reella lösningar. 

Potensfunktioner 

y = C ∙ x a (C och a är konstanter) 

Exempel: 

Potensekvationen 

x 12 = 3, x > 0 

har den positiva roten x = 3 1/12 ≈ 1,096 

Exponentialfunktioner 

y = C ∙ a x (C och a är konstanter, a > 0, a ≠ 1) 

Exempel: 

Lösning av exponentialekvation. 

8 · 3 x = 15 

3 x = 15/8 

lg 3 x = lg (15/8) 

x · lg 3 = lg (15/8) 

lg (15/8) 

x = ≈ 0,572 

lg 3 


Bla 3c.indb 57 2012-07-10 09.36

Kan du det här? 1 

Moment 

Begrepp som du ska kunna 

använda och beskriva 

Du ska ha strategier för att kunna 

Algebra och 

polynom 

Polynom, term och gradtal 

Potens, bas och exponent 

Kvadratrot och absolutbelopp 

Andragradsekvation 

Lösningsformeln 

Nollproduktmetoden 

Nollställe, faktorform 

• addera, subtrahera, multiplicera 

och faktorisera polynom 

• använda potenslagarna med reella 

exponenter 

• använda lagarna för kvadratrötter 

• lösa andragradsekvationer med olika 

metoder 

• lösa ekvationer med hjälp av 

faktorisering, kvadrering och 

substitution. 

Rationella 

uttryck 

Rationellt uttryck 


Enklaste form 

MGN 

Falsk rot 

• beräkna värdet på ett rationellt uttryck 

och bestämma de variabelvärden för 

vilka uttrycket inte är definierat 

• förlänga och förkorta rationella uttryck 

• addera, subtrahera, multiplicera och 

dividera rationella uttryck 

• lösa ekvationer som innehåller 

rationella uttryck. 

Funktioner 

Funktion 

Definitions- och värdemängd 

Kontinuerlig funktion 

Diskret funktion 


Andragradsfunktion 


Potensekvation 


Exponentialekvation 

• avgöra om en formel, graf och 

värdetabell beskriver en funktion 

• avgöra om en funktion är kontinuerlig 

• använda k-form, enpunktsform och 

allmän form för räta linjen 

• bestämma symmetrilinje, nollställen 

och största/minsta värde för 

andragradsfunktioner 

• lösa potensoch exponentialekvationer 

• använda linjära-, andragrads-, potensoch 

exponentialfunktioner i olika 

tillämpningar. 


Bla 3c.indb 58 2012-07-10 09.36

Diagnos 1 

Algebra och polynom 


a) (2a + 3b)(2a – 3b) – 2a(2a – 3b) 

b) 3(x + h) 2 – 3x 2 

2 Förenkla 

a) a –2 · a –4 + ( 2 a –3 ) 2 

b) ( x – √ 3 ) (x + √ 3 ) 


a) 4 1 + 4 0,5 b) √ 25 + √ 2 · √ 18 


a) 3 x (2 x + 6)( x – 1) = 0 

b) 9 x 3 – 6 x 2 + x = 0 

5 Skriv polynomet i faktorform 

a) p(x) = x 2 – 16 x + 60 

b) p(x) = –10 x 2 + 50x – 60 

Rationella uttryck 

x + 1 

6 G( x ) = 

x ( x + 2) 

a) Beräkna G (–3) 

b) För vilket eller vilka värden på x är G (x) 

inte definierat? 


a) x 2 – x 8 = 24 c) x 2 

x – 1 + 2 = 1 

x – 1 

b) x – 1 

2 + x – 2 

3 = 3 d) x 2 

x + 4 – 16 

x + 4 = 4 

9 Förenkla 

a) a b 

2 · 6 b 

a 

b) a b 

2 / 6 b 

a 

c) 2 a / 2 – 4 a 

a 2 

d) a 2 – 1 

3 

6 

· 

4 a + 4 

Funktioner 

10 Bestäm ekvationen för den linje som 

a) har k = 4 och går genom punkten (1, 8) 

b) går genom punkterna (2, 6) och (3, 4) 

c) är parallell med y = 3 x + 7 och går 

genom (2, 4). 

11 Rita andragradskurvan (parabeln) 

y = 2 x 2 – 8 x – 24 

a) Ange symmetrilinjens ekvation. 

b) Har kurvan en maximieller minimipunkt? 

c) Ange extrempunktens koordinater. 

d) Var skär grafen x-axeln? 

e) Var skär grafen y-axeln? 

7 Förenkla 

a) 14 x – 7 

2 x – 1 

b) 2 x 2 – 18 

x + 3 

c) x 2 + x 3 – x 

12 

d) x – 1 

1 – x + 1 + y 

y + 1 

12 Lös ekvationen. Svara dels exakt, dels med ett 

närmevärde med tre decimaler. 

a) 2 · x 5 = 12 b) 2 · 5 x = 12 

13 Ge ett exempel på en potensfunktion och 

på en exponentialfunktion för vilken gäller 

att f( 1 ) = 3. 

Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sidan 246. 


Bla 3c.indb 59 2012-07-10 09.36

Blandade övningar kapitel 1 

Del I 

Utan räknare 


( 3 x + 2 ) 2 – (2 x – 3) 2 

2 Bryt ut och förenkla 10 – 2 x 

5 – x 

3 Uppgiften är att skriva om uttrycket 64 + x 

4 

Wilma får 16 + x 

Joel får 16 + x 4 

Förklara hur de gjort och vem som har rätt. 

1 1 

2 2 

4 Beräkna 4 + 5 · 5 

5 För vilka x-värden är 

inte definierad? 

1 

2 

x – 2 

2 x 2 – 8 x 

6 Använd konjugatregeln och förenkla 

s + 4 

s 2 – 16 

11 För vilket värde på talet a har ekvationen 

x 2 – 10 x + a = 0 

rötterna x = 3 och x = 7 ? 

12 Förenkla 

(2 a –2 ) 3 

2 a 2 + 2 a 2 

13 Lös ekvationen 5 x 4 – 8 x – 3 x 4 + 6 x = 0 

14 En rät linje skär grafen till andragradsfunktionen 

y = 4 x – x 2 – 3 där 

x = 1 och x = 4. Bestäm linjens ekvation. 

15 Jossan uppskattar att kostnaderna för 

hennes bil varje år uppgår till 

30 000 kr + 15 kr/mil. 

Anta att Jossan kör x mil under ett år. 

a) Ställ upp ett uttryck som ger Jossans 

genomsnittliga bilkostnad per mil. 

b) Jossan beräknar kostnaden till 

40 kr/mil. Hur många mil kör hon då 

på ett år? 

7 Utveckla eller förenkla 

a) ( x + a ) 2 – ( x – a) 2 b) x (x + 2) 2 – x 3 

8 Lös ekvationen exakt. 

a) ( x – 1) ( x + 1) = 0 c) 2 x + 4 = 6 x 

b) 5 · 10 x = 10 d) 2 x 5 = 6 

9 Förklara, med vardagligt språk, vad som menas 

med att en funktion är kontinuerlig. 

10 Förenkla 

5 

a) 

x + 2 – 3 – x 

x + 2 

b) 

2 

x – 2 – 5 

2 – x 

60 2 1 Algebra och linjära modeller 

Bla 3c.indb 60 2012-07-10 09.36

16 För en andragradsfunktion 

f( x) = a x 2 + b x 

gäller att f ( –1 ) = –2 och f (1) = 6. 

Bestäm konstanterna a och b. 

17 Lös ekvationen x 3 – x (6 x – 5) = 0 

18 a = √ 3 · √ 15 

I vilket av följande intervall ligger talet a ? 

A 3 ≤ a < 4 D 6 ≤ a < 7 

B 4 ≤ a < 5 E 7 ≤ a < 8 

C 5 ≤ a < 6 


5 

19 a) Lös ekvationen 

4 x + 1 x – x = 0 

5 

b) Förenkla 

4 x + 1 x – x 

20 Ge ett exempel på ett rationellt uttryck 

som inte är definierat för x = 1 och 

som har värdet 1 då x = –2. 

21 Andragradsfunktionen f har den graf som visas 

i figuren. 

4 

y 

22 Beräkna uttryckets värde då x = 3 995 

a) x 2 + 10x + 25 

b) 2 x 3 – 50 x 

2 x 2 – 10 x 

23 a) Lös ekvationen x + 1 

x 

b) Förenkla uttrycket x + 1 

x 

24 Låt f (x) = 5x 2 och förenkla 

f (2 + h ) – f (2) 

a) 

h 

b) f ( x + h ) – f ( x ) 

h 

25 a) Lös ekvationen |x – 5| = 7 

b) Lös ekvationen |x + 5| = 7 

c) Skriv intervallet –5 < x < 7 

med hjälp av absolutbelopp. 

26 Beräkna 1 x + 1 y 


a) 9 · 3 2x + 1 = 1 

b) x 2/3 – 5 x 1/3 + 6 = 0 

– 

x 

x + 1 = 3 2 

– 

x 

x + 1 

om x + y = 4 och x y = 1 

1 5 

x 

28 Figuren visar grafen till tredjegradsfunktionen 

y = a x 3 + b x 2 + c x + d 

a) Vilken lösning har ekvationen f( x) = 0? 

b) Ekvationen f( x) = a har endast en lösning. 

Vilket tal är a ? 

c) Är det sant att f(11) = 6 ∙ f(0)? 


y 

24 

x 

2 3 8 

Bestäm konstanterna a, b, c och d. 


Bla 3c.indb 61 2012-07-10 09.36

Del II 

Med räknare 

29 För det rationella uttrycket K ( x ) gäller att 

K( x) = 

x 2 

5 x + 30 

Beräkna K(18) – K (14). 

30 Lös ekvationen. 

Avrunda svaret till tre gällande siffror. 

a) 3 x + 2 

100 = 5 

b) 3 x 2 

100 = 5 x > 0 

c) 2 x 3 

100 = 5 

d) 3 · 2 x 

100 = 5 

31 I ett avtal från 1997, det så kallade Kyotoprotokollet, 

förband sig industriländerna att 

minska sina koldioxidutsläpp med 5,2 % av 

1990 års utsläppsmängd före 2012. 

Vilken årlig procentuell minskning motsvarar 

5,2 % från och med 1991 till och med 2011? 

32 Med en lins kan ett föremål avbildas. 

Sambandet mellan föremålets avstånd a till 

linsen, bildens avstånd b till linsen och linsens 

brännvidd f kallas linsformeln: 

1 

a + 1 b = 1 f 

a) Ett föremål placeras 600 mm framför en 

kameralins med brännvidden 50 mm. 

Beräkna bildavståndet. 

b) Visa att det vänsta ledet i formeln kan 

skrivas a + b 

ab 

33 Andragradspolynomet 6 x 2 + x – 1 kan 

i faktorform skrivas ( ax + b ) ( c x + d ). 

Bestäm heltalen a, b, c och d 

om a < c och b > d. 

34 Figuren visar grafen till y = x 3 – x 2 – 4x + 4 

a) Lös med hjälp av grafen ekvationen 

x 3 – x 2 – 4x + 4 = 0 

5 

y 

x 

–2 1 2 

b) Faktorisera polynomet x 3 – x 2 – 4 x + 4. 

35 Svängningstiden T sekunder för små 

svängningar hos en plan matematisk pendel 

med längden l meter kan beräknas med 

formeln 

T = 2 π 

√ l g 

där g = 9,82 

a) Beräkna svängningstiden för en pendel med 

längden 1,52 m. 

b) Hur lång är en pendel med svängningstiden 

0,75 s? 

c) Lös ut l ur formeln. 


Bla 3c.indb 62 2012-07-10 09.36

36 Jessica löser ekvationen 

√ x = x – 2 

på följande sätt: 

√ x = x – 2 

(√ x ) 2 = ( x – 2) 2 

x = x 2 – 4 x + 4 

x 2 – 5 x + 4 = 0 

x = 5 2 √ ± 25 

4 – 16 

4 

x = 5 2 ± 3 2 

x 1 = 1 x 2 = 4 

För att kontrollera sin lösning ritar Jessica 

graferna till y = √ x och y = x – 2 på följande 

sätt: 

2 

y 

Jessica säger: 

Jag förstår inte detta! Enligt graferna är 

x = 4 en lösning till ekvationen men x = 1 

verkar inte vara en lösning. Har jag löst 

ekvationen fel? 

Vilken lösning har ekvationen 

√ x = x – 2 ? 

Förklara för Jessica! 

1 

37 Låt f ( x ) = 

x 

2 4 

x 

och förenkla 

f ( x + h ) – f ( x ) 

h 

Utredande uppgifter 

Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter 

följande kriterier: 

• vilka matematiska kunskaper du har visat 

• hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat 

dina slutsatser 

• hur väl du har redovisat ditt arbete och 

genomfört dina beräkningar. 

38 Du ska undersöka differensen av två bråk. 

• Beräkna differenserna 

2 

3 – 1 2 

4 

5 – 3 4 

9 

10 – 8 9 

• Beräkna ytterligare några differenser av två 

bråk som följer mönstret ovan. 

• Vad upptäcker du? 

• Bevisa din upptäckt med algebra. 

39 Du ska undersöka polynomen 

a 3 – b 3 och (a – b ) (a 2 + a b + b 2 ). 

• Beräkna värdet av de två polynomen 

då a = 5 och b = 5. 


då a = –5 och b = –5. 


då a = 7 och b = 3. 

• Välj två olika negativa värden på a och b 

och beräkna polynomens värde. 

• Vad upptäcker du? 

• Bevisa din upptäckt. 

• Lös ekvationen 

(x – 2)(x 2 + 2x + 4) = 19 


Bla 3c.indb 63 2012-07-10 09.36

SVAR OCH LÖSNINGAR 

Svaren står med svart text. Ledtrådar och lösningar med blå text. 

1 

1104 a) 8x – 6 

b) 20a – 22 

c) 2x 2 + 10x + 12 

d) –y 2 + 6 y – 8 

1105 a) x 2 – 16 

b) 49 – 4a 2 

1106 a) a 2 + 10a + 25 

b) x 2 – 18x + 81 

c) 9x 2 + 24x + 16 

d) 25 – 60y + 36y 2 

1107 A = 9a – 7b + 2 

B = 7a – 5b + 2 

Ledtråd: 

Summan i diagonalerna skall 

vara 5a – 3b + 2 

1108 a) T ex p(x) = x 2 – 5x + 1 

b) T ex p(x) = 3x 2 + x 

1109 N(140) = 200. Om biljetterna 

kostar 140 kr kommer 200 

personer att se matchen. 

1110 a) Uttryckets värde är 0 

b) Uttryckets värde är 0. 

Kommentar: 

Uttrycket kan förenklas till 

8 – 2a. 

För alla variabelvärden är 

värdet på ett uttryck före 

och efter förenkling 

detsamma. 

1111 a) –3x 2 + 52 x – 60 

b) a 2 – 2ab + b 2 

c) x 3 – 6x 2 + 12x – 8 

Ledtråd: 

(x – 2) 3 = (x – 2)(x – 2) 2 = 

(x – 2)(x – 4x + 4) 

d) x 3 – 7x – 4 

1121 p(x) = 5 + 2x – 3x 2 

1112 a) Grad 3 

1120 p (x) = x 2 Uttrycket kan skrivas på 

Motivering: 

Termen där exponenten är 3 

ändras inte. 

b) Grad 5 

Ledtråd: 

p(x) = ax 2 + bx + c 

Ställ upp och lös ett 

ekvationssystem. 

Motivering: 

1124 a) x 5 d) a 8 

Exponenten i termen med 

b) x 

högst exponent ökar från 

e) b –8 

3 till 5. 

c) 4 3x f) b –4 

1113 V (x) = –5 000 + 1 120x – 30x 2 

Ledtråd: 

V (x) = I(x) – K(x) 

1125 b) 5 + 5 + 5 + 5 = 4 ∙ 5 

d) (4a) 3 = 4 3 a 3 = 64a 3 

e) 2 ∙ 2 3 = 2 4 

1114 y(2,5) – y(2,0) = 0,127 5 

1126 a) 10x 

Då avståndet från utkastet, 

c) x 5 6 

räknat längs golvet, ökar från 

b) 4 a 

2 

d) x m 6 

4 

2,0 m till 2,5 m ökar bollens 

b 

höjd över golvet med ca 13 cm. 1127 a) 2 19 Lösning: 2 20 

= 2 

19 

2 

1115 a) 2x 2 + 2y 2 

b) 2 

b) 4x 

Lösning: 2 20 

2 

2 218 

c) 2x 3 +2x 2 y + 6xy 2 – 2y 3 

1116 a) 8a 3 +60a 2 + 150a +125 

b) a 2 – b 2 – 10b – 25 

1117 V(q) =75x – 0,3x 2 – 800 

1128 a) 4a 2 b 6 

Ledtråd: 

Uttrycket kan skrivas 

3 3 

8ab 

3 

2ab Ledtråd: 

b) 12a 9 b –3 

Intäkten I(x) = 90x 

Ledtråd: 

Förenkla I(x) – K(x) 

Uttrycket kan skrivas 

1118 Kostnadsändring 

(0,4x + 50,2) kr 

3 −2 2 

4ab 

9a 

−4 

3a b 

3 

1119 Intäkten 

c) 

x 

(60 – x)(3 000 + 100x) kr = 

8 

= (180 000 + 3 000x – 100x 2 ) kr 

d) x n 

x = 15 ger maximal intäkt 

202 500 kr. 

Ledtråd: 

1129 a) 9 ∙ 10 –2a 

b) 6 ∙ 10 –a 

Antal hyresgäster (60 – x) st 

c) 4 · 3 2x = 4 · 9 x 

som var och en betalar 

Ledtråd: 

(3 000 + 100x) kr. 

(3x + 3x) 2 = (2 · 3 x ) 2 

0 ≤ x ≤ 60. 

Max hittar vi t ex grafiskt. 

d) 9 x + 1 

Kommentar: 

många olika sätt t ex 9 x + 1 , 

9 · 9 x , och 3 2x + 2 . 

252 svar och lösningar 

Bla 3c.indb 252 2012-07-10 09.43

4 

1130 Vi vet att 3 4 

3 

= 1. 

För att potenslagarna ska gälla 

måste 3 4 – 4 = 3 0 = 1. 

Vi vet att 3 4 

7 

3 

= 1 

3 . 3 

För att potenslagarna ska gälla 

måste 3 4 – 7 = 3 –3 1 

= 

3 . 3 

1131 a) 5 2x + 2 + 5 –2x 

b) a 4x + 2 

1132 a) x = 0,5 

Ledtråd: 

Exponenterna lika ger 

5x – 2 = x 

b) x = 2/3 

c) x = –1,5 

Ledtråd: 

3 2x = 3 –3 

d) x = 2,5 

1133 a) x a (x 2 – 3) 

b) a 3 (a h – 1) 

c) a n (a n + 1) 

1134 a) 7 2 · 3x 

Lösning: 

3+ 

2x 

2x 

3 + 3 

2 + x x 

= 3 2x 

3 3 

( + 1 ) 

x 2 

3 − 3 3 ( 3 − 1) 

= 3 x ⋅ 28 = 3 x ⋅ 7 

8 2 

b) 16 

2 3x 

Lösning: 

3x 

2 + 4 

x 

− 16 

= 

2 + − 2 

6x 

3x 

6x 

3x 

2 − 2 2 − 2 

4 3x 

2 ( 2 − 1) 

4 

= 3x 

3x 

= 

2 

2 ( 2 − 1) 

2 

= 16 

2 3x 

3 4 4 

3x = 

1135 a) x = 3 

b) x = 3 

Ledtråd: 

Skriv om VL till bas 2. 

c) x = 29,5 

d) x = –9 

Ledtråd: 

Skriv om båda leden till bas 3. 

1136 a) 3 a c) 3 n + 1 

b) x 4m – 2n d) 4 

1141 a) 5 c) 4 

b) 6 d) 10 

1142 a) 10 0,5 c) 10 1,5 

b) 10 –0,5 d) 10 –1,5 

1143 a) 10 c) 0,1 

b) 10 d) 10 

1144 a) 7 b) 3 

1145 a) 3 c) 2 ∙ 10 4 

b) 5 d) 3 ∙ 10 –1 = 0,3 

1146 a) x = ± 10 

b) x = ± 5 

c) x = ± 5 

d) x = ± 50 = ±5 2 

1147 a) 700 ≈ 26,46 

b) 70000 ≈ 264,6 

1148 a) 2 ∙ 3 = 4 ∙ 3 = 

= 4 · 3 = 12 

32 32 

b) 

32 

2 

4 = 16 

= 16 

= 1165 a) x 1 = –4 x 2 = –10 

b) x 1 = 0 x 2 = 0,5 

eller 

c) x 1 = –3 x 2 = 4 x 3 = –0,5 

32 16 · 2 16 · 2 4 · 2 

= = = 1166 x = 2,5 2 och 4,5 

4 4 

4 

4 

32 16 · 2 16 · 2 4 · 2 

1167 a) a = 5,0 

= = = = 2 

Accelerationen är 5 m/s 

4 4 

4 

4 

2 . 

b) t = 4,3 

1149 a) 1 b) 2 x 

Tiden är 4,3 s. 

1150 x = 20 och x = –10 

1168 a) x 2 – 4 = 0 

Ledtråd: 

1151 a) x = 0 och x = 2 

Utveckla (x – 2)(x + 2) = 0 

b) x = 2 och x = –2 

b) x 2 – 8x = 0 

1152 5 < x < 9 

1153 |x – 10| ≤ 3 

1154 a) a 2 b) a 3 

Ledtråd: 

Använd Pythagoras sats och 

lös ut x. 

1155 a) a – b b) h c) 2 ab 

1156 a) x = 0,75 

Ledtråd: 

VL kan skrivas 

b) x = 3/8 

1161 a) x = 2,5 

b) x = ± 5 

c) x 1 = 0 x 2 = –5 

d) x 1 = 1 x 2 = 3 

1162 a) x 1 = 0 x 2 = 4 

b) x 1 = 0 x 2 = –5 

c) z 1 = 12 z 2 = –4 

d) x 1 = 1 x 2 = –9 

1163 a) x = ± 3 

b) z = 2,5 

c) x = 0,5 

( 

a · a 

b · b 

1164 a) t 1 = –10 – 83 , 

t 2 = –10 + 83 

b) x 1 = –6, x 2 = 2 

c) x 1 = –0,5 – 53 

4 , 

x 2 = –0,5 + 53 

4 

c) 6x 2 – 5x + 1 = 0 

Ledtråd: 

Utveckla 6 ( 

x – 1 2) ( x – 1 3) = 0 

d) x 2 + 4 = 0 

1169 a) 79 000 kr 

b) 535 detaljer 

Ledtråd: 

Lös ekvationen K(x) = 0 

där x är ett positivt tal. 

0,5 

0,5 

0,5 

( 

svar och lösningar 253 

Bla 3c.indb 253 2012-07-10 09.43

1170 a) x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = –2 

b) x 1 = 0, x 2 = 5, x 3 = 3 

c) x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = –2 

1171 a = – 8 5 

1172 5,2 minuter 

1173 a) x 1 = –1, x 2 = 8, x 3 = –8 

Ledtråd: 

Faktorisera VL, 

bryt ut (x + 1). 

b) x 1 = 3 x 2 = 2 , 

x 3 = – 2 

Ledtråd: 


bryt ut (x – 3). 

1174 x 1 = 0,5k – 1 x 2 = – 0,5k + 1 

1178 a) x 1 = –2 x 2 = 2 

b) x 1 = – 3 x 2 = 3 

1179 a) x 1 = 3 x 2 = 5 

b) x 1 = –1 x 2 = 1 

x 3 = –2 x 4 = 2 

1180 a) x 2 – x – 2 = 0 

b) x 1 = 2 och x 2 = –1 

c) Nej. 

Motivering: 

2−1 ≠ −1 

x = –1 är en falsk rot. 

d) x = 2 

1181 a) x ≈ ± 3,04 x ≈ ± 2,18 

b) x ≈ ± 2,48 

1182 a) x 1 = 16 x 2 = 81 

Båda OK vid prövning. 

b) x 1 = 16 x 2 = 81 

t 1 = 4 och t 2 = 9 

1183 a) x 1 = –1 x 2 = 8 x 3 = –8 

Ledtråd: 


bryt ut (x + 1). 

b) x = 6 

Ledtråd: 

x = 1 är en falsk rot. 

1184 a) x 1 = 1 x 2 = 16 

b) x 1 = 288 x 2 = 99 

c) x 1 = 0 x 2 = –2 

x 3 = –1 + 5 x 4 = –1 – 5 

1188 a) 5x(1 + 5x 2 ) 

b) 4(h + 2h 2 + 3) 

c) 4h(6 + h) 

d) 3hx(2 + h) 

1189 a) (x + 7)(x – 7) 

b) (x – 3) 2 

c) (9x + 4y)(9x – 4y) 

d) (4x + 1) 2 

1190 a) x 1 = –3 x 2 = 10 

b) x 1 = 0 x 2 = 4 

1191 f(x) = (x – 5)(x – 7) 

1192 a) p(x) = (x – 2)(x – 8) 

b) g(x) = (x – 2)(x – 3) 

1193 a) h(x) = 4(x – 4)(x – 2) 

b) p(z) = –3(z + 1)(z – 2) 

c) p(x) = 2(x – 3)(x + 3) 

1194 p(x) = 3(x – 1)(x – 7) 

Tobbe har fel tecken i 

parenteserna. 

Carro glömmer faktorn 3. 

1195 T ex 

p(x) = (x + 10)(x – 20) 

q(x) = 2(x + 10)(x – 20) 

1196 a) f(t) = –(2t – 1) 2 

b) h(x) = 4(x 2 + x + 1) 

c) p(x) = –(x + 1)(3x – 1) 

1197 Nej. 

Motivering: 

p( x) = – 0,5(x – 1)(x – 4) 

p(6) = – 5 

1198 a = –3 b = –13 c = 15 

1199 Nollställen: a och b. 

Tolkning: 

Nollställenas summa = 

= koefficienten för x men med 

omvänt tecken. 

Nollställenas produkt = den 

konstanta termen. 

(Förutsätter p (x) på formen 

p(x) = x 2 + px + q.) 

1203 a) 6 b) x = 4 

1204 a) 2 3 

b) x = –2 

c) Nej. Motivering: 

G(–3) = G(2) = 2/3 

1205 Uttrycket är inte definierat för 

x = 6 och y = -3. 

För dessa värden får nämnaren 

värdet 0. 

1206 a) x = 0 och x = –5 

b) Uttrycket är definierat för 

alla värden på x. 

c) x = –2 och x = –3 

d) x = 0 och x = ±5 

Ledtråd: 

Nämnaren kan skrivas 

2x(x 2 – 25) 

1207 a) T ex 

2x 

x − 7 

b) T ex x − 7 

2x 

2 

c) T ex 

2 

x − 9 

d) T ex 

2 

2 

x + 9 

1208 a) 8 000 kr 

Ledtråd: 

Bränsleförbrukning: 

G(100) = 0,5 liter/km 

Bränslemängd: 500 liter 

b) 125 mil 

Ledtråd: 

G(50) = 0,4 liter/km 

13 

1209 a) f (2) = 

6 ≈ 2,1666... 

Differensen är 

13 

6 – 3 10 ≈ 0,012 

3277 

b) f ( f (2)) = ≈ 2,154 50 

1521 

Differensen är 

3 

2,154 50 – 10 ≈ 7 · 10 –5 

1215 a) 6x 

14 

b) 8 

2x 

1216 a) 30 

15x 

b) 10 

15x 

c) 2x + 6 

14 

d) 2x − 6 

2x 

c) 3x − 6 

15x 

2 

d) 10x + 5x 

15x 


Bla 3c.indb 254 2012-07-10 09.43

1217 a) 7 8 

b) 2x 

3 

1218 a) 2 

x + 3 

b) 

x − 2 

3x 

+ 4 

1219 a) 4 + h 

c) 

2 

b 

6a 2 

d) x + 1 

x 

c) 2 

5+ x 

d) x + 4 

x + 3 

b) Uttrycket kan inte förkortas. 

c) 1 

2x+ 

h 

d) 2h 

3 

1220 2x 

+ 2y 

2 ( x+ 

y) = 

= 2 

x+ 

y x+ 

y 

kan förkortas, då täljare och 

nämnare har faktorn x + y 

gemensam. 

2x + y och x + y har ingen 

gemensam faktor. 

1221 a) 140x 2 

b) 2 

c) x + a 

1222 a) 6 

b) 6 

Ledtråd: 

Förenklat uttryck 2 y 

3 

1223 a) 52 

b) 8 a− 

6 b 

33 

4a+ 

3b 

1224 a) 3x 2 – 24x 

b) 2x – 16 

c) 12x 2 

1226 a) x – 5 

b) 

1 

x − 4 

c) 7 + x 

1227 a) 

1 

a − 1 

b) Uttrycket kan inte förkortas. 

c) 

2a 

a − 2 

d) 1 

a+ 

b 

1228 a) 

2 

3 − x 

c) x + 1 

b) 5(x + 1) d) x – 4 

1229 a) 

x 

2( x − 1) 

b) 2 ( a+ 

3 b) 

a − 3b 

1230 5,999 

Ledtråd: 

Uttrycket kan förenklas till 3 + x 

1231 Nej. 

Motivering: 

z = 1 ger HL = 2 och VL = 4. 

Den korrekta för enklingen är 

3 – z. 

1232 a) 8 + h b) 12 + 2h 

1233 a) 2 − x 

2 + x 

1234 2x + h 

1236 a) ( −1)( 

x −2) 

3 


b) x 

b) ( −1)( 

2 

x + 2 x − 3) 

4 

1237 a) –1 c) –(3 + a) 

b) –2 d) – 4 

y + 5 

1238 a) 1 – 2a b) – 10 

5+a 

1239 a) – a +1 

a 

1240 a) 1 b) 1 

1241 a) 1 − 2 x 

5x 

b) 1 − 6 x 

1+ 

6x 

c) – x + 2 

x 

b) 4 d) 1 + x 

1 − x 

1242 a) –2 c) –8(x – 2) 2 

b) 4(x – 2) d) 64(x – 2) 5 

1246 a) 6 3 

= c) 10x 

8 4 21 

b) – 11 

8 

1247 a) 4 a 

b) 3 x + 1 

4x 

d) 3x 

10 

c) 

5 

2x 

d) 13 

6a 

1248 a) x = 20 c) y = 120 

b) x = 4 d) x = 24 

1249 a) x = 3 b) x +21 

12 

1250 a) 3 y + 5 

3 y 

b) 12 + y 

4 y 

2 

1251 a) x = 11 c) x = 4 och x = –1 

b) x = 3,2 

1252 Pi: behöver parentes för att 

inte få teckenfel, ska vara 

... = 2 −( x + 1 ) 1 − x = 

2 x 2 x 

Bo: ändrar uttrycket när han 

bara multiplicerar täljaren 

med 2x. Vid förlängning 

måste både täljare och 

nämnare multipliceras med 

samma faktor för att inte 

värdet ska ändras. 

1253 x = 180 eller x = 1 500 

1254 a) 1 4 

d) 1 4 + 1 x = 1 3 

b) 1 3 

e) 12 h 

c) 

1 

x 

17 y − 51 

1257 a) y = 3 b) 

12 

1258 a) x 1 = 1 x 2 = –6 

b) Saknar lösning. 

1259 a) x = 6 


c) y 1 = 2 y 2 = –3 

d) x = –2 

Ledtråd: 

x = 2 är falsk rot 

1260 a) 1,5 tabletter 

b) 12 år 

1261 a) x = 6 


1262 

2 

x + 2 

1263 x 1 = 4 x 2 = –1,5 

1264 a = –1 t 2 = 7 

3 

1 

1265 a) 

c) 

a− 

b x( x+ 

2) 

2 

b) 2 d) 

a + 3 

Bla 3c.indb 255 2012-07-10 09.43

3 

a + 1 

a + 1 

1266 Ja, förenklingen är rätt. 

Numerisk motivering: 

De två uttrycken får samma 

värde för några olika värden 

på x. 

T ex då x = 15 får båda 

uttrycken värdet –14. 

Algebraiskt motivering: 

xy 

1278 a) 

3 

3 2 

a + 1 a + 1 − a (a + 1) 

x +1 

2 

− a = = 

a + 1 

a + 1 

b) 

a 

3 2 

a +2 

a + 1 − a (a + 1) 

2 

− a = = 

a + 1 

1 

2 

1 − a 

= a 3 + 1 − a 3 − a 2 

1279 a) 

ba ( − 3) 

= = 

a + 1 a + 1 

= 

1268 a) 10 

27 

b) 1 3 

1269 a) 21 

16 

b) 3 4 

1270 a) 2 5 

1271 a) 8 b 

1272 a) 10 7 

(1 − a)(1 + a) 

(1 + a) 

= 1 − a 

c) 2 

15 

d) 1 

15 

c) 4 3 

d) 5 

14 

c) 5 4 

b) 4 d) x 

30 

b) 

10x 

+ 15 

2x 

c) 2 a 

d) 

10x − 15 

2 

c) 4 a 

3b 

b) 2(a + b) d) x +1 

2 

1273 a) 2 c) 84 x 

b) 6 a 

1274 a) 5 21 

b) a+ b 

3 

1275 a) x 2 y 2 

18 

b) 2 3 

4 

d) 

35z 

c) 2 a 

9b 

d) x +1 

12 

c) 1 2 

2 2 

d) ab 6c 

2 

1276 a) x 2 c) 1 2 

a 

b) 1 d) b 

2 

x 

1277 a) 3 = 06 , b) 3 5 

5 

1280 a) b) 3 + a 

5 

1281 a) (2a+ 

3b) 

(2a – 3b) 

1282 a) – 1 xz 

1283 Ja, a = – 3. 

c) x − 2 y 

x 

b) 2(x – 1) 

a 

b) 

22 ( a + 1) 

b) – a + x 

ax 

1301 a) f(2) = 7 

b) g(–3) = 0 

c) f(2) – g(2) = –3 

d) g(b) – f(b) = b 2 – 3b + 5 

1302 a) 3a + 1 b) 3a + 3h – 2 

1303 a) a 2 – 4a + 1 b) a 2 + 4a + 1 

1304 Funktionen är diskret. 

Motivering: 

Man kan förmodligen bara 

hyra skidorna en hel dag eller 

en halv dag. 

Möjliga x-värden är då: 

½, 1, 1½, 2, 2½ … 

1305 a) Definitionsmängd: 

Alla reella x 

Värdemängd: 

Alla reella x 

b) Definitionsmängd: 

Alla reella x 

Värdemängd: 

y ≥ 0 

c) Definitionsmängd: 

x ≥ –3 

Värdemängd: y ≥ 0 

d) Definitionsmängd: 

Alla reella x 

Värdemängd: 

y > 0 

1306 a) 

2 

2 2 4 6 8 

2 

y 

b) Definitionsmängd: 

Alla reella x ≠ 4. 

c) För stora värden på x 

(oavsett tecken) ligger y 

mycket nära 0 men det 

finns inget x-värde som 

ger y = 0 (exakt). 

1307 a) h + 7 b) 2x + h + 3 

1308 a) f(–2) + f(2) = 8 + a 

b) a = –1 

Motivering: 

Funktionsvärdena, då x = 1 

och då x är ”lite, lite större än 

1” ska ligga nära varandra. 

1311 1 2 

1312 a) f(x) = 4x – 14 

b) f(x) = –3x + 7 

1313 a) 

b) 

4 

2 

2 

2 

4 

4 

2 

2 

2 

4 

1314 a) m = 15 000. Antalet 

invånare 1990. 

y 

y 

2 

2 

b) k = –225. Befolkningen 

minskar med 225 personer 

per år. 

1315 y = –2x – 5 

4 

4 

x 

x 

x 


Bla 3c.indb 256 2012-07-10 09.43

1316 3y – 2x – 20 = 0 

Ledtråd: 

k = 2/3 och m = 20/3 

1317 a) y = 9 x + 32 eller 

5 

y = 1,8x + 32 

b) 32 °F 

1318 a) y = –5x + 5 

b) y = 3x – 11 

1319 a) y = 3 – 0,5x 

b) y = x 

c) y = 2 x + 2 

3 

d) y = 11 – 3x 

1320 a) 75 mm 

b) 3,2 h 

c) f(t) = 200 – 25t 

1321 a) y = –x – 3 

x 

b) y = 

2 – 4,5 

1322 B = (4, 16) 

Ledtråd: 

y = x 2 ger t ex B:s koordinater 

(b, b 2 ) (b > 1). 

2 

b − 1 

k = = 

b − 1 

= ( b − 1 )( b + 1 ) = (b + 1) 

b − 1 

b + 1 = 5 ger b = 4. 

1323 Förenkling: 

f( x+ ∆x) − f( x) 

= 

∆x 

ax ( + ∆x) + b− ( ax + b) 

= = a 

∆x 

Tolkning: 

f( x+ ∆x) − f( x) 

∆y 

= 

∆x 

∆x = k, 

dvs linjen har lutningen a. 

1324 T ex f (x) = x + 1 

1327 a) maximipunkt 


c) x = 3 

d) (3, 9) 

e) (0, 0) 

1328 a) x = –3 och x = 10 


1329 Om koefficienten i x 2 -termen är 

positiv så har grafen en minimipunkt. 

Om koefficienten är negativ så 

har grafen en maximipunkt. 

1330 a) Nollställen: x = –3 och 

x = –1 

Minimipunkt: (–2, –1) 

b) Nollställen: x = 1 ± 6 

Minimipunkt: (1, –12) 

c) Nollställen: x = –1 

och x = 9 

Maximipunkt: (4, 25) 

d) Nollställen saknas. 

Maximipunkt: (– 3 2 , – 3 2 ) 

1331 x = –4 

1332 a) Skär x-axeln där x = –2 

och x = 1. Skär y-axeln 

där y = 6. 

b) Skär ej x-axeln. 

Skär y-axeln där y = 4. 

c) Skär x-axeln där x = 0 och 

x = 10. Skär y-axeln där 

y = 0. 

d) Skär x-axeln där x = 4 och 

x = –1. Skär y-axeln där 

y = – 4. 

1333 a) T ex y = x 2 – 2x – 3 

Ledtråd: 

Utveckla y = (x + 1)(x – 3) 

b) T ex y = x 2 + 10x 

1334 a) f(0) = –3 

b) 1 < x < 3 

c) f(x) = 4x – x 2 – 3 

d) g(x) = x 

Motivering: 

Ekvationen f(x) = g(x) 

saknar reella lösningar. 

1335 a < –16 

Motivering: 

Ekvationen x 2 – 8x – a = 0 

saknar reella lösningar då 

a < –16. 

1336 f (x) = 2x – 1 

1337 a) x = 2 b) 4 

1338 T ex 

f(x) = (x + 10)(x – 20) 

g(x) = 2(x + 10)(x – 20) 

1339 y = 0,5(x – 1)(x – 8) 

1340 s (v) = 0,006v 2 + 0,3v 

1341 a) s(2,5) = 15,125 

Efter 2,5 sekunder är bollen 

15 meter över marken. 

b) 17 m (17,28…) 

Ledtråd: 

Maximipunkten ligger på 

symmetrilinjen, x ≈ 1,837. 

1342 a) y = –0,5(x – 1) (x – 4) 

y = –0,5x 2 + 2,5x –2 

Ledtråd: 

Nollställena 1 och 4 och 

punkten (0, –2) 

b) y = 1,5(x + 2) (x – 6) 

y = 1,5x 2 – 6x – 18 

Ledtråd: 

Nollställena –2 och 6 och 

punkten (0, –18) 

1343 f (x) = 2(x – 1)(x + 3) = 

= 2x 2 + 4x – 6 

1344 b 2 = 4ac 

Ledtråd: 

Lös ekvationen ax 2 + bx + c = 0 

med lösningsformeln. 

Då uttrycket under rottecknet 

är noll har funktionen endast 

ett nollställe. 

1347 a) f(5) = 4 470 

b) f(5) = 3 040 

1348 a) x = 2 (exakt) 

b) x = 1,64 

c) x = 1,89 

d) x = 1,54 

1349 a) y = 80 ∙ 1,05 x 

b) y = 80 ∙ 0,95 x 

1350 a) Ca 230 000 

b) Efter ca 23 h (23,36…) 


Bla 3c.indb 257 2012-07-10 09.43

1351 5,6 % 

Ledtråd: 

Lös ekvationen x 20 = 3 

och tolka svaret som en 

förändringsfaktor. 

1352 20,6 % 

1353 a) 1 013 millibar 

b) 11,3 % 

c) 353 millibar (352,6...) 

d) 5,9 km 

1354 a) C b) A och B c) D 

1355 y = 5 ∙ 0,8 x 

1356 86 % (0,864...) 

1357 f(2) = 4,5 

1358 a) 882 poäng 

b) 812 poäng 

c) 3 min 53,8 s 

1359 3,39 ∙ 10 6 

1360 3 600 måsar 

Lösning 1: 

10 000 · x 10 = 6 000 

1 

x = 0,6 10 ≈ 0,950 2... 

Efter 20 år: 

1 

10 000 · ( 0,6 ) 10 20 = 

= 10 000 · 0,6 2 = 3 600 

Lösning 2: 

På 10 år minskade antalet 

måsar med 40 %. Nästa 

tioårsperiod minskar de 

med ytterligare 40% . 

0,4 ∙ 6 000 = 3 600 

1361 f(–2) = 1 600 

Ledtråd: 

Funktionen är f(x) = 400∙ 0,5 x 

1362 10 000 km 2 . 

1363 Efter 42 h (41,68…) 

Ledtråd: 

Förändringsfaktorn är 

1 

0,5 24 ≈ 0,971 5... 

1364 a) 53 dygn b) 201 år 

1365 C = 20 och a = 1/3 

1366 a) x = lg2/lg(5/7) ≈ –0,485 4 

Diagnos 1 

b) x 1 = 10 x 2 = 100 

Ledtråd: 

Logaritmera båda leden och 

gör substitutionen lgx = a. 

1 a) 6ab – 9b 2 b) 6xh + 3h 2 

2 a) 5a –6 b) x 2 – 3 

3 a) 6 b) 11 

4 a) x 1 = –3 x 2 = 0 x 3 = 1 

b) x 1 = 0 x 2 = 1/3 

5 a) p(x) = (x – 6)(x – 10) 

b) p(x) = –10(x – 2)(x – 3) 

6 a) G(–3) = –2/3 

b) x = 0 och x = –2 

7 a) 7 c) 3 x 

4 

b) 2(x – 3) d) 0 

8 a) x = 64 

b) x = 5 

c) x = -3 

Ledtråd: 

x = 1 är en falsk rot. 

d) x = 8 

Ledtråd: 

x = –4 är en falsk rot. 

9 a) 3b 2 c) a 

1 − 2a 

b) a2 

12 

10 a) y = 4x + 4 

b) y = –2x + 10 

c) y = 3x – 2 

11 

d) a − 1 

2 

10 10 

a) x = 2 

10 

40 

b) Minimipunkt 

c) (2, –32) 

d) ( –2, 0) och (6, 0) 

e) (0, –24) 

12 a) x = 6 1/5 ≈ 1,431 

b) x = lg6/lg5 ≈ 1,113 

13 Potensfunktion: 

T ex f(x) = 3 ∙ x 0,5 


T ex f(x) = 2 ∙ 1,5 x 

Blandade övningar kapitel 1 

1 5x 2 + 24x – 5 

2 2 

3 Joel har dividerat både 64 och 

x med 4, vilket är rätt. 

Wilma dividerade bara 64. 

4 7 

5 x = 0 och x = 4 

1 

6 s − 4 

7 a) 4ax 

b) 4x 2 + 4x 

8 a) x 1 = 1 x 2 = –1 

b) x = lg 2 

c) x 1 = 1 x 2 = –3 

d) x = 3 1/5 

9 Funktionens graf kan ritas utan 

att lyfta pennan. 

10 a) 1 b) 7 x − 2 

11 a = 21 

12 2a –8 

13 x 1 = 0 x 2 = 1 

Ledtråd: 

Förenkla ekvationen till 

2x 4 – 2x = 0 och bryt ut 2x. 

14 y = –x + 1 

Ledtråd: 

Skärningspunkterna är 

(1, 0) och (4, –3) 

15 a) 30 000 + 15x 

x 

b) Hon kör 1200 mil. 


Bla 3c.indb 258 2012-07-10 09.43

16 a = 2 och b = 4 

Ledtråd: 

Villkoren ger ekvationssystemet 

⎧ a – b = –2 

⎨ 

⎩ a + b = 6 

17 x 1 = 0 x 2 = 1 x 3 = 5 

18 a ligger i intervallet D. 

Motivering: 

a = 45 vilket är lite mindre 

än 7 eftersom 7 = 49 . 

19 a) x = ±1,5 

b) 9 − 4x 2 

4x 

20 2x + 1 

x − 1 

21 a) x = 1 och x = 5 

b) a = –3,2 

Ledtråd: 

f(x) = 0,8(x – 1)(x – 5) 

Värdet på a är detsamma som 

minimipunktens y-koordinat, 

vilket innebär att a = f(3). 

c) Nej, det är inte sant. 

Motivering: 

f(x) = 0,8(x – 1)(x – 5) 

f(11) = 48 och 6 ∙ f(0) = 24 

22 a) 16 000 000 

Ledtråd: 

Uttrycket kan skrivas (x + 5) 2 . 

b) 4 000 

Ledtråd: 

Förenkla uttrycket så långt 

som möjligt. 

23 a) x 1 = –2/3 x 2 = 1 

b) 

2x + 1 

x(x + 1) 

24 a) 20 + 5h 

Ledtråd: 

f(2 + h) = 5 ∙ (x + h) 2 = 

= 5x 2 + 10xh + 5h 2 

b) 10x + 5h 

25 a) x 1 = –2 x 2 = 12 

b) x 1 = –12 x 2 = 2 

c) |x – 1| < 6 

26 

1 

x + 1 y = 4 

Ledtråd: 

Skriv om uttrycket som ett 

rationellt uttryck. 

27 a) x = –1,5 

Ledtråd: 

Skriv båda leden som ett 

uttryck med basen 3. 

b) x 1 = 8 x 2 = 27 

Ledtråd: 

Gör en substitution. 

Sätt x 1/3 = a så får du en 

andragradsekvation med a 

som variabel. 

28 a = 0,5 b = –4,5 c = 1 

och d = 24 

29 K(18) – K(14) = 0,74 

30 a) x = 166 (exakt) 

b) x = 12,9 

Ledtråd: 

x = 500 

3 

c) x = 6,30 

d) x = 7,38 

Ledtråd: 

Skriv ekvationen 2 x = 500/3 

och logaritmera båda leden. 

31 Ca 0,25 % 

32 a) 54 mm (54,54…) 

b) Lösning: 

1 

a + 1 b = 1 · b 

a · b + 1 · a 

b · a = 

= 

b 

ab + a 

ab = a + b 

ab 

33 a = 2, b = 1, c = 3 och d = –1 

Ledtråd: 

Alla talen är heltal. 

a ∙ c = 6 och b ∙ d = –1. 

34 a) x 1 = –2 x 2 = 1 x 3 = 2 

b) x 3 – x 2 – 4x + 4 = 

= (x + 2)(x – 1)(x – 2) 

35 a) 2,47 sekunder 

b) 14,0 cm 

c) l = gT 2 

4π2 

36 Ekvationen har endast en lösning 

x = 4. 

Förklaring: 

Då denna ekvation kvadreras 

får vi en ny ekvation som har 

en annan lösning än den 

ursprungliga. Rötterna till denna 

nya ekvation måste prövas i den 

ursprungliga ekvationen. 

Prövningen visar att x = 1 

är en falsk rot. 

37 – 

1 

x(x + h) 

38 • 2 3 – 1 2 = 1 6 

4 

5 – 3 4 = 1 20 

9 

10 – 8 9 = 1 90 

• T ex 

6 

7 – 5 6 = 36 

42 – 35 

42 = 1 

42 

• Differensen är ett bråk med 

täljaren 1 och med en nämnare 

som är produkten av de två 

bråkens nämnare. 

• Ledtråd till ett bevis: 

Differenserna följer mönstret 

x + 1 

x + 2 – x 

x + 1 

där x är ett positivt heltal. 

Visa att uttrycket kan förenklas 

1 

till 

(x + 2)( x + 1) 

39 • Värdet av båda polynomen är 0. 

• Värdet av båda polynomen är 0. 

• Värdet av båda polynomen är 

316. 

• Om t ex a = –2 och b = –11 

så är värdet av båda polynomen 

1 323. 

• Polynomen verkar vara två olika 

sätt att skriva samma uttryck. 

• Ledtråd till bevis: 

Visa att utrycket med de två 

parenteserna kan förenklas till 

det andra uttrycket. 

• x = 3 

Ledtråd: 

Enligt beviset kan VL skrivas 

x 3 – 2 3 . 


Bla 3c.indb 259 2012-07-10 09.43

KÄLLFÖRTECKNING till bilder 

Siffrorna anger sida och bildens placering på sidan 

Foton: 

Heikne, Hans 24, 49, 54, 92, 103, 105, 107, 126, 161, 179, 185, 

206, 221, 234 

IBL Bildbyrå AB, Stockholm 

Abad, Thomas 116 

AGE fotostock 6-7 

Ardea 109 

Bachmann 163 

Beeker, Henry 204-205 

Buwon, Park 69:1 

Brissaud, Eric 10 

Broborn, Lennars 115 

Brooker, Peter 191 

Cary, Liane 236 

Cavalli, Angello 112 

Cheadle, Chris 71 

Cumming, Ian 242 

Datacraft 188 

Didillon, Frédéric 35 

Dinodia 17 

Edwards, Lisa 171 

Ewing, David 108 

Eyevine/ Xinhua 89 

Fine Arts Images 229 

Forsberg, Jonas 132 

Forsberg, Peter Erik 128-129 

Fotosearch 55 

Furrer 190 

Gelevachuk, Bazil 45 

Glowimages 41 

Hasselberg, Daniel 225 

Hamblin, Mark 69:2 

Hermes 149 

Janes, EA 73 

Lilja, Theo 75 

Malmö Museer 156 

Mangil, Kim 70 

McDonald, Dennis 26 

McGouey, Robert 87 

Meireis, Christophe 122 

Nature PL 53 

Quick, Peo 177 

Rex Features 196 

Rhösman, Björn 110 

Ribeiro, Alf 62, 189 

Ripoll, Eduardo 60 

Scholey, Peter 37 

Sience Photo Library 19, 95, 165, 235 

Smith, Wendy 117 

Strauss, Andreas 182 

Usher, Regina 101 

UPI 64-65 

Varney, Jim 166 

Weigel, Armin 201 

Widman, Peter 82 

Wijnands, Jochem 199 

Zerla, Walter 11 

Åke Lindaus samling 187 

Illustrationer: 

Hesselstrand, Johan 

Matematiska illustrationer: 

Karlsson, Mats 

288 register 

Bla 3c.indb 288 2012-07-10 09.44

x - Natur och Kultur

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?