x - Natur och Kultur
x - Natur och Kultur
x - Natur och Kultur
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
lena Alfredsson<br />
kajsa bråting<br />
patrik erixon<br />
hans heikne<br />
Matematik<br />
5000<br />
kurs 3c blå lärobok<br />
natur & kultur<br />
Bla 3c.indb 1 2012-07-10 09.34
NATUR & KULTUR<br />
Box 27 323, 102 54 Stockholm<br />
Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se<br />
Redaktion: Tel 08-453 86 00, info@nok.se<br />
www.nok.se<br />
Order <strong>och</strong> distribution: Förlagssystem,<br />
Box 30 195, 104 25 Stockholm<br />
Tel 08-657 95 00, order@forlagssystem.se<br />
www.fsbutiken.se<br />
Projektledare: Irene Bonde<br />
Textredaktör: Mats Karlsson/Devella HB<br />
Bildredaktör: Erica Högsborn<br />
Grafisk form <strong>och</strong> omslag: Graffoto AB <strong>och</strong> Åsa Lundbom<br />
Layout: Måns Björkman/Typ & Design <strong>och</strong><br />
Mats Karlsson/Devella HB<br />
Sättning: Måns Björkman/Typ & Design <strong>och</strong><br />
Mats Karlsson/Devella HB<br />
Kopieringsförbud!<br />
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden,<br />
utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk<br />
enligt avtal med Bonus Presskopia <strong>och</strong> den mycket begränsade rätten<br />
till kopiering för privat bruk.<br />
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän<br />
åklagare <strong>och</strong> dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli<br />
skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.<br />
© 2012 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin,<br />
Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne, Anna Palbom<br />
<strong>och</strong> <strong>Natur</strong> & <strong>Kultur</strong>, Stockholm<br />
Tryckt i Lettland 2012<br />
Första utgåvans första tryckning<br />
ISBN 978-91-27-42628-3<br />
Bla 3c.indb 2 2012-07-10 09.34
Välkommen till Matematik 5000<br />
Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan<br />
<strong>och</strong> vuxenutbildningen. Den är inriktad<br />
på färdigheter, förståelse, kommunikation <strong>och</strong><br />
problemlösning <strong>och</strong> erbjuder stora möjligheter till<br />
en varierad undervisning.<br />
Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar<br />
att utveckla de förmågor <strong>och</strong> nå de kunskapsmål<br />
som beskrivs i den nya ämnesplanen.<br />
Denna bok, Kurs 3c Blå lärobok, riktar sig till<br />
elever som studerar på teknikprogrammet eller<br />
naturvetenskapsprogrammet.<br />
Hur är boken upplagd?<br />
• Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel<br />
som framställs <strong>och</strong> förklaras på ett sätt som<br />
ger eleverna möjlighet att förstå <strong>och</strong> upptäcka<br />
matematiken.<br />
Teorin avslutas med flera lösta exempel som<br />
belyser det viktigaste.<br />
Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer,<br />
a, b <strong>och</strong> c, i stigande svårighetsgrad.<br />
• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera<br />
undervisningen. De finns i fyra olika kategorier:<br />
Upptäck, Undersök, Diskutera <strong>och</strong> Laborera.<br />
De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje<br />
kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet<br />
som introducerar delar av kapitlets innehåll.<br />
• I Teman finns teori <strong>och</strong> uppgifter anpassade<br />
till naturvetenskapsprogrammet <strong>och</strong> teknikprogrammet<br />
<strong>och</strong> i Historik, med tillhörande<br />
uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt<br />
sammanhang.<br />
• På många sidor blandas uppgifter av standardkaraktär<br />
med uppgifter som kräver matematisk<br />
problemlösning.<br />
Varje kapitel avslutas med:<br />
• En Aktivitet som uppmuntrar till kommunikation:<br />
Sant eller falskt?<br />
• En kort Sammanfattning av kapitlet.<br />
• Kan du det här? <strong>och</strong> Diagnos som tillsammans<br />
ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll.<br />
I Kan du det här? kan eleverna i par<br />
eller smågrupper värdera sina kunskaper om<br />
matematiska begrepp <strong>och</strong> strategier <strong>och</strong><br />
i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande<br />
kunskaper.<br />
• Om en elev behöver repetera delar av kapitlet<br />
finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken.<br />
Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta<br />
uppgifterna i bokens teoriavsnitt.<br />
• Två olika varianter av Blandade övningar avslutar<br />
varje kapitel. Den första innehåller endast<br />
uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra<br />
innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.<br />
Blandade övningar består av tre delar: Utan<br />
räknare, Med räknare <strong>och</strong> Utredande uppgifter.<br />
I Svarsdelen finns ledtrådar till många uppgifter.<br />
Till läroboken finns en lärarhandledning med<br />
kommentarer, ytterligare aktiviteter <strong>och</strong> övningsuppgifter<br />
samt en provbank.<br />
Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare <strong>och</strong> elever<br />
till en variation av arbetssätt <strong>och</strong> arbetsformer<br />
<strong>och</strong> erbjuder många olika möjligheter för eleverna<br />
att utveckla sina matematiska förmågor.<br />
Mer information om läromedlet <strong>och</strong> digitalt material<br />
finns på www.nok.se/matematik5000<br />
Lycka till med matematiken!<br />
önskar Hans, Kajsa, Lena <strong>och</strong> Patrik<br />
förord 3<br />
Bla 3c.indb 3 2012-07-10 09.34
Innehåll<br />
1. Algebra <strong>och</strong> funktioner 6<br />
Centralt innehåll 6<br />
Inledande aktivitet: Vilka uttryck är lika? 7<br />
1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 8<br />
Polynom <strong>och</strong> räkneregler 8<br />
Potenser 12<br />
Kvadratrötter <strong>och</strong> absolutbelopp 14<br />
Ekvationer 17<br />
Polynom i faktorform 22<br />
Aktivitet: Upptäck – Pascals triangel 24<br />
1.2 Rationella uttryck 26<br />
Vad menas med ett rationellt uttryck? 26<br />
Förlängning <strong>och</strong> förkortning 28<br />
Addition <strong>och</strong> subtraktion 33<br />
Multiplikation <strong>och</strong> division 38<br />
1.3 Funktioner 40<br />
Inledning 40<br />
Historik: Hur funktionsbegreppet utvecklats 42<br />
Räta linjens ekvation 43<br />
Andragradsfunktioner 46<br />
Exponentialfunktioner <strong>och</strong> potensfunktioner 50<br />
Aktivitet: Laborera – Pendeln 54<br />
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 55<br />
Sammanfattning 1 56<br />
Kan du det här? 1 58<br />
Diagnos 1 59<br />
Blandade övningar kapitel 1 60<br />
2. Förändringshastigheter <strong>och</strong> derivator 64<br />
Centralt innehåll 64<br />
Inledande aktivitet: Hastighet <strong>och</strong> lutning 65<br />
2.1 Ändringskvoter <strong>och</strong> begreppet derivata 66<br />
Ändringskvoter 66<br />
Begreppet derivata 71<br />
2.2 Gränsvärde <strong>och</strong> derivatans definition 77<br />
Gränsvärde 77<br />
Derivatans definition 80<br />
2.3 Deriveringsregler I 83<br />
Derivatan av polynom 83<br />
Tema: Hastighet <strong>och</strong> acceleration 90<br />
Aktivitet: Laborera – Kvadratiska pappskivor 92<br />
Derivatan av potensfunktioner 93<br />
Historik – Tangenter <strong>och</strong> derivata 96<br />
Aktivitet: Undersök – Det märkliga talet e 97<br />
2.4 Deriveringsregler II 98<br />
Derivatan av exponentialfunktionen y = e kx 98<br />
<strong>Natur</strong>liga logaritmer 102<br />
Derivatan av exponentialfunktionen y = a x 105<br />
Tillämpningar <strong>och</strong> problemlösning 107<br />
2.5 Grafisk <strong>och</strong> numerisk derivering 111<br />
Olika differenskvoter 111<br />
Grafritande räknare <strong>och</strong> derivators värde 114<br />
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 117<br />
Sammanfattning 2 118<br />
Kan du det här? 2 120<br />
Diagnos 2 121<br />
Blandade övningar kapitel 2 122<br />
Blandade övningar kapitel 1–2 125<br />
4 innehåll<br />
Bla 3c.indb 4 2012-07-10 09.34
3. Kurvor, derivator <strong>och</strong> integraler 128<br />
Centralt innehåll 128<br />
Inledande aktivitet: Max <strong>och</strong> min 129<br />
3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen? 130<br />
Inledning 130<br />
Extrempunkter <strong>och</strong> extremvärden 131<br />
Växande <strong>och</strong> avtagande 133<br />
Förstaderivatan <strong>och</strong> grafen 136<br />
Skissa grafer 140<br />
Historik – Matematik till <strong>och</strong> från Sverige 143<br />
Största <strong>och</strong> minsta värde 144<br />
3.2 Derivator <strong>och</strong> tillämpningar 147<br />
Polynomfunktioner 147<br />
Potensfunktioner 154<br />
Andraderivatan 157<br />
Andraderivatan <strong>och</strong> grafen 158<br />
Aktivitet: Laborera – Vem tillverkar största lådan? 161<br />
Grafritande räknare 162<br />
Tillämpningar <strong>och</strong> problemlösning 164<br />
Aktivitet: Undersök – Funktioner <strong>och</strong> derivator 168<br />
Kan alla funktioner deriveras? 170<br />
Aktivitet: Undersök – Antiderivata 172<br />
3.3 Från derivata till funktion 173<br />
Primitiva funktioner 173<br />
Primitiva funktioner med villkor 176<br />
3.4 Integraler 178<br />
Inledning 178<br />
Aktiviet: Undersök – Finn arean 181<br />
Integralberäkning med primitiv funktion 182<br />
Tillämpningar <strong>och</strong> problemlösning 186<br />
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 191<br />
Sammanfattning 3 192<br />
Kan du det här? 3 194<br />
Diagnos 3 195<br />
Blandade övningar kapitel 3 196<br />
Blandade övningar kapitel 1–3 199<br />
4. Trigonometri 204<br />
Centralt innehåll 204<br />
Inledande aktivitet:<br />
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 205<br />
4.1 Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar 206<br />
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 206<br />
Två speciella trianglar 209<br />
Cirkelns ekvation 210<br />
Godtyckliga trianglar 211<br />
Aktivitet: Undersök - Enhetscirkeln 212<br />
4.2 Triangelsatserna 216<br />
Areasatsen 216<br />
Sinussatsen 219<br />
När ger sinussatsen två fall? 221<br />
Cosinussatsen 226<br />
Tillämpningar <strong>och</strong> problemlösning 231<br />
Aktivitet: Laborera – Avståndsmätning 234<br />
Historik – Trigonometri <strong>och</strong> geodesi 235<br />
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 236<br />
Sammanfattning 4 237<br />
Kan du det här? 4 238<br />
Diagnos 4 239<br />
Blandade övningar kapitel 4 240<br />
Blandade övningar kapitel 1–4 242<br />
Repetitionsuppgifter 246<br />
Svar, ledtrådar <strong>och</strong> lösningar 252<br />
Register 286<br />
innehåll 5<br />
Bla 3c.indb 5 2012-07-10 09.34
1<br />
ALGEBRA OCH<br />
FUNKTIONER<br />
Centralt innehåll<br />
✱ hantering av algebraiska uttryck <strong>och</strong><br />
ekvationer.<br />
✱ generalisering av aritmetikens lagar <strong>och</strong><br />
begreppet absolutbelopp.<br />
✱ begreppen polynom <strong>och</strong> rationellt uttryck.<br />
✱ kontinuerlig <strong>och</strong> diskret funktion.<br />
✱ polynom-, potens- <strong>och</strong> exponentialfunktioner.<br />
I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets <strong>och</strong><br />
volym, skala <strong>och</strong> likformighet samt trigonometri.<br />
Bla 3c.indb 6 2012-07-10 09.34
238876744<br />
894789475849<br />
7547<br />
15343274<br />
55<br />
112<br />
777<br />
1<br />
482398678567<br />
894789475849<br />
Inledande aktivitet<br />
VILKA UTTRYCK ÄR LIKA?<br />
Dela ett A4-papper så du får 16 papperlappar. På lapparna skriver du följande<br />
matematiska uttryck (ett uttryck per lapp).<br />
Gruppera lapparna så att de uttryck som är lika hamnar i samma grupp.<br />
1<br />
x 2 + 1<br />
2<br />
(2x – 1) 2 3<br />
(x – 1) 2 4<br />
(2x) 2 – 1 2<br />
5<br />
1 – 2x + x 2 6<br />
x 2 – x<br />
7<br />
4x 2 – 1<br />
8<br />
(x + 1)(x – 1)<br />
9<br />
3 – 2(1 – x 2 ) – x 2 10<br />
x + x + 1<br />
11<br />
–x(1 – x)<br />
12<br />
4x 2 – 4x + 1<br />
13<br />
– (1 – x 2 )<br />
14<br />
(2x + 1)(2x – 1)<br />
15<br />
x 2 – 1<br />
16<br />
(x + 1) 2<br />
Bla 3c.indb 7 2012-07-10 09.34
1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />
Polynom <strong>och</strong> räkneregler<br />
Exempel<br />
polynom<br />
gradtal<br />
I många situationer kan vi använda enkla polynom som matematiska<br />
modeller. Bollens bana i figuren är en parabel <strong>och</strong> kan beskrivas av<br />
sambandet<br />
y (x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x 2<br />
Högerledet är ett polynom som består av tre termer, en konstantterm<br />
<strong>och</strong> två variabeltermer.<br />
Kontrollera sambandet genom att sätta in de värden som visas i figuren!<br />
Ett polynom är en summa av termer av typen a ∙ x n , där x är en variabel,<br />
exponenten n ett naturligt tal <strong>och</strong> a en konstant som ofta kallas<br />
koefficient. Varje polynom kan skrivas<br />
n<br />
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . + a n x n = ∑ a k x k<br />
k = 0<br />
Den största exponenten i ett polynom i en variabel anger polynomets gradtal.<br />
y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x 2 är ett exempel på ett andragradspolynom.<br />
x 2 y 2 + 2x 3 +5xy är ett polynom i två variabler x <strong>och</strong> y. Polynomets<br />
gradtal är 4. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda<br />
exponenten.<br />
Polynom av första graden skrivs ofta p(x) = ax + b.<br />
Polynom av andra graden skrivs ofta p(x) = ax 2 + bx + c.<br />
Summan, differensen <strong>och</strong> produkten av två polynom är också ett polynom.<br />
8 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />
Bla 3c.indb 8 2012-07-10 09.34
Vi repeterar några regler <strong>och</strong> lagar som kan användas vid räkning med<br />
polynom. I reglerna <strong>och</strong> lagarna nedan kan bokstäverna a, b , c <strong>och</strong> d<br />
representera ett tal, en variabel eller ett polynom med flera termer.<br />
Parentesreglerna<br />
(a + b) + (c – d ) = a + b + c – d<br />
(a + b) – (c + d ) = a + b – c – d<br />
(a + b) – (c – d ) = a + b – c + d<br />
Distributiva lagen<br />
a(b + c) = ab + ac<br />
(a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd<br />
Konjugatregeln<br />
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2<br />
Kvadreringsreglerna<br />
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2<br />
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2<br />
1101<br />
Ge exempel på ett fjärdegradspolynom med tre termer.<br />
Den största exponenten ska vara 4.<br />
T ex p (x) = x 4 + 5x 2 – 4 eller p (x) = 2x 4 – x 3 + 10x<br />
1102<br />
Förenkla x + (2x + 5) 2 – 4(x + 3)(x – 3).<br />
x + (2x + 5) 2 – 4(x + 3)(x – 3) =<br />
Utveckla med kvadrerings<strong>och</strong><br />
konjugatregel.<br />
= x + (4x 2 + 20x + 25) – 4(x 2 – 9) = Multiplicera in i parentes.<br />
= x + 4x 2 + 20x + 25 – 4x 2 + 36 = Förenkla.<br />
= 21x + 61<br />
Har du en avancerad räknare som kan göra algebraiska förenklingar<br />
<strong>och</strong> lösa ekvationer? Använd den gärna för kontroll, men lös först<br />
uppgiften utan räknare.<br />
1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 9<br />
Bla 3c.indb 9 2012-07-10 09.34
1103 Enligt en modell växer en bakteriekultur enligt formeln<br />
N(x) = 2 500 + 350x + 25x 2<br />
där N(x) är antalet bakterier x minuter<br />
efter försökets början.<br />
Beräkna <strong>och</strong> tolka N(5) – N(4).<br />
N(4) = 2 500 + 350 ∙ 4 + 25 ∙ 4 2 = 4 300<br />
N(5) = 2 500 + 350 ∙ 5 + 25 ∙ 5 2 = 4 875<br />
efter 4 minuter finns<br />
det 4 300 bakterier.<br />
efter 5 minuter finns<br />
det 4 875 bakterier.<br />
N(5) – N(4) = 4 875 – 4 300 = 575 ≈ 580<br />
Antalet bakterier ökar med cirka 580 under den femte minuten.<br />
1104 Utveckla <strong>och</strong> förenkla<br />
a) 4x + 2(2x – 3) c) (x + 3)(2x + 4)<br />
b) 6a – 2(11 – 7a) d) (y – 4)(2 – y)<br />
1105 Utveckla med konjugatregeln<br />
a) ( x – 4)(x + 4) b) (7 – 2a)(7 + 2a)<br />
1106 Utveckla med kvadreringsreglerna<br />
a) (a + 5) 2 c) (3x + 4) 2<br />
b) (x – 9) 2 d) (5 – 6y) 2<br />
1107 Diagonalerna i figuren har samma summa<br />
som kolumnen i mitten.<br />
Vad ska stå i A <strong>och</strong> B?<br />
A<br />
a – b<br />
2a – 4<br />
3(b – a)<br />
6(a – b + 1)<br />
B<br />
b – a<br />
1108 Ge ett exempel på ett andragradspolynom<br />
med<br />
a) tre termer<br />
b) två termer.<br />
1109 Om biljettpriset till en tennismatch är p kr<br />
uppskattar man att antalet åskådare N( p)<br />
kan beräknas med<br />
N( p) = 3 000 – 20p<br />
Beräkna N(140) <strong>och</strong> tolka resultatet i ord.<br />
1110 Beräkna värdet för uttrycket<br />
2(a – 2) 2 – 2a (a – 3) om a = 4<br />
a) före förenkling<br />
b) efter förenkling.<br />
1111 Utveckla <strong>och</strong> förenkla<br />
a) 5x 2 – 4(2x – 3)(x – 5)<br />
b) 3(a – b) 2 – 2(a – b) 2<br />
c) (x – 2) 3<br />
d) (x – 1)x + (x 2 – 2x – 4)(x + 1)<br />
1112 p( x) är ett tredjegradspolynom. Vilken grad<br />
får det polynom som bildas då p (x)<br />
a) adderas med x 2<br />
b) multipliceras med x 2 ?<br />
Motivera dina svar.<br />
10 1.1 AlgebrA <strong>och</strong> polynom<br />
Bla 3c.indb 10 2012-07-10 09.34
1115 Utveckla <strong>och</strong> förenkla<br />
a) 2x(x + y) – 2y(x – y)<br />
b) 2 ⎛ ⎝ x + 1 2<br />
2⎞<br />
⎠ – 2 ⎛ ⎝<br />
x – 1 2<br />
⎞<br />
2⎠<br />
c) 2x(x + y) 2 – 2y(x – y) 2<br />
1116 Utveckla <strong>och</strong> förenkla<br />
a) (2a + 5) 3<br />
b) (a + b + 5)(a – b – 5)<br />
1117 Kostnaden K kr att producera x tröjor är<br />
K( x) = 800 + 15 x + 0,3 x 2<br />
Vinsten vid försäljning av x tröjor är<br />
V( x) kr.<br />
Ställ upp <strong>och</strong> förenkla ett uttryck för vinsten<br />
då tröjorna säljs för 90 kr/st.<br />
1113 Konstreproduktioner AB producerar högst<br />
30 målningar per vecka. Om firman en<br />
vecka producerar x målningar, räknar man<br />
med följande kostnader <strong>och</strong> intäkter:<br />
Kostnad i kr: K( x) = 5 000 + 80x + 10x 2<br />
Intäkt i kr: I ( x) = x(1 200 – 20x)<br />
Om intäkterna är större än kostnaden gör<br />
företaget en vinst.<br />
Ställ upp <strong>och</strong> förenkla ett uttryck för<br />
vinsten, V( x).<br />
1114 Bollens höjd y m över golvet vid ett<br />
straffkast i basket kan beräknas med<br />
formeln<br />
y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x 2<br />
där x m avståndet från utkastet räknat<br />
längs golvet.<br />
Beräkna <strong>och</strong> tolka y (2,5) – y (2,0).<br />
1118 Elleholms Finmekaniska tillverkar detaljer<br />
till en fiskerulle. Firmans totala kostnad<br />
K kr för att producera x detaljer uppskattas<br />
till K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x 2 .<br />
Ställ upp ett uttryck för hur kostnaden<br />
ändras om produktionen höjs från x detaljer<br />
till (x + 1) detaljer.<br />
1119 I en stugby finns 60 stugor att hyra. Ägaren<br />
har upptäckt att hon får alla stugor uthyrda<br />
om hon tar 3 000 kr för en vecka, <strong>och</strong> för<br />
varje hundralapp som hon ökar hyran med<br />
förlorar hon en hyresgäst.<br />
Ställ upp ett uttryck för hur den totala intäkten<br />
beror av en höjning med x hundralappar <strong>och</strong><br />
undersök vad den maximala intäkten är.<br />
1120 p(a + 1) = a 2 + 2a + 1. Bestäm p(x).<br />
1121 Bestäm det andragradspolynom p(x) sådant<br />
att p(–1) = 0, p(0) = 5 <strong>och</strong> p(2) = –3.<br />
1.1 AlgebrA <strong>och</strong> polynom 11<br />
Bla 3c.indb 11 2012-07-10 09.34
Potenser<br />
Vi repeterar <strong>och</strong> utvidgar några lagar <strong>och</strong> definitioner för potenser.<br />
Potenslagarna<br />
För reella exponenter x <strong>och</strong> y med samma positiva bas a gäller<br />
a x a y = a x + y a x<br />
a = a x – y (a x ) y = a xy<br />
y<br />
För positiva baser a <strong>och</strong> b med samma reella exponent x gäller<br />
a x b x = (a b) x a x<br />
b = ⎛ x ⎝ a b ⎞ x<br />
⎠<br />
Definitioner<br />
a 0 = 1 a –x = 1 a x a ≠ 0<br />
Basen är positiv <strong>och</strong> exponenten är ett reellt tal.<br />
1122<br />
Förenkla med potenslagarna<br />
4<br />
3<br />
a) 2x · x – 1 3<br />
b) 165<br />
8 c) (–3a –3 ) 2<br />
5 a –4<br />
4<br />
3<br />
a) 2x · x – 1 3<br />
= 2x<br />
4<br />
3 + ⎛ ⎝ – 1 ⎞<br />
3<br />
b) 165<br />
8 = ⎛ 5 ⎝ 16 5<br />
⎞<br />
8 ⎠ = 2<br />
5<br />
= 32 eller<br />
4<br />
⎠ 3<br />
= 2x<br />
– 1 3 3<br />
= 2x = 2x 1 = 2x<br />
3<br />
16 5 (2 · 8)5<br />
= = 25 · 8 5<br />
= 2 5 = 32<br />
5<br />
8 8 5 8 5<br />
c) (–3a–3 ) 2<br />
= (–3)2 · a –3 · 2 –6<br />
9a<br />
=<br />
a –4 a –4 a = 9a –6 – (–4) = 9a –6 + 4 = 9a –2 = 9 –4 a 2<br />
1123<br />
a) Utveckla (3 x + 3 –x ) 2<br />
b) Bryt ut 2 x ur 2 x + h – 2 x , dvs skriv i faktorform.<br />
c) Lös ekvationen 2 x–1 = 4 7<br />
a) (3 x + 3 –x ) 2 = (3 x ) 2 + 2 · 3 x · 3 –x + (3 –x ) 2 =<br />
= 3 2x + 2 · 3 0 + 3 –2x = 3 2x + 2 + 3 –2x<br />
b) 2 x + h – 2 x = 2 x · 2 h – 2 x = 2 x (2 h – 1)<br />
c) 2 x–1 = 4 7 ⇒ 2 x–1 = (2 2 ) 7 ⇒ x – 1 = 2 · 7 ⇒ x = 15<br />
12 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />
Bla 3c.indb 12 2012-07-10 09.34
1124 Skriv som en enda potens<br />
1130 Uttrycket 34 kan användas för att<br />
4<br />
3<br />
a) x 7 ∙ x –2 d) a5<br />
a –3<br />
motivera att a 0 = 1 <strong>och</strong> uttrycket 34<br />
3 7<br />
b) x6<br />
x e) 8 (b2 ) –4<br />
för att motivera a –n = 1 a n<br />
c) (4 x ) 3 f) b–3<br />
Förklara hur.<br />
b<br />
1125 Vilka av förenklingarna är felaktiga?<br />
1131 Förenkla<br />
Förklara vad som är fel.<br />
a) (5 x + 5 –x ) 2<br />
b) a<br />
1<br />
x (a 3x + 2a –x )<br />
–4<br />
a)<br />
förenklas till 3<br />
3 · 3 · 3 · 3<br />
b) 5 + 5 + 5 + 5 förenklas till 5 4<br />
1132 Lös ekvationen<br />
c) (3x) 0 + 3x 0 a) 2<br />
förenklas till 4<br />
5x – 2 = 2 x<br />
b) 2 5x – 2 = 4 x<br />
d) (4a) 3 förenklas till 12a 3<br />
c) 3 2x = 1<br />
e) 2 ∙ 2 3 förenklas till 4 3<br />
27<br />
d) 2 3x ∙ 2 –5 = 2 x<br />
1126 Förenkla<br />
a) (2 ∙ x 4 ) 3 + 2 ∙ (x 4 ) 3<br />
1133 Bryt ut <strong>och</strong> skriv i faktorform<br />
b) ⎛ ⎝ 2a 2<br />
a) x<br />
⎞ 2 x a – 3x a<br />
b 2 ⎠ b) a 3 + h – a 3<br />
1 1<br />
c) a 2 n + a n<br />
2 3<br />
c) x · x<br />
m<br />
d) x 1134 Förenkla<br />
2<br />
m<br />
3<br />
a) 33 + 2x + 3 2x<br />
x<br />
3 2 + x – 3 b) 23x + 4 – 16<br />
x 2 6x – 2 3x<br />
1127 Låt y = 2 20 <strong>och</strong> bestäm<br />
1135 Bestäm talet x<br />
a) hälften av y b) en fjärdedel av y.<br />
a) 2 59 + 2 58 = x ∙ 2 58<br />
1<br />
1128 Förenkla<br />
a) (2ab)3<br />
2ab ( c) 2 –3 x ) –3<br />
b) 42 2<br />
· 4<br />
4 · 4 = 0 2x<br />
c) 2<br />
b) 4a3 b –2 (3a) 2<br />
d)<br />
3a –4 b<br />
( 1 x ) x + 58 · 2 x – 58 = 2 59<br />
–n<br />
d) 97+ x<br />
3 = 1 7 + x 9<br />
1129 Förenkla<br />
a) 3 ∙ 10 –a ∙ 3 ∙ 10 –a<br />
1136 Förenkla<br />
b) 3 ∙ 10 –a + 3 ∙ 10 –a<br />
a) 3a+1 · 3 2<br />
c) 3n + 1 · 9 n<br />
c) (3 x + 3 x ) 2<br />
3 3 27 2n / 3<br />
d) (3 x + 3 x + 3 x ) 2 b) (x2m ) 3 · x –n<br />
d) 163n / 4 · 4 n + 1<br />
x 2m + n 8 5n / 3<br />
1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 13<br />
Bla 3c.indb 13 2012-07-10 09.34
Kvadratrötter <strong>och</strong> absolutbelopp<br />
Vi repeterar <strong>och</strong> utvidgar några lagar <strong>och</strong> definitioner om kvadratrötter.<br />
Definition<br />
Med kvadratroten ur a menas det positiva tal, vars kvadrat är a.<br />
(√a ) 2 = √a · √a = a a ≥ 0<br />
Lägg märke till följande:<br />
1 Kvadratroten ur ett tal är enligt definitionen ett positivt tal.<br />
√25 står alltså bara för det positiva talet 5.<br />
2 Ekvationen x 2 = 25 har däremot två lösningar.<br />
De är x 1 = √25 = 5 <strong>och</strong> x 2 = – √25 = –5. Vi skriver detta x = ±5<br />
3 – √25 är inte detsamma som √–25<br />
– √25 = –5 , medan beräkningen √–25 inte kan göras med reella tal.<br />
1<br />
2<br />
Sambandet a = √a ger tillsammans med potenslagarna<br />
a x b x = (ab) x <strong>och</strong> ax<br />
b = ⎛ x ⎝ a x<br />
⎞<br />
b ⎠ följande lagar.<br />
Lagar för kvadratrötter<br />
√a · √b = √ab a ≥ 0 b ≥ 0<br />
√a<br />
√b = √ a b<br />
a ≥ 0 b > 0<br />
1137<br />
Beräkna utan räknare<br />
2<br />
a) √25 + √2 · √50 b) 9 + 4 –0,5<br />
1<br />
a) √25 + √2 · √50 = 5 + √2 · 50 = 5 + √100 = 5 + 10 = 15<br />
1<br />
2<br />
b) 9 + 4 –0,5 1<br />
= √9 +<br />
4 = 3 + 1 0,5<br />
√ 4 = 3 + 1 2 = 3,5<br />
1138<br />
1 √ Visa att<br />
√2 = 2<br />
2<br />
1<br />
√2 = 1 · √2 √<br />
√2 · √2 = 2<br />
2<br />
14 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />
Bla 3c.indb 14 2012-07-10 09.34
Exempel 1 Om x > 0 så gäller likheten √x 2 = x.<br />
T ex √5 2 = √25 = 5.<br />
Om x är ett negativt tal så gäller däremot likheten √x 2 = –x<br />
T ex √(–5) 2 = √25 = 5 = –(–5)<br />
absolutbelopp<br />
Detta kan uttryckas med hjälp av begreppet absolutbeloppet av x, som<br />
skrivs |x|.<br />
Sammanfattning<br />
√x 2 = |x | = ⎧ ⎨<br />
⎩<br />
x om x ≥ 0<br />
–x om x < 0<br />
Exempel 2<br />
Absolutbeloppet av ett reellt tal kan definieras som talets avstånd till origo.<br />
Absolutbeloppet av 5 skrivs |5|<strong>och</strong> är lika med 5.<br />
Absolutbeloppet av –5 skrivs |–5| <strong>och</strong> är också lika med 5.<br />
| x – y| kan tolkas som avståndet mellan punkterna x <strong>och</strong> y.<br />
| x| = |x − 0|<br />
⎧ ⎪⎨⎪⎩<br />
x 0 y<br />
⎧<br />
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩<br />
| x − y| = | y − x|<br />
1139<br />
Beräkna<br />
a) |6| + |– 4| – |–7| b) √(–15) 2<br />
a) |6| + |– 4| – |–7| = 6 + 4 – 7 = 3<br />
b) √(–15) 2 = |–15| = 15<br />
1140<br />
Lös ekvationen |x – 3| = 4.<br />
Vi söker punkter med avståndet 4 till punkten 3.<br />
4<br />
⎧ ⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩<br />
⎧ ⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩<br />
4<br />
−2<br />
−1<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
Ekvationens lösning är x = –1 <strong>och</strong> x = 7.<br />
1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 15<br />
Bla 3c.indb 15 2012-07-10 09.34
Arbeta utan räknare.<br />
1141 Beräkna<br />
a) √4 + √9 c) √2 · √8<br />
b) √4 · √9 d) (√2) 2 + √8 · √8<br />
1142 Skriv som en potens med basen 10<br />
a) √10 c) 10 √10<br />
1<br />
1<br />
b)<br />
d )<br />
√10<br />
10 √10<br />
1143 Beräkna<br />
a) 100 0,5 c) 100 –0,5<br />
b) √10 · √10 d ) √5 · √20<br />
1144 Beräkna<br />
a) |–5| + |–2| b) |–5| – |–2|<br />
1150 Det finns två tal x för vilka gäller att<br />
|x – 5| = 15<br />
Vilka tal är det?<br />
1151 Lös ekvationen<br />
a) |x – 1| = 1 b) |x| = 2<br />
1152 För vilka x gäller olikheten |x – 7| < 2 ?<br />
1153 Beskriv intervallet 7 ≤ x ≤ 13 med hjälp av<br />
absolutbelopp.<br />
1154 Skriv ett uttryck för triangelns tredje sida.<br />
a)<br />
a<br />
1145 Beräkna<br />
a) √(–3) 2 c) √4 · 10 8<br />
b) √3 2 + 4 2 d) √9 · 10 –2<br />
b)<br />
a<br />
1146 Bestäm den exakta lösningen till ekvationen<br />
a) x 2 = 10 c) x 2 + 2 2 = 3 2<br />
b) 2x 2 = 10 d ) x2<br />
2 = 52<br />
1147 Om du vet att √7 ≈ 2,646 vad är då<br />
a) √700 b) √70 000?<br />
1148 Visa att<br />
√ 32<br />
a) 2 √3 = √12 b)<br />
4 = √2<br />
1149 Förenkla så långt som möjligt<br />
√3 · √3 · √3<br />
a)<br />
√3 + √3 + √3<br />
b) x √x + x √x<br />
√x · √x<br />
1155 Utveckla <strong>och</strong> förenkla<br />
a) (√a + √b) (√a – √b)<br />
b) (√x + h + √x ) (√x + h – √x )<br />
c) (√a + √b) 2 – (√a + b) 2<br />
1156 Bestäm exponenten x<br />
a)<br />
√ a b√ a b = ⎛ ⎝ a x<br />
b⎞<br />
⎠<br />
2a<br />
√<br />
b) a b √ b a √ a b = ⎛ ⎝ a x<br />
b⎞<br />
⎠<br />
a<br />
16 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />
Bla 3c.indb 16 2012-07-10 09.34
Ekvationer<br />
Exempel<br />
Formeln s = v 0 t + at2<br />
2<br />
beskriver sambandet mellan<br />
sträcka, begynnelsehastighet,<br />
acceleration <strong>och</strong> tid.<br />
◗◗<br />
Vilken är accelerationen om hastigheten<br />
är 15 m/s, tiden 4,0 s <strong>och</strong> sträckan 100 m?<br />
Svaret får vi med hjälp av förstagradsekvationen<br />
100 = 15 · 4 + a · 42<br />
2<br />
◗◗<br />
Vilken är tiden om hastigheten är 15 m/s, accelerationen 4,0 m/s 2 <strong>och</strong><br />
sträckan 100 m?<br />
Svaret får vi med hjälp av andragradsekvationen<br />
100 = 15t + 4t2<br />
2<br />
Vi repeterar några lösningsmetoder för ekvationer.<br />
Lösningsformeln<br />
Ekvationen x 2 + px + q = 0 har lösningarna<br />
x = – p 2 ± √( p 2 ) 2 – q<br />
Andragradsekvationen saknar reella rötter om<br />
( p 2 ) 2 – q < 0, dvs om vi får<br />
ett negativt tal under rottecknet.<br />
1157<br />
Lös ekvationen 3x 2 + 9x – 12 = 0 utan räknare.<br />
Vi dividerar först med 3 <strong>och</strong> använder sedan lösningsformeln.<br />
3x 2 + 9x – 12 = 0<br />
x 2 + 3x – 4 = 0<br />
x = – 3 2 √ ± ⎛ ⎝ 3 2<br />
2⎞<br />
⎠ + 4<br />
x = – 3 2 ± √ 9 4 + 16<br />
4<br />
x = – 3 2 ± 5 2<br />
x 1 = 1 x 2 = – 4<br />
1.1 AlgebrA <strong>och</strong> polynom 17<br />
Bla 3c.indb 17 2012-07-10 09.35
1158<br />
kvadratrotsmetoden<br />
Lös ekvationen 6(x – 1) 2 = 30<br />
Vi kan lösa ekvationen genom att utveckla kvadraten, skriva om<br />
ekvationen <strong>och</strong> använda lösningsformeln, men det finns en<br />
enklare metod.<br />
Vi dividerar först med 6 <strong>och</strong> drar sedan kvadratroten ur båda<br />
leden.<br />
6(x – 1) 2 = 30<br />
(x – 1) 2 = 5<br />
x – 1 = ± √5<br />
x = 1 ± √5<br />
x 1 = 1 + √5 eller x 1 ≈ 3,236<br />
x 2 = 1 – √5 eller x 2 ≈ –1,236<br />
nollproduktmetoden<br />
Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll. Detta kan vi ibland<br />
använda för att lösa ekvationer. Förutsättningen är att ekvationen kan<br />
skrivas så att det ena ledet är noll <strong>och</strong> det andra ledet kan faktoriseras.<br />
Metoden kallas nollproduktmetoden.<br />
1159<br />
Lös ekvationen 5x(2x – 12)(3x + 15) = 0<br />
5x(2x – 12)(3x + 15) = 0<br />
1. 5x = 0 vilket ger x = 0<br />
2. (2x – 12) = 0 vilket ger x = 6<br />
3. (3x + 15) = 0 vilket ger x = – 5<br />
x 1 = 0 x 2 = 6 x 3 = – 5<br />
1160<br />
Lös ekvationen x 3 – 2x 2 – 3x = 0<br />
x 3 – 2x 2 – 3x = 0<br />
Vi faktoriserar VL genom att bryta ut x.<br />
x(x 2 – 2x – 3) = 0<br />
1. x = 0<br />
2. x 2 – 2x – 3 = 0 <strong>och</strong> lösningsformeln ger<br />
x = 1 ± √1 + 3<br />
x = 1 ± 2<br />
x 1 = 0 x 2 = 3 x 3 = – 1<br />
18 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />
Bla 3c.indb 18 2012-07-10 09.35
Lös ekvationerna.<br />
1161 a) 3x + 2 = 5x – 3<br />
b) 3x 2 = 15<br />
c) x(x + 5) = 0<br />
d) x 2 – 4x + 3 = 0<br />
1162 a) 3x(2x – 8) = 0<br />
b) x 2 + 10x= 0<br />
c) (z – 4) 2 = 64<br />
d) x 2 + 8x – 9 = 0<br />
1163 a) 3x 2 – 18 = x 2<br />
b) (z – 1)(z – 2) = (z – 3)(z – 4)<br />
c) 8x 2 – 8x + 2= 0<br />
1164 a) 2t 2 + 40t + 34 = 0<br />
b) 3x 2 + 12x = 36<br />
c) (x + 3)(x – 2) = 7<br />
1165 a) 4(x + 7) 2 = 36<br />
b) 4x 2 = 2x<br />
c) (x +3)(x – 4)(2x + 1) = 0<br />
1166 (Tal 1) 2 – (Tal 2) 2 = 14<br />
Tal 1 är 2 större än Tal 2.<br />
Vilka är talen?<br />
1167 Lös ekvationerna <strong>och</strong> besvara frågorna från<br />
det inledande exemplet på förra uppslaget.<br />
a) 100 = 15 · 4 + a · 42<br />
2<br />
b) 100 = 15t + 4t2<br />
2 , t > 0<br />
1168 Ge ett exempel på hur en andragradsekvation<br />
kan se ut om lösningarna är<br />
a) x = 2 <strong>och</strong> x = –2<br />
b) x = 0 <strong>och</strong> x = 8<br />
c) x = 1 2 <strong>och</strong> x = 1 3<br />
d) icke-reella.<br />
1169 Den totala kostnaden K kronor för att<br />
producera x detaljer i en mekanisk verkstad<br />
kan beskrivas med<br />
K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x 2<br />
a) Beräkna kostnaden för att producera<br />
450 detaljer.<br />
b) Hur många detaljer kan produceras för<br />
100000 kr?<br />
1170 Lös ekvationen<br />
a) x 3 – 4x = 0<br />
b) x 3 – 8x 2 + 15x = 0<br />
c) 4(3 – 3x)(8 – 2x 2 ) = 0<br />
1171 Ekvationen x 2 (4x + 5a) = 0 har<br />
lösningarna x = 0 <strong>och</strong> x = 2.<br />
Vilket värde har a?<br />
1172 En bakteriekultur tillväxer enligt formeln<br />
N( x) = 2 500 + 350x + 25x 2<br />
där N( x) är antalet bakterier x minuter<br />
efter försökets början.<br />
Hur lång tid tar det innan antalet bakterier<br />
har fördubblats?<br />
1173 Lös ekvationen<br />
a) x 2 (x + 1) – 64(x + 1) = 0<br />
b) (x 3 – 3x 2 ) – (2x – 6) = 0<br />
1174 I ekvationen 4x 2 – (2 – k) 2 = 0 är k en<br />
konstant.<br />
Lös ekvationen. Svara på så enkel form som<br />
möjligt.<br />
1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 19<br />
Bla 3c.indb 19 2012-07-10 09.35
substitution<br />
Nya typer av ekvationer kan vi ibland omforma <strong>och</strong> lösa med kända<br />
metoder. Ett sätt att omforma en ekvation är att ersätta ett uttryck med ett<br />
annat, enklare uttryck. Vi gör en substitution.<br />
1175<br />
Lös ekvationen x 4 – 8x 2 – 9 = 0<br />
Vi ersätter x 2 med t. Då kan x 4 ersättas med t 2 <strong>och</strong> vi får<br />
andragradsekvationen t 2 – 8t – 9 = 0<br />
t = 4 ± √16 + 9<br />
t = 4 ± 5<br />
t 1 = 9 <strong>och</strong> t 2 = –1<br />
Vi får x 2 = 9 <strong>och</strong> x 2 = –1<br />
Ekvationen x 2 = 9 har lösningen x = ±3<br />
Ekvationen x 2 = –1 saknar reell lösning<br />
(men de komplexa<br />
rötterna är x = ±i )<br />
Svar: Ekvationen x 4 – 8x 2 – 9 = 0 har den reella lösningen x = ±3<br />
1176<br />
Lös ekvationen<br />
a) (x 2 – 2) 2 – 16(x 2 – 2) + 28 = 0 b) x + √ x = 12<br />
a) Sätt x 2 – 2 = t b) Sätt √ x = t Då blir x = t 2 .<br />
t 2 – 16t + 28 = 0 t 2 + t – 12 = 0<br />
t = 8 ± √64 – 28 t = – 1 2 ± √ 1 4 + 12<br />
t = 8 ± √36 t = – 1 2 ± √ 1 4 + 48<br />
4<br />
t = 8 ± 6 t = – 1 2 ± 7 2<br />
t 1 = 14 t 2 = 2 t 1 = 3 t 2 = – 4<br />
x 2 – 2 = 14 x 2 – 2 = 2 √ x = 3 √ x = – 4<br />
x 2 = 16 x 2 = 4 x = 9 Saknar lösning.<br />
x = ± 4 x = ± 2<br />
Svar: a) Lösningarna är –4, –2, 2 <strong>och</strong> 4.<br />
b) Lösningen är 9.<br />
√x är<br />
positivt.<br />
20 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />
Bla 3c.indb 20 2012-07-10 09.35
otekvation<br />
Ekvationer där den obekanta förekommer under ett rottecken kallas<br />
rotekvationer. Rotekvationer kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket<br />
dock kan ge falska rötter.<br />
1177 Lös ekvationen √ x – 3 = 5 – x<br />
Vi kvadrerar båda leden, löser andragradsekvationen <strong>och</strong> prövar<br />
lösningen.<br />
√ x – 3 = 5 – x<br />
x – 3 = (5 – x) 2<br />
x – 3 = 25 – 10x + x 2<br />
x 2 – 11x + 28 = 0<br />
x = 5,5 ± √30,25 – 28<br />
x = 5,5 ± 1,5<br />
x 1 = 4 x 2 = 7<br />
Prövning i den ursprungliga ekvationen:<br />
x = 4: VL = √4 – 3 = 1 HL = 5 – 4 = 1 VL = HL<br />
x = 7: VL = √7 – 3 = 2 HL = 5 – 7 = –2 VL ≠ HL Falsk rot!<br />
En grafisk jämförelse mellan den ursprungliga <strong>och</strong> den<br />
kvadrerade ekvationen visar tydligt att antalet rötter är olika.<br />
Svar: Ekvationen √ x – 3 = 5 – x har lösningen x = 4.<br />
Lös ekvationerna.<br />
1178 a) x 4 – 2x 2 – 8 = 0<br />
b) x 4 – 2x 2 – 3 = 0<br />
1179 a) (x + 4) 2 – 16(x + 4) + 63 = 0<br />
b) (x 2 + 5) 2 – 15(x 2 + 5) + 54 = 0<br />
1180 Du har ekvationen √ x + 2 = x<br />
a) Kvadrera båda leden <strong>och</strong> skriv resultatet<br />
som en andragradsekvation.<br />
b) Vilka rötter har ekvationen i a)?<br />
c) Pröva rötterna i den ursprungliga<br />
ekvationen. Duger båda rötterna?<br />
d) Vilken lösning har ekvationen<br />
√x + 2 = x?<br />
1181 Bestäm med två decimalers noggrannhet<br />
rötterna till följande ekvationer.<br />
a) x 4 – 14 x 2 + 44 = 0<br />
b) x 4 – 6x 2 – 1 = 0<br />
1182 Lös ekvationen 13 √x = x + 36<br />
a) genom kvadrering <strong>och</strong> prövning<br />
b) genom att sätta √x = t<br />
Lös ekvationerna<br />
1183 a) x 2 (x + 1) – 64(x + 1) = 0<br />
b) √3x – 2 + 2 – x = 0<br />
1184 a) x – 5√x + 4 = 0<br />
b) (x + 1) – 27√x + 1 + 170 = 0<br />
c) (x 2 + 2x – 3) 2 + 2(x 2 + 2x – 3) – 3 = 0<br />
1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 21<br />
Bla 3c.indb 21 2012-07-10 09.35
Polynom i faktorform<br />
nollställe<br />
från nollställen<br />
till faktorform<br />
Vi har tidigare använt två metoder för att faktorisera polynom.<br />
1. Utbrytning av största möjliga faktor, t ex<br />
4x 2 + 12x = 4x ∙ x + 4x ∙ 3 = 4x(x + 3)<br />
5(x + 2) – x(x + 2) = (x + 2)(5– x)<br />
2. ”Omvänd” användning av konjugatregeln <strong>och</strong> kvadreringsreglerna, t ex<br />
4x 2 – 25 = (2x) 2 – 5 2 = (2x + 5)(2x – 5)<br />
x 2 – 6x + 9 = x 2 – 2 ∙ 3x + 3 2 = (x – 3) 2<br />
Vi ska nu visa en tredje metod.<br />
Ett nollställe till ett polynom p(x) är ett tal a sådant att p(a) = 0.<br />
Om vi har ett polynom i faktorform, t ex p(x) = (x + 2)(5 – x), så kan<br />
vi bestämma polynomets nollställen. Polynomet p(x) = (x + 2)(5 – x)<br />
har nollställena –2 <strong>och</strong> 5.<br />
Omvänt så kan vi faktorisera ett polynom om vi vet samtliga nollställen.<br />
Vill vi faktorisera polynomet p(x) = x 2 + 2x – 15 så börjar vi med att lösa<br />
ekvationen x 2 + 2x – 15 = 0 med lösningsformeln. Rötterna är –5 <strong>och</strong> 3.<br />
p(x) = x 2 + 2x – 15 = (x – (–5))(x – 3) = (x + 5)(x – 3)<br />
Om vi vill så kan vi kontrollera resultatet genom att multiplicera<br />
parenteserna.<br />
Ett polynom som saknar nollställen kan inte faktoriseras.<br />
Andragradspolynom<br />
i faktorform<br />
Ett andragradspolynom p (x) med nollställena a <strong>och</strong> b kan skrivas<br />
p (x) = k (x – a)(x – b)<br />
där k är en konstant.<br />
1185<br />
Faktorisera 18x 2 + 12x + 2<br />
Vi bryter ut 2 <strong>och</strong> använder 1:a kvadreringsregeln ”omvänt”.<br />
18x 2 + 12x + 2 = 2(9x 2 + 6x + 1) = 2(3x + 1) 2<br />
1186<br />
Faktorisera (x + 1) 2 – 4y 2<br />
Vi använder konjugatregeln ”omvänt”.<br />
(x + 1) 2 – 4y 2 = (x + 1) 2 – (2y) 2 = (x + 1 + 2y)(x + 1 – 2y)<br />
22 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />
Bla 3c.indb 22 2012-07-10 09.35
1187 Faktorisera polynomet p( x) = – 4x 2 + 24x – 32<br />
Vi löser ekvationen p( x) = 0 genom att bryta ut – 4 <strong>och</strong> använda<br />
lösningsformeln.<br />
p( x) = – 4x 2 + 24x – 32 = – 4(x 2 – 6x + 8)<br />
x 2 – 6x + 8 = 0<br />
x = 3 ± √9 – 8<br />
x 1 = 4 x 2 = 2<br />
p( x) = – 4(x – 4)(x – 2)<br />
1188 Bryt ut så mycket som möjligt.<br />
a) 5x + 25x 3 c) 24h + 4h 2<br />
b) 4h + 8h 2 + 12 d) 6hx + 3h 2 x<br />
1189 Faktorisera med konjugat- eller<br />
kvadreringsregel<br />
a) x 2 – 49 c) 81x 2 – 16 y 2<br />
b) x 2 – 6x + 9 d) 16x 2 + 8x + 1<br />
1190 Ange polynomets nollställen,<br />
dvs lös ekvationen p( x) = 0.<br />
a) p( x) = (x + 3)(x – 10)<br />
b) p( x) = 5x(x – 4)<br />
1191 Du vet att polynomet<br />
f ( x) = x 2 – 12x + 35<br />
har nollställena 5 <strong>och</strong> 7.<br />
Skriv f( x) i faktorform.<br />
1192 Skriv i faktorform<br />
a) p( x) = x 2 – 10x + 16<br />
b) g( x) = x 2 – 5x + 6<br />
1193 Faktorisera polynomen<br />
a) h(x) = 4x 2 – 24x + 32<br />
b) p(z) = 6 + 3z – 3z 2<br />
c) p( x) = 2x 2 – 18<br />
1194 Tobbe <strong>och</strong> Carro ska skriva polynomet<br />
p( x) = 3x 2 – 24x + 21 i faktorform.<br />
Tobbe får p(x) = 3(x + 1)(x + 7)<br />
Carro får p( x) = (x – 1)(x – 7)<br />
Båda har gjort fel.<br />
Förklara vilka fel de gjort.<br />
1195 Skriv två olika polynom som båda har<br />
nollställena –10 <strong>och</strong> 20.<br />
1196 Skriv i faktorform<br />
a) f (t) = 4t – 4t 2 – 1<br />
b) h(x) = 4x 2 + 4x + 4<br />
c) p(x) = –3x 2 – 2x + 1<br />
1197 Ett andragradspolynom p(x) har<br />
nollställena 1 <strong>och</strong> 4 <strong>och</strong> p(0) = –2.<br />
Är det sant att p(0) = p(6)?<br />
Motivera ditt svar.<br />
1198 Tredjegradspolynomet<br />
p( x) = x 3 + ax 2 + bx + c<br />
har nollställena –3, 1 <strong>och</strong> 5.<br />
Bestäm a, b <strong>och</strong> c.<br />
1199 Finn nollställena till polynomet<br />
p(x) = x 2 – (a + b)x + ab<br />
<strong>och</strong> försök tolka resultatet.<br />
1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 23<br />
Bla 3c.indb 23 2012-07-10 09.35
Aktivitet<br />
✽ Upptäck<br />
Pascals triangel<br />
Ett polynom är en summa av termer där termernas exponenter är naturliga tal.<br />
x 2 y + 2 x 2 + x y är ett tredjegradspolynom i två variabler x <strong>och</strong> y. Gradtalet<br />
ges av den term som har den största sammanlagda exponenten.<br />
1 Skriv (x + y) 2 som ett polynom.<br />
2 Skriv (x + y) 3 som ett polynom. Du kan använda<br />
sambandet (x + y) 3 = (x + y)(x + y) 2 =<br />
= (x + y)(x 2 + 2 xy + y 2 ).<br />
3 Skriv (x + y) 4 som ett polynom.<br />
4 Studera resultatet i uppgift 1, 2 <strong>och</strong> 3.<br />
Jämför exponenten i (x + y) n med<br />
a) antal termer i polynomet.<br />
Vad upptäcker du?<br />
b) gradtalet för varje term i polynomet.<br />
Vad upptäcker du?<br />
24 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />
Bla 3c.indb 24 2012-07-10 09.35
Tabellen nedan visar en del av Pascals triangel. Blaise Pascal (1623 – 1662) var en fransk matematiker,<br />
vetenskapsman <strong>och</strong> filosof som bland annat utvecklade talteorin.<br />
Siffrorna i de färgade kvadraterna är koefficienterna till de olika variabeltermerna då vi utvecklar (a + b) n .<br />
a +<br />
1<br />
1<br />
1 2<br />
a 3 +<br />
Den översta raden ger (a + b) 0 = 1<br />
Den andra raden ger (a + b) 1 = a + b<br />
Den tredje raden ger (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2<br />
1 b<br />
a 2 + ab + 1 b 2<br />
a 2 b + ab 2 + b 3<br />
5 a) Skriv av triangeln ovan <strong>och</strong> fyll i<br />
koefficienterna i den fjärde raden.<br />
b) Utöka triangeln med en femte rad<br />
som visar utvecklingen av (a + b) 4 .<br />
c) Förklara hur du kan finna koefficienterna<br />
i en rad med hjälp koefficienterna i raden<br />
ovanför.<br />
6 a) Vilket gradtal får varje term då (a + b) 5<br />
utvecklas <strong>och</strong> skrivs som ett polynom?<br />
b) Skriv nästa rad i Pascals triangel.<br />
c) Utveckla (a + b) 5<br />
d ) Utveckla (a + b) 6<br />
7 a) Jämför den andra koefficienten i varje rad<br />
med exponenten i (a + b) n .<br />
Vad upptäcker du?<br />
b) Utgå från det mönster som du har upptäckt.<br />
Vilka är de två första termerna i<br />
utvecklingen av (a + b) 10 ?<br />
8 Kan vi använda Pascals triangel för att utveckla<br />
(a – b) 2 , (a – b) 3 , ... ?<br />
Vad blir det för skillnad?<br />
1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 25<br />
Bla 3c.indb 25 2012-07-10 09.35
1.2 Rationella uttryck<br />
Vad menas med ett rationellt uttryck?<br />
rationellt tal<br />
En kvot av två heltal a b<br />
där b ≠ 0 kallar vi ett rationellt tal.<br />
Exempel på rationella tal är 5 7 <strong>och</strong> – 13 9<br />
rationellt uttryck<br />
Ett rationellt uttryck definieras som en kvot av två polynom p(x)<br />
q(x)<br />
Exempel på rationella uttryck är x + 5<br />
x<br />
<strong>och</strong> x2 + 4x + 2<br />
x – 2<br />
Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med noll.<br />
1201 Kostnaden K (x) i tusental kr för ett företag att avlägsna<br />
x % av förbränningsgasernas föroreningar kan uppskattas<br />
50 x<br />
vara K (x) =<br />
100 – x<br />
a) Beräkna <strong>och</strong> tolka K (90).<br />
b) Ange definitionsmängden, dvs tillåtna värden på x.<br />
50 · 90<br />
a) K (90) =<br />
100 – 90 = 450<br />
Det kostar 450 000 kr att ta bort 90 % av föroreningarna.<br />
b) 0 ≤ x < 100, K (x) är inte definierad för x = 100.<br />
26 1.2 rAtionellA Uttryck<br />
Bla 3c.indb 26 2012-07-10 09.35
1202 För vilka x-värden är uttrycket inte definierat?<br />
a)<br />
5x – 1<br />
2 x<br />
a) När x = 0.<br />
b)<br />
5x<br />
2 x + 4<br />
c)<br />
b) När 2x + 4 = 0 dvs då x = –2.<br />
2x<br />
x 2 + 1<br />
d)<br />
x 2 – 10<br />
x 2 – 12 x + 35<br />
c) x 2 + 1 kan inte bli noll. Uttrycket är definierat för alla värden<br />
på x.<br />
d) x 2 – 12x + 35 = 0<br />
x = 6 ± √ 36 – 35<br />
Uttrycket är inte definierat då x = 5 <strong>och</strong> x = 7.<br />
1203 Du har uttrycket G(x) = x + 7<br />
2x – 8<br />
a) Beräkna G(5).<br />
b) För vilket x-värde är nämnaren lika<br />
med noll?<br />
1204 Du har uttrycket G(x) = x2 + 3x – 2<br />
3x + 6<br />
a) Beräkna G(2).<br />
b) För vilket värde på x är uttrycket ej<br />
definierat?<br />
c) Är det sant att G(–3) < G(2)?<br />
Motivera ditt svar.<br />
1205 Då Lena försöker beräkna värdet av<br />
2xy<br />
uttrycket för x = 6 <strong>och</strong> y = –3<br />
x + 2y<br />
med sin räknare visas ”ERROR” i räknarens<br />
fönster. Förklara varför.<br />
1206 För vilka variabelvärden är uttrycken inte<br />
definierade?<br />
x – 6<br />
x – 6<br />
a)<br />
c)<br />
2 x 2 + 10 x 2 x 2 + 10x + 12<br />
x – 6<br />
2 x – 10<br />
b)<br />
d)<br />
2 x 2 + 10<br />
2 x 3 – 50 x<br />
1207 Skriv ett rationellt uttryck som<br />
a) inte är definierat för x = 7<br />
b) antar värdet 0 för x = 7<br />
c) inte är definierat för x = ± 3<br />
d) är definierat för alla x.<br />
1208 För en lastbil kan bränsleförbrukningen i<br />
liter/km beräknas med formeln<br />
1<br />
G(x) = ⎛<br />
250 ⎝ 2 500 + x ⎞ x ⎠<br />
där x är hastigheten i km/h.<br />
a) Hur mycket kostar en färd på 100<br />
mil, om bränslet kostar 16 kr/l <strong>och</strong><br />
hastigheten är 100 km/h?<br />
b) Hur långt kommer vi på samma mängd<br />
bränsle, om hastigheten är 50 km/h?<br />
1209 Uttrycket f (x) = 2 x3 + A<br />
kan användas<br />
3x 2 3<br />
för att beräkna ett närmevärde till √A,<br />
om x är ett lämpligt startvärde.<br />
Sätt A = 10.<br />
a) Beräkna f (2). Hur nära √10 är det?<br />
b) Beräkna f ( f (2)). Hur nära √10 är det?<br />
3<br />
3<br />
1.2 Rationella uttryck 27<br />
Bla 3c.indb 27 2012-07-10 09.35
Förlängning <strong>och</strong> förkortning<br />
förlängning<br />
Förlängning innebär att både täljare <strong>och</strong> nämnare i ett bråk eller ett<br />
rationellt uttryck multipliceras med samma tal eller uttryck.<br />
1<br />
2 = 5 · 1<br />
5 · 2 = 5<br />
10<br />
2<br />
x + 3 = x · 2<br />
x · (x + 3) = 2x<br />
x 2 + 3x<br />
Förlängning med 5.<br />
Förlängning med x.<br />
förkortning<br />
Förkortning innebär att både täljare <strong>och</strong> nämnare i ett bråk eller ett<br />
rationellt uttryck divideras med en gemensam delare.<br />
6 x<br />
8 = 6 x /2<br />
8 /2 = 3 x<br />
4<br />
Förkortning med 2.<br />
För att se gemensamma delare måste vi ibland faktorisera.<br />
5 x 3<br />
5x 2 – 10x = 5x · x 2<br />
5x (x – 2) = x 2<br />
x – 2<br />
Förkortning med 5x.<br />
enklaste form<br />
Ett bråk eller ett rationellt uttryck som inte kan förkortas är skrivet<br />
i enklaste form.<br />
1210<br />
Förläng med 3.<br />
a) 2 x b) 6x c) x – 4<br />
5<br />
2 x<br />
a) 2 x<br />
5 = 2 x · 3<br />
5 · 3 = 6 x<br />
15<br />
b) 6 x = 6 x<br />
1 = 6 x · 3<br />
1 · 3 = 18 x<br />
3<br />
c) x – 4 3 (x – 4)<br />
=<br />
2 x 3 · 2 x = 3 x – 12<br />
6 x<br />
1211<br />
Förläng så att nämnaren blir 24x.<br />
a) 3 b) x + 3<br />
4<br />
6<br />
a) 3 4 = 3 · 6 x<br />
4 · 6 x = 18 x<br />
24 x<br />
b) x + 3 4 x (x + 3)<br />
= = 4 x2 + 12 x<br />
6 4 x · 6 24 x<br />
28 1.2 Rationella uttryck<br />
Bla 3c.indb 28 2012-07-10 09.35
1212<br />
Skriv i enklaste form<br />
2 x<br />
a)<br />
14 x b) 3 x 5 y 2<br />
12 x – 30<br />
c) 2 15 x 2 7<br />
y 3 x + 6<br />
a) Vi faktoriserar <strong>och</strong> förkortar med 2 <strong>och</strong> med x.<br />
2 x<br />
14 x = 2 · x<br />
2 2 · 7 · x · x = 1 7x<br />
b) Vi faktoriserar <strong>och</strong> förkortar med 3x 2 <strong>och</strong> med y 2 .<br />
3 x 5 y 2<br />
15 x 2 y = 3 x 2 · x 3 · y 2<br />
7 5 · 3 x 2 · y 2 · y = x3<br />
5 5 y 5<br />
c) Vi faktoriserar <strong>och</strong> förkortar med 3.<br />
12 x – 30<br />
3 x + 6<br />
3(4 x – 10)<br />
=<br />
3(x + 2) = 4 x – 10<br />
x + 2<br />
1213<br />
Förenkla om möjligt följande uttryck<br />
a)<br />
x<br />
x + x 2<br />
b) x2 – 3 x<br />
2 x – 6<br />
c) 2 x – 3y<br />
6 x y<br />
a)<br />
x<br />
x + x = x<br />
2 x (1 + x) = 1<br />
1 + x<br />
b) x2 – 3 x<br />
2 x – 6<br />
c) 2 x – 3y<br />
6 x y<br />
=<br />
x (x – 3)<br />
2(x – 3) = x 2<br />
Täljaren kan inte faktoriseras.<br />
Ingen förenkling är möjlig.<br />
1214<br />
Förenkla dubbelbråket<br />
x<br />
2 – y 5<br />
x<br />
2 + y 5<br />
=<br />
10 (<br />
x<br />
2 – y 5 )<br />
10 ( x 2 + y 5 )<br />
x<br />
2 – y 5<br />
x<br />
2 + y 5<br />
=<br />
5x – 2y<br />
5x + 2y<br />
genom att förlänga med 10.<br />
1.2 Rationella uttryck 29<br />
Bla 3c.indb 29 2012-07-10 09.35
Vi kan bara förkorta ett uttryck om täljaren <strong>och</strong> nämnaren<br />
innehåller gemensamma faktorer.<br />
x + 3y<br />
kan därför inte förkortas.<br />
x<br />
VARNING<br />
Du frestas väl inte att förkorta <strong>och</strong> stryka x -termerna?<br />
1215 Förläng med 2.<br />
a) 3 x<br />
7<br />
b) 4 x<br />
c) x + 3<br />
7<br />
d) x – 3<br />
x<br />
1216 Förläng så att nämnaren blir 15x.<br />
a) 2 c) x – 2<br />
x<br />
5 x<br />
b) 2 d) 2 x + 1<br />
3 x<br />
3<br />
1217 Skriv i enklaste form<br />
a) 28<br />
32<br />
c)<br />
3 ab 3<br />
18 a 3 b<br />
b) 10 x 3<br />
15 x 2 d) 2 x + 2<br />
2 x<br />
1218 Skriv i enklaste form. Börja med att<br />
bryta ut.<br />
10<br />
a)<br />
5 x + 15<br />
b) 2 x – 4<br />
6 x + 8<br />
c)<br />
1219 Skriv i enklaste form.<br />
a) 4 h + h2<br />
h<br />
3 h<br />
b)<br />
3 h + x<br />
2 x<br />
5 x + x 2<br />
d) x 2 + 4 x<br />
x 2 + 3 x<br />
c)<br />
h<br />
2 x h + h 2<br />
d) 2 h2 – 4 h<br />
3 h – 6<br />
1220 Förklara varför 2 x + 2 y kan förkortas men<br />
x + y<br />
2 x + y<br />
inte<br />
x + y<br />
1221 Vad ska stå i parentesen?<br />
(?)<br />
a)<br />
28 x y = 35 x<br />
7y<br />
b) 4 x + 2<br />
10 x + 5 = (?)<br />
5<br />
3 a x<br />
c)<br />
a x 2 + a 2 x = 3<br />
(?)<br />
1222 Beräkna värdet för uttrycket<br />
6 y 2 – 8 y<br />
om y = 9<br />
9 y – 12<br />
a) före förenkling<br />
b) efter förenkling.<br />
1223 Förläng med 12 <strong>och</strong> förenkla<br />
a)<br />
(4 + 1/3)<br />
(3 – 1/4)<br />
b)<br />
2 a<br />
3 – 2 b<br />
4<br />
a<br />
3 + b 4<br />
1224 Polynomet p(x) beskrivs av formeln<br />
p(x) = 6 x 2 – 48 x.<br />
Vilket polynom är q(x) om det rationella<br />
uttrycket p (x) kan förenklas till<br />
q (x)<br />
a) 2 b) 3x c) x – 8<br />
2 x ?<br />
30 1.2 Rationella uttryck<br />
Bla 3c.indb 30 2012-07-10 09.35
1225 Förenkla<br />
a) x2 – 9<br />
x – 3<br />
b) 2 x2 – 98<br />
3 x + 21<br />
c) x 2 – 12 x + 36<br />
x 2 – 36<br />
a) Vi faktoriserar med konjugatregeln:<br />
x 2 – 9<br />
x – 3<br />
=<br />
(x + 3) (x – 3)<br />
(x – 3)<br />
= x + 3<br />
b) Utbrytning <strong>och</strong> faktorisering med konjugatregeln ger<br />
2 x 2 – 98<br />
3 x + 21 = 2 (x2 – 49) 2 (x + 7) (x – 7) 2 (x – 7)<br />
= =<br />
3 (x + 7) 3 (x + 7) 3<br />
c) Faktorisering med ena kvadreringsregeln samt<br />
konjugatregeln ger<br />
x 2 – 12 x + 36<br />
x 2 – 36<br />
(x – 6)2<br />
=<br />
(x + 6) (x – 6) = x – 6<br />
x + 6<br />
1226 Förenkla<br />
1231 Felicia förenklar: 7 (9 – z 2 )<br />
a) x2 – 25<br />
b) x + 4<br />
21 + 7z = 3 + z<br />
49 – x2<br />
c) <strong>och</strong> är osäker på om det blev rätt.<br />
x + 5<br />
x 2 – 16<br />
7 – x<br />
Pröva om HL = VL för z = 0<br />
1227 Förkorta så långt som möjligt.<br />
respektive z = 1.<br />
a) a + 1<br />
c) 2a2 + 4a<br />
a 2 – 1<br />
a 2 – 4<br />
1232 Förenkla så långt som möjligt<br />
b) a 2 + 1<br />
a – b<br />
a) (4 + h)2 – 4 2<br />
d)<br />
h<br />
a + 1<br />
a 2 – b 2<br />
b) 2(3 + h)2 – 2 · 3 2<br />
1228 Förkorta så långt som möjligt.<br />
h<br />
a) 6 + 2 x<br />
9 – x c) x 2 + 2 x + 1 1233 Förenkla genom att förlänga med x.<br />
2 x + 1<br />
b) 5 x 2 – 5<br />
d) x a) ⎛ 2 – 8 x + 16<br />
⎝ 4 x – x⎞ ⎠ / ⎛ ⎝ x + 4 x + 4⎞ ⎠<br />
x – 1<br />
x – 4<br />
b) 1 – x<br />
x –1 – 1<br />
1229 Förenkla<br />
4 x<br />
a)<br />
2 – 4 x<br />
2 a<br />
b)<br />
2 – 18 b 2 1234 Förenkla uttrycket (x + h)2 – x 2<br />
genom att<br />
h<br />
8 x 2 – 16 x + 8 a 2 – 6 a b + 9 b 2<br />
a) först använda kvadreringsregeln<br />
b) först använda konjugatregeln omvänt.<br />
1230 Beräkna utan räknare värdet för uttrycket<br />
9 – x 2<br />
3 – x om x = 2,999.<br />
1.2 Rationella uttryck 31<br />
Bla 3c.indb 31 2012-07-10 09.35
Exempel<br />
Hur kan vi förenkla uttrycken 3 + x<br />
x + 3 <strong>och</strong> 3 – x<br />
x – 3 ?<br />
3 + x<br />
x + 3 = x + 3<br />
x + 3 = 1<br />
Uttrycken 3 + x <strong>och</strong> x + 3 är lika.<br />
Däremot är 3 – x inte lika med x – 3.<br />
3 – x<br />
x – 3 = – x + 3 – 1(x – 3)<br />
=<br />
x – 3 x – 3<br />
= –1<br />
Vi bryter ut −1<br />
Kom ihåg:<br />
Bryt ut –1<br />
b – a = (–1) ∙ (a – b)<br />
1235<br />
Förenkla<br />
a) 15 – 5 a<br />
a – 3<br />
b) a 2 – 4<br />
6 – 3 a<br />
a) 15 – 5 a<br />
a – 3<br />
=<br />
5(3 – a)<br />
a – 3<br />
=<br />
–5(a – 3)<br />
a – 3<br />
= –5<br />
b) a 2 – 4 (a + 2)(a – 2) (a + 2)(a – 2)<br />
= = = a + 2<br />
6 – 3 a 3(2 – a) – 3(a – 2) – 3 = – a + 2<br />
3<br />
1236 Bryt ut –1 i täljaren.<br />
Förenkla<br />
a) 2 – x<br />
3<br />
1237 a) 8 – x<br />
x – 8<br />
b) 2 x – 14<br />
7 – x<br />
1238 a)<br />
(2 a – 1)2<br />
1 – 2 a<br />
b) 3 – 2 x – x 2<br />
4<br />
c) 9 – a2<br />
a – 3<br />
d) 20 – 4 y<br />
y 2 – 25<br />
b)<br />
10a – 50<br />
25 – a 2<br />
1239 a) a 2 – 1<br />
a – a 2 b) 36 x 2 – 12 x + 1<br />
1240 a) ⎛ ⎝ x + 1 2<br />
⎞<br />
1 + x⎠<br />
b) ⎛ ⎝ b – a 2<br />
⎞<br />
a – b ⎠<br />
1241 a) 4 x 2 – 4 x + 1<br />
5 x – 10 x c) 2 x3 – 8x<br />
2 4x 2 – 2 x 3<br />
(12 – 2 x)<br />
b)<br />
2 1 – x<br />
b)<br />
2<br />
x 2 – 12 x + 36 (x – 1) 2<br />
1242 Bryt ut (– 2) ur parentesen <strong>och</strong> förenkla<br />
(4 – 2 x)<br />
(4 – 2 x)3<br />
a) c)<br />
x – 2<br />
x – 2<br />
(4 – 2 x)2<br />
(4 – 2 x)6<br />
b) d)<br />
x – 2<br />
x – 2<br />
1 – 36 x 2<br />
32 1.2 Rationella uttryck<br />
Bla 3c.indb 32 2012-07-10 09.35
Addition <strong>och</strong> subtraktion<br />
lika nämnare<br />
Bråk med lika (samma) nämnare kan adderas <strong>och</strong> subtraheras direkt.<br />
4<br />
9 + 2 9 = 4 + 2 = 6 9 9 = 2 3<br />
På samma sätt förenklas rationella uttryck med lika nämnare.<br />
x<br />
x + 2 + 4 x<br />
x + 2 = x + 4 x<br />
x + 2 = 5 x<br />
x + 2<br />
olika nämnare<br />
gemensam nämnare<br />
MGN<br />
Bråk med olika nämnare kan inte adderas eller subtraheras direkt.<br />
Först måste vi förlänga så att de får lika (samma) nämnare.<br />
En gemensam nämnare är ett heltal eller ett polynom som är delbart<br />
med samtliga nämnare i två eller flera bråk eller rationella uttryck.<br />
Den minsta (positiva) gemensamma nämnaren betecknas MGN.<br />
5<br />
6 + 3 =___ Vilken gemensam nämnare ska vi välja?<br />
4<br />
Vi ska välja ett tal som är delbart med både 6 <strong>och</strong> 4, t ex 12, 24 eller 36.<br />
Om vi väljer MGN, som här är 12, blir beräkningarna enklast:<br />
5<br />
6 + 3 4 = 10<br />
12 + 9<br />
12 = 19<br />
12<br />
1243<br />
a) Beräkna 2 – 5 6 – 7 8<br />
b) Förenkla x<br />
24 + 1 36 – x<br />
30<br />
a) MGN = 24 ger 2 – 5 6 – 7 8 = 2 · 24<br />
1 · 24 – 5 · 4<br />
6 · 4 – 7 · 3<br />
8 · 3 = 48<br />
24 – 20<br />
24 – 21<br />
24 = 7 24<br />
b) 24 = 2 · 2 · 2 · 3<br />
36 = 2 · 2 · 3 · 3<br />
30 = 2 · 3 · 5<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
MGN = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360<br />
Ta med faktorer<br />
så att produkten<br />
blir delbar med<br />
24, 36 <strong>och</strong> 30.<br />
x<br />
24 + 1 36 – x<br />
30 = x · 15<br />
24 · 15 + 1 · 10<br />
36 · 10 – x · 12<br />
30 · 12 = 15x<br />
360 + 10<br />
360 – 12x<br />
360 =<br />
=<br />
15x – 12x + 10<br />
360<br />
=<br />
3x + 10<br />
360<br />
1.2 Rationella uttryck 33<br />
Bla 3c.indb 33 2012-07-10 09.35
1244<br />
Förenkla 1 6 + 2 3 x<br />
MGN: 2 ∙ 3 ∙ x = 6 x<br />
Vi förlänger till nämnaren 6 x:<br />
1<br />
6 + 2 3 x = 1 · x<br />
6 · x + 2 · 2<br />
2 · 3 x = x<br />
6 x + 4 6 x = x + 4<br />
6 x<br />
1245<br />
a) Lös ekvationen b) Förenkla uttrycket<br />
2 x + 1<br />
6<br />
+ 2 x<br />
8 = 6 2 x + 1<br />
+ 2 x<br />
6 8<br />
a) MGN: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24<br />
Multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN 24:<br />
24 (2 x + 1)<br />
+ 24 · 2 x = 24 · 6<br />
6<br />
8<br />
4(2x + 1) + 3 ∙ 2x = 144<br />
8x + 4 + 6x = 144<br />
14x + 4 = 144<br />
14x = 140<br />
x = 10<br />
b) MGN: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24<br />
Vi förlänger till nämnaren 24:<br />
2 x + 1<br />
6<br />
= 8 x + 4 + 6 x<br />
24<br />
+ 2 x 4(2 x + 1)<br />
=<br />
8 4 · 6<br />
= 14 x + 4 =<br />
24<br />
+ 3 · 2 x<br />
3 · 8 = 8 x + 4<br />
24<br />
2 (7x + 2)<br />
= 7x + 2<br />
2 · 12 12<br />
+ 6 x<br />
24 =<br />
Sammanfattning<br />
I en ekvation med rationella uttryck kan vi multiplicera båda leden<br />
(samtliga termer) med MGN. Detta ger en enklare ekvation.<br />
När vi förenklar ett rationellt uttryck förlänger vi (samtliga termer) till<br />
MGN. Detta ändrar inte uttryckets värde.<br />
34 1.2 Rationella uttryck<br />
Bla 3c.indb 34 2012-07-10 09.35
1246 Beräkna/förenkla<br />
a) 5 8 + 1 8<br />
b) 3 4 – 17<br />
8<br />
1247 Förenkla<br />
a) 1 a + 3 a<br />
b) 3 4 + 1 4 x<br />
c) x 7 + x 3<br />
d) 2x<br />
15 + x 6<br />
c) 2 x + 1 2x<br />
d) 5<br />
3 a + 1 2a<br />
1248 Lös ekvationen. Börja med att<br />
multiplicera alla termer med MGN.<br />
a) x 2 – x<br />
5 = 6 c) y 6 – y<br />
8 = 5<br />
b) x 3 + x 6 = 2 d) x 3 – 2 = x 4<br />
1249 a) Lös ekvationen<br />
3 x – 5<br />
4<br />
+ 9 – 2 x<br />
3<br />
= 2<br />
b) Förenkla uttrycket<br />
3 x – 5<br />
4<br />
+ 9 – 2 x<br />
3<br />
1253 Vid produktionen av x böcker är den<br />
genomsnittliga kostnaden G( x) kr<br />
per bok, där G(x) = 9 000 + 40 + x<br />
x<br />
30<br />
Hur många böcker tillverkas, om den<br />
genomsnittliga kostnaden är 96 kr?<br />
1254 Nora <strong>och</strong> My klipper en stor gräsmatta.<br />
Nora har motorgräsklippare <strong>och</strong> kan ensam<br />
klippa gräsmattan på 4,0 h. My har en<br />
vanlig handgräsklippare. Tillsammans kan<br />
de klippa hela gräsmattan på 3,0 h.<br />
a) Hur stor del av hela arbetet utför Nora på<br />
1,0 h?<br />
b) Hur stor del av hela arbetet gör de<br />
tillsammans på 1,0 h?<br />
c) Om My ensam klipper gräsmattan på<br />
x h, hur stor del av arbetet gör hon då<br />
på 1,0 h?<br />
d) Ställ upp en ekvation där x kan<br />
bestämmas.<br />
e) Hur lång tid tar det för My att ensam<br />
klippa gräsmattan?<br />
1250 Förenkla<br />
a) 2 3 y + y + 1<br />
y<br />
b) 3 y 2 + 1 4 y<br />
1251 Lös ekvationen<br />
a) x – 2<br />
3 = x – 3<br />
2 – 1<br />
b) 3 x + 1 5 x = 1<br />
c) 4 x + 6 2 = x<br />
1252 Pi <strong>och</strong> Bo förenklar uttrycket 1 x – x + 1<br />
2 x<br />
Pi: 2 · 1<br />
2 · x – x + 1<br />
Bo: 2 x · 1<br />
x<br />
–<br />
2 x = 2 – x + 1<br />
2 x<br />
2 x · (x + 1)<br />
2 x<br />
Båda gör fel! Vilka fel gör de?<br />
= 3 – x<br />
2 x<br />
= 2 – (x – 1)<br />
1.2 Rationella uttryck 35<br />
Bla 3c.indb 35 2012-07-10 09.35
1255<br />
Förenkla<br />
a) 2 – 4 – x<br />
x<br />
b)<br />
3<br />
x – 1 + 2<br />
1 – x<br />
a) MGN = x ger<br />
Obs! Parentes.<br />
2 – 4 – x = 2 · x<br />
x 1 · x – 4 – x<br />
x<br />
=<br />
2 x – (4 – x)<br />
x<br />
= 2 x – 4 + x = 3 x – 4<br />
x x<br />
Vi måste komma ihåg att sätta ut parenteser när vi går över till<br />
gemensamt bråkstreck <strong>och</strong> har uttryck med flera termer!<br />
3<br />
b)<br />
x – 1 + 2<br />
1 – x = 3<br />
x– 1 + 2<br />
(–1)(x – 1) = 3<br />
x – 1 – 2<br />
x – 1 = 1<br />
x – 1<br />
1256<br />
Lös ekvationen<br />
2 x 2<br />
x + 1 + 1 = 2<br />
x + 1<br />
Definitionsvillkor: x ≠ –1 Definitionsvillkoret innebär att x = –1<br />
inte kan vara rot till ekvationen.<br />
Multiplikation med MGN ger<br />
(x + 1) · 2x 2<br />
+ (x + 1) · 1 =<br />
x + 1<br />
2 x 2 + (x + 1) = 2<br />
2 x 2 + x – 1 = 0<br />
x 2 + 1 2 x – 1 2 = 0<br />
(x + 1) · 2<br />
x + 1<br />
x = – 1 4 ± √ 1 16 + 1 2<br />
x = – 1 4 ± 3 4<br />
x 1 = 1 2<br />
x 2 = –1<br />
x = –1 är en falsk rot, då den inte<br />
uppfyller definitionsvillkoret.<br />
Svar: x = 1 2<br />
36 1.2 Rationella uttryck<br />
Bla 3c.indb 36 2012-07-10 09.35
1257 a) Lös ekvationen 3 y – 5<br />
4<br />
b) Förenkla uttrycket 3 y – 5<br />
4<br />
Lös ekvationerna<br />
1258 a) 6 x – 5 = x b) y – 3<br />
y<br />
1259 a) x<br />
x + 4 + 1 = 16<br />
x + 4<br />
b) t + 1<br />
t – 2 = 3<br />
t – 2 + 5<br />
c) 1 + 1 y = 6 y 2<br />
d)<br />
2<br />
x – 2 – x 2 =<br />
x<br />
x – 2<br />
– 9 – 2 y<br />
3<br />
–<br />
= 0<br />
– 9 – 2 y<br />
3<br />
y + 2<br />
= 0<br />
4<br />
1260 Om man vet medicindosen för en vuxen,<br />
kan dosen för ett barn beräknas med<br />
x<br />
y = · d där d är vuxendosen,<br />
x + 12<br />
y är barndosen <strong>och</strong> x är barnets ålder.<br />
a) Hur många tabletter bör en fyraåring få,<br />
om en vuxen kan ta 6 tabletter?<br />
b) Vuxendosen är 1 cl <strong>och</strong> en pojke<br />
rekommenderas att ta 0,5 cl (5 ml).<br />
Hur gammal bör pojken vara?<br />
1261 Lös ekvationen<br />
x<br />
a)<br />
x – 2 – 3 x = 1 b) 1<br />
x – x – 1 2 x = 0<br />
1262 Förenkla uttrycket 1 + x<br />
x 2 – 4 – 5 – x<br />
x 2 – 4<br />
1263 Lös ekvationen<br />
1264 Ekvationen<br />
3<br />
x + 2 = 2 – 6 x<br />
1<br />
t – 1 –<br />
a<br />
t – 4 = 1 2<br />
har en lösning t = 2.<br />
Bestäm värdet på a <strong>och</strong> eventuella<br />
ytterligare lösningar.<br />
1265 Skriv följande uttryck så enkelt som möjligt.<br />
a)<br />
2<br />
a – b – 1<br />
b – a<br />
b) a – 10<br />
a – 5 – a<br />
5 – a<br />
c)<br />
2<br />
x 2 – 4 + 1<br />
2 x – x 2<br />
d) 6 a + 6<br />
a 2 – 9 + 4<br />
3 – a<br />
1266 Johannes förenklar a3 + 1<br />
a + 1 – a2 till 1 – a.<br />
Är förenklingen rätt?<br />
Undersök numeriskt med din räknare eller<br />
visa algebraiskt.<br />
1.2 rAtionellA Uttryck 37<br />
Bla 3c.indb 37 2012-07-10 09.35
Multiplikation <strong>och</strong> division<br />
Vi repeterar multiplikation <strong>och</strong> division av tal i bråkform.<br />
Multiplikation av bråk<br />
2<br />
3 · 5 6 = 2 · 5<br />
3 · 6 = 1 · 5<br />
3 · 3 = 5 9<br />
3 · 8 9 = 3 1 · 8 9 = 3 · 8<br />
1 · 9 = 1 · 8<br />
1 · 3 = 8 3<br />
Förkorta om det går<br />
innan du multiplicerar.<br />
Division av bråk<br />
2<br />
7<br />
5<br />
9<br />
=<br />
Vi får förlänga med<br />
vilket tal vi vill.<br />
Vi väljer det tal som<br />
ger nämnaren 1.<br />
=<br />
2<br />
7 · 9 5<br />
5<br />
9 · 9 5<br />
=<br />
2<br />
7 · 9 5<br />
1<br />
= 2 7 · 9 5 = 18<br />
35<br />
inverterat tal<br />
9<br />
5 kallas det inverterade talet till 5 9<br />
Täljare <strong>och</strong> nämnare<br />
byter plats.<br />
Produkten av ett tal <strong>och</strong> dess inverterade tal är 1.<br />
Att dividera med 5 9 ger samma resultat som att multiplicera med 9 5<br />
Vi förenklar rationella uttryck på samma sätt.<br />
1267 Förenkla<br />
a) 2 x · x2<br />
6<br />
b) 4 · x + 3<br />
x<br />
c) x + 1<br />
x / x + 1<br />
x d) a2 – 4<br />
2 6 a / 2<br />
a + 2<br />
12 a 2<br />
a) 2 x · x 2<br />
6 = 2 · x2<br />
x · 6 = x 3<br />
Obs! Parentes.<br />
b) 4 · x + 3 4 (x + 3)<br />
=<br />
x x<br />
c) x + 1<br />
x / x + 1<br />
x = x + 1<br />
2 x<br />
d) a2 – 4<br />
6 a 3 /<br />
= 4 x + 12<br />
x<br />
x 2<br />
·<br />
x + 1 a + 2<br />
12 a = a2 – 4<br />
2 6 a · 12 a 2<br />
3 a + 2<br />
=<br />
(x + 1) · x2<br />
x · (x + 1)<br />
= x<br />
Obs! Parentes.<br />
(a + 2)(a – 2) · 12 a2 2 (a – 2)<br />
= =<br />
6 a 3 · (a + 2)<br />
a<br />
38 1.2 Rationella uttryck<br />
Bla 3c.indb 38 2012-07-10 09.35
1268 Beräkna utan räknare<br />
1276 Förenkla<br />
a) 2 3 · 5 9<br />
c) 7 5 · 2 21<br />
a) x y<br />
/ y x<br />
c) 1 a b / a b<br />
b) 6 · 1 18<br />
d) 4 9 · 3 20<br />
b) y x / x y d) a / a b<br />
1269 Beräkna utan räknare<br />
a) 3 4 / 4 7<br />
b) 4<br />
/ 16<br />
3<br />
c) 16<br />
3 / 4<br />
d) 5 6 / 7 3<br />
1277 Beräkna värdet för uttrycket<br />
a – b b<br />
·<br />
2<br />
om a = 10 <strong>och</strong> b = 15<br />
b a 2 2<br />
– b<br />
a) före förenkling<br />
b) efter förenkling.<br />
1270 Förenkla<br />
a) 4 a<br />
5 · 1 2a<br />
b) 6 x<br />
7 · 14<br />
3 x<br />
c) 3x ·<br />
5<br />
12 x<br />
d) 1 9 x · 3 x 2<br />
10<br />
1278 Förenkla<br />
a) x2 – x<br />
y / x2 – 1<br />
c) x – y<br />
y 2 x + 2 y / x2<br />
a<br />
b) (a – 2) ·<br />
a 2 – 4<br />
– x y<br />
x 2 – 4 y 2<br />
1271 Skriv på ett gemensamt bråkstreck <strong>och</strong><br />
förenkla.<br />
a) 2 a<br />
3 b · 12<br />
a<br />
b) 5 · 2 x + 3<br />
2 x<br />
c) a + 3<br />
5 a · 10<br />
a + 3<br />
d) 5 x · 2 x – 3<br />
2 x<br />
1272 Vad är ”dubblan” (dubbelt så mycket) av<br />
a) 5 7<br />
1273 Förenkla<br />
a) x 4 / x 8<br />
b) 4 a<br />
5 / 2 a 2<br />
15<br />
b) a + b c)<br />
2<br />
3 · a b<br />
c) 9<br />
/ 3x<br />
28<br />
d) 12<br />
5 z / 21<br />
1274 Vad är tredjedelen av<br />
a) 5 2<br />
b) a + b c)<br />
7<br />
3 · a b<br />
1275 Förenkla<br />
a) x y<br />
6 · x y<br />
3<br />
b) a b<br />
3 c · 2 c<br />
a b<br />
c) x y<br />
6 / x y<br />
3<br />
d) a b<br />
3 c / 2 c<br />
a b<br />
d) x + 1<br />
4<br />
d) x + 1<br />
4<br />
?<br />
?<br />
1279 Förenkla<br />
a) a + 3<br />
b / (a2 – 9)<br />
b) (x 2 – 2 x + 1)/ x – 1<br />
2<br />
1280 Förenkla dubbelbråket<br />
genom att<br />
3<br />
5a – a<br />
15<br />
1<br />
a – 1 3<br />
a) först förlänga de enskilda bråken<br />
till MGN<br />
b) först förenkla täljaren för sig <strong>och</strong><br />
nämnaren för sig <strong>och</strong> sedan dividera.<br />
Förenkla.<br />
a<br />
3 + b 2<br />
1281 a)<br />
a<br />
3 – b 2<br />
1282 a)<br />
1<br />
z – 1 x<br />
z – x<br />
4 – 2 a<br />
b)<br />
16 – 4 a 2<br />
b)<br />
a<br />
x – x a<br />
x – a<br />
a x<br />
1283 Låt f (x) = <strong>och</strong> undersök om man<br />
2 x + 3<br />
kan bestämma talet a så att f ( f (x)) = x.<br />
1.2 Rationella uttryck 39<br />
Bla 3c.indb 39 2012-07-10 09.35
1.3 Funktioner<br />
Inledning<br />
Vi repeterar <strong>och</strong> utvidgar funktionsbegreppet.<br />
Funktion<br />
Definitionsmängd<br />
Värdemängd<br />
En regel som till varje tillåtet x -värde ger exakt ett y -värde<br />
kallas en funktion.<br />
De tillåtna x -värdena kallas funktionens definitionsmängd.<br />
De y -värden vi då kan få kallas funktionens värdemängd.<br />
Funktionsregeln kan beskrivas med ord, med en formel,<br />
en värdetabell eller en graf.<br />
y = f (x)<br />
kontinuerlig funktion<br />
Skrivsättet y = f(x) innebär att y är en funktion av x <strong>och</strong> f är funktionens<br />
namn.<br />
Med f(2) menas det y-värde som funktionsregeln ger då x = 2.<br />
Funktioner kan karaktäriseras på olika sätt. De funktioner vars graf kan<br />
”ritas utan att lyfta pennan” kallas för kontinuerliga.<br />
Med matematikens språk kan vi säga att en funktion är kontinuerlig i en<br />
punkt x om | f (x + h) – f (x)| kan göras godtyckligt litet genom att välja<br />
ett tillräckligt litet h. Om detta gäller för alla x i definitionsmängden är<br />
funktionen kontinuerlig.<br />
Alla polynomfunktioner är kontinuerliga.<br />
y<br />
y = f (x )<br />
y<br />
y = g (x )<br />
a<br />
b<br />
x<br />
a<br />
b<br />
x<br />
f är kontinuerlig för a ≤ x ≤ b<br />
g är diskontinuerlig för a ≤ x ≤ b<br />
En annan karaktärisering av funktioner kan göras utifrån vilken<br />
definitionsmängd de har. De funktioner vars definitionsmängd är heltalen<br />
(eller delmängder av heltalen) kallar vi diskreta. I matematiken betyder<br />
ordet diskret ungefär detsamma som ”åtskild” eller ”särad”.<br />
diskret funktion<br />
En diskret funktion kan aldrig vara kontinuerlig eftersom resonemangen<br />
med ”godtyckligt litet” respektive ”tillräckligt litet” inte fungerar.<br />
40 1.3 Funktioner<br />
Bla 3c.indb 40 2012-07-10 09.35
Exempel<br />
En handlare säljer äpplen för 20 kr/kg.<br />
Funktionen y = 20x beskriver priset<br />
y kronor för äpplen som väger x kg.<br />
Detta är en kontinuerlig funktion,<br />
definitionsmängden är de reella talen<br />
större än eller lika med 0.<br />
En annan handlare säljer äpplen för 5 kr/st.<br />
Funktionen y = 5x beskriver priset y kronor<br />
för x st äpplen.<br />
Detta är en diskret funktion,<br />
definitionsmängden är de naturliga talen.<br />
kr<br />
60<br />
y<br />
kr<br />
15<br />
y<br />
40<br />
10<br />
20<br />
x<br />
5<br />
x<br />
1 2 3<br />
kg<br />
1 2 3<br />
antal<br />
Priset som funktion av vikten.<br />
Priset som funktion av antalet.<br />
1301 Låt f( x) = 6x – 5 <strong>och</strong> g(x) = x 2 + 3x. 1306 Funktionen f definieras av formeln<br />
a) y = 2x – 1 c) f( x) = √ x + 3<br />
a) Bestäm f (–2) + f (2)<br />
b) y = x 2 d) f( x) = 2 x b) För vilket värde på a är funktionen<br />
kontinuerlig?<br />
Bestäm<br />
1<br />
f( x) =<br />
x – 4<br />
a) f (2) c) f (2) – g (2)<br />
a) Rita funktionens graf.<br />
b) g (–3) d) g (b) – f (b)<br />
b) Ange funktionens definitionsmängd.<br />
1302 Låt f( x) = 3x – 2 <strong>och</strong> bestäm<br />
c) Förklara varför funktionens värdemängd<br />
a) f (a + 1) b) f (a + h)<br />
är alla reella tal y ≠ 0.<br />
1303 Låt g(x) = x 2 – 3 <strong>och</strong> bestäm<br />
1307 Låt f( x) = x 2 + 3x <strong>och</strong> förenkla<br />
a) g(a – 2) b) g(a + 2)<br />
f (2 + h) – f (2) f (x + h) – f ( x )<br />
a) b)<br />
h<br />
h<br />
1304 Priset y kr för att hyra ett par skidor<br />
i x dagar beskrivs av funktionen<br />
y = 200 + 100 x.<br />
Är funktionen diskret eller kontinuerlig?<br />
1308 En <strong>och</strong> samma funktion kan beskrivas<br />
med olika formler i olika delar av sin<br />
definitionsmängd.<br />
Funktionen f är definierad på följande sätt:<br />
Motivera ditt svar.<br />
⎧x f ( x) =<br />
för x ≤ 1<br />
⎨<br />
⎩2 x + a för x > 1<br />
1305 Bestäm definitions- <strong>och</strong> värdemängd för<br />
1.3 fUnktioner 41<br />
Bla 3c.indb 41 2012-07-10 09.35
Historik<br />
Hur funktionsbegreppet utvecklats<br />
Vår önskan att med hjälp av matematiska modeller<br />
beskriva <strong>och</strong> förstå omvärlden har med<br />
tabeller, diagram, formler, ekvationer <strong>och</strong> grafer<br />
lett fram till funk tionsbegreppet.<br />
I mitten av 1700-talet gav<br />
Euler, en mycket produktiv<br />
matematiker från Schweiz,<br />
en samlad beskrivning av de<br />
enkla funktioner som ingår i<br />
dagens skolkurser. Euler införde<br />
beteckningen f (x) <strong>och</strong> gav 1734<br />
följande definition:<br />
Leonhard Euler<br />
(1707 – 1783)<br />
Dirichlets definition skiljer sig<br />
på två viktiga sätt från Eulers:<br />
Funktionsregeln behöver inte<br />
vara given med ett algebraiskt<br />
uttryck, <strong>och</strong> varje värde på x<br />
ska ge ett värde på y.<br />
Den tyske matematikern<br />
Georg Cantor skapade på<br />
1870-talet mängdläran<br />
som ett beskrivningssätt<br />
för all matematik. Cantors<br />
funktionsdefinition blir:<br />
Georg Cantor<br />
(1845 – 1918)<br />
”En funktion f( x) är ett algebraiskt uttryck med<br />
konstanter <strong>och</strong> variabler, definierat genom en<br />
ekvation eller en graf.”<br />
Eulers definition skärptes under nästa århundrade,<br />
<strong>och</strong> 1837 gav den tyske matematikern<br />
Dirichlet oss den definition som än idag används:<br />
”Om X <strong>och</strong> Y är två givna mängder, <strong>och</strong> om till varje<br />
element x i X är ordnat ett bestämt element y i Y,<br />
så har vi en funktion från X till Y.”<br />
Enligt denna definition behöver inte elementen<br />
x <strong>och</strong> y vara tal.<br />
”Om två variabler x <strong>och</strong> y har<br />
ett sådant samband, att när vi<br />
ger x ett värde så ordnas till detta<br />
automatiskt genom någon regel<br />
ett bestämt värde på y, då säger vi<br />
att y är en funktion av x.”<br />
X<br />
x<br />
BC_K1_3_hist<br />
y<br />
Y<br />
Peter Dirichlet<br />
(1805 – 1859)<br />
1 En cirkel med radien 2 ges av ekvationen<br />
y 2 + x 2 = 2 2 .<br />
a) Beräkna alla värden på y om<br />
x = –2, –1, 0, 1, 2.<br />
b) Skissa cirkeln i ett koordinatsystem.<br />
c) Är detta en funktion enligt Eulers, Dirichlets<br />
<strong>och</strong> Cantors definition?<br />
2 Elementen i Cantors definition behöver inte<br />
vara tal. Beskriver följande tabell en funktion?<br />
a)<br />
x –2 0 2 4<br />
b)<br />
y 2 –2 2 14<br />
x blå röd grön blå<br />
y röd grön blå blå<br />
42 1.3 fUnktioner<br />
Bla 3c.indb 42 2012-07-10 09.35
Räta linjens ekvation<br />
Vi repeterar från kurs 2c.<br />
Räta linjens ekvation kan skrivas y = kx + m där k anger lutningen<br />
<strong>och</strong> m anger var linjen skär y-axeln.<br />
Linjen y = 2x – 7 skär y-axeln i punkten (0, –7).<br />
Bestämning av k ur en graf<br />
y<br />
y<br />
1<br />
∆y = 3<br />
∆x = 2 x<br />
1<br />
1<br />
∆x = 1<br />
∆y = –3<br />
x<br />
1<br />
y<br />
k = ∆<br />
x<br />
= 3<br />
∆ 2<br />
=<br />
y<br />
15 , k = ∆<br />
x<br />
= −3<br />
∆<br />
= − 3<br />
1<br />
k > 0, linjen stiger<br />
k < 0, linjen faller<br />
En horisontell linje har k = 0 <strong>och</strong> en ekvation av typen y = 3.<br />
En vertikal linje saknar k-värde <strong>och</strong> har en ekvation av typen x = 3.<br />
Formeln för k<br />
förändringen i y-led<br />
k =<br />
förändringen i x-led = ∆ y<br />
∆ x = y 2 – y 1<br />
x 2 – x 1<br />
där x 2 ≠ x 1 .<br />
Parallella linjer <strong>och</strong> vinkelräta linjer<br />
Två icke-vertikala linjer med riktnings koefficienter k 1 <strong>och</strong> k 2 är<br />
◗◗<br />
parallella om <strong>och</strong> endast om k 1 = k 2<br />
(har samma k-värde)<br />
◗◗<br />
vinkelräta om <strong>och</strong> endast om k 1 ∙ k 2 = –1<br />
Linjen y = x 4 har k-värdet 1 <strong>och</strong> är parallell med linjen y = 0,25x + 3<br />
4<br />
<strong>och</strong> vinkelrät mot linjen y = 1 – 4x<br />
Räta linjens ekvation<br />
k-form y = kx + m<br />
enpunktsform y – y 1 = k (x – x 1 )<br />
allmän form ax + by + c = 0<br />
1.3 Funktioner 43<br />
Bla 3c.indb 43 2012-07-10 09.35
1309<br />
Linjen L går genom punkterna (–2, 1) <strong>och</strong> (4, –4).<br />
a) Beräkna k-värdet för linjen.<br />
b) Bestäm ekvationen för den linje M som går genom<br />
punkten (–2, 3) <strong>och</strong> är parallell med linjen L.<br />
y<br />
M<br />
( 2, 3)<br />
L<br />
∆x = 6<br />
( 2, 1) 1<br />
x<br />
a) (x 1 , y 1 ) = (–2, 1) <strong>och</strong> (x 2 , y 2 ) = (4, –4)<br />
1<br />
∆y = –5<br />
k = y 2 – y 1<br />
x 2 – x 1<br />
(4, 4)<br />
k = – 4 – 1<br />
4 – (–2) = – 5<br />
6 = – 5 6<br />
b) Parallella linjer har samma k-värde.<br />
Linje M har k = – 5 6<br />
<strong>och</strong> går genom punkten (–2, 3).<br />
Metod 1 Metod 2<br />
Vi använder y = k x + m.<br />
Vi använder y – y 1 = k(x – x 1 ).<br />
y = 3, x = – 2 <strong>och</strong> k = – 5 6 ger<br />
y 1 = 3,<br />
x 1 = –2 <strong>och</strong> k = – 5 6 ger<br />
3 = – 5 6 · (– 2 ) + m<br />
3 = 5 3 + m<br />
m = 4 3<br />
y =– 5 x<br />
6 + 4 3<br />
y – 3 = – 5 (x – (–2))<br />
6<br />
y – 3 = – 5 x<br />
6 – 5 3<br />
y = – 5 x<br />
6 – 5 3 + 9 3<br />
y = – 5 x<br />
6 + 4 3<br />
1310<br />
Ge ett exempel på ekvationen för en rät linje som är vinkelrät mot linjen<br />
6 x + 3 y – 12 = 0.<br />
Vi omvandlar den allmänna formen 6x + 3y – 12 = 0 till k-form:<br />
3y = – 6x + 12<br />
y = – 2 x + 4<br />
k 1 ∙ k 2 = –1 <strong>och</strong> k 1 = –2 ger k 2 = 0,5.<br />
Den vinkelräta linjens ekvation kan t ex vara y = 0,5x + 7.<br />
44 1.3 Funktioner<br />
Bla 3c.indb 44 2012-07-10 09.35
1311 Bestäm lutningen k för en linje genom<br />
(1, 3) <strong>och</strong> (–1, 2).<br />
1312 Bestäm en ekvation för linjen genom<br />
(3, –2) <strong>och</strong> med<br />
a) k = 4 b) k = –3<br />
1313 Rita grafen till<br />
a) y = 2 x – 3 b) 5 x + 3y – 9 = 0<br />
1314 I en glesbygdskommun minskade<br />
invånarantalet linjärt under 1990-talet<br />
enligt y = 15 000 – 225 x<br />
där y är antalet invånare x år efter 1990.<br />
a) Ange <strong>och</strong> tolka funktionens m -värde.<br />
b) Ange <strong>och</strong> tolka funktionens k -värde.<br />
1315 Bestäm en ekvation för linjen genom<br />
(–3, 1) <strong>och</strong> (2, –9).<br />
1316 Skriv på allmän form ekvationen för linjen<br />
genom punkterna (2, 8) <strong>och</strong> (5, 10).<br />
1317 Mellan temperaturskalorna Fahrenheit (°F)<br />
<strong>och</strong> Celsius (°C) finns ett linjärt samband.<br />
Vi vet att 20 °C motsvarar 68 °F <strong>och</strong> 100 °C<br />
motsvarar 212 °F.<br />
a) Ställ upp det linjära samband som visar<br />
hur y °F kan beräknas för x °C.<br />
b) Beräkna med ditt samband hur många °F<br />
som motsvarar 0 °C.<br />
1320 Ett cylinderformat stearinljus har diametern<br />
23 mm <strong>och</strong> längden 200 mm. Brinntiden är<br />
8 timmar.<br />
a) Hur långt är ljuset då det har brunnit<br />
i 5 timmar?<br />
b) Hur lång tid har ljuset brunnit om det är<br />
120 mm långt?<br />
c) Ställ upp ett linjärt samband mellan<br />
ljusets längd f (t) mm <strong>och</strong> den tid<br />
t timmar som ljuset har brunnit.<br />
1321 Ange en ekvation för den linje som går<br />
genom punkten (1, –4) <strong>och</strong> är vinkelrät mot<br />
a) y = x + 3 b) y = – 2 x + 4<br />
1322 Vilka koordinater har punkten B, om<br />
lut ningen för linjen genom A <strong>och</strong> B är 5?<br />
y = x<br />
2<br />
y<br />
B<br />
1318 Ange en ekvation för den linje som går<br />
genom punkten (2, – 5) <strong>och</strong> är parallell med<br />
a) y = – 5x + 3 b) 2y – 6x + 12 = 0<br />
1<br />
A (1, 1)<br />
x<br />
1<br />
1319 Bestäm linjens ekvation.<br />
y<br />
a) b)<br />
y<br />
f (x + ∆ x) – f (x)<br />
1323 Ställ upp <strong>och</strong> förenkla<br />
∆ x<br />
om f ( x ) = a x + b. Tolka ditt resultat.<br />
1<br />
1<br />
x<br />
c)<br />
1<br />
1<br />
d)<br />
x<br />
1324 För en linjär funktion gäller att<br />
f(a + 1) = a + 2.<br />
Bestäm funktionen på formen y = k x + m.<br />
1.3 Funktioner 45<br />
Bla 3c.indb 45 2012-07-10 09.35
Andragradsfunktioner<br />
Vi repeterar från kurs 2c.<br />
En andragradsfunktion definieras av en ekvation av typen<br />
y = 2 x 2 – 12x + 10 <strong>och</strong> f ( x ) = 8 x – x 2<br />
Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas<br />
allmän andragradsfunktion<br />
parabel<br />
symmetrilinje<br />
vertex<br />
f( x) = a x 2 + b x + c<br />
där a, b <strong>och</strong> c är konstanter <strong>och</strong> a ≠ 0.<br />
Grafen till en andragradsfunktion<br />
y = a x 2 + b x + c kallas en parabel.<br />
Den har en symmetrilinje som delar<br />
kurvan i två delar, som är varandras<br />
spegelbilder.<br />
Två punkter på kurvan med samma<br />
y-värde ligger därför på samma<br />
avstånd från symmetrilinjen, se figuren<br />
här intill.<br />
Symmetrilinjen går genom parabelns<br />
vertex (vändpunkt) som är en maximieller<br />
minimipunkt på grafen.<br />
Då ekvationen a x 2 + b x + c = 0 skrivs om till<br />
x 2 + p x + q = 0 är symmetrilinjens ekvation x = – p 2<br />
y<br />
symmetrilinje<br />
nollställen<br />
x<br />
vertex<br />
minimipunkt<br />
maximipunkt<br />
nollställen<br />
Om a > 0 (t ex y = 3 x 2 ) har kurvan en minimipunkt.<br />
Om a < 0 (t ex y = –1,5 x 2 ) har kurvan en maximipunkt.<br />
Där grafen skär x-axeln är y = 0<br />
x-koordinaten i dessa skärningspunkter<br />
kallas funktionens nollställen.<br />
Nollställena är reella lösningar till ekvationen ax 2 + bx + c = 0.<br />
Saknas reella lösningar skär grafen aldrig x-axeln.<br />
Där grafen skär y-axeln är x = 0. Grafen skär y-axeln i punkten (0, c).<br />
En andragradsfunktion är ett exempel på en polynomfunktion.<br />
polynomfunktion<br />
En polynomfunktion definieras som en funktion som anges av ett<br />
polynom. I kommande kapitel ska vi studera polynomfunktioner<br />
av tredje <strong>och</strong> fjärde graden.<br />
46 1.3 Funktioner<br />
Bla 3c.indb 46 2012-07-10 09.35
1325 Undersök andragradsfunktionerna y = x 2 – 6 x <strong>och</strong> y = –3 x 2 – 6 x – 6.<br />
a) Var skär grafen y- axeln?<br />
b) Har funktionen några nollställen?<br />
c) Bestäm grafens symmetrilinje.<br />
d) Ange koordinaterna för vertex.<br />
e) Ange funktionens största/minsta värde.<br />
f) Kontrollera dina resultat grafiskt.<br />
y = x 2 – 6 x<br />
a) x = 0 ger y = 0.<br />
Grafen skär y-axeln i origo.<br />
b) y = x 2 – 6 x<br />
x 2 – 6 x = 0<br />
x( x – 6) = 0<br />
Nollställena är<br />
x 1 = 0 x 2 = 6<br />
c) Symmetrilinjen är x = 3<br />
(mitt emellan 0 <strong>och</strong> 6)<br />
d) x = 3 ger<br />
y = 3 2 – 6 ∙ 3 = –9<br />
(3, – 9) är vertex<br />
e) x 2 – termen är positiv.<br />
Funktionen har ett minsta värde – 9<br />
( y-värdet i vertex).<br />
y = –3 x 2 – 6 x – 6<br />
a) x = 0 ger y = –6.<br />
Grafen skär y-axeln i punkten (0, –6).<br />
b) y = –3 x 2 – 6 x – 6<br />
–3 x 2 – 6 x – 6 = 0<br />
x 2 + 2 x + 2 = 0<br />
x = –1 ± √ 1 – 2<br />
Nollställen saknas<br />
c) Symmetrilinjen är x = –1<br />
( x = – p/2 om x 2 + p x + q = 0)<br />
d) x = –1 ger<br />
y = –3 ∙ (–1) 2 – 6 ∙ (–1) – 6 = – 3<br />
(–1, – 3) är vertex<br />
e) x 2 – termen är negativ.<br />
Funktionen har ett största<br />
värde – 3.<br />
f) 15<br />
f) 0<br />
–3 1<br />
(–1, –3)<br />
–4 10<br />
–10<br />
(3, –9)<br />
–10<br />
1.3 Funktioner 47<br />
Bla 3c.indb 47 2012-07-10 09.35
4<br />
x<br />
1<br />
2<br />
1326 Figuren visar grafen till<br />
en andragradsfunktion.<br />
Skriv funktionen i<br />
a) faktorform<br />
b) utvecklad form.<br />
1<br />
4<br />
y<br />
2<br />
x<br />
Nollställen<br />
–1 <strong>och</strong> 2<br />
a) Nollställena –1 <strong>och</strong> 2 ger<br />
f (x) = k (x + 1) (x – 2)<br />
Vi avläser f (0) = 4, vilket ger<br />
k (0 + 1) (0 – 2) = 4<br />
k ∙ 1 ∙ ( –2 ) = 4<br />
k = –2<br />
f ( x ) = –2 (x + 1)(x – 2)<br />
b) f ( x ) = – 2 ( x + 1)(x – 2) = – 2 (x 2 – 2 x + x – 2) = – 2 x 2 + 2 x + 4<br />
1327 Funktionen y = 6 x – x 2<br />
a) Har kurvan en maximi– eller<br />
minimipunkt?<br />
b) Bestäm kurvans nollställen genom att<br />
lösa ekvationen 6x – x 2 = 0<br />
c) Ange kurvans symmetrilinje.<br />
d) Bestäm koordinaterna för kurvans<br />
vändpunkt.<br />
e) I vilken punkt skär kurvan y-axeln?<br />
f) Skissa först grafen för hand <strong>och</strong><br />
kontrollera sedan med grafräknare.<br />
1328 Ange funktionens nollställen<br />
a) f ( x ) = ( x + 3 )( x – 10)<br />
b) f ( x ) = 5 x ( x – 4)<br />
1329 ”Om man har ekvationen för en andragradsfunktion<br />
så finns det en enkel metod att<br />
avgöra om grafen har en maximi- eller<br />
minimipunkt. Inga beräkningar behövs <strong>och</strong><br />
grafen behöver ej ritas.”<br />
Förklara denna metod.<br />
1330 Bestäm kurvans eventuella nollställen samt<br />
max- eller minpunkt. Kontrollera grafiskt.<br />
a) y = x 2 + 4 x + 3<br />
b) y = 2 x 2 – 4 x – 10<br />
c) y = – x 2 + 8 x + 9<br />
d) y = – 2 x 2 – 6 x – 6<br />
1331 En andragradsfunktion har ett nollställe<br />
x = 2 <strong>och</strong> symmetrilinjen x = –1.<br />
Bestäm det andra nollstället.<br />
1332 Beräkna var kurvan skär x-axeln <strong>och</strong><br />
y-axeln. Kontrollera grafiskt.<br />
a) f ( x ) = –3 x 2 – 3x + 6<br />
b) f ( x ) = x 2 + 4<br />
c) y = 10 x – x 2<br />
d) y = ( x – 4)( x + 1)<br />
1333 Ge ett exempel på en andragradsfunktion<br />
som har nollställena<br />
a) –1 <strong>och</strong> 3<br />
b) 0 <strong>och</strong> –10<br />
48 1.3 Funktioner<br />
Bla 3c.indb 48 2012-07-10 09.35
1334 Figuren visar grafen till andragradsfunktionen<br />
y = f( x).<br />
1<br />
y<br />
1<br />
x<br />
a) Bestäm f (0).<br />
b) Lös olikheten f( x) > 0.<br />
c) f( x) = – ( x – a )( x – b )<br />
Bestäm a <strong>och</strong> b <strong>och</strong> skriv f( x) i<br />
utvecklad form.<br />
d) Ge ett exempel på ekvationen för en rät<br />
linje som aldrig skär f( x).<br />
1335 Hur ska vi välja a så att kurvan<br />
y = x 2 – 8 x – a inte skär x-axeln?<br />
1336 En rät linje skär f( x) = x 2 – 4 där<br />
x = –1 <strong>och</strong> x = 3.<br />
Ange den räta linjens ekvation.<br />
1337 Funktionen y = (x – 2) 2 + 4 är given.<br />
a) För vilket värde på x har y sitt minsta<br />
värde?<br />
b) Vad är funktionens minsta värde?<br />
1341 En fotboll sparkas rakt upp i luften. En<br />
modell för bollens höjd över marken s ( t )<br />
meter efter t sekunder är<br />
s ( t ) = 0,75 + 18 t – 4,9 t 2<br />
a) Beräkna <strong>och</strong> tolka s(2,5).<br />
b) Vilken är bollens högsta höjd?<br />
1342 Skriv andragradsfunktionerna dels i<br />
faktorform <strong>och</strong> dels i utvecklad form.<br />
a)<br />
y<br />
–2<br />
b) y<br />
1<br />
4<br />
x<br />
1338 Skriv två olika funktioner som båda har<br />
nollställena –10 <strong>och</strong> 20.<br />
–2<br />
6<br />
x<br />
1339 En andragradsfunktion har en graf med<br />
nollställena x = 1 <strong>och</strong> x = 8.<br />
Grafen skär y-axeln där y = 4.<br />
Skriv funktionen i faktorform.<br />
1340 Stoppsträckan hos en bil kan beskrivas<br />
med funktionen s( v ) = a v 2 + b v där s är<br />
stoppsträckan i m vid hastigheten v m/s.<br />
Bestäm konstanterna a <strong>och</strong> b om vi vet<br />
att s(100 ) = 90 <strong>och</strong> s(120 ) = 122,4.<br />
–18<br />
1343 Ange andragradsfunktionen som har<br />
ett (av två) nollställen x = 1 <strong>och</strong> en<br />
minimipunkt (–1, –8).<br />
1344 En andragradsfunktion y = ax 2 + b x + c<br />
har endast ett nollställe.<br />
Ange ett samband mellan a, b <strong>och</strong> c.<br />
1.3 fUnktioner 49<br />
Bla 3c.indb 49 2012-07-10 09.35
Exponentialfunktioner <strong>och</strong> potensfunktioner<br />
Vi repeterar från kurs 2c.<br />
Funktioner av typen<br />
y = 2 x 3 <strong>och</strong> f( x) = 500 ∙ x –0,5<br />
är exempel på potensfunktioner.<br />
Potensfunktion<br />
f (x ) = C ∙ x a , där C <strong>och</strong> a är konstanter, kallas en potensfunktion.<br />
I matematiska tillämpningar där det förekommer någon form av<br />
proportionalitet mellan två variabler kan en potensfunktion användas som<br />
modell.<br />
potensekvation<br />
Ekvationen 100x 6 = 200 är ett exempel på en potensekvation.<br />
Ekvationen kan skrivas x 6 = 2<br />
1<br />
6<br />
Den positiva roten är x = 2 ≈ 1,122<br />
Funktioner av typen<br />
y = 5 ∙ 1,5 x <strong>och</strong> f( x) = 20 000 ∙ 0,85 x<br />
är exempel på exponentialfunktioner.<br />
Exponentialfunktion<br />
f ( x ) = C ∙a x , där C <strong>och</strong> a är konstanter ( a > 0, a ≠ 1), kallas en<br />
exponentialfunktion.<br />
I många matematiska tillämpningar har vi en procentuell förändring<br />
som är konstant. Detta betyder att förändringsfaktorn är konstant <strong>och</strong> en<br />
exponentialfunktion kan användas som modell.<br />
exponentialekvation<br />
Ekvationen 3 x = 5 är ett exempel på en exponentialekvation.<br />
Logaritmering av båda leden ger x ∙ lg 3 = lg 5<br />
Lösningen är x = lg 5<br />
lg 3 ≈ 1,465<br />
50 1.3 Funktioner<br />
Bla 3c.indb 50 2012-07-10 09.35
1345<br />
Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr<br />
under en femårsperiod.<br />
Beräkna den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen.<br />
Antag att den årliga förändringsfaktorn är x.<br />
Vi får ekvationen<br />
2,4 ∙ x 5 = 3,2<br />
x 5 = 3,2<br />
2,4<br />
x = ⎛ ⎝ 3,2<br />
1<br />
⎞ 5<br />
2,4⎠<br />
≈ 1,0592<br />
Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.<br />
1346<br />
Kevin arbetar med radioaktiva preparat på ett laboratorium.<br />
En radioaktiv isotop som han arbetar med avtar exponentiellt<br />
enligt funktionen<br />
f( t ) = 72,5 ∙ 0,867 t<br />
där t är antal år efter 2010 <strong>och</strong> f ( t ) är mängden i mg.<br />
a) Tolka talen 72,5 <strong>och</strong> 0,867 i formeln.<br />
b) Beräkna <strong>och</strong> tolka f (10).<br />
c) När återstår 5,00 mg av den radioaktiva isotopen?<br />
a) 72,5 betyder att mängden var 72,5 mg år 2010.<br />
Förändringsfaktorn 0,867 betyder att mängden minskar med<br />
13,3 % per år.<br />
b) f (10) = 72,5 ∙ 0,867 10 ≈ 17,4<br />
År 2020 återstår 17,4 mg av den radioaktiva isotopen.<br />
c) Vi löser ekvationen<br />
72,5 ∙ 0,867 t = 5<br />
0,867 t 5<br />
=<br />
72,5<br />
t · lg 0,867 = lg ⎛ 5 ⎞<br />
⎝ 72,5⎠<br />
lg ⎛ 5 ⎞<br />
⎝ 72,5⎠<br />
t =<br />
lg 0,867 ≈ 18,7<br />
Ca 18,7 år efter 2010 återstår 5,00 mg.<br />
1.3 Funktioner 51<br />
Bla 3c.indb 51 2012-07-10 09.35
1347 Beräkna f (5). Svara med tre gällande<br />
siffror.<br />
a) f( x) = 400 ∙ x 1,5 b) f( x) = 400 ∙ 1,5 x<br />
1348 Lös ekvationen. Svara med tre gällande<br />
siffror.<br />
a) x 3 = 8 c) 3 x = 8<br />
b) 2x 5 = 24 d) 2 ∙ 5 x = 24<br />
1349 Vinsten i ett företag är 80 miljoner kr.<br />
Ställ upp en funktion som anger vinsten<br />
y kr efter x år om vinsten förväntas<br />
a) öka med 5 % varje år<br />
b) minska med 5 % varje år.<br />
1350 En dag analyserade Mikael bakteriehalten<br />
i ett vattenprov. Antalet bakterier<br />
f( x) = 200 000 ∙ 1,04 x , där x är antalet<br />
timmar efter kl. 09.00.<br />
a) Beräkna antalet bakterier kl 12.30.<br />
b) När är antalet bakterier 500 000?<br />
1351 Under en 20-årsperiod har Emmas årslön<br />
trefaldigats.<br />
Beräkna den årliga procentuella ökningen<br />
om vi förutsätter att den varit lika stor<br />
varje år.<br />
1352 Karl köpte aktier. När han tre år senare<br />
skulle sälja aktierna hade värdet halverats.<br />
Vilken årlig procentuell minskning motsvarade<br />
detta?<br />
1353 Lufttrycket y millibar avtar med höjden<br />
x km över havet enligt funktionen<br />
y = 1 013 ∙ 0,887 x<br />
a) Hur stort är lufttrycket vid havsnivån?<br />
b) Med hur många procent minskar trycket<br />
då höjden ökar med 1 km?<br />
c) Beräkna lufttrycket på höjden 8 800 m.<br />
d) På vilken höjd är lufttrycket<br />
500 millibar?<br />
1354 A y = 2 √ x<br />
B y = 3 x 2<br />
C y = x 2 + x<br />
D y = 2 x<br />
Vilken eller vilka av funktionerna ovan är en<br />
a) andragradsfunktion<br />
b) potensfunktion<br />
c) exponentialfunktion?<br />
1355 Figuren visar grafen till en exponentialfunktion.<br />
Bestäm funktionen.<br />
1<br />
y<br />
1<br />
1356 Halten av en luftförorening y gram per m 3<br />
i ett rum avtar med tiden t timmar enligt<br />
funktionen y = 40 ∙ 0,92 t<br />
Med hur många procent minskar halten<br />
per dygn?<br />
1357 För en exponentiell modell y = f ( x ) = C a x<br />
gäller att f (0) = 2 <strong>och</strong> f (1) = 3.<br />
Bestäm f (2).<br />
1358 I tiokamp för herrar beräknas poängen P( t )<br />
för löpning 1 500 m med potens funktionen<br />
P( t ) = 0,037 68 (480 – t ) 1,85<br />
där t är tiden i sekunder.<br />
a) Vilken poäng ger tiden 4.10,0?<br />
b) Vilken poäng ger tiden 4.20,0?<br />
c) Vilken tid ger 1 000 poäng?<br />
x<br />
52 1.3 Funktioner<br />
Bla 3c.indb 52 2012-07-10 09.35
1359 En dator kan sortera N namn på T µs,<br />
där T = 1,18 ∙ N 1,18 .<br />
Hur många namn sorteras på 1 min?<br />
1360 Från år 1995 till 2005 minskade en koloni<br />
av måsar från 10 000 till 6 000.<br />
Hur många måsar kan vi förvänta oss 2015,<br />
om minsk ningen i procent är densamma<br />
varje år?<br />
1361<br />
y<br />
Exponentialfunktion<br />
1363 En patient får en injektion på 5,0 mg av<br />
ett läkemedel. Man vet att denna mängd<br />
avtar exponentiellt med tiden <strong>och</strong> att halva<br />
mängden återstår efter 24 h.<br />
När återstår 1,5 mg?<br />
1364 Då kärnkraftverket i Tjernobyl havererade<br />
i april 1986 spreds stora mängder<br />
radioaktivt material, bl a jod-131 med en<br />
halveringstid på 8,0 dygn <strong>och</strong> cesium-137<br />
med en halveringstid på 30,2 år.<br />
Hur länge dröjer det innan aktiviteten<br />
reducerats till 1 % av det ursprungliga<br />
värdet för<br />
a) jod-131 b) cesium-137?<br />
100<br />
1<br />
Figuren visar grafen till y = f ( x ).<br />
Beräkna f ( –2 ).<br />
x<br />
1365<br />
y<br />
Potensfunktion<br />
y = C · x a<br />
1362 Flora <strong>och</strong> fauna på isolerade öar har stort<br />
intresse inom ekologin. För både växter<br />
<strong>och</strong> djur har forskarna funnit att antalet<br />
arter y på öar med olika area x km 2 kan<br />
beskrivas med potensfunktionen y = c ∙ x a<br />
där c <strong>och</strong> a är konstanter som beror av den<br />
aktuella organismen <strong>och</strong> ögruppen. För<br />
fågelarter inom Bismarcksarkipelagen har<br />
undersökningar visat att c = 18,9 <strong>och</strong><br />
a = 0,18.<br />
Hur stor måste en ö vara för att man<br />
rim ligen ska finna fler än 100 fågelarter?<br />
10<br />
1<br />
Bestäm C <strong>och</strong> a.<br />
1366 Lös ekvationen<br />
a) 2 x + 1<br />
2 x – 1 = – 6 b) x lg x x<br />
=<br />
3<br />
100<br />
x<br />
1.3 fUnktioner 53<br />
Bla 3c.indb 53 2012-07-10 09.35
Aktivitet<br />
✽ Laborera<br />
Pendeln<br />
Materiel: En pendel (t ex vikt upphängd i 2 m<br />
långt snöre), stativ eller annan fästanordning,<br />
tid tagarur <strong>och</strong> tumstock eller måttband (2 m).<br />
1 Svängningstiden (fram <strong>och</strong> tillbaka) för en<br />
pendel beror av pendelns längd.<br />
Du ska variera <strong>och</strong> mäta längden på pendeln,<br />
mäta svängningstiden <strong>och</strong> redovisa resultatet<br />
i en tabell.<br />
Tips:<br />
• Mät längden till kulans/viktens tyngdpunkt.<br />
• Låt pendeln göra ganska små svängningar.<br />
• Mät tiden för 10 svängningar.<br />
2 Använd räknare/dator med ett kurvanpassningsprogram<br />
<strong>och</strong> anpassa en<br />
potensfunktion av typen y = C ∙ a x<br />
till dina mätvärden.<br />
Låt y vara svängningstiden i sekunder<br />
<strong>och</strong> x pendelns längd i meter.<br />
3 Välj en pendellängd <strong>och</strong> beräkna svängningstiden<br />
med hjälp av din funktion.<br />
Kontrollera sedan experimentellt.<br />
Stämmer det?<br />
4 Bygg en ”klocka”!<br />
Hur lång är den pendel som har en svängningstid<br />
på exakt en sekund?<br />
Gör först en beräkning med hjälp av din<br />
funktion. Kontrollera sedan experimentellt.<br />
Stämmer det?<br />
5 Det finns en teoretisk formel för en plan,<br />
”matematisk” pendel.<br />
Ta reda på denna formel <strong>och</strong> jämför med<br />
din potensfunktion.<br />
Kommentera likheter <strong>och</strong> skillnader.<br />
54 1.3 Funktioner<br />
Bla 3c.indb 54 2012-07-10 09.35
Aktivitet<br />
✽ Diskutera<br />
Sant eller falskt?<br />
Diskutera i par eller grupp. Arbeta utan räknare.<br />
Sant eller falskt? Motivera svaret!<br />
1 4 x 2 – 4 kan skrivas som 4( x – 1)(x + 1)<br />
2 Summan av två andragradspolynom kan vara<br />
ett fjärdegradspolynom.<br />
3 x = 3 är en lösning till ekvationen<br />
2<br />
x + 1 + 1<br />
x – 1 = 1<br />
4 Polynomet p( x ) = (2x – 5)( x + 7)<br />
har nollställena 5 <strong>och</strong> 7.<br />
5 Uttrycket 3 x – 12 är ej definierat då<br />
2 x – 10<br />
x = 10.<br />
6 Summan 2 –1 + 2 –1 är dubbelt så stor som<br />
produkten 2 –1 · 2 –1 .<br />
7 y = ( x – 3)( x + 2) är den enda andragradsfunktion<br />
som har nollställena 3 <strong>och</strong> – 2.<br />
8 √ 98 kan skrivas 7 √ 2<br />
9 Om f ( x ) = x – 1 <strong>och</strong> g ( x ) = x 2 så saknar<br />
ekvationen f ( x ) = g ( x ) reella lösningar.<br />
10 Uttrycket 4 x 2 – 100<br />
x – 5<br />
är skrivet i enklaste form.<br />
11 Funktionen y = x √ x är ett exempel på en<br />
potensfunktion.<br />
12 3 x 3 · 3 x 3 · 3 x 3<br />
3 x 3 + 3 x 3 + 3 x 3 kan förenklas till 3 x 3 .<br />
1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller 55<br />
Bla 3c.indb 55 2012-07-10 09.35
Sammanfattning 1<br />
Algebra <strong>och</strong> polynom<br />
Polynom <strong>och</strong> räkneregler<br />
Ett polynom är en summa av termer där<br />
variabeltermernas exponenter är naturliga tal.<br />
Exempel:<br />
2x 3 – x 2 + 10 är ett tredjegradspolynom med<br />
tre termer.<br />
Konjugatregeln <strong>och</strong> kvadreringsreglerna:<br />
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2<br />
(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2<br />
(a – b ) 2 = a 2 – 2 a b + b 2<br />
Potenser<br />
a x a y = a x + y<br />
a x b x = (a b) x<br />
a x<br />
a = a x – y<br />
y<br />
a x<br />
b = ⎛ x ⎝ a x<br />
⎞<br />
b⎠<br />
(a x ) y = a x y<br />
a 0 = 1 a –x = 1 1<br />
a a n n<br />
= √ a<br />
x<br />
Exempel:<br />
(2 x ) 3 · 2 x –1 = 2 3 · x 3 · 2 · x –1 = 16 x 2<br />
Kvadratrötter <strong>och</strong> absolutbelopp<br />
(√ a ) 2 = √ a · √ a = a a ≥ 0<br />
√ a · √ b = √ ab a ≥ 0 b ≥ 0<br />
√ a<br />
√ b √ = a b<br />
a ≥ 0 b > 0<br />
Exempel:<br />
√18 = √ 9 · √ 2 = 3 · √ 2<br />
Absolutbeloppet av x, skrivs |x| <strong>och</strong> definieras som<br />
talets avstånd till origo.<br />
⎧ x om x ≥ 0<br />
|x| = ⎨<br />
⎩ –x om x < 0<br />
Ekvationer<br />
Ekvationen x 2 + p x + q = 0 har lösningarna<br />
x = – p 2 √ ± ⎛ p 2<br />
⎞<br />
⎝ 2⎠<br />
– q<br />
Ekvationer som kan skrivas så att det ena ledet är<br />
faktoriserat <strong>och</strong> det andra ledet är noll kan lösas<br />
med nollproduktmetoden.<br />
Exempel:<br />
4x(3x – 15)(2x + 6) = 0<br />
1 x = 0<br />
2 (3 x – 15) = 0 vilket ger x = 5<br />
3 (2 x + 6) = 0 vilket ger x = – 3<br />
x 1 = 0 x 2 = 5 x 3 = – 3<br />
Ekvationer där den obekanta förekommer under<br />
ett rottecken kallas rotekvationer. Rotekvationer<br />
kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket dock<br />
kan ge falska rötter som måste prövas i den<br />
ursprungliga ekvationen.<br />
Polynom i faktorform<br />
Ett nollställe till ett polynom p ( x ) är ett tal a<br />
sådant att p ( a ) = 0.<br />
Ett andragradspolynom p ( x ) med nollställena<br />
a <strong>och</strong> b skrivs i faktorform<br />
p ( x ) = k ( x – a )( x – b )<br />
där k är en konstant.<br />
Rationella uttryck<br />
Vad menas med ett rationellt uttryck?<br />
Ett rationellt uttryck definieras som en kvot<br />
av två polynom p(x)<br />
q(x)<br />
Ett rationellt uttryck är inte definierat då<br />
nämnaren är lika med noll.<br />
56 1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller<br />
Bla 3c.indb 56 2012-07-10 09.35
Förlängning <strong>och</strong> förkortning<br />
Ett rationellt uttryck som inte kan förkortas är<br />
skrivet i enklaste form.<br />
Exempel:<br />
5 a 2<br />
15 a = 5 a · a<br />
3 · 5 · a = a 3<br />
2 x + 8<br />
x 2 – 16 = 2 ( x + 4)<br />
( x + 4)( x – 4) = 2<br />
x – 4<br />
Addition <strong>och</strong> subtraktion<br />
Förläng till MGN vid förenkling.<br />
Exempel:<br />
1<br />
2 a – 1<br />
3 a = 3<br />
6 a – 2<br />
6 a = 3 – 2<br />
6 a = 1<br />
6 a<br />
MGN = 6a<br />
Enklaste form<br />
Multiplicera båda leden med MGN vid<br />
ekvationslösning.<br />
Exempel:<br />
Lös ekvationen<br />
3<br />
2 a – 2<br />
3 a = a<br />
6 a · 3<br />
2 a<br />
9 – 4 = 6 a 2<br />
a 2 = 5/6<br />
a = ± √ 5 / 6<br />
– 6 a · 2<br />
3 a = 6 a · a<br />
Multiplikation <strong>och</strong> division<br />
Exempel:<br />
a + 1<br />
2 a / a2 – 1<br />
= a + 1<br />
2 2 a · 2<br />
a 2 – 1 =<br />
(a + 1) · 2<br />
=<br />
2 a (a + 1) (a – 1) = 1<br />
a (a – 1)<br />
Funktioner<br />
Inledning<br />
En funktion är en regel som till varje tillåtet<br />
x-värde ger exakt ett y-värde.<br />
Definitionsmängden är de tillåtna x-värdena.<br />
Värdemängden är de erhållna y-värdena.<br />
Alla polynomfunktioner är kontinuerliga. Grafen<br />
till en sådan funktion kan ritas ”utan att lyfta<br />
pennan.”<br />
En funktion vars definitionsmängd är heltalen<br />
(eller en delmängd av heltalen) kan kallas en<br />
diskret funktion.<br />
Räta linjens ekvation<br />
k-form<br />
y = kx + m<br />
enpunktsform y – y 1 = k( x – x 1 )<br />
allmän form a x + b y + c = 0<br />
Andragradsfunktioner<br />
En andragradsfunktion kan skrivas<br />
y = a x 2 + b x + c, där a ≠ 0<br />
Grafen<br />
• har en maximipunkt om a < 0<br />
• har en minimipunkt om a > 0<br />
• skär y-axeln i (0, c)<br />
• är symmetrisk kring symmetrilinjen<br />
• har nollställen om ekvationen y = 0<br />
har reella lösningar.<br />
Potensfunktioner<br />
y = C ∙ x a (C <strong>och</strong> a är konstanter)<br />
Exempel:<br />
Potensekvationen<br />
x 12 = 3, x > 0<br />
har den positiva roten x = 3 1/12 ≈ 1,096<br />
Exponentialfunktioner<br />
y = C ∙ a x (C <strong>och</strong> a är konstanter, a > 0, a ≠ 1)<br />
Exempel:<br />
Lösning av exponentialekvation.<br />
8 · 3 x = 15<br />
3 x = 15/8<br />
lg 3 x = lg (15/8)<br />
x · lg 3 = lg (15/8)<br />
lg (15/8)<br />
x = ≈ 0,572<br />
lg 3<br />
1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller 57<br />
Bla 3c.indb 57 2012-07-10 09.36
Kan du det här? 1<br />
Moment<br />
Begrepp som du ska kunna<br />
använda <strong>och</strong> beskriva<br />
Du ska ha strategier för att kunna<br />
Algebra <strong>och</strong><br />
polynom<br />
Polynom, term <strong>och</strong> gradtal<br />
Potens, bas <strong>och</strong> exponent<br />
Kvadratrot <strong>och</strong> absolutbelopp<br />
Andragradsekvation<br />
Lösningsformeln<br />
Nollproduktmetoden<br />
Nollställe, faktorform<br />
• addera, subtrahera, multiplicera<br />
<strong>och</strong> faktorisera polynom<br />
• använda potenslagarna med reella<br />
exponenter<br />
• använda lagarna för kvadratrötter<br />
• lösa andragradsekvationer med olika<br />
metoder<br />
• lösa ekvationer med hjälp av<br />
faktorisering, kvadrering <strong>och</strong><br />
substitution.<br />
Rationella<br />
uttryck<br />
Rationellt uttryck<br />
Förlängning <strong>och</strong> förkortning<br />
Enklaste form<br />
MGN<br />
Falsk rot<br />
• beräkna värdet på ett rationellt uttryck<br />
<strong>och</strong> bestämma de variabelvärden för<br />
vilka uttrycket inte är definierat<br />
• förlänga <strong>och</strong> förkorta rationella uttryck<br />
• addera, subtrahera, multiplicera <strong>och</strong><br />
dividera rationella uttryck<br />
• lösa ekvationer som innehåller<br />
rationella uttryck.<br />
Funktioner<br />
Funktion<br />
Definitions- <strong>och</strong> värdemängd<br />
Kontinuerlig funktion<br />
Diskret funktion<br />
Räta linjens ekvation<br />
Andragradsfunktion<br />
Potensfunktion<br />
Potensekvation<br />
Exponentialfunktion<br />
Exponentialekvation<br />
• avgöra om en formel, graf <strong>och</strong><br />
värdetabell beskriver en funktion<br />
• avgöra om en funktion är kontinuerlig<br />
• använda k-form, enpunktsform <strong>och</strong><br />
allmän form för räta linjen<br />
• bestämma symmetrilinje, nollställen<br />
<strong>och</strong> största/minsta värde för<br />
andragradsfunktioner<br />
• lösa potens- <strong>och</strong> exponentialekvationer<br />
• använda linjära-, andragrads-, potens<strong>och</strong><br />
exponentialfunktioner i olika<br />
tillämpningar.<br />
58 1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller<br />
Bla 3c.indb 58 2012-07-10 09.36
Diagnos 1<br />
Algebra <strong>och</strong> polynom<br />
1 Utveckla <strong>och</strong> förenkla<br />
a) (2a + 3b)(2a – 3b) – 2a(2a – 3b)<br />
b) 3(x + h) 2 – 3x 2<br />
2 Förenkla<br />
a) a –2 · a –4 + ( 2 a –3 ) 2<br />
b) ( x – √ 3 ) (x + √ 3 )<br />
3 Beräkna utan räknare<br />
a) 4 1 + 4 0,5 b) √ 25 + √ 2 · √ 18<br />
4 Lös ekvationen<br />
a) 3 x (2 x + 6)( x – 1) = 0<br />
b) 9 x 3 – 6 x 2 + x = 0<br />
5 Skriv polynomet i faktorform<br />
a) p(x) = x 2 – 16 x + 60<br />
b) p(x) = –10 x 2 + 50x – 60<br />
Rationella uttryck<br />
x + 1<br />
6 G( x ) =<br />
x ( x + 2)<br />
a) Beräkna G (–3)<br />
b) För vilket eller vilka värden på x är G (x)<br />
inte definierat?<br />
8 Lös ekvationen<br />
a) x 2 – x 8 = 24 c) x 2<br />
x – 1 + 2 = 1<br />
x – 1<br />
b) x – 1<br />
2 + x – 2<br />
3 = 3 d) x 2<br />
x + 4 – 16<br />
x + 4 = 4<br />
9 Förenkla<br />
a) a b<br />
2 · 6 b<br />
a<br />
b) a b<br />
2 / 6 b<br />
a<br />
c) 2 a / 2 – 4 a<br />
a 2<br />
d) a 2 – 1<br />
3<br />
6<br />
·<br />
4 a + 4<br />
Funktioner<br />
10 Bestäm ekvationen för den linje som<br />
a) har k = 4 <strong>och</strong> går genom punkten (1, 8)<br />
b) går genom punkterna (2, 6) <strong>och</strong> (3, 4)<br />
c) är parallell med y = 3 x + 7 <strong>och</strong> går<br />
genom (2, 4).<br />
11 Rita andragradskurvan (parabeln)<br />
y = 2 x 2 – 8 x – 24<br />
a) Ange symmetrilinjens ekvation.<br />
b) Har kurvan en maximi- eller minimipunkt?<br />
c) Ange extrempunktens koordinater.<br />
d) Var skär grafen x-axeln?<br />
e) Var skär grafen y-axeln?<br />
7 Förenkla<br />
a) 14 x – 7<br />
2 x – 1<br />
b) 2 x 2 – 18<br />
x + 3<br />
c) x 2 + x 3 – x<br />
12<br />
d) x – 1<br />
1 – x + 1 + y<br />
y + 1<br />
12 Lös ekvationen. Svara dels exakt, dels med ett<br />
närmevärde med tre decimaler.<br />
a) 2 · x 5 = 12 b) 2 · 5 x = 12<br />
13 Ge ett exempel på en potensfunktion <strong>och</strong><br />
på en exponentialfunktion för vilken gäller<br />
att f( 1 ) = 3.<br />
Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sidan 246.<br />
1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller 59<br />
Bla 3c.indb 59 2012-07-10 09.36
Blandade övningar kapitel 1<br />
Del I<br />
Utan räknare<br />
1 Förenkla så långt som möjligt<br />
( 3 x + 2 ) 2 – (2 x – 3) 2<br />
2 Bryt ut <strong>och</strong> förenkla 10 – 2 x<br />
5 – x<br />
3 Uppgiften är att skriva om uttrycket 64 + x<br />
4<br />
Wilma får 16 + x<br />
Joel får 16 + x 4<br />
Förklara hur de gjort <strong>och</strong> vem som har rätt.<br />
1 1<br />
2 2<br />
4 Beräkna 4 + 5 · 5<br />
5 För vilka x-värden är<br />
inte definierad?<br />
1<br />
2<br />
x – 2<br />
2 x 2 – 8 x<br />
6 Använd konjugatregeln <strong>och</strong> förenkla<br />
s + 4<br />
s 2 – 16<br />
11 För vilket värde på talet a har ekvationen<br />
x 2 – 10 x + a = 0<br />
rötterna x = 3 <strong>och</strong> x = 7 ?<br />
12 Förenkla<br />
(2 a –2 ) 3<br />
2 a 2 + 2 a 2<br />
13 Lös ekvationen 5 x 4 – 8 x – 3 x 4 + 6 x = 0<br />
14 En rät linje skär grafen till andragradsfunktionen<br />
y = 4 x – x 2 – 3 där<br />
x = 1 <strong>och</strong> x = 4. Bestäm linjens ekvation.<br />
15 Jossan uppskattar att kostnaderna för<br />
hennes bil varje år uppgår till<br />
30 000 kr + 15 kr/mil.<br />
Anta att Jossan kör x mil under ett år.<br />
a) Ställ upp ett uttryck som ger Jossans<br />
genomsnittliga bilkostnad per mil.<br />
b) Jossan beräknar kostnaden till<br />
40 kr/mil. Hur många mil kör hon då<br />
på ett år?<br />
7 Utveckla eller förenkla<br />
a) ( x + a ) 2 – ( x – a) 2 b) x (x + 2) 2 – x 3<br />
8 Lös ekvationen exakt.<br />
a) ( x – 1) ( x + 1) = 0 c) 2 x + 4 = 6 x<br />
b) 5 · 10 x = 10 d) 2 x 5 = 6<br />
9 Förklara, med vardagligt språk, vad som menas<br />
med att en funktion är kontinuerlig.<br />
10 Förenkla<br />
5<br />
a)<br />
x + 2 – 3 – x<br />
x + 2<br />
b)<br />
2<br />
x – 2 – 5<br />
2 – x<br />
60 2 1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller<br />
Bla 3c.indb 60 2012-07-10 09.36
16 För en andragradsfunktion<br />
f( x) = a x 2 + b x<br />
gäller att f ( –1 ) = –2 <strong>och</strong> f (1) = 6.<br />
Bestäm konstanterna a <strong>och</strong> b.<br />
17 Lös ekvationen x 3 – x (6 x – 5) = 0<br />
18 a = √ 3 · √ 15<br />
I vilket av följande intervall ligger talet a ?<br />
A 3 ≤ a < 4 D 6 ≤ a < 7<br />
B 4 ≤ a < 5 E 7 ≤ a < 8<br />
C 5 ≤ a < 6<br />
Motivera ditt svar.<br />
5<br />
19 a) Lös ekvationen<br />
4 x + 1 x – x = 0<br />
5<br />
b) Förenkla<br />
4 x + 1 x – x<br />
20 Ge ett exempel på ett rationellt uttryck<br />
som inte är definierat för x = 1 <strong>och</strong><br />
som har värdet 1 då x = –2.<br />
21 Andragradsfunktionen f har den graf som visas<br />
i figuren.<br />
4<br />
y<br />
22 Beräkna uttryckets värde då x = 3 995<br />
a) x 2 + 10x + 25<br />
b) 2 x 3 – 50 x<br />
2 x 2 – 10 x<br />
23 a) Lös ekvationen x + 1<br />
x<br />
b) Förenkla uttrycket x + 1<br />
x<br />
24 Låt f (x) = 5x 2 <strong>och</strong> förenkla<br />
f (2 + h ) – f (2)<br />
a)<br />
h<br />
b) f ( x + h ) – f ( x )<br />
h<br />
25 a) Lös ekvationen |x – 5| = 7<br />
b) Lös ekvationen |x + 5| = 7<br />
c) Skriv intervallet –5 < x < 7<br />
med hjälp av absolutbelopp.<br />
26 Beräkna 1 x + 1 y<br />
27 Lös ekvationen<br />
a) 9 · 3 2x + 1 = 1<br />
b) x 2/3 – 5 x 1/3 + 6 = 0<br />
–<br />
x<br />
x + 1 = 3 2<br />
–<br />
x<br />
x + 1<br />
om x + y = 4 <strong>och</strong> x y = 1<br />
1 5<br />
x<br />
28 Figuren visar grafen till tredjegradsfunktionen<br />
y = a x 3 + b x 2 + c x + d<br />
a) Vilken lösning har ekvationen f( x) = 0?<br />
b) Ekvationen f( x) = a har endast en lösning.<br />
Vilket tal är a ?<br />
c) Är det sant att f(11) = 6 ∙ f(0)?<br />
Motivera ditt svar.<br />
y<br />
24<br />
x<br />
2 3 8<br />
Bestäm konstanterna a, b, c <strong>och</strong> d.<br />
1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller 61<br />
Bla 3c.indb 61 2012-07-10 09.36
Del II<br />
Med räknare<br />
29 För det rationella uttrycket K ( x ) gäller att<br />
K( x) =<br />
x 2<br />
5 x + 30<br />
Beräkna K(18) – K (14).<br />
30 Lös ekvationen.<br />
Avrunda svaret till tre gällande siffror.<br />
a) 3 x + 2<br />
100 = 5<br />
b) 3 x 2<br />
100 = 5 x > 0<br />
c) 2 x 3<br />
100 = 5<br />
d) 3 · 2 x<br />
100 = 5<br />
31 I ett avtal från 1997, det så kallade Kyotoprotokollet,<br />
förband sig industriländerna att<br />
minska sina koldioxidutsläpp med 5,2 % av<br />
1990 års utsläppsmängd före 2012.<br />
Vilken årlig procentuell minskning motsvarar<br />
5,2 % från <strong>och</strong> med 1991 till <strong>och</strong> med 2011?<br />
32 Med en lins kan ett föremål avbildas.<br />
Sambandet mellan föremålets avstånd a till<br />
linsen, bildens avstånd b till linsen <strong>och</strong> linsens<br />
brännvidd f kallas linsformeln:<br />
1<br />
a + 1 b = 1 f<br />
a) Ett föremål placeras 600 mm framför en<br />
kameralins med brännvidden 50 mm.<br />
Beräkna bildavståndet.<br />
b) Visa att det vänsta ledet i formeln kan<br />
skrivas a + b<br />
ab<br />
33 Andragradspolynomet 6 x 2 + x – 1 kan<br />
i faktorform skrivas ( ax + b ) ( c x + d ).<br />
Bestäm heltalen a, b, c <strong>och</strong> d<br />
om a < c <strong>och</strong> b > d.<br />
34 Figuren visar grafen till y = x 3 – x 2 – 4x + 4<br />
a) Lös med hjälp av grafen ekvationen<br />
x 3 – x 2 – 4x + 4 = 0<br />
5<br />
y<br />
x<br />
–2 1 2<br />
b) Faktorisera polynomet x 3 – x 2 – 4 x + 4.<br />
35 Svängningstiden T sekunder för små<br />
svängningar hos en plan matematisk pendel<br />
med längden l meter kan beräknas med<br />
formeln<br />
T = 2 π<br />
√ l g<br />
där g = 9,82<br />
a) Beräkna svängningstiden för en pendel med<br />
längden 1,52 m.<br />
b) Hur lång är en pendel med svängningstiden<br />
0,75 s?<br />
c) Lös ut l ur formeln.<br />
62 1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller<br />
Bla 3c.indb 62 2012-07-10 09.36
36 Jessica löser ekvationen<br />
√ x = x – 2<br />
på följande sätt:<br />
√ x = x – 2<br />
(√ x ) 2 = ( x – 2) 2<br />
x = x 2 – 4 x + 4<br />
x 2 – 5 x + 4 = 0<br />
x = 5 2 √ ± 25<br />
4 – 16<br />
4<br />
x = 5 2 ± 3 2<br />
x 1 = 1 x 2 = 4<br />
För att kontrollera sin lösning ritar Jessica<br />
graferna till y = √ x <strong>och</strong> y = x – 2 på följande<br />
sätt:<br />
2<br />
y<br />
Jessica säger:<br />
Jag förstår inte detta! Enligt graferna är<br />
x = 4 en lösning till ekvationen men x = 1<br />
verkar inte vara en lösning. Har jag löst<br />
ekvationen fel?<br />
Vilken lösning har ekvationen<br />
√ x = x – 2 ?<br />
Förklara för Jessica!<br />
1<br />
37 Låt f ( x ) =<br />
x<br />
2 4<br />
x<br />
<strong>och</strong> förenkla<br />
f ( x + h ) – f ( x )<br />
h<br />
Utredande uppgifter<br />
Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter<br />
följande kriterier:<br />
• vilka matematiska kunskaper du har visat<br />
• hur väl du har förklarat ditt arbete <strong>och</strong> motiverat<br />
dina slutsatser<br />
• hur väl du har redovisat ditt arbete <strong>och</strong><br />
genomfört dina beräkningar.<br />
38 Du ska undersöka differensen av två bråk.<br />
• Beräkna differenserna<br />
2<br />
3 – 1 2<br />
4<br />
5 – 3 4<br />
9<br />
10 – 8 9<br />
• Beräkna ytterligare några differenser av två<br />
bråk som följer mönstret ovan.<br />
• Vad upptäcker du?<br />
• Bevisa din upptäckt med algebra.<br />
39 Du ska undersöka polynomen<br />
a 3 – b 3 <strong>och</strong> (a – b ) (a 2 + a b + b 2 ).<br />
• Beräkna värdet av de två polynomen<br />
då a = 5 <strong>och</strong> b = 5.<br />
• Beräkna värdet av de två polynomen<br />
då a = –5 <strong>och</strong> b = –5.<br />
• Beräkna värdet av de två polynomen<br />
då a = 7 <strong>och</strong> b = 3.<br />
• Välj två olika negativa värden på a <strong>och</strong> b<br />
<strong>och</strong> beräkna polynomens värde.<br />
• Vad upptäcker du?<br />
• Bevisa din upptäckt.<br />
• Lös ekvationen<br />
(x – 2)(x 2 + 2x + 4) = 19<br />
1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller 63<br />
Bla 3c.indb 63 2012-07-10 09.36
SVAR OCH LÖSNINGAR<br />
Svaren står med svart text. Ledtrådar <strong>och</strong> lösningar med blå text.<br />
1<br />
1104 a) 8x – 6<br />
b) 20a – 22<br />
c) 2x 2 + 10x + 12<br />
d) –y 2 + 6 y – 8<br />
1105 a) x 2 – 16<br />
b) 49 – 4a 2<br />
1106 a) a 2 + 10a + 25<br />
b) x 2 – 18x + 81<br />
c) 9x 2 + 24x + 16<br />
d) 25 – 60y + 36y 2<br />
1107 A = 9a – 7b + 2<br />
B = 7a – 5b + 2<br />
Ledtråd:<br />
Summan i diagonalerna skall<br />
vara 5a – 3b + 2<br />
1108 a) T ex p(x) = x 2 – 5x + 1<br />
b) T ex p(x) = 3x 2 + x<br />
1109 N(140) = 200. Om biljetterna<br />
kostar 140 kr kommer 200<br />
personer att se matchen.<br />
1110 a) Uttryckets värde är 0<br />
b) Uttryckets värde är 0.<br />
Kommentar:<br />
Uttrycket kan förenklas till<br />
8 – 2a.<br />
För alla variabelvärden är<br />
värdet på ett uttryck före<br />
<strong>och</strong> efter förenkling<br />
detsamma.<br />
1111 a) –3x 2 + 52 x – 60<br />
b) a 2 – 2ab + b 2<br />
c) x 3 – 6x 2 + 12x – 8<br />
Ledtråd:<br />
(x – 2) 3 = (x – 2)(x – 2) 2 =<br />
(x – 2)(x – 4x + 4)<br />
d) x 3 – 7x – 4<br />
1121 p(x) = 5 + 2x – 3x 2<br />
1112 a) Grad 3<br />
1120 p (x) = x 2 Uttrycket kan skrivas på<br />
Motivering:<br />
Termen där exponenten är 3<br />
ändras inte.<br />
b) Grad 5<br />
Ledtråd:<br />
p(x) = ax 2 + bx + c<br />
Ställ upp <strong>och</strong> lös ett<br />
ekvationssystem.<br />
Motivering:<br />
1124 a) x 5 d) a 8<br />
Exponenten i termen med<br />
b) x<br />
högst exponent ökar från<br />
e) b –8<br />
3 till 5.<br />
c) 4 3x f) b –4<br />
1113 V (x) = –5 000 + 1 120x – 30x 2<br />
Ledtråd:<br />
V (x) = I(x) – K(x)<br />
1125 b) 5 + 5 + 5 + 5 = 4 ∙ 5<br />
d) (4a) 3 = 4 3 a 3 = 64a 3<br />
e) 2 ∙ 2 3 = 2 4<br />
1114 y(2,5) – y(2,0) = 0,127 5<br />
1126 a) 10x<br />
Då avståndet från utkastet,<br />
c) x 5 6<br />
räknat längs golvet, ökar från<br />
b) 4 a<br />
2<br />
d) x m 6<br />
4<br />
2,0 m till 2,5 m ökar bollens<br />
b<br />
höjd över golvet med ca 13 cm. 1127 a) 2 19 Lösning: 2 20<br />
= 2<br />
19<br />
2<br />
1115 a) 2x 2 + 2y 2<br />
b) 2<br />
b) 4x<br />
Lösning: 2 20<br />
2<br />
2 218<br />
c) 2x 3 +2x 2 y + 6xy 2 – 2y 3<br />
1116 a) 8a 3 +60a 2 + 150a +125<br />
b) a 2 – b 2 – 10b – 25<br />
1117 V(q) =75x – 0,3x 2 – 800<br />
1128 a) 4a 2 b 6<br />
Ledtråd:<br />
Uttrycket kan skrivas<br />
3 3<br />
8ab<br />
3<br />
2ab Ledtråd:<br />
b) 12a 9 b –3<br />
Intäkten I(x) = 90x<br />
Ledtråd:<br />
Förenkla I(x) – K(x)<br />
Uttrycket kan skrivas<br />
1118 Kostnadsändring<br />
(0,4x + 50,2) kr<br />
3 −2 2<br />
4ab<br />
9a<br />
−4<br />
3a b<br />
3<br />
1119 Intäkten<br />
c)<br />
x<br />
(60 – x)(3 000 + 100x) kr =<br />
8<br />
= (180 000 + 3 000x – 100x 2 ) kr<br />
d) x n<br />
x = 15 ger maximal intäkt<br />
202 500 kr.<br />
Ledtråd:<br />
1129 a) 9 ∙ 10 –2a<br />
b) 6 ∙ 10 –a<br />
Antal hyresgäster (60 – x) st<br />
c) 4 · 3 2x = 4 · 9 x<br />
som var <strong>och</strong> en betalar<br />
Ledtråd:<br />
(3 000 + 100x) kr.<br />
(3x + 3x) 2 = (2 · 3 x ) 2<br />
0 ≤ x ≤ 60.<br />
Max hittar vi t ex grafiskt.<br />
d) 9 x + 1<br />
Kommentar:<br />
många olika sätt t ex 9 x + 1 ,<br />
9 · 9 x , <strong>och</strong> 3 2x + 2 .<br />
252 svar <strong>och</strong> lösningar<br />
Bla 3c.indb 252 2012-07-10 09.43
4<br />
1130 Vi vet att 3 4<br />
3<br />
= 1.<br />
För att potenslagarna ska gälla<br />
måste 3 4 – 4 = 3 0 = 1.<br />
Vi vet att 3 4<br />
7<br />
3<br />
= 1<br />
3 . 3<br />
För att potenslagarna ska gälla<br />
måste 3 4 – 7 = 3 –3 1<br />
=<br />
3 . 3<br />
1131 a) 5 2x + 2 + 5 –2x<br />
b) a 4x + 2<br />
1132 a) x = 0,5<br />
Ledtråd:<br />
Exponenterna lika ger<br />
5x – 2 = x<br />
b) x = 2/3<br />
c) x = –1,5<br />
Ledtråd:<br />
3 2x = 3 –3<br />
d) x = 2,5<br />
1133 a) x a (x 2 – 3)<br />
b) a 3 (a h – 1)<br />
c) a n (a n + 1)<br />
1134 a) 7 2 · 3x<br />
Lösning:<br />
3+<br />
2x<br />
2x<br />
3 + 3<br />
2 + x x<br />
= 3 2x<br />
3 3<br />
( + 1 )<br />
x 2<br />
3 − 3 3 ( 3 − 1)<br />
= 3 x ⋅ 28 = 3 x ⋅ 7<br />
8 2<br />
b) 16<br />
2 3x<br />
Lösning:<br />
3x<br />
2 + 4<br />
x<br />
− 16<br />
=<br />
2 + − 2<br />
6x<br />
3x<br />
6x<br />
3x<br />
2 − 2 2 − 2<br />
4 3x<br />
2 ( 2 − 1)<br />
4<br />
= 3x<br />
3x<br />
=<br />
2<br />
2 ( 2 − 1)<br />
2<br />
= 16<br />
2 3x<br />
3 4 4<br />
3x =<br />
1135 a) x = 3<br />
b) x = 3<br />
Ledtråd:<br />
Skriv om VL till bas 2.<br />
c) x = 29,5<br />
d) x = –9<br />
Ledtråd:<br />
Skriv om båda leden till bas 3.<br />
1136 a) 3 a c) 3 n + 1<br />
b) x 4m – 2n d) 4<br />
1141 a) 5 c) 4<br />
b) 6 d) 10<br />
1142 a) 10 0,5 c) 10 1,5<br />
b) 10 –0,5 d) 10 –1,5<br />
1143 a) 10 c) 0,1<br />
b) 10 d) 10<br />
1144 a) 7 b) 3<br />
1145 a) 3 c) 2 ∙ 10 4<br />
b) 5 d) 3 ∙ 10 –1 = 0,3<br />
1146 a) x = ± 10<br />
b) x = ± 5<br />
c) x = ± 5<br />
d) x = ± 50 = ±5 2<br />
1147 a) 700 ≈ 26,46<br />
b) 70000 ≈ 264,6<br />
1148 a) 2 ∙ 3 = 4 ∙ 3 =<br />
= 4 · 3 = 12<br />
32 32<br />
b)<br />
32<br />
2<br />
4 = 16<br />
= 16<br />
= 1165 a) x 1 = –4 x 2 = –10<br />
b) x 1 = 0 x 2 = 0,5<br />
eller<br />
c) x 1 = –3 x 2 = 4 x 3 = –0,5<br />
32 16 · 2 16 · 2 4 · 2<br />
= = = 1166 x = 2,5 2 <strong>och</strong> 4,5<br />
4 4<br />
4<br />
4<br />
32 16 · 2 16 · 2 4 · 2<br />
1167 a) a = 5,0<br />
= = = = 2<br />
Accelerationen är 5 m/s<br />
4 4<br />
4<br />
4<br />
2 .<br />
b) t = 4,3<br />
1149 a) 1 b) 2 x<br />
Tiden är 4,3 s.<br />
1150 x = 20 <strong>och</strong> x = –10<br />
1168 a) x 2 – 4 = 0<br />
Ledtråd:<br />
1151 a) x = 0 <strong>och</strong> x = 2<br />
Utveckla (x – 2)(x + 2) = 0<br />
b) x = 2 <strong>och</strong> x = –2<br />
b) x 2 – 8x = 0<br />
1152 5 < x < 9<br />
1153 |x – 10| ≤ 3<br />
1154 a) a 2 b) a 3<br />
Ledtråd:<br />
Använd Pythagoras sats <strong>och</strong><br />
lös ut x.<br />
1155 a) a – b b) h c) 2 ab<br />
1156 a) x = 0,75<br />
Ledtråd:<br />
VL kan skrivas<br />
b) x = 3/8<br />
1161 a) x = 2,5<br />
b) x = ± 5<br />
c) x 1 = 0 x 2 = –5<br />
d) x 1 = 1 x 2 = 3<br />
1162 a) x 1 = 0 x 2 = 4<br />
b) x 1 = 0 x 2 = –5<br />
c) z 1 = 12 z 2 = –4<br />
d) x 1 = 1 x 2 = –9<br />
1163 a) x = ± 3<br />
b) z = 2,5<br />
c) x = 0,5<br />
(<br />
a · a<br />
b · b<br />
1164 a) t 1 = –10 – 83 ,<br />
t 2 = –10 + 83<br />
b) x 1 = –6, x 2 = 2<br />
c) x 1 = –0,5 – 53<br />
4 ,<br />
x 2 = –0,5 + 53<br />
4<br />
c) 6x 2 – 5x + 1 = 0<br />
Ledtråd:<br />
Utveckla 6 (<br />
x – 1 2) ( x – 1 3) = 0<br />
d) x 2 + 4 = 0<br />
1169 a) 79 000 kr<br />
b) 535 detaljer<br />
Ledtråd:<br />
Lös ekvationen K(x) = 0<br />
där x är ett positivt tal.<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,5<br />
(<br />
svar <strong>och</strong> lösningar 253<br />
Bla 3c.indb 253 2012-07-10 09.43
1170 a) x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = –2<br />
b) x 1 = 0, x 2 = 5, x 3 = 3<br />
c) x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = –2<br />
1171 a = – 8 5<br />
1172 5,2 minuter<br />
1173 a) x 1 = –1, x 2 = 8, x 3 = –8<br />
Ledtråd:<br />
Faktorisera VL,<br />
bryt ut (x + 1).<br />
b) x 1 = 3 x 2 = 2 ,<br />
x 3 = – 2<br />
Ledtråd:<br />
Faktorisera VL,<br />
bryt ut (x – 3).<br />
1174 x 1 = 0,5k – 1 x 2 = – 0,5k + 1<br />
1178 a) x 1 = –2 x 2 = 2<br />
b) x 1 = – 3 x 2 = 3<br />
1179 a) x 1 = 3 x 2 = 5<br />
b) x 1 = –1 x 2 = 1<br />
x 3 = –2 x 4 = 2<br />
1180 a) x 2 – x – 2 = 0<br />
b) x 1 = 2 <strong>och</strong> x 2 = –1<br />
c) Nej.<br />
Motivering:<br />
2−1 ≠ −1<br />
x = –1 är en falsk rot.<br />
d) x = 2<br />
1181 a) x ≈ ± 3,04 x ≈ ± 2,18<br />
b) x ≈ ± 2,48<br />
1182 a) x 1 = 16 x 2 = 81<br />
Båda OK vid prövning.<br />
b) x 1 = 16 x 2 = 81<br />
t 1 = 4 <strong>och</strong> t 2 = 9<br />
1183 a) x 1 = –1 x 2 = 8 x 3 = –8<br />
Ledtråd:<br />
Faktorisera VL,<br />
bryt ut (x + 1).<br />
b) x = 6<br />
Ledtråd:<br />
x = 1 är en falsk rot.<br />
1184 a) x 1 = 1 x 2 = 16<br />
b) x 1 = 288 x 2 = 99<br />
c) x 1 = 0 x 2 = –2<br />
x 3 = –1 + 5 x 4 = –1 – 5<br />
1188 a) 5x(1 + 5x 2 )<br />
b) 4(h + 2h 2 + 3)<br />
c) 4h(6 + h)<br />
d) 3hx(2 + h)<br />
1189 a) (x + 7)(x – 7)<br />
b) (x – 3) 2<br />
c) (9x + 4y)(9x – 4y)<br />
d) (4x + 1) 2<br />
1190 a) x 1 = –3 x 2 = 10<br />
b) x 1 = 0 x 2 = 4<br />
1191 f(x) = (x – 5)(x – 7)<br />
1192 a) p(x) = (x – 2)(x – 8)<br />
b) g(x) = (x – 2)(x – 3)<br />
1193 a) h(x) = 4(x – 4)(x – 2)<br />
b) p(z) = –3(z + 1)(z – 2)<br />
c) p(x) = 2(x – 3)(x + 3)<br />
1194 p(x) = 3(x – 1)(x – 7)<br />
Tobbe har fel tecken i<br />
parenteserna.<br />
Carro glömmer faktorn 3.<br />
1195 T ex<br />
p(x) = (x + 10)(x – 20)<br />
q(x) = 2(x + 10)(x – 20)<br />
1196 a) f(t) = –(2t – 1) 2<br />
b) h(x) = 4(x 2 + x + 1)<br />
c) p(x) = –(x + 1)(3x – 1)<br />
1197 Nej.<br />
Motivering:<br />
p( x) = – 0,5(x – 1)(x – 4)<br />
p(6) = – 5<br />
1198 a = –3 b = –13 c = 15<br />
1199 Nollställen: a <strong>och</strong> b.<br />
Tolkning:<br />
Nollställenas summa =<br />
= koefficienten för x men med<br />
omvänt tecken.<br />
Nollställenas produkt = den<br />
konstanta termen.<br />
(Förutsätter p (x) på formen<br />
p(x) = x 2 + px + q.)<br />
1203 a) 6 b) x = 4<br />
1204 a) 2 3<br />
b) x = –2<br />
c) Nej. Motivering:<br />
G(–3) = G(2) = 2/3<br />
1205 Uttrycket är inte definierat för<br />
x = 6 <strong>och</strong> y = -3.<br />
För dessa värden får nämnaren<br />
värdet 0.<br />
1206 a) x = 0 <strong>och</strong> x = –5<br />
b) Uttrycket är definierat för<br />
alla värden på x.<br />
c) x = –2 <strong>och</strong> x = –3<br />
d) x = 0 <strong>och</strong> x = ±5<br />
Ledtråd:<br />
Nämnaren kan skrivas<br />
2x(x 2 – 25)<br />
1207 a) T ex<br />
2x<br />
x − 7<br />
b) T ex x − 7<br />
2x<br />
2<br />
c) T ex<br />
2<br />
x − 9<br />
d) T ex<br />
2<br />
2<br />
x + 9<br />
1208 a) 8 000 kr<br />
Ledtråd:<br />
Bränsleförbrukning:<br />
G(100) = 0,5 liter/km<br />
Bränslemängd: 500 liter<br />
b) 125 mil<br />
Ledtråd:<br />
G(50) = 0,4 liter/km<br />
13<br />
1209 a) f (2) =<br />
6 ≈ 2,1666...<br />
Differensen är<br />
13<br />
6 – 3 10 ≈ 0,012<br />
3277<br />
b) f ( f (2)) = ≈ 2,154 50<br />
1521<br />
Differensen är<br />
3<br />
2,154 50 – 10 ≈ 7 · 10 –5<br />
1215 a) 6x<br />
14<br />
b) 8<br />
2x<br />
1216 a) 30<br />
15x<br />
b) 10<br />
15x<br />
c) 2x + 6<br />
14<br />
d) 2x − 6<br />
2x<br />
c) 3x − 6<br />
15x<br />
2<br />
d) 10x + 5x<br />
15x<br />
254 svar <strong>och</strong> lösningar<br />
Bla 3c.indb 254 2012-07-10 09.43
1217 a) 7 8<br />
b) 2x<br />
3<br />
1218 a) 2<br />
x + 3<br />
b)<br />
x − 2<br />
3x<br />
+ 4<br />
1219 a) 4 + h<br />
c)<br />
2<br />
b<br />
6a 2<br />
d) x + 1<br />
x<br />
c) 2<br />
5+ x<br />
d) x + 4<br />
x + 3<br />
b) Uttrycket kan inte förkortas.<br />
c) 1<br />
2x+<br />
h<br />
d) 2h<br />
3<br />
1220 2x<br />
+ 2y<br />
2 ( x+<br />
y) =<br />
= 2<br />
x+<br />
y x+<br />
y<br />
kan förkortas, då täljare <strong>och</strong><br />
nämnare har faktorn x + y<br />
gemensam.<br />
2x + y <strong>och</strong> x + y har ingen<br />
gemensam faktor.<br />
1221 a) 140x 2<br />
b) 2<br />
c) x + a<br />
1222 a) 6<br />
b) 6<br />
Ledtråd:<br />
Förenklat uttryck 2 y<br />
3<br />
1223 a) 52<br />
b) 8 a−<br />
6 b<br />
33<br />
4a+<br />
3b<br />
1224 a) 3x 2 – 24x<br />
b) 2x – 16<br />
c) 12x 2<br />
1226 a) x – 5<br />
b)<br />
1<br />
x − 4<br />
c) 7 + x<br />
1227 a)<br />
1<br />
a − 1<br />
b) Uttrycket kan inte förkortas.<br />
c)<br />
2a<br />
a − 2<br />
d) 1<br />
a+<br />
b<br />
1228 a)<br />
2<br />
3 − x<br />
c) x + 1<br />
b) 5(x + 1) d) x – 4<br />
1229 a)<br />
x<br />
2( x − 1)<br />
b) 2 ( a+<br />
3 b)<br />
a − 3b<br />
1230 5,999<br />
Ledtråd:<br />
Uttrycket kan förenklas till 3 + x<br />
1231 Nej.<br />
Motivering:<br />
z = 1 ger HL = 2 <strong>och</strong> VL = 4.<br />
Den korrekta för enklingen är<br />
3 – z.<br />
1232 a) 8 + h b) 12 + 2h<br />
1233 a) 2 − x<br />
2 + x<br />
1234 2x + h<br />
1236 a) ( −1)(<br />
x −2)<br />
3<br />
svar <strong>och</strong> lösningar 255<br />
b) x<br />
b) ( −1)(<br />
2<br />
x + 2 x − 3)<br />
4<br />
1237 a) –1 c) –(3 + a)<br />
b) –2 d) – 4<br />
y + 5<br />
1238 a) 1 – 2a b) – 10<br />
5+a<br />
1239 a) – a +1<br />
a<br />
1240 a) 1 b) 1<br />
1241 a) 1 − 2 x<br />
5x<br />
b) 1 − 6 x<br />
1+<br />
6x<br />
c) – x + 2<br />
x<br />
b) 4 d) 1 + x<br />
1 − x<br />
1242 a) –2 c) –8(x – 2) 2<br />
b) 4(x – 2) d) 64(x – 2) 5<br />
1246 a) 6 3<br />
= c) 10x<br />
8 4 21<br />
b) – 11<br />
8<br />
1247 a) 4 a<br />
b) 3 x + 1<br />
4x<br />
d) 3x<br />
10<br />
c)<br />
5<br />
2x<br />
d) 13<br />
6a<br />
1248 a) x = 20 c) y = 120<br />
b) x = 4 d) x = 24<br />
1249 a) x = 3 b) x +21<br />
12<br />
1250 a) 3 y + 5<br />
3 y<br />
b) 12 + y<br />
4 y<br />
2<br />
1251 a) x = 11 c) x = 4 <strong>och</strong> x = –1<br />
b) x = 3,2<br />
1252 Pi: behöver parentes för att<br />
inte få teckenfel, ska vara<br />
... = 2 −( x + 1 ) 1 − x =<br />
2 x 2 x<br />
Bo: ändrar uttrycket när han<br />
bara multiplicerar täljaren<br />
med 2x. Vid förlängning<br />
måste både täljare <strong>och</strong><br />
nämnare multipliceras med<br />
samma faktor för att inte<br />
värdet ska ändras.<br />
1253 x = 180 eller x = 1 500<br />
1254 a) 1 4<br />
d) 1 4 + 1 x = 1 3<br />
b) 1 3<br />
e) 12 h<br />
c)<br />
1<br />
x<br />
17 y − 51<br />
1257 a) y = 3 b)<br />
12<br />
1258 a) x 1 = 1 x 2 = –6<br />
b) Saknar lösning.<br />
1259 a) x = 6<br />
b) Saknar lösning.<br />
c) y 1 = 2 y 2 = –3<br />
d) x = –2<br />
Ledtråd:<br />
x = 2 är falsk rot<br />
1260 a) 1,5 tabletter<br />
b) 12 år<br />
1261 a) x = 6<br />
b) Saknar lösning.<br />
1262<br />
2<br />
x + 2<br />
1263 x 1 = 4 x 2 = –1,5<br />
1264 a = –1 t 2 = 7<br />
3<br />
1<br />
1265 a)<br />
c)<br />
a−<br />
b x( x+<br />
2)<br />
2<br />
b) 2 d)<br />
a + 3<br />
Bla 3c.indb 255 2012-07-10 09.43
3<br />
a + 1<br />
a + 1<br />
1266 Ja, förenklingen är rätt.<br />
Numerisk motivering:<br />
De två uttrycken får samma<br />
värde för några olika värden<br />
på x.<br />
T ex då x = 15 får båda<br />
uttrycken värdet –14.<br />
Algebraiskt motivering:<br />
xy<br />
1278 a)<br />
3<br />
3 2<br />
a + 1 a + 1 − a (a + 1)<br />
x +1<br />
2<br />
− a = =<br />
a + 1<br />
a + 1<br />
b)<br />
a<br />
3 2<br />
a +2<br />
a + 1 − a (a + 1)<br />
2<br />
− a = =<br />
a + 1<br />
1<br />
2<br />
1 − a<br />
= a 3 + 1 − a 3 − a 2<br />
1279 a)<br />
ba ( − 3)<br />
= =<br />
a + 1 a + 1<br />
=<br />
1268 a) 10<br />
27<br />
b) 1 3<br />
1269 a) 21<br />
16<br />
b) 3 4<br />
1270 a) 2 5<br />
1271 a) 8 b<br />
1272 a) 10 7<br />
(1 − a)(1 + a)<br />
(1 + a)<br />
= 1 − a<br />
c) 2<br />
15<br />
d) 1<br />
15<br />
c) 4 3<br />
d) 5<br />
14<br />
c) 5 4<br />
b) 4 d) x<br />
30<br />
b)<br />
10x<br />
+ 15<br />
2x<br />
c) 2 a<br />
d)<br />
10x − 15<br />
2<br />
c) 4 a<br />
3b<br />
b) 2(a + b) d) x +1<br />
2<br />
1273 a) 2 c) 84 x<br />
b) 6 a<br />
1274 a) 5 21<br />
b) a+ b<br />
3<br />
1275 a) x 2 y 2<br />
18<br />
b) 2 3<br />
4<br />
d)<br />
35z<br />
c) 2 a<br />
9b<br />
d) x +1<br />
12<br />
c) 1 2<br />
2 2<br />
d) ab 6c<br />
2<br />
1276 a) x 2 c) 1 2<br />
a<br />
b) 1 d) b<br />
2<br />
x<br />
1277 a) 3 = 06 , b) 3 5<br />
5<br />
1280 a) b) 3 + a<br />
5<br />
1281 a) (2a+<br />
3b)<br />
(2a – 3b)<br />
1282 a) – 1 xz<br />
1283 Ja, a = – 3.<br />
c) x − 2 y<br />
x<br />
b) 2(x – 1)<br />
a<br />
b)<br />
22 ( a + 1)<br />
b) – a + x<br />
ax<br />
1301 a) f(2) = 7<br />
b) g(–3) = 0<br />
c) f(2) – g(2) = –3<br />
d) g(b) – f(b) = b 2 – 3b + 5<br />
1302 a) 3a + 1 b) 3a + 3h – 2<br />
1303 a) a 2 – 4a + 1 b) a 2 + 4a + 1<br />
1304 Funktionen är diskret.<br />
Motivering:<br />
Man kan förmodligen bara<br />
hyra skidorna en hel dag eller<br />
en halv dag.<br />
Möjliga x-värden är då:<br />
½, 1, 1½, 2, 2½ …<br />
1305 a) Definitionsmängd:<br />
Alla reella x<br />
Värdemängd:<br />
Alla reella x<br />
b) Definitionsmängd:<br />
Alla reella x<br />
Värdemängd:<br />
y ≥ 0<br />
c) Definitionsmängd:<br />
x ≥ –3<br />
Värdemängd: y ≥ 0<br />
d) Definitionsmängd:<br />
Alla reella x<br />
Värdemängd:<br />
y > 0<br />
1306 a)<br />
2<br />
2 2 4 6 8<br />
2<br />
y<br />
b) Definitionsmängd:<br />
Alla reella x ≠ 4.<br />
c) För stora värden på x<br />
(oavsett tecken) ligger y<br />
mycket nära 0 men det<br />
finns inget x-värde som<br />
ger y = 0 (exakt).<br />
1307 a) h + 7 b) 2x + h + 3<br />
1308 a) f(–2) + f(2) = 8 + a<br />
b) a = –1<br />
Motivering:<br />
Funktionsvärdena, då x = 1<br />
<strong>och</strong> då x är ”lite, lite större än<br />
1” ska ligga nära varandra.<br />
1311 1 2<br />
1312 a) f(x) = 4x – 14<br />
b) f(x) = –3x + 7<br />
1313 a)<br />
b)<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
1314 a) m = 15 000. Antalet<br />
invånare 1990.<br />
y<br />
y<br />
2<br />
2<br />
b) k = –225. Befolkningen<br />
minskar med 225 personer<br />
per år.<br />
1315 y = –2x – 5<br />
4<br />
4<br />
x<br />
x<br />
x<br />
256 svar <strong>och</strong> lösningar<br />
Bla 3c.indb 256 2012-07-10 09.43
1316 3y – 2x – 20 = 0<br />
Ledtråd:<br />
k = 2/3 <strong>och</strong> m = 20/3<br />
1317 a) y = 9 x + 32 eller<br />
5<br />
y = 1,8x + 32<br />
b) 32 °F<br />
1318 a) y = –5x + 5<br />
b) y = 3x – 11<br />
1319 a) y = 3 – 0,5x<br />
b) y = x<br />
c) y = 2 x + 2<br />
3<br />
d) y = 11 – 3x<br />
1320 a) 75 mm<br />
b) 3,2 h<br />
c) f(t) = 200 – 25t<br />
1321 a) y = –x – 3<br />
x<br />
b) y =<br />
2 – 4,5<br />
1322 B = (4, 16)<br />
Ledtråd:<br />
y = x 2 ger t ex B:s koordinater<br />
(b, b 2 ) (b > 1).<br />
2<br />
b − 1<br />
k = =<br />
b − 1<br />
= ( b − 1 )( b + 1 ) = (b + 1)<br />
b − 1<br />
b + 1 = 5 ger b = 4.<br />
1323 Förenkling:<br />
f( x+ ∆x) − f( x)<br />
=<br />
∆x<br />
ax ( + ∆x) + b− ( ax + b)<br />
= = a<br />
∆x<br />
Tolkning:<br />
f( x+ ∆x) − f( x)<br />
∆y<br />
=<br />
∆x<br />
∆x = k,<br />
dvs linjen har lutningen a.<br />
1324 T ex f (x) = x + 1<br />
1327 a) maximipunkt<br />
b) x = 0 <strong>och</strong> x = 6<br />
c) x = 3<br />
d) (3, 9)<br />
e) (0, 0)<br />
1328 a) x = –3 <strong>och</strong> x = 10<br />
b) x = 0 <strong>och</strong> x = 4<br />
1329 Om koefficienten i x 2 -termen är<br />
positiv så har grafen en minimipunkt.<br />
Om koefficienten är negativ så<br />
har grafen en maximipunkt.<br />
1330 a) Nollställen: x = –3 <strong>och</strong><br />
x = –1<br />
Minimipunkt: (–2, –1)<br />
b) Nollställen: x = 1 ± 6<br />
Minimipunkt: (1, –12)<br />
c) Nollställen: x = –1<br />
<strong>och</strong> x = 9<br />
Maximipunkt: (4, 25)<br />
d) Nollställen saknas.<br />
Maximipunkt: (– 3 2 , – 3 2 )<br />
1331 x = –4<br />
1332 a) Skär x-axeln där x = –2<br />
<strong>och</strong> x = 1. Skär y-axeln<br />
där y = 6.<br />
b) Skär ej x-axeln.<br />
Skär y-axeln där y = 4.<br />
c) Skär x-axeln där x = 0 <strong>och</strong><br />
x = 10. Skär y-axeln där<br />
y = 0.<br />
d) Skär x-axeln där x = 4 <strong>och</strong><br />
x = –1. Skär y-axeln där<br />
y = – 4.<br />
1333 a) T ex y = x 2 – 2x – 3<br />
Ledtråd:<br />
Utveckla y = (x + 1)(x – 3)<br />
b) T ex y = x 2 + 10x<br />
1334 a) f(0) = –3<br />
b) 1 < x < 3<br />
c) f(x) = 4x – x 2 – 3<br />
d) g(x) = x<br />
Motivering:<br />
Ekvationen f(x) = g(x)<br />
saknar reella lösningar.<br />
1335 a < –16<br />
Motivering:<br />
Ekvationen x 2 – 8x – a = 0<br />
saknar reella lösningar då<br />
a < –16.<br />
1336 f (x) = 2x – 1<br />
1337 a) x = 2 b) 4<br />
1338 T ex<br />
f(x) = (x + 10)(x – 20)<br />
g(x) = 2(x + 10)(x – 20)<br />
1339 y = 0,5(x – 1)(x – 8)<br />
1340 s (v) = 0,006v 2 + 0,3v<br />
1341 a) s(2,5) = 15,125<br />
Efter 2,5 sekunder är bollen<br />
15 meter över marken.<br />
b) 17 m (17,28…)<br />
Ledtråd:<br />
Maximipunkten ligger på<br />
symmetrilinjen, x ≈ 1,837.<br />
1342 a) y = –0,5(x – 1) (x – 4)<br />
y = –0,5x 2 + 2,5x –2<br />
Ledtråd:<br />
Nollställena 1 <strong>och</strong> 4 <strong>och</strong><br />
punkten (0, –2)<br />
b) y = 1,5(x + 2) (x – 6)<br />
y = 1,5x 2 – 6x – 18<br />
Ledtråd:<br />
Nollställena –2 <strong>och</strong> 6 <strong>och</strong><br />
punkten (0, –18)<br />
1343 f (x) = 2(x – 1)(x + 3) =<br />
= 2x 2 + 4x – 6<br />
1344 b 2 = 4ac<br />
Ledtråd:<br />
Lös ekvationen ax 2 + bx + c = 0<br />
med lösningsformeln.<br />
Då uttrycket under rottecknet<br />
är noll har funktionen endast<br />
ett nollställe.<br />
1347 a) f(5) = 4 470<br />
b) f(5) = 3 040<br />
1348 a) x = 2 (exakt)<br />
b) x = 1,64<br />
c) x = 1,89<br />
d) x = 1,54<br />
1349 a) y = 80 ∙ 1,05 x<br />
b) y = 80 ∙ 0,95 x<br />
1350 a) Ca 230 000<br />
b) Efter ca 23 h (23,36…)<br />
svar <strong>och</strong> lösningar 257<br />
Bla 3c.indb 257 2012-07-10 09.43
1351 5,6 %<br />
Ledtråd:<br />
Lös ekvationen x 20 = 3<br />
<strong>och</strong> tolka svaret som en<br />
förändringsfaktor.<br />
1352 20,6 %<br />
1353 a) 1 013 millibar<br />
b) 11,3 %<br />
c) 353 millibar (352,6...)<br />
d) 5,9 km<br />
1354 a) C b) A <strong>och</strong> B c) D<br />
1355 y = 5 ∙ 0,8 x<br />
1356 86 % (0,864...)<br />
1357 f(2) = 4,5<br />
1358 a) 882 poäng<br />
b) 812 poäng<br />
c) 3 min 53,8 s<br />
1359 3,39 ∙ 10 6<br />
1360 3 600 måsar<br />
Lösning 1:<br />
10 000 · x 10 = 6 000<br />
1<br />
x = 0,6 10 ≈ 0,950 2...<br />
Efter 20 år:<br />
1<br />
10 000 · ( 0,6 ) 10 20 =<br />
= 10 000 · 0,6 2 = 3 600<br />
Lösning 2:<br />
På 10 år minskade antalet<br />
måsar med 40 %. Nästa<br />
tioårsperiod minskar de<br />
med ytterligare 40% .<br />
0,4 ∙ 6 000 = 3 600<br />
1361 f(–2) = 1 600<br />
Ledtråd:<br />
Funktionen är f(x) = 400∙ 0,5 x<br />
1362 10 000 km 2 .<br />
1363 Efter 42 h (41,68…)<br />
Ledtråd:<br />
Förändringsfaktorn är<br />
1<br />
0,5 24 ≈ 0,971 5...<br />
1364 a) 53 dygn b) 201 år<br />
1365 C = 20 <strong>och</strong> a = 1/3<br />
1366 a) x = lg2/lg(5/7) ≈ –0,485 4<br />
Diagnos 1<br />
b) x 1 = 10 x 2 = 100<br />
Ledtråd:<br />
Logaritmera båda leden <strong>och</strong><br />
gör substitutionen lgx = a.<br />
1 a) 6ab – 9b 2 b) 6xh + 3h 2<br />
2 a) 5a –6 b) x 2 – 3<br />
3 a) 6 b) 11<br />
4 a) x 1 = –3 x 2 = 0 x 3 = 1<br />
b) x 1 = 0 x 2 = 1/3<br />
5 a) p(x) = (x – 6)(x – 10)<br />
b) p(x) = –10(x – 2)(x – 3)<br />
6 a) G(–3) = –2/3<br />
b) x = 0 <strong>och</strong> x = –2<br />
7 a) 7 c) 3 x<br />
4<br />
b) 2(x – 3) d) 0<br />
8 a) x = 64<br />
b) x = 5<br />
c) x = -3<br />
Ledtråd:<br />
x = 1 är en falsk rot.<br />
d) x = 8<br />
Ledtråd:<br />
x = –4 är en falsk rot.<br />
9 a) 3b 2 c) a<br />
1 − 2a<br />
b) a2<br />
12<br />
10 a) y = 4x + 4<br />
b) y = –2x + 10<br />
c) y = 3x – 2<br />
11<br />
d) a − 1<br />
2<br />
10 10<br />
a) x = 2<br />
10<br />
40<br />
b) Minimipunkt<br />
c) (2, –32)<br />
d) ( –2, 0) <strong>och</strong> (6, 0)<br />
e) (0, –24)<br />
12 a) x = 6 1/5 ≈ 1,431<br />
b) x = lg6/lg5 ≈ 1,113<br />
13 Potensfunktion:<br />
T ex f(x) = 3 ∙ x 0,5<br />
Exponentialfunktion<br />
T ex f(x) = 2 ∙ 1,5 x<br />
Blandade övningar kapitel 1<br />
1 5x 2 + 24x – 5<br />
2 2<br />
3 Joel har dividerat både 64 <strong>och</strong><br />
x med 4, vilket är rätt.<br />
Wilma dividerade bara 64.<br />
4 7<br />
5 x = 0 <strong>och</strong> x = 4<br />
1<br />
6 s − 4<br />
7 a) 4ax<br />
b) 4x 2 + 4x<br />
8 a) x 1 = 1 x 2 = –1<br />
b) x = lg 2<br />
c) x 1 = 1 x 2 = –3<br />
d) x = 3 1/5<br />
9 Funktionens graf kan ritas utan<br />
att lyfta pennan.<br />
10 a) 1 b) 7 x − 2<br />
11 a = 21<br />
12 2a –8<br />
13 x 1 = 0 x 2 = 1<br />
Ledtråd:<br />
Förenkla ekvationen till<br />
2x 4 – 2x = 0 <strong>och</strong> bryt ut 2x.<br />
14 y = –x + 1<br />
Ledtråd:<br />
Skärningspunkterna är<br />
(1, 0) <strong>och</strong> (4, –3)<br />
15 a) 30 000 + 15x<br />
x<br />
b) Hon kör 1200 mil.<br />
258 svar <strong>och</strong> lösningar<br />
Bla 3c.indb 258 2012-07-10 09.43
16 a = 2 <strong>och</strong> b = 4<br />
Ledtråd:<br />
Villkoren ger ekvationssystemet<br />
⎧ a – b = –2<br />
⎨<br />
⎩ a + b = 6<br />
17 x 1 = 0 x 2 = 1 x 3 = 5<br />
18 a ligger i intervallet D.<br />
Motivering:<br />
a = 45 vilket är lite mindre<br />
än 7 eftersom 7 = 49 .<br />
19 a) x = ±1,5<br />
b) 9 − 4x 2<br />
4x<br />
20 2x + 1<br />
x − 1<br />
21 a) x = 1 <strong>och</strong> x = 5<br />
b) a = –3,2<br />
Ledtråd:<br />
f(x) = 0,8(x – 1)(x – 5)<br />
Värdet på a är detsamma som<br />
minimipunktens y-koordinat,<br />
vilket innebär att a = f(3).<br />
c) Nej, det är inte sant.<br />
Motivering:<br />
f(x) = 0,8(x – 1)(x – 5)<br />
f(11) = 48 <strong>och</strong> 6 ∙ f(0) = 24<br />
22 a) 16 000 000<br />
Ledtråd:<br />
Uttrycket kan skrivas (x + 5) 2 .<br />
b) 4 000<br />
Ledtråd:<br />
Förenkla uttrycket så långt<br />
som möjligt.<br />
23 a) x 1 = –2/3 x 2 = 1<br />
b)<br />
2x + 1<br />
x(x + 1)<br />
24 a) 20 + 5h<br />
Ledtråd:<br />
f(2 + h) = 5 ∙ (x + h) 2 =<br />
= 5x 2 + 10xh + 5h 2<br />
b) 10x + 5h<br />
25 a) x 1 = –2 x 2 = 12<br />
b) x 1 = –12 x 2 = 2<br />
c) |x – 1| < 6<br />
26<br />
1<br />
x + 1 y = 4<br />
Ledtråd:<br />
Skriv om uttrycket som ett<br />
rationellt uttryck.<br />
27 a) x = –1,5<br />
Ledtråd:<br />
Skriv båda leden som ett<br />
uttryck med basen 3.<br />
b) x 1 = 8 x 2 = 27<br />
Ledtråd:<br />
Gör en substitution.<br />
Sätt x 1/3 = a så får du en<br />
andragradsekvation med a<br />
som variabel.<br />
28 a = 0,5 b = –4,5 c = 1<br />
<strong>och</strong> d = 24<br />
29 K(18) – K(14) = 0,74<br />
30 a) x = 166 (exakt)<br />
b) x = 12,9<br />
Ledtråd:<br />
x = 500<br />
3<br />
c) x = 6,30<br />
d) x = 7,38<br />
Ledtråd:<br />
Skriv ekvationen 2 x = 500/3<br />
<strong>och</strong> logaritmera båda leden.<br />
31 Ca 0,25 %<br />
32 a) 54 mm (54,54…)<br />
b) Lösning:<br />
1<br />
a + 1 b = 1 · b<br />
a · b + 1 · a<br />
b · a =<br />
=<br />
b<br />
ab + a<br />
ab = a + b<br />
ab<br />
33 a = 2, b = 1, c = 3 <strong>och</strong> d = –1<br />
Ledtråd:<br />
Alla talen är heltal.<br />
a ∙ c = 6 <strong>och</strong> b ∙ d = –1.<br />
34 a) x 1 = –2 x 2 = 1 x 3 = 2<br />
b) x 3 – x 2 – 4x + 4 =<br />
= (x + 2)(x – 1)(x – 2)<br />
35 a) 2,47 sekunder<br />
b) 14,0 cm<br />
c) l = gT 2<br />
4π2<br />
36 Ekvationen har endast en lösning<br />
x = 4.<br />
Förklaring:<br />
Då denna ekvation kvadreras<br />
får vi en ny ekvation som har<br />
en annan lösning än den<br />
ursprungliga. Rötterna till denna<br />
nya ekvation måste prövas i den<br />
ursprungliga ekvationen.<br />
Prövningen visar att x = 1<br />
är en falsk rot.<br />
37 –<br />
1<br />
x(x + h)<br />
38 • 2 3 – 1 2 = 1 6<br />
4<br />
5 – 3 4 = 1 20<br />
9<br />
10 – 8 9 = 1 90<br />
• T ex<br />
6<br />
7 – 5 6 = 36<br />
42 – 35<br />
42 = 1<br />
42<br />
• Differensen är ett bråk med<br />
täljaren 1 <strong>och</strong> med en nämnare<br />
som är produkten av de två<br />
bråkens nämnare.<br />
• Ledtråd till ett bevis:<br />
Differenserna följer mönstret<br />
x + 1<br />
x + 2 – x<br />
x + 1<br />
där x är ett positivt heltal.<br />
Visa att uttrycket kan förenklas<br />
1<br />
till<br />
(x + 2)( x + 1)<br />
39 • Värdet av båda polynomen är 0.<br />
• Värdet av båda polynomen är 0.<br />
• Värdet av båda polynomen är<br />
316.<br />
• Om t ex a = –2 <strong>och</strong> b = –11<br />
så är värdet av båda polynomen<br />
1 323.<br />
• Polynomen verkar vara två olika<br />
sätt att skriva samma uttryck.<br />
• Ledtråd till bevis:<br />
Visa att utrycket med de två<br />
parenteserna kan förenklas till<br />
det andra uttrycket.<br />
• x = 3<br />
Ledtråd:<br />
Enligt beviset kan VL skrivas<br />
x 3 – 2 3 .<br />
svar <strong>och</strong> lösningar 259<br />
Bla 3c.indb 259 2012-07-10 09.43
KÄLLFÖRTECKNING till bilder<br />
Siffrorna anger sida <strong>och</strong> bildens placering på sidan<br />
Foton:<br />
Heikne, Hans 24, 49, 54, 92, 103, 105, 107, 126, 161, 179, 185,<br />
206, 221, 234<br />
IBL Bildbyrå AB, Stockholm<br />
Abad, Thomas 116<br />
AGE fotostock 6-7<br />
Ardea 109<br />
Bachmann 163<br />
Beeker, Henry 204-205<br />
Buwon, Park 69:1<br />
Brissaud, Eric 10<br />
Broborn, Lennars 115<br />
Brooker, Peter 191<br />
Cary, Liane 236<br />
Cavalli, Angello 112<br />
Cheadle, Chris 71<br />
Cumming, Ian 242<br />
Datacraft 188<br />
Didillon, Frédéric 35<br />
Dinodia 17<br />
Edwards, Lisa 171<br />
Ewing, David 108<br />
Eyevine/ Xinhua 89<br />
Fine Arts Images 229<br />
Forsberg, Jonas 132<br />
Forsberg, Peter Erik 128-129<br />
Fotosearch 55<br />
Furrer 190<br />
Gelevachuk, Bazil 45<br />
Glowimages 41<br />
Hasselberg, Daniel 225<br />
Hamblin, Mark 69:2<br />
Hermes 149<br />
Janes, EA 73<br />
Lilja, Theo 75<br />
Malmö Museer 156<br />
Mangil, Kim 70<br />
McDonald, Dennis 26<br />
McGouey, Robert 87<br />
Meireis, Christophe 122<br />
<strong>Natur</strong>e PL 53<br />
Quick, Peo 177<br />
Rex Features 196<br />
Rhösman, Björn 110<br />
Ribeiro, Alf 62, 189<br />
Ripoll, Eduardo 60<br />
Scholey, Peter 37<br />
Sience Photo Library 19, 95, 165, 235<br />
Smith, Wendy 117<br />
Strauss, Andreas 182<br />
Usher, Regina 101<br />
UPI 64-65<br />
Varney, Jim 166<br />
Weigel, Armin 201<br />
Widman, Peter 82<br />
Wijnands, J<strong>och</strong>em 199<br />
Zerla, Walter 11<br />
Åke Lindaus samling 187<br />
Illustrationer:<br />
Hesselstrand, Johan<br />
Matematiska illustrationer:<br />
Karlsson, Mats<br />
288 register<br />
Bla 3c.indb 288 2012-07-10 09.44