27.11.2014 Views

x - Natur och Kultur

x - Natur och Kultur

x - Natur och Kultur

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

lena Alfredsson<br />

kajsa bråting<br />

patrik erixon<br />

hans heikne<br />

Matematik<br />

5000<br />

kurs 3c blå lärobok<br />

natur & kultur<br />

Bla 3c.indb 1 2012-07-10 09.34


NATUR & KULTUR<br />

Box 27 323, 102 54 Stockholm<br />

Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se<br />

Redaktion: Tel 08-453 86 00, info@nok.se<br />

www.nok.se<br />

Order <strong>och</strong> distribution: Förlagssystem,<br />

Box 30 195, 104 25 Stockholm<br />

Tel 08-657 95 00, order@forlagssystem.se<br />

www.fsbutiken.se<br />

Projektledare: Irene Bonde<br />

Textredaktör: Mats Karlsson/Devella HB<br />

Bildredaktör: Erica Högsborn<br />

Grafisk form <strong>och</strong> omslag: Graffoto AB <strong>och</strong> Åsa Lundbom<br />

Layout: Måns Björkman/Typ & Design <strong>och</strong><br />

Mats Karlsson/Devella HB<br />

Sättning: Måns Björkman/Typ & Design <strong>och</strong><br />

Mats Karlsson/Devella HB<br />

Kopieringsförbud!<br />

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden,<br />

utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk<br />

enligt avtal med Bonus Presskopia <strong>och</strong> den mycket begränsade rätten<br />

till kopiering för privat bruk.<br />

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän<br />

åklagare <strong>och</strong> dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli<br />

skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.<br />

© 2012 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin,<br />

Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne, Anna Palbom<br />

<strong>och</strong> <strong>Natur</strong> & <strong>Kultur</strong>, Stockholm<br />

Tryckt i Lettland 2012<br />

Första utgåvans första tryckning<br />

ISBN 978-91-27-42628-3<br />

Bla 3c.indb 2 2012-07-10 09.34


Välkommen till Matematik 5000<br />

Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan<br />

<strong>och</strong> vuxenutbildningen. Den är inriktad<br />

på färdigheter, förståelse, kommunikation <strong>och</strong><br />

problemlösning <strong>och</strong> erbjuder stora möjligheter till<br />

en varierad undervisning.<br />

Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar<br />

att utveckla de förmågor <strong>och</strong> nå de kunskapsmål<br />

som beskrivs i den nya ämnesplanen.<br />

Denna bok, Kurs 3c Blå lärobok, riktar sig till<br />

elever som studerar på teknikprogrammet eller<br />

naturvetenskapsprogrammet.<br />

Hur är boken upplagd?<br />

• Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel<br />

som framställs <strong>och</strong> förklaras på ett sätt som<br />

ger eleverna möjlighet att förstå <strong>och</strong> upptäcka<br />

matematiken.<br />

Teorin avslutas med flera lösta exempel som<br />

belyser det viktigaste.<br />

Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer,<br />

a, b <strong>och</strong> c, i stigande svårighetsgrad.<br />

• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera<br />

undervisningen. De finns i fyra olika kategorier:<br />

Upptäck, Undersök, Diskutera <strong>och</strong> Laborera.<br />

De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje<br />

kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet<br />

som introducerar delar av kapitlets innehåll.<br />

• I Teman finns teori <strong>och</strong> uppgifter anpassade<br />

till naturvetenskapsprogrammet <strong>och</strong> teknikprogrammet<br />

<strong>och</strong> i Historik, med tillhörande<br />

uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt<br />

sammanhang.<br />

• På många sidor blandas uppgifter av standardkaraktär<br />

med uppgifter som kräver matematisk<br />

problemlösning.<br />

Varje kapitel avslutas med:<br />

• En Aktivitet som uppmuntrar till kommunikation:<br />

Sant eller falskt?<br />

• En kort Sammanfattning av kapitlet.<br />

• Kan du det här? <strong>och</strong> Diagnos som tillsammans<br />

ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll.<br />

I Kan du det här? kan eleverna i par<br />

eller smågrupper värdera sina kunskaper om<br />

matematiska begrepp <strong>och</strong> strategier <strong>och</strong><br />

i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande<br />

kunskaper.<br />

• Om en elev behöver repetera delar av kapitlet<br />

finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken.<br />

Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta<br />

uppgifterna i bokens teoriavsnitt.<br />

• Två olika varianter av Blandade övningar avslutar<br />

varje kapitel. Den första innehåller endast<br />

uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra<br />

innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.<br />

Blandade övningar består av tre delar: Utan<br />

räknare, Med räknare <strong>och</strong> Utredande uppgifter.<br />

I Svarsdelen finns ledtrådar till många uppgifter.<br />

Till läroboken finns en lärarhandledning med<br />

kommentarer, ytterligare aktiviteter <strong>och</strong> övningsuppgifter<br />

samt en provbank.<br />

Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare <strong>och</strong> elever<br />

till en variation av arbetssätt <strong>och</strong> arbetsformer<br />

<strong>och</strong> erbjuder många olika möjligheter för eleverna<br />

att utveckla sina matematiska förmågor.<br />

Mer information om läromedlet <strong>och</strong> digitalt material<br />

finns på www.nok.se/matematik5000<br />

Lycka till med matematiken!<br />

önskar Hans, Kajsa, Lena <strong>och</strong> Patrik<br />

förord 3<br />

Bla 3c.indb 3 2012-07-10 09.34


Innehåll<br />

1. Algebra <strong>och</strong> funktioner 6<br />

Centralt innehåll 6<br />

Inledande aktivitet: Vilka uttryck är lika? 7<br />

1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 8<br />

Polynom <strong>och</strong> räkneregler 8<br />

Potenser 12<br />

Kvadratrötter <strong>och</strong> absolutbelopp 14<br />

Ekvationer 17<br />

Polynom i faktorform 22<br />

Aktivitet: Upptäck – Pascals triangel 24<br />

1.2 Rationella uttryck 26<br />

Vad menas med ett rationellt uttryck? 26<br />

Förlängning <strong>och</strong> förkortning 28<br />

Addition <strong>och</strong> subtraktion 33<br />

Multiplikation <strong>och</strong> division 38<br />

1.3 Funktioner 40<br />

Inledning 40<br />

Historik: Hur funktionsbegreppet utvecklats 42<br />

Räta linjens ekvation 43<br />

Andragradsfunktioner 46<br />

Exponentialfunktioner <strong>och</strong> potensfunktioner 50<br />

Aktivitet: Laborera – Pendeln 54<br />

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 55<br />

Sammanfattning 1 56<br />

Kan du det här? 1 58<br />

Diagnos 1 59<br />

Blandade övningar kapitel 1 60<br />

2. Förändringshastigheter <strong>och</strong> derivator 64<br />

Centralt innehåll 64<br />

Inledande aktivitet: Hastighet <strong>och</strong> lutning 65<br />

2.1 Ändringskvoter <strong>och</strong> begreppet derivata 66<br />

Ändringskvoter 66<br />

Begreppet derivata 71<br />

2.2 Gränsvärde <strong>och</strong> derivatans definition 77<br />

Gränsvärde 77<br />

Derivatans definition 80<br />

2.3 Deriveringsregler I 83<br />

Derivatan av polynom 83<br />

Tema: Hastighet <strong>och</strong> acceleration 90<br />

Aktivitet: Laborera – Kvadratiska pappskivor 92<br />

Derivatan av potensfunktioner 93<br />

Historik – Tangenter <strong>och</strong> derivata 96<br />

Aktivitet: Undersök – Det märkliga talet e 97<br />

2.4 Deriveringsregler II 98<br />

Derivatan av exponentialfunktionen y = e kx 98<br />

<strong>Natur</strong>liga logaritmer 102<br />

Derivatan av exponentialfunktionen y = a x 105<br />

Tillämpningar <strong>och</strong> problemlösning 107<br />

2.5 Grafisk <strong>och</strong> numerisk derivering 111<br />

Olika differenskvoter 111<br />

Grafritande räknare <strong>och</strong> derivators värde 114<br />

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 117<br />

Sammanfattning 2 118<br />

Kan du det här? 2 120<br />

Diagnos 2 121<br />

Blandade övningar kapitel 2 122<br />

Blandade övningar kapitel 1–2 125<br />

4 innehåll<br />

Bla 3c.indb 4 2012-07-10 09.34


3. Kurvor, derivator <strong>och</strong> integraler 128<br />

Centralt innehåll 128<br />

Inledande aktivitet: Max <strong>och</strong> min 129<br />

3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen? 130<br />

Inledning 130<br />

Extrempunkter <strong>och</strong> extremvärden 131<br />

Växande <strong>och</strong> avtagande 133<br />

Förstaderivatan <strong>och</strong> grafen 136<br />

Skissa grafer 140<br />

Historik – Matematik till <strong>och</strong> från Sverige 143<br />

Största <strong>och</strong> minsta värde 144<br />

3.2 Derivator <strong>och</strong> tillämpningar 147<br />

Polynomfunktioner 147<br />

Potensfunktioner 154<br />

Andraderivatan 157<br />

Andraderivatan <strong>och</strong> grafen 158<br />

Aktivitet: Laborera – Vem tillverkar största lådan? 161<br />

Grafritande räknare 162<br />

Tillämpningar <strong>och</strong> problemlösning 164<br />

Aktivitet: Undersök – Funktioner <strong>och</strong> derivator 168<br />

Kan alla funktioner deriveras? 170<br />

Aktivitet: Undersök – Antiderivata 172<br />

3.3 Från derivata till funktion 173<br />

Primitiva funktioner 173<br />

Primitiva funktioner med villkor 176<br />

3.4 Integraler 178<br />

Inledning 178<br />

Aktiviet: Undersök – Finn arean 181<br />

Integralberäkning med primitiv funktion 182<br />

Tillämpningar <strong>och</strong> problemlösning 186<br />

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 191<br />

Sammanfattning 3 192<br />

Kan du det här? 3 194<br />

Diagnos 3 195<br />

Blandade övningar kapitel 3 196<br />

Blandade övningar kapitel 1–3 199<br />

4. Trigonometri 204<br />

Centralt innehåll 204<br />

Inledande aktivitet:<br />

Trigonometri i rätvinkliga trianglar 205<br />

4.1 Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar 206<br />

Trigonometri i rätvinkliga trianglar 206<br />

Två speciella trianglar 209<br />

Cirkelns ekvation 210<br />

Godtyckliga trianglar 211<br />

Aktivitet: Undersök - Enhetscirkeln 212<br />

4.2 Triangelsatserna 216<br />

Areasatsen 216<br />

Sinussatsen 219<br />

När ger sinussatsen två fall? 221<br />

Cosinussatsen 226<br />

Tillämpningar <strong>och</strong> problemlösning 231<br />

Aktivitet: Laborera – Avståndsmätning 234<br />

Historik – Trigonometri <strong>och</strong> geodesi 235<br />

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 236<br />

Sammanfattning 4 237<br />

Kan du det här? 4 238<br />

Diagnos 4 239<br />

Blandade övningar kapitel 4 240<br />

Blandade övningar kapitel 1–4 242<br />

Repetitionsuppgifter 246<br />

Svar, ledtrådar <strong>och</strong> lösningar 252<br />

Register 286<br />

innehåll 5<br />

Bla 3c.indb 5 2012-07-10 09.34


1<br />

ALGEBRA OCH<br />

FUNKTIONER<br />

Centralt innehåll<br />

✱ hantering av algebraiska uttryck <strong>och</strong><br />

ekvationer.<br />

✱ generalisering av aritmetikens lagar <strong>och</strong><br />

begreppet absolutbelopp.<br />

✱ begreppen polynom <strong>och</strong> rationellt uttryck.<br />

✱ kontinuerlig <strong>och</strong> diskret funktion.<br />

✱ polynom-, potens- <strong>och</strong> exponentialfunktioner.<br />

I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets <strong>och</strong><br />

volym, skala <strong>och</strong> likformighet samt trigonometri.<br />

Bla 3c.indb 6 2012-07-10 09.34


238876744<br />

894789475849<br />

7547<br />

15343274<br />

55<br />

112<br />

777<br />

1<br />

482398678567<br />

894789475849<br />

Inledande aktivitet<br />

VILKA UTTRYCK ÄR LIKA?<br />

Dela ett A4-papper så du får 16 papperlappar. På lapparna skriver du följande<br />

matematiska uttryck (ett uttryck per lapp).<br />

Gruppera lapparna så att de uttryck som är lika hamnar i samma grupp.<br />

1<br />

x 2 + 1<br />

2<br />

(2x – 1) 2 3<br />

(x – 1) 2 4<br />

(2x) 2 – 1 2<br />

5<br />

1 – 2x + x 2 6<br />

x 2 – x<br />

7<br />

4x 2 – 1<br />

8<br />

(x + 1)(x – 1)<br />

9<br />

3 – 2(1 – x 2 ) – x 2 10<br />

x + x + 1<br />

11<br />

–x(1 – x)<br />

12<br />

4x 2 – 4x + 1<br />

13<br />

– (1 – x 2 )<br />

14<br />

(2x + 1)(2x – 1)<br />

15<br />

x 2 – 1<br />

16<br />

(x + 1) 2<br />

Bla 3c.indb 7 2012-07-10 09.34


1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />

Polynom <strong>och</strong> räkneregler<br />

Exempel<br />

polynom<br />

gradtal<br />

I många situationer kan vi använda enkla polynom som matematiska<br />

modeller. Bollens bana i figuren är en parabel <strong>och</strong> kan beskrivas av<br />

sambandet<br />

y (x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x 2<br />

Högerledet är ett polynom som består av tre termer, en konstantterm<br />

<strong>och</strong> två variabeltermer.<br />

Kontrollera sambandet genom att sätta in de värden som visas i figuren!<br />

Ett polynom är en summa av termer av typen a ∙ x n , där x är en variabel,<br />

exponenten n ett naturligt tal <strong>och</strong> a en konstant som ofta kallas<br />

koefficient. Varje polynom kan skrivas<br />

n<br />

a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . + a n x n = ∑ a k x k<br />

k = 0<br />

Den största exponenten i ett polynom i en variabel anger polynomets gradtal.<br />

y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x 2 är ett exempel på ett andragradspolynom.<br />

x 2 y 2 + 2x 3 +5xy är ett polynom i två variabler x <strong>och</strong> y. Polynomets<br />

gradtal är 4. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda<br />

exponenten.<br />

Polynom av första graden skrivs ofta p(x) = ax + b.<br />

Polynom av andra graden skrivs ofta p(x) = ax 2 + bx + c.<br />

Summan, differensen <strong>och</strong> produkten av två polynom är också ett polynom.<br />

8 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />

Bla 3c.indb 8 2012-07-10 09.34


Vi repeterar några regler <strong>och</strong> lagar som kan användas vid räkning med<br />

polynom. I reglerna <strong>och</strong> lagarna nedan kan bokstäverna a, b , c <strong>och</strong> d<br />

representera ett tal, en variabel eller ett polynom med flera termer.<br />

Parentesreglerna<br />

(a + b) + (c – d ) = a + b + c – d<br />

(a + b) – (c + d ) = a + b – c – d<br />

(a + b) – (c – d ) = a + b – c + d<br />

Distributiva lagen<br />

a(b + c) = ab + ac<br />

(a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd<br />

Konjugatregeln<br />

(a + b)(a – b) = a 2 – b 2<br />

Kvadreringsreglerna<br />

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2<br />

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2<br />

1101<br />

Ge exempel på ett fjärdegradspolynom med tre termer.<br />

Den största exponenten ska vara 4.<br />

T ex p (x) = x 4 + 5x 2 – 4 eller p (x) = 2x 4 – x 3 + 10x<br />

1102<br />

Förenkla x + (2x + 5) 2 – 4(x + 3)(x – 3).<br />

x + (2x + 5) 2 – 4(x + 3)(x – 3) =<br />

Utveckla med kvadrerings<strong>och</strong><br />

konjugatregel.<br />

= x + (4x 2 + 20x + 25) – 4(x 2 – 9) = Multiplicera in i parentes.<br />

= x + 4x 2 + 20x + 25 – 4x 2 + 36 = Förenkla.<br />

= 21x + 61<br />

Har du en avancerad räknare som kan göra algebraiska förenklingar<br />

<strong>och</strong> lösa ekvationer? Använd den gärna för kontroll, men lös först<br />

uppgiften utan räknare.<br />

1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 9<br />

Bla 3c.indb 9 2012-07-10 09.34


1103 Enligt en modell växer en bakteriekultur enligt formeln<br />

N(x) = 2 500 + 350x + 25x 2<br />

där N(x) är antalet bakterier x minuter<br />

efter försökets början.<br />

Beräkna <strong>och</strong> tolka N(5) – N(4).<br />

N(4) = 2 500 + 350 ∙ 4 + 25 ∙ 4 2 = 4 300<br />

N(5) = 2 500 + 350 ∙ 5 + 25 ∙ 5 2 = 4 875<br />

efter 4 minuter finns<br />

det 4 300 bakterier.<br />

efter 5 minuter finns<br />

det 4 875 bakterier.<br />

N(5) – N(4) = 4 875 – 4 300 = 575 ≈ 580<br />

Antalet bakterier ökar med cirka 580 under den femte minuten.<br />

1104 Utveckla <strong>och</strong> förenkla<br />

a) 4x + 2(2x – 3) c) (x + 3)(2x + 4)<br />

b) 6a – 2(11 – 7a) d) (y – 4)(2 – y)<br />

1105 Utveckla med konjugatregeln<br />

a) ( x – 4)(x + 4) b) (7 – 2a)(7 + 2a)<br />

1106 Utveckla med kvadreringsreglerna<br />

a) (a + 5) 2 c) (3x + 4) 2<br />

b) (x – 9) 2 d) (5 – 6y) 2<br />

1107 Diagonalerna i figuren har samma summa<br />

som kolumnen i mitten.<br />

Vad ska stå i A <strong>och</strong> B?<br />

A<br />

a – b<br />

2a – 4<br />

3(b – a)<br />

6(a – b + 1)<br />

B<br />

b – a<br />

1108 Ge ett exempel på ett andragradspolynom<br />

med<br />

a) tre termer<br />

b) två termer.<br />

1109 Om biljettpriset till en tennismatch är p kr<br />

uppskattar man att antalet åskådare N( p)<br />

kan beräknas med<br />

N( p) = 3 000 – 20p<br />

Beräkna N(140) <strong>och</strong> tolka resultatet i ord.<br />

1110 Beräkna värdet för uttrycket<br />

2(a – 2) 2 – 2a (a – 3) om a = 4<br />

a) före förenkling<br />

b) efter förenkling.<br />

1111 Utveckla <strong>och</strong> förenkla<br />

a) 5x 2 – 4(2x – 3)(x – 5)<br />

b) 3(a – b) 2 – 2(a – b) 2<br />

c) (x – 2) 3<br />

d) (x – 1)x + (x 2 – 2x – 4)(x + 1)<br />

1112 p( x) är ett tredjegradspolynom. Vilken grad<br />

får det polynom som bildas då p (x)<br />

a) adderas med x 2<br />

b) multipliceras med x 2 ?<br />

Motivera dina svar.<br />

10 1.1 AlgebrA <strong>och</strong> polynom<br />

Bla 3c.indb 10 2012-07-10 09.34


1115 Utveckla <strong>och</strong> förenkla<br />

a) 2x(x + y) – 2y(x – y)<br />

b) 2 ⎛ ⎝ x + 1 2<br />

2⎞<br />

⎠ – 2 ⎛ ⎝<br />

x – 1 2<br />

⎞<br />

2⎠<br />

c) 2x(x + y) 2 – 2y(x – y) 2<br />

1116 Utveckla <strong>och</strong> förenkla<br />

a) (2a + 5) 3<br />

b) (a + b + 5)(a – b – 5)<br />

1117 Kostnaden K kr att producera x tröjor är<br />

K( x) = 800 + 15 x + 0,3 x 2<br />

Vinsten vid försäljning av x tröjor är<br />

V( x) kr.<br />

Ställ upp <strong>och</strong> förenkla ett uttryck för vinsten<br />

då tröjorna säljs för 90 kr/st.<br />

1113 Konstreproduktioner AB producerar högst<br />

30 målningar per vecka. Om firman en<br />

vecka producerar x målningar, räknar man<br />

med följande kostnader <strong>och</strong> intäkter:<br />

Kostnad i kr: K( x) = 5 000 + 80x + 10x 2<br />

Intäkt i kr: I ( x) = x(1 200 – 20x)<br />

Om intäkterna är större än kostnaden gör<br />

företaget en vinst.<br />

Ställ upp <strong>och</strong> förenkla ett uttryck för<br />

vinsten, V( x).<br />

1114 Bollens höjd y m över golvet vid ett<br />

straffkast i basket kan beräknas med<br />

formeln<br />

y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x 2<br />

där x m avståndet från utkastet räknat<br />

längs golvet.<br />

Beräkna <strong>och</strong> tolka y (2,5) – y (2,0).<br />

1118 Elleholms Finmekaniska tillverkar detaljer<br />

till en fiskerulle. Firmans totala kostnad<br />

K kr för att producera x detaljer uppskattas<br />

till K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x 2 .<br />

Ställ upp ett uttryck för hur kostnaden<br />

ändras om produktionen höjs från x detaljer<br />

till (x + 1) detaljer.<br />

1119 I en stugby finns 60 stugor att hyra. Ägaren<br />

har upptäckt att hon får alla stugor uthyrda<br />

om hon tar 3 000 kr för en vecka, <strong>och</strong> för<br />

varje hundralapp som hon ökar hyran med<br />

förlorar hon en hyresgäst.<br />

Ställ upp ett uttryck för hur den totala intäkten<br />

beror av en höjning med x hundralappar <strong>och</strong><br />

undersök vad den maximala intäkten är.<br />

1120 p(a + 1) = a 2 + 2a + 1. Bestäm p(x).<br />

1121 Bestäm det andragradspolynom p(x) sådant<br />

att p(–1) = 0, p(0) = 5 <strong>och</strong> p(2) = –3.<br />

1.1 AlgebrA <strong>och</strong> polynom 11<br />

Bla 3c.indb 11 2012-07-10 09.34


Potenser<br />

Vi repeterar <strong>och</strong> utvidgar några lagar <strong>och</strong> definitioner för potenser.<br />

Potenslagarna<br />

För reella exponenter x <strong>och</strong> y med samma positiva bas a gäller<br />

a x a y = a x + y a x<br />

a = a x – y (a x ) y = a xy<br />

y<br />

För positiva baser a <strong>och</strong> b med samma reella exponent x gäller<br />

a x b x = (a b) x a x<br />

b = ⎛ x ⎝ a b ⎞ x<br />

⎠<br />

Definitioner<br />

a 0 = 1 a –x = 1 a x a ≠ 0<br />

Basen är positiv <strong>och</strong> exponenten är ett reellt tal.<br />

1122<br />

Förenkla med potenslagarna<br />

4<br />

3<br />

a) 2x · x – 1 3<br />

b) 165<br />

8 c) (–3a –3 ) 2<br />

5 a –4<br />

4<br />

3<br />

a) 2x · x – 1 3<br />

= 2x<br />

4<br />

3 + ⎛ ⎝ – 1 ⎞<br />

3<br />

b) 165<br />

8 = ⎛ 5 ⎝ 16 5<br />

⎞<br />

8 ⎠ = 2<br />

5<br />

= 32 eller<br />

4<br />

⎠ 3<br />

= 2x<br />

– 1 3 3<br />

= 2x = 2x 1 = 2x<br />

3<br />

16 5 (2 · 8)5<br />

= = 25 · 8 5<br />

= 2 5 = 32<br />

5<br />

8 8 5 8 5<br />

c) (–3a–3 ) 2<br />

= (–3)2 · a –3 · 2 –6<br />

9a<br />

=<br />

a –4 a –4 a = 9a –6 – (–4) = 9a –6 + 4 = 9a –2 = 9 –4 a 2<br />

1123<br />

a) Utveckla (3 x + 3 –x ) 2<br />

b) Bryt ut 2 x ur 2 x + h – 2 x , dvs skriv i faktorform.<br />

c) Lös ekvationen 2 x–1 = 4 7<br />

a) (3 x + 3 –x ) 2 = (3 x ) 2 + 2 · 3 x · 3 –x + (3 –x ) 2 =<br />

= 3 2x + 2 · 3 0 + 3 –2x = 3 2x + 2 + 3 –2x<br />

b) 2 x + h – 2 x = 2 x · 2 h – 2 x = 2 x (2 h – 1)<br />

c) 2 x–1 = 4 7 ⇒ 2 x–1 = (2 2 ) 7 ⇒ x – 1 = 2 · 7 ⇒ x = 15<br />

12 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />

Bla 3c.indb 12 2012-07-10 09.34


1124 Skriv som en enda potens<br />

1130 Uttrycket 34 kan användas för att<br />

4<br />

3<br />

a) x 7 ∙ x –2 d) a5<br />

a –3<br />

motivera att a 0 = 1 <strong>och</strong> uttrycket 34<br />

3 7<br />

b) x6<br />

x e) 8 (b2 ) –4<br />

för att motivera a –n = 1 a n<br />

c) (4 x ) 3 f) b–3<br />

Förklara hur.<br />

b<br />

1125 Vilka av förenklingarna är felaktiga?<br />

1131 Förenkla<br />

Förklara vad som är fel.<br />

a) (5 x + 5 –x ) 2<br />

b) a<br />

1<br />

x (a 3x + 2a –x )<br />

–4<br />

a)<br />

förenklas till 3<br />

3 · 3 · 3 · 3<br />

b) 5 + 5 + 5 + 5 förenklas till 5 4<br />

1132 Lös ekvationen<br />

c) (3x) 0 + 3x 0 a) 2<br />

förenklas till 4<br />

5x – 2 = 2 x<br />

b) 2 5x – 2 = 4 x<br />

d) (4a) 3 förenklas till 12a 3<br />

c) 3 2x = 1<br />

e) 2 ∙ 2 3 förenklas till 4 3<br />

27<br />

d) 2 3x ∙ 2 –5 = 2 x<br />

1126 Förenkla<br />

a) (2 ∙ x 4 ) 3 + 2 ∙ (x 4 ) 3<br />

1133 Bryt ut <strong>och</strong> skriv i faktorform<br />

b) ⎛ ⎝ 2a 2<br />

a) x<br />

⎞ 2 x a – 3x a<br />

b 2 ⎠ b) a 3 + h – a 3<br />

1 1<br />

c) a 2 n + a n<br />

2 3<br />

c) x · x<br />

m<br />

d) x 1134 Förenkla<br />

2<br />

m<br />

3<br />

a) 33 + 2x + 3 2x<br />

x<br />

3 2 + x – 3 b) 23x + 4 – 16<br />

x 2 6x – 2 3x<br />

1127 Låt y = 2 20 <strong>och</strong> bestäm<br />

1135 Bestäm talet x<br />

a) hälften av y b) en fjärdedel av y.<br />

a) 2 59 + 2 58 = x ∙ 2 58<br />

1<br />

1128 Förenkla<br />

a) (2ab)3<br />

2ab ( c) 2 –3 x ) –3<br />

b) 42 2<br />

· 4<br />

4 · 4 = 0 2x<br />

c) 2<br />

b) 4a3 b –2 (3a) 2<br />

d)<br />

3a –4 b<br />

( 1 x ) x + 58 · 2 x – 58 = 2 59<br />

–n<br />

d) 97+ x<br />

3 = 1 7 + x 9<br />

1129 Förenkla<br />

a) 3 ∙ 10 –a ∙ 3 ∙ 10 –a<br />

1136 Förenkla<br />

b) 3 ∙ 10 –a + 3 ∙ 10 –a<br />

a) 3a+1 · 3 2<br />

c) 3n + 1 · 9 n<br />

c) (3 x + 3 x ) 2<br />

3 3 27 2n / 3<br />

d) (3 x + 3 x + 3 x ) 2 b) (x2m ) 3 · x –n<br />

d) 163n / 4 · 4 n + 1<br />

x 2m + n 8 5n / 3<br />

1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 13<br />

Bla 3c.indb 13 2012-07-10 09.34


Kvadratrötter <strong>och</strong> absolutbelopp<br />

Vi repeterar <strong>och</strong> utvidgar några lagar <strong>och</strong> definitioner om kvadratrötter.<br />

Definition<br />

Med kvadratroten ur a menas det positiva tal, vars kvadrat är a.<br />

(√a ) 2 = √a · √a = a a ≥ 0<br />

Lägg märke till följande:<br />

1 Kvadratroten ur ett tal är enligt definitionen ett positivt tal.<br />

√25 står alltså bara för det positiva talet 5.<br />

2 Ekvationen x 2 = 25 har däremot två lösningar.<br />

De är x 1 = √25 = 5 <strong>och</strong> x 2 = – √25 = –5. Vi skriver detta x = ±5<br />

3 – √25 är inte detsamma som √–25<br />

– √25 = –5 , medan beräkningen √–25 inte kan göras med reella tal.<br />

1<br />

2<br />

Sambandet a = √a ger tillsammans med potenslagarna<br />

a x b x = (ab) x <strong>och</strong> ax<br />

b = ⎛ x ⎝ a x<br />

⎞<br />

b ⎠ följande lagar.<br />

Lagar för kvadratrötter<br />

√a · √b = √ab a ≥ 0 b ≥ 0<br />

√a<br />

√b = √ a b<br />

a ≥ 0 b > 0<br />

1137<br />

Beräkna utan räknare<br />

2<br />

a) √25 + √2 · √50 b) 9 + 4 –0,5<br />

1<br />

a) √25 + √2 · √50 = 5 + √2 · 50 = 5 + √100 = 5 + 10 = 15<br />

1<br />

2<br />

b) 9 + 4 –0,5 1<br />

= √9 +<br />

4 = 3 + 1 0,5<br />

√ 4 = 3 + 1 2 = 3,5<br />

1138<br />

1 √ Visa att<br />

√2 = 2<br />

2<br />

1<br />

√2 = 1 · √2 √<br />

√2 · √2 = 2<br />

2<br />

14 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />

Bla 3c.indb 14 2012-07-10 09.34


Exempel 1 Om x > 0 så gäller likheten √x 2 = x.<br />

T ex √5 2 = √25 = 5.<br />

Om x är ett negativt tal så gäller däremot likheten √x 2 = –x<br />

T ex √(–5) 2 = √25 = 5 = –(–5)<br />

absolutbelopp<br />

Detta kan uttryckas med hjälp av begreppet absolutbeloppet av x, som<br />

skrivs |x|.<br />

Sammanfattning<br />

√x 2 = |x | = ⎧ ⎨<br />

⎩<br />

x om x ≥ 0<br />

–x om x < 0<br />

Exempel 2<br />

Absolutbeloppet av ett reellt tal kan definieras som talets avstånd till origo.<br />

Absolutbeloppet av 5 skrivs |5|<strong>och</strong> är lika med 5.<br />

Absolutbeloppet av –5 skrivs |–5| <strong>och</strong> är också lika med 5.<br />

| x – y| kan tolkas som avståndet mellan punkterna x <strong>och</strong> y.<br />

| x| = |x − 0|<br />

⎧ ⎪⎨⎪⎩<br />

x 0 y<br />

⎧<br />

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩<br />

| x − y| = | y − x|<br />

1139<br />

Beräkna<br />

a) |6| + |– 4| – |–7| b) √(–15) 2<br />

a) |6| + |– 4| – |–7| = 6 + 4 – 7 = 3<br />

b) √(–15) 2 = |–15| = 15<br />

1140<br />

Lös ekvationen |x – 3| = 4.<br />

Vi söker punkter med avståndet 4 till punkten 3.<br />

4<br />

⎧ ⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩<br />

⎧ ⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩<br />

4<br />

−2<br />

−1<br />

0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />

Ekvationens lösning är x = –1 <strong>och</strong> x = 7.<br />

1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 15<br />

Bla 3c.indb 15 2012-07-10 09.34


Arbeta utan räknare.<br />

1141 Beräkna<br />

a) √4 + √9 c) √2 · √8<br />

b) √4 · √9 d) (√2) 2 + √8 · √8<br />

1142 Skriv som en potens med basen 10<br />

a) √10 c) 10 √10<br />

1<br />

1<br />

b)<br />

d )<br />

√10<br />

10 √10<br />

1143 Beräkna<br />

a) 100 0,5 c) 100 –0,5<br />

b) √10 · √10 d ) √5 · √20<br />

1144 Beräkna<br />

a) |–5| + |–2| b) |–5| – |–2|<br />

1150 Det finns två tal x för vilka gäller att<br />

|x – 5| = 15<br />

Vilka tal är det?<br />

1151 Lös ekvationen<br />

a) |x – 1| = 1 b) |x| = 2<br />

1152 För vilka x gäller olikheten |x – 7| < 2 ?<br />

1153 Beskriv intervallet 7 ≤ x ≤ 13 med hjälp av<br />

absolutbelopp.<br />

1154 Skriv ett uttryck för triangelns tredje sida.<br />

a)<br />

a<br />

1145 Beräkna<br />

a) √(–3) 2 c) √4 · 10 8<br />

b) √3 2 + 4 2 d) √9 · 10 –2<br />

b)<br />

a<br />

1146 Bestäm den exakta lösningen till ekvationen<br />

a) x 2 = 10 c) x 2 + 2 2 = 3 2<br />

b) 2x 2 = 10 d ) x2<br />

2 = 52<br />

1147 Om du vet att √7 ≈ 2,646 vad är då<br />

a) √700 b) √70 000?<br />

1148 Visa att<br />

√ 32<br />

a) 2 √3 = √12 b)<br />

4 = √2<br />

1149 Förenkla så långt som möjligt<br />

√3 · √3 · √3<br />

a)<br />

√3 + √3 + √3<br />

b) x √x + x √x<br />

√x · √x<br />

1155 Utveckla <strong>och</strong> förenkla<br />

a) (√a + √b) (√a – √b)<br />

b) (√x + h + √x ) (√x + h – √x )<br />

c) (√a + √b) 2 – (√a + b) 2<br />

1156 Bestäm exponenten x<br />

a)<br />

√ a b√ a b = ⎛ ⎝ a x<br />

b⎞<br />

⎠<br />

2a<br />

√<br />

b) a b √ b a √ a b = ⎛ ⎝ a x<br />

b⎞<br />

⎠<br />

a<br />

16 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />

Bla 3c.indb 16 2012-07-10 09.34


Ekvationer<br />

Exempel<br />

Formeln s = v 0 t + at2<br />

2<br />

beskriver sambandet mellan<br />

sträcka, begynnelsehastighet,<br />

acceleration <strong>och</strong> tid.<br />

◗◗<br />

Vilken är accelerationen om hastigheten<br />

är 15 m/s, tiden 4,0 s <strong>och</strong> sträckan 100 m?<br />

Svaret får vi med hjälp av förstagradsekvationen<br />

100 = 15 · 4 + a · 42<br />

2<br />

◗◗<br />

Vilken är tiden om hastigheten är 15 m/s, accelerationen 4,0 m/s 2 <strong>och</strong><br />

sträckan 100 m?<br />

Svaret får vi med hjälp av andragradsekvationen<br />

100 = 15t + 4t2<br />

2<br />

Vi repeterar några lösningsmetoder för ekvationer.<br />

Lösningsformeln<br />

Ekvationen x 2 + px + q = 0 har lösningarna<br />

x = – p 2 ± √( p 2 ) 2 – q<br />

Andragradsekvationen saknar reella rötter om<br />

( p 2 ) 2 – q < 0, dvs om vi får<br />

ett negativt tal under rottecknet.<br />

1157<br />

Lös ekvationen 3x 2 + 9x – 12 = 0 utan räknare.<br />

Vi dividerar först med 3 <strong>och</strong> använder sedan lösningsformeln.<br />

3x 2 + 9x – 12 = 0<br />

x 2 + 3x – 4 = 0<br />

x = – 3 2 √ ± ⎛ ⎝ 3 2<br />

2⎞<br />

⎠ + 4<br />

x = – 3 2 ± √ 9 4 + 16<br />

4<br />

x = – 3 2 ± 5 2<br />

x 1 = 1 x 2 = – 4<br />

1.1 AlgebrA <strong>och</strong> polynom 17<br />

Bla 3c.indb 17 2012-07-10 09.35


1158<br />

kvadratrotsmetoden<br />

Lös ekvationen 6(x – 1) 2 = 30<br />

Vi kan lösa ekvationen genom att utveckla kvadraten, skriva om<br />

ekvationen <strong>och</strong> använda lösningsformeln, men det finns en<br />

enklare metod.<br />

Vi dividerar först med 6 <strong>och</strong> drar sedan kvadratroten ur båda<br />

leden.<br />

6(x – 1) 2 = 30<br />

(x – 1) 2 = 5<br />

x – 1 = ± √5<br />

x = 1 ± √5<br />

x 1 = 1 + √5 eller x 1 ≈ 3,236<br />

x 2 = 1 – √5 eller x 2 ≈ –1,236<br />

nollproduktmetoden<br />

Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll. Detta kan vi ibland<br />

använda för att lösa ekvationer. Förutsättningen är att ekvationen kan<br />

skrivas så att det ena ledet är noll <strong>och</strong> det andra ledet kan faktoriseras.<br />

Metoden kallas nollproduktmetoden.<br />

1159<br />

Lös ekvationen 5x(2x – 12)(3x + 15) = 0<br />

5x(2x – 12)(3x + 15) = 0<br />

1. 5x = 0 vilket ger x = 0<br />

2. (2x – 12) = 0 vilket ger x = 6<br />

3. (3x + 15) = 0 vilket ger x = – 5<br />

x 1 = 0 x 2 = 6 x 3 = – 5<br />

1160<br />

Lös ekvationen x 3 – 2x 2 – 3x = 0<br />

x 3 – 2x 2 – 3x = 0<br />

Vi faktoriserar VL genom att bryta ut x.<br />

x(x 2 – 2x – 3) = 0<br />

1. x = 0<br />

2. x 2 – 2x – 3 = 0 <strong>och</strong> lösningsformeln ger<br />

x = 1 ± √1 + 3<br />

x = 1 ± 2<br />

x 1 = 0 x 2 = 3 x 3 = – 1<br />

18 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />

Bla 3c.indb 18 2012-07-10 09.35


Lös ekvationerna.<br />

1161 a) 3x + 2 = 5x – 3<br />

b) 3x 2 = 15<br />

c) x(x + 5) = 0<br />

d) x 2 – 4x + 3 = 0<br />

1162 a) 3x(2x – 8) = 0<br />

b) x 2 + 10x= 0<br />

c) (z – 4) 2 = 64<br />

d) x 2 + 8x – 9 = 0<br />

1163 a) 3x 2 – 18 = x 2<br />

b) (z – 1)(z – 2) = (z – 3)(z – 4)<br />

c) 8x 2 – 8x + 2= 0<br />

1164 a) 2t 2 + 40t + 34 = 0<br />

b) 3x 2 + 12x = 36<br />

c) (x + 3)(x – 2) = 7<br />

1165 a) 4(x + 7) 2 = 36<br />

b) 4x 2 = 2x<br />

c) (x +3)(x – 4)(2x + 1) = 0<br />

1166 (Tal 1) 2 – (Tal 2) 2 = 14<br />

Tal 1 är 2 större än Tal 2.<br />

Vilka är talen?<br />

1167 Lös ekvationerna <strong>och</strong> besvara frågorna från<br />

det inledande exemplet på förra uppslaget.<br />

a) 100 = 15 · 4 + a · 42<br />

2<br />

b) 100 = 15t + 4t2<br />

2 , t > 0<br />

1168 Ge ett exempel på hur en andragradsekvation<br />

kan se ut om lösningarna är<br />

a) x = 2 <strong>och</strong> x = –2<br />

b) x = 0 <strong>och</strong> x = 8<br />

c) x = 1 2 <strong>och</strong> x = 1 3<br />

d) icke-reella.<br />

1169 Den totala kostnaden K kronor för att<br />

producera x detaljer i en mekanisk verkstad<br />

kan beskrivas med<br />

K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x 2<br />

a) Beräkna kostnaden för att producera<br />

450 detaljer.<br />

b) Hur många detaljer kan produceras för<br />

100000 kr?<br />

1170 Lös ekvationen<br />

a) x 3 – 4x = 0<br />

b) x 3 – 8x 2 + 15x = 0<br />

c) 4(3 – 3x)(8 – 2x 2 ) = 0<br />

1171 Ekvationen x 2 (4x + 5a) = 0 har<br />

lösningarna x = 0 <strong>och</strong> x = 2.<br />

Vilket värde har a?<br />

1172 En bakteriekultur tillväxer enligt formeln<br />

N( x) = 2 500 + 350x + 25x 2<br />

där N( x) är antalet bakterier x minuter<br />

efter försökets början.<br />

Hur lång tid tar det innan antalet bakterier<br />

har fördubblats?<br />

1173 Lös ekvationen<br />

a) x 2 (x + 1) – 64(x + 1) = 0<br />

b) (x 3 – 3x 2 ) – (2x – 6) = 0<br />

1174 I ekvationen 4x 2 – (2 – k) 2 = 0 är k en<br />

konstant.<br />

Lös ekvationen. Svara på så enkel form som<br />

möjligt.<br />

1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 19<br />

Bla 3c.indb 19 2012-07-10 09.35


substitution<br />

Nya typer av ekvationer kan vi ibland omforma <strong>och</strong> lösa med kända<br />

metoder. Ett sätt att omforma en ekvation är att ersätta ett uttryck med ett<br />

annat, enklare uttryck. Vi gör en substitution.<br />

1175<br />

Lös ekvationen x 4 – 8x 2 – 9 = 0<br />

Vi ersätter x 2 med t. Då kan x 4 ersättas med t 2 <strong>och</strong> vi får<br />

andragradsekvationen t 2 – 8t – 9 = 0<br />

t = 4 ± √16 + 9<br />

t = 4 ± 5<br />

t 1 = 9 <strong>och</strong> t 2 = –1<br />

Vi får x 2 = 9 <strong>och</strong> x 2 = –1<br />

Ekvationen x 2 = 9 har lösningen x = ±3<br />

Ekvationen x 2 = –1 saknar reell lösning<br />

(men de komplexa<br />

rötterna är x = ±i )<br />

Svar: Ekvationen x 4 – 8x 2 – 9 = 0 har den reella lösningen x = ±3<br />

1176<br />

Lös ekvationen<br />

a) (x 2 – 2) 2 – 16(x 2 – 2) + 28 = 0 b) x + √ x = 12<br />

a) Sätt x 2 – 2 = t b) Sätt √ x = t Då blir x = t 2 .<br />

t 2 – 16t + 28 = 0 t 2 + t – 12 = 0<br />

t = 8 ± √64 – 28 t = – 1 2 ± √ 1 4 + 12<br />

t = 8 ± √36 t = – 1 2 ± √ 1 4 + 48<br />

4<br />

t = 8 ± 6 t = – 1 2 ± 7 2<br />

t 1 = 14 t 2 = 2 t 1 = 3 t 2 = – 4<br />

x 2 – 2 = 14 x 2 – 2 = 2 √ x = 3 √ x = – 4<br />

x 2 = 16 x 2 = 4 x = 9 Saknar lösning.<br />

x = ± 4 x = ± 2<br />

Svar: a) Lösningarna är –4, –2, 2 <strong>och</strong> 4.<br />

b) Lösningen är 9.<br />

√x är<br />

positivt.<br />

20 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />

Bla 3c.indb 20 2012-07-10 09.35


otekvation<br />

Ekvationer där den obekanta förekommer under ett rottecken kallas<br />

rotekvationer. Rotekvationer kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket<br />

dock kan ge falska rötter.<br />

1177 Lös ekvationen √ x – 3 = 5 – x<br />

Vi kvadrerar båda leden, löser andragradsekvationen <strong>och</strong> prövar<br />

lösningen.<br />

√ x – 3 = 5 – x<br />

x – 3 = (5 – x) 2<br />

x – 3 = 25 – 10x + x 2<br />

x 2 – 11x + 28 = 0<br />

x = 5,5 ± √30,25 – 28<br />

x = 5,5 ± 1,5<br />

x 1 = 4 x 2 = 7<br />

Prövning i den ursprungliga ekvationen:<br />

x = 4: VL = √4 – 3 = 1 HL = 5 – 4 = 1 VL = HL<br />

x = 7: VL = √7 – 3 = 2 HL = 5 – 7 = –2 VL ≠ HL Falsk rot!<br />

En grafisk jämförelse mellan den ursprungliga <strong>och</strong> den<br />

kvadrerade ekvationen visar tydligt att antalet rötter är olika.<br />

Svar: Ekvationen √ x – 3 = 5 – x har lösningen x = 4.<br />

Lös ekvationerna.<br />

1178 a) x 4 – 2x 2 – 8 = 0<br />

b) x 4 – 2x 2 – 3 = 0<br />

1179 a) (x + 4) 2 – 16(x + 4) + 63 = 0<br />

b) (x 2 + 5) 2 – 15(x 2 + 5) + 54 = 0<br />

1180 Du har ekvationen √ x + 2 = x<br />

a) Kvadrera båda leden <strong>och</strong> skriv resultatet<br />

som en andragradsekvation.<br />

b) Vilka rötter har ekvationen i a)?<br />

c) Pröva rötterna i den ursprungliga<br />

ekvationen. Duger båda rötterna?<br />

d) Vilken lösning har ekvationen<br />

√x + 2 = x?<br />

1181 Bestäm med två decimalers noggrannhet<br />

rötterna till följande ekvationer.<br />

a) x 4 – 14 x 2 + 44 = 0<br />

b) x 4 – 6x 2 – 1 = 0<br />

1182 Lös ekvationen 13 √x = x + 36<br />

a) genom kvadrering <strong>och</strong> prövning<br />

b) genom att sätta √x = t<br />

Lös ekvationerna<br />

1183 a) x 2 (x + 1) – 64(x + 1) = 0<br />

b) √3x – 2 + 2 – x = 0<br />

1184 a) x – 5√x + 4 = 0<br />

b) (x + 1) – 27√x + 1 + 170 = 0<br />

c) (x 2 + 2x – 3) 2 + 2(x 2 + 2x – 3) – 3 = 0<br />

1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 21<br />

Bla 3c.indb 21 2012-07-10 09.35


Polynom i faktorform<br />

nollställe<br />

från nollställen<br />

till faktorform<br />

Vi har tidigare använt två metoder för att faktorisera polynom.<br />

1. Utbrytning av största möjliga faktor, t ex<br />

4x 2 + 12x = 4x ∙ x + 4x ∙ 3 = 4x(x + 3)<br />

5(x + 2) – x(x + 2) = (x + 2)(5– x)<br />

2. ”Omvänd” användning av konjugatregeln <strong>och</strong> kvadreringsreglerna, t ex<br />

4x 2 – 25 = (2x) 2 – 5 2 = (2x + 5)(2x – 5)<br />

x 2 – 6x + 9 = x 2 – 2 ∙ 3x + 3 2 = (x – 3) 2<br />

Vi ska nu visa en tredje metod.<br />

Ett nollställe till ett polynom p(x) är ett tal a sådant att p(a) = 0.<br />

Om vi har ett polynom i faktorform, t ex p(x) = (x + 2)(5 – x), så kan<br />

vi bestämma polynomets nollställen. Polynomet p(x) = (x + 2)(5 – x)<br />

har nollställena –2 <strong>och</strong> 5.<br />

Omvänt så kan vi faktorisera ett polynom om vi vet samtliga nollställen.<br />

Vill vi faktorisera polynomet p(x) = x 2 + 2x – 15 så börjar vi med att lösa<br />

ekvationen x 2 + 2x – 15 = 0 med lösningsformeln. Rötterna är –5 <strong>och</strong> 3.<br />

p(x) = x 2 + 2x – 15 = (x – (–5))(x – 3) = (x + 5)(x – 3)<br />

Om vi vill så kan vi kontrollera resultatet genom att multiplicera<br />

parenteserna.<br />

Ett polynom som saknar nollställen kan inte faktoriseras.<br />

Andragradspolynom<br />

i faktorform<br />

Ett andragradspolynom p (x) med nollställena a <strong>och</strong> b kan skrivas<br />

p (x) = k (x – a)(x – b)<br />

där k är en konstant.<br />

1185<br />

Faktorisera 18x 2 + 12x + 2<br />

Vi bryter ut 2 <strong>och</strong> använder 1:a kvadreringsregeln ”omvänt”.<br />

18x 2 + 12x + 2 = 2(9x 2 + 6x + 1) = 2(3x + 1) 2<br />

1186<br />

Faktorisera (x + 1) 2 – 4y 2<br />

Vi använder konjugatregeln ”omvänt”.<br />

(x + 1) 2 – 4y 2 = (x + 1) 2 – (2y) 2 = (x + 1 + 2y)(x + 1 – 2y)<br />

22 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />

Bla 3c.indb 22 2012-07-10 09.35


1187 Faktorisera polynomet p( x) = – 4x 2 + 24x – 32<br />

Vi löser ekvationen p( x) = 0 genom att bryta ut – 4 <strong>och</strong> använda<br />

lösningsformeln.<br />

p( x) = – 4x 2 + 24x – 32 = – 4(x 2 – 6x + 8)<br />

x 2 – 6x + 8 = 0<br />

x = 3 ± √9 – 8<br />

x 1 = 4 x 2 = 2<br />

p( x) = – 4(x – 4)(x – 2)<br />

1188 Bryt ut så mycket som möjligt.<br />

a) 5x + 25x 3 c) 24h + 4h 2<br />

b) 4h + 8h 2 + 12 d) 6hx + 3h 2 x<br />

1189 Faktorisera med konjugat- eller<br />

kvadreringsregel<br />

a) x 2 – 49 c) 81x 2 – 16 y 2<br />

b) x 2 – 6x + 9 d) 16x 2 + 8x + 1<br />

1190 Ange polynomets nollställen,<br />

dvs lös ekvationen p( x) = 0.<br />

a) p( x) = (x + 3)(x – 10)<br />

b) p( x) = 5x(x – 4)<br />

1191 Du vet att polynomet<br />

f ( x) = x 2 – 12x + 35<br />

har nollställena 5 <strong>och</strong> 7.<br />

Skriv f( x) i faktorform.<br />

1192 Skriv i faktorform<br />

a) p( x) = x 2 – 10x + 16<br />

b) g( x) = x 2 – 5x + 6<br />

1193 Faktorisera polynomen<br />

a) h(x) = 4x 2 – 24x + 32<br />

b) p(z) = 6 + 3z – 3z 2<br />

c) p( x) = 2x 2 – 18<br />

1194 Tobbe <strong>och</strong> Carro ska skriva polynomet<br />

p( x) = 3x 2 – 24x + 21 i faktorform.<br />

Tobbe får p(x) = 3(x + 1)(x + 7)<br />

Carro får p( x) = (x – 1)(x – 7)<br />

Båda har gjort fel.<br />

Förklara vilka fel de gjort.<br />

1195 Skriv två olika polynom som båda har<br />

nollställena –10 <strong>och</strong> 20.<br />

1196 Skriv i faktorform<br />

a) f (t) = 4t – 4t 2 – 1<br />

b) h(x) = 4x 2 + 4x + 4<br />

c) p(x) = –3x 2 – 2x + 1<br />

1197 Ett andragradspolynom p(x) har<br />

nollställena 1 <strong>och</strong> 4 <strong>och</strong> p(0) = –2.<br />

Är det sant att p(0) = p(6)?<br />

Motivera ditt svar.<br />

1198 Tredjegradspolynomet<br />

p( x) = x 3 + ax 2 + bx + c<br />

har nollställena –3, 1 <strong>och</strong> 5.<br />

Bestäm a, b <strong>och</strong> c.<br />

1199 Finn nollställena till polynomet<br />

p(x) = x 2 – (a + b)x + ab<br />

<strong>och</strong> försök tolka resultatet.<br />

1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 23<br />

Bla 3c.indb 23 2012-07-10 09.35


Aktivitet<br />

✽ Upptäck<br />

Pascals triangel<br />

Ett polynom är en summa av termer där termernas exponenter är naturliga tal.<br />

x 2 y + 2 x 2 + x y är ett tredjegradspolynom i två variabler x <strong>och</strong> y. Gradtalet<br />

ges av den term som har den största sammanlagda exponenten.<br />

1 Skriv (x + y) 2 som ett polynom.<br />

2 Skriv (x + y) 3 som ett polynom. Du kan använda<br />

sambandet (x + y) 3 = (x + y)(x + y) 2 =<br />

= (x + y)(x 2 + 2 xy + y 2 ).<br />

3 Skriv (x + y) 4 som ett polynom.<br />

4 Studera resultatet i uppgift 1, 2 <strong>och</strong> 3.<br />

Jämför exponenten i (x + y) n med<br />

a) antal termer i polynomet.<br />

Vad upptäcker du?<br />

b) gradtalet för varje term i polynomet.<br />

Vad upptäcker du?<br />

24 1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom<br />

Bla 3c.indb 24 2012-07-10 09.35


Tabellen nedan visar en del av Pascals triangel. Blaise Pascal (1623 – 1662) var en fransk matematiker,<br />

vetenskapsman <strong>och</strong> filosof som bland annat utvecklade talteorin.<br />

Siffrorna i de färgade kvadraterna är koefficienterna till de olika variabeltermerna då vi utvecklar (a + b) n .<br />

a +<br />

1<br />

1<br />

1 2<br />

a 3 +<br />

Den översta raden ger (a + b) 0 = 1<br />

Den andra raden ger (a + b) 1 = a + b<br />

Den tredje raden ger (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2<br />

1 b<br />

a 2 + ab + 1 b 2<br />

a 2 b + ab 2 + b 3<br />

5 a) Skriv av triangeln ovan <strong>och</strong> fyll i<br />

koefficienterna i den fjärde raden.<br />

b) Utöka triangeln med en femte rad<br />

som visar utvecklingen av (a + b) 4 .<br />

c) Förklara hur du kan finna koefficienterna<br />

i en rad med hjälp koefficienterna i raden<br />

ovanför.<br />

6 a) Vilket gradtal får varje term då (a + b) 5<br />

utvecklas <strong>och</strong> skrivs som ett polynom?<br />

b) Skriv nästa rad i Pascals triangel.<br />

c) Utveckla (a + b) 5<br />

d ) Utveckla (a + b) 6<br />

7 a) Jämför den andra koefficienten i varje rad<br />

med exponenten i (a + b) n .<br />

Vad upptäcker du?<br />

b) Utgå från det mönster som du har upptäckt.<br />

Vilka är de två första termerna i<br />

utvecklingen av (a + b) 10 ?<br />

8 Kan vi använda Pascals triangel för att utveckla<br />

(a – b) 2 , (a – b) 3 , ... ?<br />

Vad blir det för skillnad?<br />

1.1 Algebra <strong>och</strong> polynom 25<br />

Bla 3c.indb 25 2012-07-10 09.35


1.2 Rationella uttryck<br />

Vad menas med ett rationellt uttryck?<br />

rationellt tal<br />

En kvot av två heltal a b<br />

där b ≠ 0 kallar vi ett rationellt tal.<br />

Exempel på rationella tal är 5 7 <strong>och</strong> – 13 9<br />

rationellt uttryck<br />

Ett rationellt uttryck definieras som en kvot av två polynom p(x)<br />

q(x)<br />

Exempel på rationella uttryck är x + 5<br />

x<br />

<strong>och</strong> x2 + 4x + 2<br />

x – 2<br />

Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med noll.<br />

1201 Kostnaden K (x) i tusental kr för ett företag att avlägsna<br />

x % av förbränningsgasernas föroreningar kan uppskattas<br />

50 x<br />

vara K (x) =<br />

100 – x<br />

a) Beräkna <strong>och</strong> tolka K (90).<br />

b) Ange definitionsmängden, dvs tillåtna värden på x.<br />

50 · 90<br />

a) K (90) =<br />

100 – 90 = 450<br />

Det kostar 450 000 kr att ta bort 90 % av föroreningarna.<br />

b) 0 ≤ x < 100, K (x) är inte definierad för x = 100.<br />

26 1.2 rAtionellA Uttryck<br />

Bla 3c.indb 26 2012-07-10 09.35


1202 För vilka x-värden är uttrycket inte definierat?<br />

a)<br />

5x – 1<br />

2 x<br />

a) När x = 0.<br />

b)<br />

5x<br />

2 x + 4<br />

c)<br />

b) När 2x + 4 = 0 dvs då x = –2.<br />

2x<br />

x 2 + 1<br />

d)<br />

x 2 – 10<br />

x 2 – 12 x + 35<br />

c) x 2 + 1 kan inte bli noll. Uttrycket är definierat för alla värden<br />

på x.<br />

d) x 2 – 12x + 35 = 0<br />

x = 6 ± √ 36 – 35<br />

Uttrycket är inte definierat då x = 5 <strong>och</strong> x = 7.<br />

1203 Du har uttrycket G(x) = x + 7<br />

2x – 8<br />

a) Beräkna G(5).<br />

b) För vilket x-värde är nämnaren lika<br />

med noll?<br />

1204 Du har uttrycket G(x) = x2 + 3x – 2<br />

3x + 6<br />

a) Beräkna G(2).<br />

b) För vilket värde på x är uttrycket ej<br />

definierat?<br />

c) Är det sant att G(–3) < G(2)?<br />

Motivera ditt svar.<br />

1205 Då Lena försöker beräkna värdet av<br />

2xy<br />

uttrycket för x = 6 <strong>och</strong> y = –3<br />

x + 2y<br />

med sin räknare visas ”ERROR” i räknarens<br />

fönster. Förklara varför.<br />

1206 För vilka variabelvärden är uttrycken inte<br />

definierade?<br />

x – 6<br />

x – 6<br />

a)<br />

c)<br />

2 x 2 + 10 x 2 x 2 + 10x + 12<br />

x – 6<br />

2 x – 10<br />

b)<br />

d)<br />

2 x 2 + 10<br />

2 x 3 – 50 x<br />

1207 Skriv ett rationellt uttryck som<br />

a) inte är definierat för x = 7<br />

b) antar värdet 0 för x = 7<br />

c) inte är definierat för x = ± 3<br />

d) är definierat för alla x.<br />

1208 För en lastbil kan bränsleförbrukningen i<br />

liter/km beräknas med formeln<br />

1<br />

G(x) = ⎛<br />

250 ⎝ 2 500 + x ⎞ x ⎠<br />

där x är hastigheten i km/h.<br />

a) Hur mycket kostar en färd på 100<br />

mil, om bränslet kostar 16 kr/l <strong>och</strong><br />

hastigheten är 100 km/h?<br />

b) Hur långt kommer vi på samma mängd<br />

bränsle, om hastigheten är 50 km/h?<br />

1209 Uttrycket f (x) = 2 x3 + A<br />

kan användas<br />

3x 2 3<br />

för att beräkna ett närmevärde till √A,<br />

om x är ett lämpligt startvärde.<br />

Sätt A = 10.<br />

a) Beräkna f (2). Hur nära √10 är det?<br />

b) Beräkna f ( f (2)). Hur nära √10 är det?<br />

3<br />

3<br />

1.2 Rationella uttryck 27<br />

Bla 3c.indb 27 2012-07-10 09.35


Förlängning <strong>och</strong> förkortning<br />

förlängning<br />

Förlängning innebär att både täljare <strong>och</strong> nämnare i ett bråk eller ett<br />

rationellt uttryck multipliceras med samma tal eller uttryck.<br />

1<br />

2 = 5 · 1<br />

5 · 2 = 5<br />

10<br />

2<br />

x + 3 = x · 2<br />

x · (x + 3) = 2x<br />

x 2 + 3x<br />

Förlängning med 5.<br />

Förlängning med x.<br />

förkortning<br />

Förkortning innebär att både täljare <strong>och</strong> nämnare i ett bråk eller ett<br />

rationellt uttryck divideras med en gemensam delare.<br />

6 x<br />

8 = 6 x /2<br />

8 /2 = 3 x<br />

4<br />

Förkortning med 2.<br />

För att se gemensamma delare måste vi ibland faktorisera.<br />

5 x 3<br />

5x 2 – 10x = 5x · x 2<br />

5x (x – 2) = x 2<br />

x – 2<br />

Förkortning med 5x.<br />

enklaste form<br />

Ett bråk eller ett rationellt uttryck som inte kan förkortas är skrivet<br />

i enklaste form.<br />

1210<br />

Förläng med 3.<br />

a) 2 x b) 6x c) x – 4<br />

5<br />

2 x<br />

a) 2 x<br />

5 = 2 x · 3<br />

5 · 3 = 6 x<br />

15<br />

b) 6 x = 6 x<br />

1 = 6 x · 3<br />

1 · 3 = 18 x<br />

3<br />

c) x – 4 3 (x – 4)<br />

=<br />

2 x 3 · 2 x = 3 x – 12<br />

6 x<br />

1211<br />

Förläng så att nämnaren blir 24x.<br />

a) 3 b) x + 3<br />

4<br />

6<br />

a) 3 4 = 3 · 6 x<br />

4 · 6 x = 18 x<br />

24 x<br />

b) x + 3 4 x (x + 3)<br />

= = 4 x2 + 12 x<br />

6 4 x · 6 24 x<br />

28 1.2 Rationella uttryck<br />

Bla 3c.indb 28 2012-07-10 09.35


1212<br />

Skriv i enklaste form<br />

2 x<br />

a)<br />

14 x b) 3 x 5 y 2<br />

12 x – 30<br />

c) 2 15 x 2 7<br />

y 3 x + 6<br />

a) Vi faktoriserar <strong>och</strong> förkortar med 2 <strong>och</strong> med x.<br />

2 x<br />

14 x = 2 · x<br />

2 2 · 7 · x · x = 1 7x<br />

b) Vi faktoriserar <strong>och</strong> förkortar med 3x 2 <strong>och</strong> med y 2 .<br />

3 x 5 y 2<br />

15 x 2 y = 3 x 2 · x 3 · y 2<br />

7 5 · 3 x 2 · y 2 · y = x3<br />

5 5 y 5<br />

c) Vi faktoriserar <strong>och</strong> förkortar med 3.<br />

12 x – 30<br />

3 x + 6<br />

3(4 x – 10)<br />

=<br />

3(x + 2) = 4 x – 10<br />

x + 2<br />

1213<br />

Förenkla om möjligt följande uttryck<br />

a)<br />

x<br />

x + x 2<br />

b) x2 – 3 x<br />

2 x – 6<br />

c) 2 x – 3y<br />

6 x y<br />

a)<br />

x<br />

x + x = x<br />

2 x (1 + x) = 1<br />

1 + x<br />

b) x2 – 3 x<br />

2 x – 6<br />

c) 2 x – 3y<br />

6 x y<br />

=<br />

x (x – 3)<br />

2(x – 3) = x 2<br />

Täljaren kan inte faktoriseras.<br />

Ingen förenkling är möjlig.<br />

1214<br />

Förenkla dubbelbråket<br />

x<br />

2 – y 5<br />

x<br />

2 + y 5<br />

=<br />

10 (<br />

x<br />

2 – y 5 )<br />

10 ( x 2 + y 5 )<br />

x<br />

2 – y 5<br />

x<br />

2 + y 5<br />

=<br />

5x – 2y<br />

5x + 2y<br />

genom att förlänga med 10.<br />

1.2 Rationella uttryck 29<br />

Bla 3c.indb 29 2012-07-10 09.35


Vi kan bara förkorta ett uttryck om täljaren <strong>och</strong> nämnaren<br />

innehåller gemensamma faktorer.<br />

x + 3y<br />

kan därför inte förkortas.<br />

x<br />

VARNING<br />

Du frestas väl inte att förkorta <strong>och</strong> stryka x -termerna?<br />

1215 Förläng med 2.<br />

a) 3 x<br />

7<br />

b) 4 x<br />

c) x + 3<br />

7<br />

d) x – 3<br />

x<br />

1216 Förläng så att nämnaren blir 15x.<br />

a) 2 c) x – 2<br />

x<br />

5 x<br />

b) 2 d) 2 x + 1<br />

3 x<br />

3<br />

1217 Skriv i enklaste form<br />

a) 28<br />

32<br />

c)<br />

3 ab 3<br />

18 a 3 b<br />

b) 10 x 3<br />

15 x 2 d) 2 x + 2<br />

2 x<br />

1218 Skriv i enklaste form. Börja med att<br />

bryta ut.<br />

10<br />

a)<br />

5 x + 15<br />

b) 2 x – 4<br />

6 x + 8<br />

c)<br />

1219 Skriv i enklaste form.<br />

a) 4 h + h2<br />

h<br />

3 h<br />

b)<br />

3 h + x<br />

2 x<br />

5 x + x 2<br />

d) x 2 + 4 x<br />

x 2 + 3 x<br />

c)<br />

h<br />

2 x h + h 2<br />

d) 2 h2 – 4 h<br />

3 h – 6<br />

1220 Förklara varför 2 x + 2 y kan förkortas men<br />

x + y<br />

2 x + y<br />

inte<br />

x + y<br />

1221 Vad ska stå i parentesen?<br />

(?)<br />

a)<br />

28 x y = 35 x<br />

7y<br />

b) 4 x + 2<br />

10 x + 5 = (?)<br />

5<br />

3 a x<br />

c)<br />

a x 2 + a 2 x = 3<br />

(?)<br />

1222 Beräkna värdet för uttrycket<br />

6 y 2 – 8 y<br />

om y = 9<br />

9 y – 12<br />

a) före förenkling<br />

b) efter förenkling.<br />

1223 Förläng med 12 <strong>och</strong> förenkla<br />

a)<br />

(4 + 1/3)<br />

(3 – 1/4)<br />

b)<br />

2 a<br />

3 – 2 b<br />

4<br />

a<br />

3 + b 4<br />

1224 Polynomet p(x) beskrivs av formeln<br />

p(x) = 6 x 2 – 48 x.<br />

Vilket polynom är q(x) om det rationella<br />

uttrycket p (x) kan förenklas till<br />

q (x)<br />

a) 2 b) 3x c) x – 8<br />

2 x ?<br />

30 1.2 Rationella uttryck<br />

Bla 3c.indb 30 2012-07-10 09.35


1225 Förenkla<br />

a) x2 – 9<br />

x – 3<br />

b) 2 x2 – 98<br />

3 x + 21<br />

c) x 2 – 12 x + 36<br />

x 2 – 36<br />

a) Vi faktoriserar med konjugatregeln:<br />

x 2 – 9<br />

x – 3<br />

=<br />

(x + 3) (x – 3)<br />

(x – 3)<br />

= x + 3<br />

b) Utbrytning <strong>och</strong> faktorisering med konjugatregeln ger<br />

2 x 2 – 98<br />

3 x + 21 = 2 (x2 – 49) 2 (x + 7) (x – 7) 2 (x – 7)<br />

= =<br />

3 (x + 7) 3 (x + 7) 3<br />

c) Faktorisering med ena kvadreringsregeln samt<br />

konjugatregeln ger<br />

x 2 – 12 x + 36<br />

x 2 – 36<br />

(x – 6)2<br />

=<br />

(x + 6) (x – 6) = x – 6<br />

x + 6<br />

1226 Förenkla<br />

1231 Felicia förenklar: 7 (9 – z 2 )<br />

a) x2 – 25<br />

b) x + 4<br />

21 + 7z = 3 + z<br />

49 – x2<br />

c) <strong>och</strong> är osäker på om det blev rätt.<br />

x + 5<br />

x 2 – 16<br />

7 – x<br />

Pröva om HL = VL för z = 0<br />

1227 Förkorta så långt som möjligt.<br />

respektive z = 1.<br />

a) a + 1<br />

c) 2a2 + 4a<br />

a 2 – 1<br />

a 2 – 4<br />

1232 Förenkla så långt som möjligt<br />

b) a 2 + 1<br />

a – b<br />

a) (4 + h)2 – 4 2<br />

d)<br />

h<br />

a + 1<br />

a 2 – b 2<br />

b) 2(3 + h)2 – 2 · 3 2<br />

1228 Förkorta så långt som möjligt.<br />

h<br />

a) 6 + 2 x<br />

9 – x c) x 2 + 2 x + 1 1233 Förenkla genom att förlänga med x.<br />

2 x + 1<br />

b) 5 x 2 – 5<br />

d) x a) ⎛ 2 – 8 x + 16<br />

⎝ 4 x – x⎞ ⎠ / ⎛ ⎝ x + 4 x + 4⎞ ⎠<br />

x – 1<br />

x – 4<br />

b) 1 – x<br />

x –1 – 1<br />

1229 Förenkla<br />

4 x<br />

a)<br />

2 – 4 x<br />

2 a<br />

b)<br />

2 – 18 b 2 1234 Förenkla uttrycket (x + h)2 – x 2<br />

genom att<br />

h<br />

8 x 2 – 16 x + 8 a 2 – 6 a b + 9 b 2<br />

a) först använda kvadreringsregeln<br />

b) först använda konjugatregeln omvänt.<br />

1230 Beräkna utan räknare värdet för uttrycket<br />

9 – x 2<br />

3 – x om x = 2,999.<br />

1.2 Rationella uttryck 31<br />

Bla 3c.indb 31 2012-07-10 09.35


Exempel<br />

Hur kan vi förenkla uttrycken 3 + x<br />

x + 3 <strong>och</strong> 3 – x<br />

x – 3 ?<br />

3 + x<br />

x + 3 = x + 3<br />

x + 3 = 1<br />

Uttrycken 3 + x <strong>och</strong> x + 3 är lika.<br />

Däremot är 3 – x inte lika med x – 3.<br />

3 – x<br />

x – 3 = – x + 3 – 1(x – 3)<br />

=<br />

x – 3 x – 3<br />

= –1<br />

Vi bryter ut −1<br />

Kom ihåg:<br />

Bryt ut –1<br />

b – a = (–1) ∙ (a – b)<br />

1235<br />

Förenkla<br />

a) 15 – 5 a<br />

a – 3<br />

b) a 2 – 4<br />

6 – 3 a<br />

a) 15 – 5 a<br />

a – 3<br />

=<br />

5(3 – a)<br />

a – 3<br />

=<br />

–5(a – 3)<br />

a – 3<br />

= –5<br />

b) a 2 – 4 (a + 2)(a – 2) (a + 2)(a – 2)<br />

= = = a + 2<br />

6 – 3 a 3(2 – a) – 3(a – 2) – 3 = – a + 2<br />

3<br />

1236 Bryt ut –1 i täljaren.<br />

Förenkla<br />

a) 2 – x<br />

3<br />

1237 a) 8 – x<br />

x – 8<br />

b) 2 x – 14<br />

7 – x<br />

1238 a)<br />

(2 a – 1)2<br />

1 – 2 a<br />

b) 3 – 2 x – x 2<br />

4<br />

c) 9 – a2<br />

a – 3<br />

d) 20 – 4 y<br />

y 2 – 25<br />

b)<br />

10a – 50<br />

25 – a 2<br />

1239 a) a 2 – 1<br />

a – a 2 b) 36 x 2 – 12 x + 1<br />

1240 a) ⎛ ⎝ x + 1 2<br />

⎞<br />

1 + x⎠<br />

b) ⎛ ⎝ b – a 2<br />

⎞<br />

a – b ⎠<br />

1241 a) 4 x 2 – 4 x + 1<br />

5 x – 10 x c) 2 x3 – 8x<br />

2 4x 2 – 2 x 3<br />

(12 – 2 x)<br />

b)<br />

2 1 – x<br />

b)<br />

2<br />

x 2 – 12 x + 36 (x – 1) 2<br />

1242 Bryt ut (– 2) ur parentesen <strong>och</strong> förenkla<br />

(4 – 2 x)<br />

(4 – 2 x)3<br />

a) c)<br />

x – 2<br />

x – 2<br />

(4 – 2 x)2<br />

(4 – 2 x)6<br />

b) d)<br />

x – 2<br />

x – 2<br />

1 – 36 x 2<br />

32 1.2 Rationella uttryck<br />

Bla 3c.indb 32 2012-07-10 09.35


Addition <strong>och</strong> subtraktion<br />

lika nämnare<br />

Bråk med lika (samma) nämnare kan adderas <strong>och</strong> subtraheras direkt.<br />

4<br />

9 + 2 9 = 4 + 2 = 6 9 9 = 2 3<br />

På samma sätt förenklas rationella uttryck med lika nämnare.<br />

x<br />

x + 2 + 4 x<br />

x + 2 = x + 4 x<br />

x + 2 = 5 x<br />

x + 2<br />

olika nämnare<br />

gemensam nämnare<br />

MGN<br />

Bråk med olika nämnare kan inte adderas eller subtraheras direkt.<br />

Först måste vi förlänga så att de får lika (samma) nämnare.<br />

En gemensam nämnare är ett heltal eller ett polynom som är delbart<br />

med samtliga nämnare i två eller flera bråk eller rationella uttryck.<br />

Den minsta (positiva) gemensamma nämnaren betecknas MGN.<br />

5<br />

6 + 3 =___ Vilken gemensam nämnare ska vi välja?<br />

4<br />

Vi ska välja ett tal som är delbart med både 6 <strong>och</strong> 4, t ex 12, 24 eller 36.<br />

Om vi väljer MGN, som här är 12, blir beräkningarna enklast:<br />

5<br />

6 + 3 4 = 10<br />

12 + 9<br />

12 = 19<br />

12<br />

1243<br />

a) Beräkna 2 – 5 6 – 7 8<br />

b) Förenkla x<br />

24 + 1 36 – x<br />

30<br />

a) MGN = 24 ger 2 – 5 6 – 7 8 = 2 · 24<br />

1 · 24 – 5 · 4<br />

6 · 4 – 7 · 3<br />

8 · 3 = 48<br />

24 – 20<br />

24 – 21<br />

24 = 7 24<br />

b) 24 = 2 · 2 · 2 · 3<br />

36 = 2 · 2 · 3 · 3<br />

30 = 2 · 3 · 5<br />

⎫<br />

⎪<br />

⎬<br />

⎪<br />

⎭<br />

MGN = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360<br />

Ta med faktorer<br />

så att produkten<br />

blir delbar med<br />

24, 36 <strong>och</strong> 30.<br />

x<br />

24 + 1 36 – x<br />

30 = x · 15<br />

24 · 15 + 1 · 10<br />

36 · 10 – x · 12<br />

30 · 12 = 15x<br />

360 + 10<br />

360 – 12x<br />

360 =<br />

=<br />

15x – 12x + 10<br />

360<br />

=<br />

3x + 10<br />

360<br />

1.2 Rationella uttryck 33<br />

Bla 3c.indb 33 2012-07-10 09.35


1244<br />

Förenkla 1 6 + 2 3 x<br />

MGN: 2 ∙ 3 ∙ x = 6 x<br />

Vi förlänger till nämnaren 6 x:<br />

1<br />

6 + 2 3 x = 1 · x<br />

6 · x + 2 · 2<br />

2 · 3 x = x<br />

6 x + 4 6 x = x + 4<br />

6 x<br />

1245<br />

a) Lös ekvationen b) Förenkla uttrycket<br />

2 x + 1<br />

6<br />

+ 2 x<br />

8 = 6 2 x + 1<br />

+ 2 x<br />

6 8<br />

a) MGN: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24<br />

Multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN 24:<br />

24 (2 x + 1)<br />

+ 24 · 2 x = 24 · 6<br />

6<br />

8<br />

4(2x + 1) + 3 ∙ 2x = 144<br />

8x + 4 + 6x = 144<br />

14x + 4 = 144<br />

14x = 140<br />

x = 10<br />

b) MGN: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24<br />

Vi förlänger till nämnaren 24:<br />

2 x + 1<br />

6<br />

= 8 x + 4 + 6 x<br />

24<br />

+ 2 x 4(2 x + 1)<br />

=<br />

8 4 · 6<br />

= 14 x + 4 =<br />

24<br />

+ 3 · 2 x<br />

3 · 8 = 8 x + 4<br />

24<br />

2 (7x + 2)<br />

= 7x + 2<br />

2 · 12 12<br />

+ 6 x<br />

24 =<br />

Sammanfattning<br />

I en ekvation med rationella uttryck kan vi multiplicera båda leden<br />

(samtliga termer) med MGN. Detta ger en enklare ekvation.<br />

När vi förenklar ett rationellt uttryck förlänger vi (samtliga termer) till<br />

MGN. Detta ändrar inte uttryckets värde.<br />

34 1.2 Rationella uttryck<br />

Bla 3c.indb 34 2012-07-10 09.35


1246 Beräkna/förenkla<br />

a) 5 8 + 1 8<br />

b) 3 4 – 17<br />

8<br />

1247 Förenkla<br />

a) 1 a + 3 a<br />

b) 3 4 + 1 4 x<br />

c) x 7 + x 3<br />

d) 2x<br />

15 + x 6<br />

c) 2 x + 1 2x<br />

d) 5<br />

3 a + 1 2a<br />

1248 Lös ekvationen. Börja med att<br />

multiplicera alla termer med MGN.<br />

a) x 2 – x<br />

5 = 6 c) y 6 – y<br />

8 = 5<br />

b) x 3 + x 6 = 2 d) x 3 – 2 = x 4<br />

1249 a) Lös ekvationen<br />

3 x – 5<br />

4<br />

+ 9 – 2 x<br />

3<br />

= 2<br />

b) Förenkla uttrycket<br />

3 x – 5<br />

4<br />

+ 9 – 2 x<br />

3<br />

1253 Vid produktionen av x böcker är den<br />

genomsnittliga kostnaden G( x) kr<br />

per bok, där G(x) = 9 000 + 40 + x<br />

x<br />

30<br />

Hur många böcker tillverkas, om den<br />

genomsnittliga kostnaden är 96 kr?<br />

1254 Nora <strong>och</strong> My klipper en stor gräsmatta.<br />

Nora har motorgräsklippare <strong>och</strong> kan ensam<br />

klippa gräsmattan på 4,0 h. My har en<br />

vanlig handgräsklippare. Tillsammans kan<br />

de klippa hela gräsmattan på 3,0 h.<br />

a) Hur stor del av hela arbetet utför Nora på<br />

1,0 h?<br />

b) Hur stor del av hela arbetet gör de<br />

tillsammans på 1,0 h?<br />

c) Om My ensam klipper gräsmattan på<br />

x h, hur stor del av arbetet gör hon då<br />

på 1,0 h?<br />

d) Ställ upp en ekvation där x kan<br />

bestämmas.<br />

e) Hur lång tid tar det för My att ensam<br />

klippa gräsmattan?<br />

1250 Förenkla<br />

a) 2 3 y + y + 1<br />

y<br />

b) 3 y 2 + 1 4 y<br />

1251 Lös ekvationen<br />

a) x – 2<br />

3 = x – 3<br />

2 – 1<br />

b) 3 x + 1 5 x = 1<br />

c) 4 x + 6 2 = x<br />

1252 Pi <strong>och</strong> Bo förenklar uttrycket 1 x – x + 1<br />

2 x<br />

Pi: 2 · 1<br />

2 · x – x + 1<br />

Bo: 2 x · 1<br />

x<br />

–<br />

2 x = 2 – x + 1<br />

2 x<br />

2 x · (x + 1)<br />

2 x<br />

Båda gör fel! Vilka fel gör de?<br />

= 3 – x<br />

2 x<br />

= 2 – (x – 1)<br />

1.2 Rationella uttryck 35<br />

Bla 3c.indb 35 2012-07-10 09.35


1255<br />

Förenkla<br />

a) 2 – 4 – x<br />

x<br />

b)<br />

3<br />

x – 1 + 2<br />

1 – x<br />

a) MGN = x ger<br />

Obs! Parentes.<br />

2 – 4 – x = 2 · x<br />

x 1 · x – 4 – x<br />

x<br />

=<br />

2 x – (4 – x)<br />

x<br />

= 2 x – 4 + x = 3 x – 4<br />

x x<br />

Vi måste komma ihåg att sätta ut parenteser när vi går över till<br />

gemensamt bråkstreck <strong>och</strong> har uttryck med flera termer!<br />

3<br />

b)<br />

x – 1 + 2<br />

1 – x = 3<br />

x– 1 + 2<br />

(–1)(x – 1) = 3<br />

x – 1 – 2<br />

x – 1 = 1<br />

x – 1<br />

1256<br />

Lös ekvationen<br />

2 x 2<br />

x + 1 + 1 = 2<br />

x + 1<br />

Definitionsvillkor: x ≠ –1 Definitionsvillkoret innebär att x = –1<br />

inte kan vara rot till ekvationen.<br />

Multiplikation med MGN ger<br />

(x + 1) · 2x 2<br />

+ (x + 1) · 1 =<br />

x + 1<br />

2 x 2 + (x + 1) = 2<br />

2 x 2 + x – 1 = 0<br />

x 2 + 1 2 x – 1 2 = 0<br />

(x + 1) · 2<br />

x + 1<br />

x = – 1 4 ± √ 1 16 + 1 2<br />

x = – 1 4 ± 3 4<br />

x 1 = 1 2<br />

x 2 = –1<br />

x = –1 är en falsk rot, då den inte<br />

uppfyller definitionsvillkoret.<br />

Svar: x = 1 2<br />

36 1.2 Rationella uttryck<br />

Bla 3c.indb 36 2012-07-10 09.35


1257 a) Lös ekvationen 3 y – 5<br />

4<br />

b) Förenkla uttrycket 3 y – 5<br />

4<br />

Lös ekvationerna<br />

1258 a) 6 x – 5 = x b) y – 3<br />

y<br />

1259 a) x<br />

x + 4 + 1 = 16<br />

x + 4<br />

b) t + 1<br />

t – 2 = 3<br />

t – 2 + 5<br />

c) 1 + 1 y = 6 y 2<br />

d)<br />

2<br />

x – 2 – x 2 =<br />

x<br />

x – 2<br />

– 9 – 2 y<br />

3<br />

–<br />

= 0<br />

– 9 – 2 y<br />

3<br />

y + 2<br />

= 0<br />

4<br />

1260 Om man vet medicindosen för en vuxen,<br />

kan dosen för ett barn beräknas med<br />

x<br />

y = · d där d är vuxendosen,<br />

x + 12<br />

y är barndosen <strong>och</strong> x är barnets ålder.<br />

a) Hur många tabletter bör en fyraåring få,<br />

om en vuxen kan ta 6 tabletter?<br />

b) Vuxendosen är 1 cl <strong>och</strong> en pojke<br />

rekommenderas att ta 0,5 cl (5 ml).<br />

Hur gammal bör pojken vara?<br />

1261 Lös ekvationen<br />

x<br />

a)<br />

x – 2 – 3 x = 1 b) 1<br />

x – x – 1 2 x = 0<br />

1262 Förenkla uttrycket 1 + x<br />

x 2 – 4 – 5 – x<br />

x 2 – 4<br />

1263 Lös ekvationen<br />

1264 Ekvationen<br />

3<br />

x + 2 = 2 – 6 x<br />

1<br />

t – 1 –<br />

a<br />

t – 4 = 1 2<br />

har en lösning t = 2.<br />

Bestäm värdet på a <strong>och</strong> eventuella<br />

ytterligare lösningar.<br />

1265 Skriv följande uttryck så enkelt som möjligt.<br />

a)<br />

2<br />

a – b – 1<br />

b – a<br />

b) a – 10<br />

a – 5 – a<br />

5 – a<br />

c)<br />

2<br />

x 2 – 4 + 1<br />

2 x – x 2<br />

d) 6 a + 6<br />

a 2 – 9 + 4<br />

3 – a<br />

1266 Johannes förenklar a3 + 1<br />

a + 1 – a2 till 1 – a.<br />

Är förenklingen rätt?<br />

Undersök numeriskt med din räknare eller<br />

visa algebraiskt.<br />

1.2 rAtionellA Uttryck 37<br />

Bla 3c.indb 37 2012-07-10 09.35


Multiplikation <strong>och</strong> division<br />

Vi repeterar multiplikation <strong>och</strong> division av tal i bråkform.<br />

Multiplikation av bråk<br />

2<br />

3 · 5 6 = 2 · 5<br />

3 · 6 = 1 · 5<br />

3 · 3 = 5 9<br />

3 · 8 9 = 3 1 · 8 9 = 3 · 8<br />

1 · 9 = 1 · 8<br />

1 · 3 = 8 3<br />

Förkorta om det går<br />

innan du multiplicerar.<br />

Division av bråk<br />

2<br />

7<br />

5<br />

9<br />

=<br />

Vi får förlänga med<br />

vilket tal vi vill.<br />

Vi väljer det tal som<br />

ger nämnaren 1.<br />

=<br />

2<br />

7 · 9 5<br />

5<br />

9 · 9 5<br />

=<br />

2<br />

7 · 9 5<br />

1<br />

= 2 7 · 9 5 = 18<br />

35<br />

inverterat tal<br />

9<br />

5 kallas det inverterade talet till 5 9<br />

Täljare <strong>och</strong> nämnare<br />

byter plats.<br />

Produkten av ett tal <strong>och</strong> dess inverterade tal är 1.<br />

Att dividera med 5 9 ger samma resultat som att multiplicera med 9 5<br />

Vi förenklar rationella uttryck på samma sätt.<br />

1267 Förenkla<br />

a) 2 x · x2<br />

6<br />

b) 4 · x + 3<br />

x<br />

c) x + 1<br />

x / x + 1<br />

x d) a2 – 4<br />

2 6 a / 2<br />

a + 2<br />

12 a 2<br />

a) 2 x · x 2<br />

6 = 2 · x2<br />

x · 6 = x 3<br />

Obs! Parentes.<br />

b) 4 · x + 3 4 (x + 3)<br />

=<br />

x x<br />

c) x + 1<br />

x / x + 1<br />

x = x + 1<br />

2 x<br />

d) a2 – 4<br />

6 a 3 /<br />

= 4 x + 12<br />

x<br />

x 2<br />

·<br />

x + 1 a + 2<br />

12 a = a2 – 4<br />

2 6 a · 12 a 2<br />

3 a + 2<br />

=<br />

(x + 1) · x2<br />

x · (x + 1)<br />

= x<br />

Obs! Parentes.<br />

(a + 2)(a – 2) · 12 a2 2 (a – 2)<br />

= =<br />

6 a 3 · (a + 2)<br />

a<br />

38 1.2 Rationella uttryck<br />

Bla 3c.indb 38 2012-07-10 09.35


1268 Beräkna utan räknare<br />

1276 Förenkla<br />

a) 2 3 · 5 9<br />

c) 7 5 · 2 21<br />

a) x y<br />

/ y x<br />

c) 1 a b / a b<br />

b) 6 · 1 18<br />

d) 4 9 · 3 20<br />

b) y x / x y d) a / a b<br />

1269 Beräkna utan räknare<br />

a) 3 4 / 4 7<br />

b) 4<br />

/ 16<br />

3<br />

c) 16<br />

3 / 4<br />

d) 5 6 / 7 3<br />

1277 Beräkna värdet för uttrycket<br />

a – b b<br />

·<br />

2<br />

om a = 10 <strong>och</strong> b = 15<br />

b a 2 2<br />

– b<br />

a) före förenkling<br />

b) efter förenkling.<br />

1270 Förenkla<br />

a) 4 a<br />

5 · 1 2a<br />

b) 6 x<br />

7 · 14<br />

3 x<br />

c) 3x ·<br />

5<br />

12 x<br />

d) 1 9 x · 3 x 2<br />

10<br />

1278 Förenkla<br />

a) x2 – x<br />

y / x2 – 1<br />

c) x – y<br />

y 2 x + 2 y / x2<br />

a<br />

b) (a – 2) ·<br />

a 2 – 4<br />

– x y<br />

x 2 – 4 y 2<br />

1271 Skriv på ett gemensamt bråkstreck <strong>och</strong><br />

förenkla.<br />

a) 2 a<br />

3 b · 12<br />

a<br />

b) 5 · 2 x + 3<br />

2 x<br />

c) a + 3<br />

5 a · 10<br />

a + 3<br />

d) 5 x · 2 x – 3<br />

2 x<br />

1272 Vad är ”dubblan” (dubbelt så mycket) av<br />

a) 5 7<br />

1273 Förenkla<br />

a) x 4 / x 8<br />

b) 4 a<br />

5 / 2 a 2<br />

15<br />

b) a + b c)<br />

2<br />

3 · a b<br />

c) 9<br />

/ 3x<br />

28<br />

d) 12<br />

5 z / 21<br />

1274 Vad är tredjedelen av<br />

a) 5 2<br />

b) a + b c)<br />

7<br />

3 · a b<br />

1275 Förenkla<br />

a) x y<br />

6 · x y<br />

3<br />

b) a b<br />

3 c · 2 c<br />

a b<br />

c) x y<br />

6 / x y<br />

3<br />

d) a b<br />

3 c / 2 c<br />

a b<br />

d) x + 1<br />

4<br />

d) x + 1<br />

4<br />

?<br />

?<br />

1279 Förenkla<br />

a) a + 3<br />

b / (a2 – 9)<br />

b) (x 2 – 2 x + 1)/ x – 1<br />

2<br />

1280 Förenkla dubbelbråket<br />

genom att<br />

3<br />

5a – a<br />

15<br />

1<br />

a – 1 3<br />

a) först förlänga de enskilda bråken<br />

till MGN<br />

b) först förenkla täljaren för sig <strong>och</strong><br />

nämnaren för sig <strong>och</strong> sedan dividera.<br />

Förenkla.<br />

a<br />

3 + b 2<br />

1281 a)<br />

a<br />

3 – b 2<br />

1282 a)<br />

1<br />

z – 1 x<br />

z – x<br />

4 – 2 a<br />

b)<br />

16 – 4 a 2<br />

b)<br />

a<br />

x – x a<br />

x – a<br />

a x<br />

1283 Låt f (x) = <strong>och</strong> undersök om man<br />

2 x + 3<br />

kan bestämma talet a så att f ( f (x)) = x.<br />

1.2 Rationella uttryck 39<br />

Bla 3c.indb 39 2012-07-10 09.35


1.3 Funktioner<br />

Inledning<br />

Vi repeterar <strong>och</strong> utvidgar funktionsbegreppet.<br />

Funktion<br />

Definitionsmängd<br />

Värdemängd<br />

En regel som till varje tillåtet x -värde ger exakt ett y -värde<br />

kallas en funktion.<br />

De tillåtna x -värdena kallas funktionens definitionsmängd.<br />

De y -värden vi då kan få kallas funktionens värdemängd.<br />

Funktionsregeln kan beskrivas med ord, med en formel,<br />

en värdetabell eller en graf.<br />

y = f (x)<br />

kontinuerlig funktion<br />

Skrivsättet y = f(x) innebär att y är en funktion av x <strong>och</strong> f är funktionens<br />

namn.<br />

Med f(2) menas det y-värde som funktionsregeln ger då x = 2.<br />

Funktioner kan karaktäriseras på olika sätt. De funktioner vars graf kan<br />

”ritas utan att lyfta pennan” kallas för kontinuerliga.<br />

Med matematikens språk kan vi säga att en funktion är kontinuerlig i en<br />

punkt x om | f (x + h) – f (x)| kan göras godtyckligt litet genom att välja<br />

ett tillräckligt litet h. Om detta gäller för alla x i definitionsmängden är<br />

funktionen kontinuerlig.<br />

Alla polynomfunktioner är kontinuerliga.<br />

y<br />

y = f (x )<br />

y<br />

y = g (x )<br />

a<br />

b<br />

x<br />

a<br />

b<br />

x<br />

f är kontinuerlig för a ≤ x ≤ b<br />

g är diskontinuerlig för a ≤ x ≤ b<br />

En annan karaktärisering av funktioner kan göras utifrån vilken<br />

definitionsmängd de har. De funktioner vars definitionsmängd är heltalen<br />

(eller delmängder av heltalen) kallar vi diskreta. I matematiken betyder<br />

ordet diskret ungefär detsamma som ”åtskild” eller ”särad”.<br />

diskret funktion<br />

En diskret funktion kan aldrig vara kontinuerlig eftersom resonemangen<br />

med ”godtyckligt litet” respektive ”tillräckligt litet” inte fungerar.<br />

40 1.3 Funktioner<br />

Bla 3c.indb 40 2012-07-10 09.35


Exempel<br />

En handlare säljer äpplen för 20 kr/kg.<br />

Funktionen y = 20x beskriver priset<br />

y kronor för äpplen som väger x kg.<br />

Detta är en kontinuerlig funktion,<br />

definitionsmängden är de reella talen<br />

större än eller lika med 0.<br />

En annan handlare säljer äpplen för 5 kr/st.<br />

Funktionen y = 5x beskriver priset y kronor<br />

för x st äpplen.<br />

Detta är en diskret funktion,<br />

definitionsmängden är de naturliga talen.<br />

kr<br />

60<br />

y<br />

kr<br />

15<br />

y<br />

40<br />

10<br />

20<br />

x<br />

5<br />

x<br />

1 2 3<br />

kg<br />

1 2 3<br />

antal<br />

Priset som funktion av vikten.<br />

Priset som funktion av antalet.<br />

1301 Låt f( x) = 6x – 5 <strong>och</strong> g(x) = x 2 + 3x. 1306 Funktionen f definieras av formeln<br />

a) y = 2x – 1 c) f( x) = √ x + 3<br />

a) Bestäm f (–2) + f (2)<br />

b) y = x 2 d) f( x) = 2 x b) För vilket värde på a är funktionen<br />

kontinuerlig?<br />

Bestäm<br />

1<br />

f( x) =<br />

x – 4<br />

a) f (2) c) f (2) – g (2)<br />

a) Rita funktionens graf.<br />

b) g (–3) d) g (b) – f (b)<br />

b) Ange funktionens definitionsmängd.<br />

1302 Låt f( x) = 3x – 2 <strong>och</strong> bestäm<br />

c) Förklara varför funktionens värdemängd<br />

a) f (a + 1) b) f (a + h)<br />

är alla reella tal y ≠ 0.<br />

1303 Låt g(x) = x 2 – 3 <strong>och</strong> bestäm<br />

1307 Låt f( x) = x 2 + 3x <strong>och</strong> förenkla<br />

a) g(a – 2) b) g(a + 2)<br />

f (2 + h) – f (2) f (x + h) – f ( x )<br />

a) b)<br />

h<br />

h<br />

1304 Priset y kr för att hyra ett par skidor<br />

i x dagar beskrivs av funktionen<br />

y = 200 + 100 x.<br />

Är funktionen diskret eller kontinuerlig?<br />

1308 En <strong>och</strong> samma funktion kan beskrivas<br />

med olika formler i olika delar av sin<br />

definitionsmängd.<br />

Funktionen f är definierad på följande sätt:<br />

Motivera ditt svar.<br />

⎧x f ( x) =<br />

för x ≤ 1<br />

⎨<br />

⎩2 x + a för x > 1<br />

1305 Bestäm definitions- <strong>och</strong> värdemängd för<br />

1.3 fUnktioner 41<br />

Bla 3c.indb 41 2012-07-10 09.35


Historik<br />

Hur funktionsbegreppet utvecklats<br />

Vår önskan att med hjälp av matematiska modeller<br />

beskriva <strong>och</strong> förstå omvärlden har med<br />

tabeller, diagram, formler, ekvationer <strong>och</strong> grafer<br />

lett fram till funk tionsbegreppet.<br />

I mitten av 1700-talet gav<br />

Euler, en mycket produktiv<br />

matematiker från Schweiz,<br />

en samlad beskrivning av de<br />

enkla funktioner som ingår i<br />

dagens skolkurser. Euler införde<br />

beteckningen f (x) <strong>och</strong> gav 1734<br />

följande definition:<br />

Leonhard Euler<br />

(1707 – 1783)<br />

Dirichlets definition skiljer sig<br />

på två viktiga sätt från Eulers:<br />

Funktionsregeln behöver inte<br />

vara given med ett algebraiskt<br />

uttryck, <strong>och</strong> varje värde på x<br />

ska ge ett värde på y.<br />

Den tyske matematikern<br />

Georg Cantor skapade på<br />

1870-talet mängdläran<br />

som ett beskrivningssätt<br />

för all matematik. Cantors<br />

funktionsdefinition blir:<br />

Georg Cantor<br />

(1845 – 1918)<br />

”En funktion f( x) är ett algebraiskt uttryck med<br />

konstanter <strong>och</strong> variabler, definierat genom en<br />

ekvation eller en graf.”<br />

Eulers definition skärptes under nästa århundrade,<br />

<strong>och</strong> 1837 gav den tyske matematikern<br />

Dirichlet oss den definition som än idag används:<br />

”Om X <strong>och</strong> Y är två givna mängder, <strong>och</strong> om till varje<br />

element x i X är ordnat ett bestämt element y i Y,<br />

så har vi en funktion från X till Y.”<br />

Enligt denna definition behöver inte elementen<br />

x <strong>och</strong> y vara tal.<br />

”Om två variabler x <strong>och</strong> y har<br />

ett sådant samband, att när vi<br />

ger x ett värde så ordnas till detta<br />

automatiskt genom någon regel<br />

ett bestämt värde på y, då säger vi<br />

att y är en funktion av x.”<br />

X<br />

x<br />

BC_K1_3_hist<br />

y<br />

Y<br />

Peter Dirichlet<br />

(1805 – 1859)<br />

1 En cirkel med radien 2 ges av ekvationen<br />

y 2 + x 2 = 2 2 .<br />

a) Beräkna alla värden på y om<br />

x = –2, –1, 0, 1, 2.<br />

b) Skissa cirkeln i ett koordinatsystem.<br />

c) Är detta en funktion enligt Eulers, Dirichlets<br />

<strong>och</strong> Cantors definition?<br />

2 Elementen i Cantors definition behöver inte<br />

vara tal. Beskriver följande tabell en funktion?<br />

a)<br />

x –2 0 2 4<br />

b)<br />

y 2 –2 2 14<br />

x blå röd grön blå<br />

y röd grön blå blå<br />

42 1.3 fUnktioner<br />

Bla 3c.indb 42 2012-07-10 09.35


Räta linjens ekvation<br />

Vi repeterar från kurs 2c.<br />

Räta linjens ekvation kan skrivas y = kx + m där k anger lutningen<br />

<strong>och</strong> m anger var linjen skär y-axeln.<br />

Linjen y = 2x – 7 skär y-axeln i punkten (0, –7).<br />

Bestämning av k ur en graf<br />

y<br />

y<br />

1<br />

∆y = 3<br />

∆x = 2 x<br />

1<br />

1<br />

∆x = 1<br />

∆y = –3<br />

x<br />

1<br />

y<br />

k = ∆<br />

x<br />

= 3<br />

∆ 2<br />

=<br />

y<br />

15 , k = ∆<br />

x<br />

= −3<br />

∆<br />

= − 3<br />

1<br />

k > 0, linjen stiger<br />

k < 0, linjen faller<br />

En horisontell linje har k = 0 <strong>och</strong> en ekvation av typen y = 3.<br />

En vertikal linje saknar k-värde <strong>och</strong> har en ekvation av typen x = 3.<br />

Formeln för k<br />

förändringen i y-led<br />

k =<br />

förändringen i x-led = ∆ y<br />

∆ x = y 2 – y 1<br />

x 2 – x 1<br />

där x 2 ≠ x 1 .<br />

Parallella linjer <strong>och</strong> vinkelräta linjer<br />

Två icke-vertikala linjer med riktnings koefficienter k 1 <strong>och</strong> k 2 är<br />

◗◗<br />

parallella om <strong>och</strong> endast om k 1 = k 2<br />

(har samma k-värde)<br />

◗◗<br />

vinkelräta om <strong>och</strong> endast om k 1 ∙ k 2 = –1<br />

Linjen y = x 4 har k-värdet 1 <strong>och</strong> är parallell med linjen y = 0,25x + 3<br />

4<br />

<strong>och</strong> vinkelrät mot linjen y = 1 – 4x<br />

Räta linjens ekvation<br />

k-form y = kx + m<br />

enpunktsform y – y 1 = k (x – x 1 )<br />

allmän form ax + by + c = 0<br />

1.3 Funktioner 43<br />

Bla 3c.indb 43 2012-07-10 09.35


1309<br />

Linjen L går genom punkterna (–2, 1) <strong>och</strong> (4, –4).<br />

a) Beräkna k-värdet för linjen.<br />

b) Bestäm ekvationen för den linje M som går genom<br />

punkten (–2, 3) <strong>och</strong> är parallell med linjen L.<br />

y<br />

M<br />

( 2, 3)<br />

L<br />

∆x = 6<br />

( 2, 1) 1<br />

x<br />

a) (x 1 , y 1 ) = (–2, 1) <strong>och</strong> (x 2 , y 2 ) = (4, –4)<br />

1<br />

∆y = –5<br />

k = y 2 – y 1<br />

x 2 – x 1<br />

(4, 4)<br />

k = – 4 – 1<br />

4 – (–2) = – 5<br />

6 = – 5 6<br />

b) Parallella linjer har samma k-värde.<br />

Linje M har k = – 5 6<br />

<strong>och</strong> går genom punkten (–2, 3).<br />

Metod 1 Metod 2<br />

Vi använder y = k x + m.<br />

Vi använder y – y 1 = k(x – x 1 ).<br />

y = 3, x = – 2 <strong>och</strong> k = – 5 6 ger<br />

y 1 = 3,<br />

x 1 = –2 <strong>och</strong> k = – 5 6 ger<br />

3 = – 5 6 · (– 2 ) + m<br />

3 = 5 3 + m<br />

m = 4 3<br />

y =– 5 x<br />

6 + 4 3<br />

y – 3 = – 5 (x – (–2))<br />

6<br />

y – 3 = – 5 x<br />

6 – 5 3<br />

y = – 5 x<br />

6 – 5 3 + 9 3<br />

y = – 5 x<br />

6 + 4 3<br />

1310<br />

Ge ett exempel på ekvationen för en rät linje som är vinkelrät mot linjen<br />

6 x + 3 y – 12 = 0.<br />

Vi omvandlar den allmänna formen 6x + 3y – 12 = 0 till k-form:<br />

3y = – 6x + 12<br />

y = – 2 x + 4<br />

k 1 ∙ k 2 = –1 <strong>och</strong> k 1 = –2 ger k 2 = 0,5.<br />

Den vinkelräta linjens ekvation kan t ex vara y = 0,5x + 7.<br />

44 1.3 Funktioner<br />

Bla 3c.indb 44 2012-07-10 09.35


1311 Bestäm lutningen k för en linje genom<br />

(1, 3) <strong>och</strong> (–1, 2).<br />

1312 Bestäm en ekvation för linjen genom<br />

(3, –2) <strong>och</strong> med<br />

a) k = 4 b) k = –3<br />

1313 Rita grafen till<br />

a) y = 2 x – 3 b) 5 x + 3y – 9 = 0<br />

1314 I en glesbygdskommun minskade<br />

invånarantalet linjärt under 1990-talet<br />

enligt y = 15 000 – 225 x<br />

där y är antalet invånare x år efter 1990.<br />

a) Ange <strong>och</strong> tolka funktionens m -värde.<br />

b) Ange <strong>och</strong> tolka funktionens k -värde.<br />

1315 Bestäm en ekvation för linjen genom<br />

(–3, 1) <strong>och</strong> (2, –9).<br />

1316 Skriv på allmän form ekvationen för linjen<br />

genom punkterna (2, 8) <strong>och</strong> (5, 10).<br />

1317 Mellan temperaturskalorna Fahrenheit (°F)<br />

<strong>och</strong> Celsius (°C) finns ett linjärt samband.<br />

Vi vet att 20 °C motsvarar 68 °F <strong>och</strong> 100 °C<br />

motsvarar 212 °F.<br />

a) Ställ upp det linjära samband som visar<br />

hur y °F kan beräknas för x °C.<br />

b) Beräkna med ditt samband hur många °F<br />

som motsvarar 0 °C.<br />

1320 Ett cylinderformat stearinljus har diametern<br />

23 mm <strong>och</strong> längden 200 mm. Brinntiden är<br />

8 timmar.<br />

a) Hur långt är ljuset då det har brunnit<br />

i 5 timmar?<br />

b) Hur lång tid har ljuset brunnit om det är<br />

120 mm långt?<br />

c) Ställ upp ett linjärt samband mellan<br />

ljusets längd f (t) mm <strong>och</strong> den tid<br />

t timmar som ljuset har brunnit.<br />

1321 Ange en ekvation för den linje som går<br />

genom punkten (1, –4) <strong>och</strong> är vinkelrät mot<br />

a) y = x + 3 b) y = – 2 x + 4<br />

1322 Vilka koordinater har punkten B, om<br />

lut ningen för linjen genom A <strong>och</strong> B är 5?<br />

y = x<br />

2<br />

y<br />

B<br />

1318 Ange en ekvation för den linje som går<br />

genom punkten (2, – 5) <strong>och</strong> är parallell med<br />

a) y = – 5x + 3 b) 2y – 6x + 12 = 0<br />

1<br />

A (1, 1)<br />

x<br />

1<br />

1319 Bestäm linjens ekvation.<br />

y<br />

a) b)<br />

y<br />

f (x + ∆ x) – f (x)<br />

1323 Ställ upp <strong>och</strong> förenkla<br />

∆ x<br />

om f ( x ) = a x + b. Tolka ditt resultat.<br />

1<br />

1<br />

x<br />

c)<br />

1<br />

1<br />

d)<br />

x<br />

1324 För en linjär funktion gäller att<br />

f(a + 1) = a + 2.<br />

Bestäm funktionen på formen y = k x + m.<br />

1.3 Funktioner 45<br />

Bla 3c.indb 45 2012-07-10 09.35


Andragradsfunktioner<br />

Vi repeterar från kurs 2c.<br />

En andragradsfunktion definieras av en ekvation av typen<br />

y = 2 x 2 – 12x + 10 <strong>och</strong> f ( x ) = 8 x – x 2<br />

Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas<br />

allmän andragradsfunktion<br />

parabel<br />

symmetrilinje<br />

vertex<br />

f( x) = a x 2 + b x + c<br />

där a, b <strong>och</strong> c är konstanter <strong>och</strong> a ≠ 0.<br />

Grafen till en andragradsfunktion<br />

y = a x 2 + b x + c kallas en parabel.<br />

Den har en symmetrilinje som delar<br />

kurvan i två delar, som är varandras<br />

spegelbilder.<br />

Två punkter på kurvan med samma<br />

y-värde ligger därför på samma<br />

avstånd från symmetrilinjen, se figuren<br />

här intill.<br />

Symmetrilinjen går genom parabelns<br />

vertex (vändpunkt) som är en maximieller<br />

minimipunkt på grafen.<br />

Då ekvationen a x 2 + b x + c = 0 skrivs om till<br />

x 2 + p x + q = 0 är symmetrilinjens ekvation x = – p 2<br />

y<br />

symmetrilinje<br />

nollställen<br />

x<br />

vertex<br />

minimipunkt<br />

maximipunkt<br />

nollställen<br />

Om a > 0 (t ex y = 3 x 2 ) har kurvan en minimipunkt.<br />

Om a < 0 (t ex y = –1,5 x 2 ) har kurvan en maximipunkt.<br />

Där grafen skär x-axeln är y = 0<br />

x-koordinaten i dessa skärningspunkter<br />

kallas funktionens nollställen.<br />

Nollställena är reella lösningar till ekvationen ax 2 + bx + c = 0.<br />

Saknas reella lösningar skär grafen aldrig x-axeln.<br />

Där grafen skär y-axeln är x = 0. Grafen skär y-axeln i punkten (0, c).<br />

En andragradsfunktion är ett exempel på en polynomfunktion.<br />

polynomfunktion<br />

En polynomfunktion definieras som en funktion som anges av ett<br />

polynom. I kommande kapitel ska vi studera polynomfunktioner<br />

av tredje <strong>och</strong> fjärde graden.<br />

46 1.3 Funktioner<br />

Bla 3c.indb 46 2012-07-10 09.35


1325 Undersök andragradsfunktionerna y = x 2 – 6 x <strong>och</strong> y = –3 x 2 – 6 x – 6.<br />

a) Var skär grafen y- axeln?<br />

b) Har funktionen några nollställen?<br />

c) Bestäm grafens symmetrilinje.<br />

d) Ange koordinaterna för vertex.<br />

e) Ange funktionens största/minsta värde.<br />

f) Kontrollera dina resultat grafiskt.<br />

y = x 2 – 6 x<br />

a) x = 0 ger y = 0.<br />

Grafen skär y-axeln i origo.<br />

b) y = x 2 – 6 x<br />

x 2 – 6 x = 0<br />

x( x – 6) = 0<br />

Nollställena är<br />

x 1 = 0 x 2 = 6<br />

c) Symmetrilinjen är x = 3<br />

(mitt emellan 0 <strong>och</strong> 6)<br />

d) x = 3 ger<br />

y = 3 2 – 6 ∙ 3 = –9<br />

(3, – 9) är vertex<br />

e) x 2 – termen är positiv.<br />

Funktionen har ett minsta värde – 9<br />

( y-värdet i vertex).<br />

y = –3 x 2 – 6 x – 6<br />

a) x = 0 ger y = –6.<br />

Grafen skär y-axeln i punkten (0, –6).<br />

b) y = –3 x 2 – 6 x – 6<br />

–3 x 2 – 6 x – 6 = 0<br />

x 2 + 2 x + 2 = 0<br />

x = –1 ± √ 1 – 2<br />

Nollställen saknas<br />

c) Symmetrilinjen är x = –1<br />

( x = – p/2 om x 2 + p x + q = 0)<br />

d) x = –1 ger<br />

y = –3 ∙ (–1) 2 – 6 ∙ (–1) – 6 = – 3<br />

(–1, – 3) är vertex<br />

e) x 2 – termen är negativ.<br />

Funktionen har ett största<br />

värde – 3.<br />

f) 15<br />

f) 0<br />

–3 1<br />

(–1, –3)<br />

–4 10<br />

–10<br />

(3, –9)<br />

–10<br />

1.3 Funktioner 47<br />

Bla 3c.indb 47 2012-07-10 09.35


4<br />

x<br />

1<br />

2<br />

1326 Figuren visar grafen till<br />

en andragradsfunktion.<br />

Skriv funktionen i<br />

a) faktorform<br />

b) utvecklad form.<br />

1<br />

4<br />

y<br />

2<br />

x<br />

Nollställen<br />

–1 <strong>och</strong> 2<br />

a) Nollställena –1 <strong>och</strong> 2 ger<br />

f (x) = k (x + 1) (x – 2)<br />

Vi avläser f (0) = 4, vilket ger<br />

k (0 + 1) (0 – 2) = 4<br />

k ∙ 1 ∙ ( –2 ) = 4<br />

k = –2<br />

f ( x ) = –2 (x + 1)(x – 2)<br />

b) f ( x ) = – 2 ( x + 1)(x – 2) = – 2 (x 2 – 2 x + x – 2) = – 2 x 2 + 2 x + 4<br />

1327 Funktionen y = 6 x – x 2<br />

a) Har kurvan en maximi– eller<br />

minimipunkt?<br />

b) Bestäm kurvans nollställen genom att<br />

lösa ekvationen 6x – x 2 = 0<br />

c) Ange kurvans symmetrilinje.<br />

d) Bestäm koordinaterna för kurvans<br />

vändpunkt.<br />

e) I vilken punkt skär kurvan y-axeln?<br />

f) Skissa först grafen för hand <strong>och</strong><br />

kontrollera sedan med grafräknare.<br />

1328 Ange funktionens nollställen<br />

a) f ( x ) = ( x + 3 )( x – 10)<br />

b) f ( x ) = 5 x ( x – 4)<br />

1329 ”Om man har ekvationen för en andragradsfunktion<br />

så finns det en enkel metod att<br />

avgöra om grafen har en maximi- eller<br />

minimipunkt. Inga beräkningar behövs <strong>och</strong><br />

grafen behöver ej ritas.”<br />

Förklara denna metod.<br />

1330 Bestäm kurvans eventuella nollställen samt<br />

max- eller minpunkt. Kontrollera grafiskt.<br />

a) y = x 2 + 4 x + 3<br />

b) y = 2 x 2 – 4 x – 10<br />

c) y = – x 2 + 8 x + 9<br />

d) y = – 2 x 2 – 6 x – 6<br />

1331 En andragradsfunktion har ett nollställe<br />

x = 2 <strong>och</strong> symmetrilinjen x = –1.<br />

Bestäm det andra nollstället.<br />

1332 Beräkna var kurvan skär x-axeln <strong>och</strong><br />

y-axeln. Kontrollera grafiskt.<br />

a) f ( x ) = –3 x 2 – 3x + 6<br />

b) f ( x ) = x 2 + 4<br />

c) y = 10 x – x 2<br />

d) y = ( x – 4)( x + 1)<br />

1333 Ge ett exempel på en andragradsfunktion<br />

som har nollställena<br />

a) –1 <strong>och</strong> 3<br />

b) 0 <strong>och</strong> –10<br />

48 1.3 Funktioner<br />

Bla 3c.indb 48 2012-07-10 09.35


1334 Figuren visar grafen till andragradsfunktionen<br />

y = f( x).<br />

1<br />

y<br />

1<br />

x<br />

a) Bestäm f (0).<br />

b) Lös olikheten f( x) > 0.<br />

c) f( x) = – ( x – a )( x – b )<br />

Bestäm a <strong>och</strong> b <strong>och</strong> skriv f( x) i<br />

utvecklad form.<br />

d) Ge ett exempel på ekvationen för en rät<br />

linje som aldrig skär f( x).<br />

1335 Hur ska vi välja a så att kurvan<br />

y = x 2 – 8 x – a inte skär x-axeln?<br />

1336 En rät linje skär f( x) = x 2 – 4 där<br />

x = –1 <strong>och</strong> x = 3.<br />

Ange den räta linjens ekvation.<br />

1337 Funktionen y = (x – 2) 2 + 4 är given.<br />

a) För vilket värde på x har y sitt minsta<br />

värde?<br />

b) Vad är funktionens minsta värde?<br />

1341 En fotboll sparkas rakt upp i luften. En<br />

modell för bollens höjd över marken s ( t )<br />

meter efter t sekunder är<br />

s ( t ) = 0,75 + 18 t – 4,9 t 2<br />

a) Beräkna <strong>och</strong> tolka s(2,5).<br />

b) Vilken är bollens högsta höjd?<br />

1342 Skriv andragradsfunktionerna dels i<br />

faktorform <strong>och</strong> dels i utvecklad form.<br />

a)<br />

y<br />

–2<br />

b) y<br />

1<br />

4<br />

x<br />

1338 Skriv två olika funktioner som båda har<br />

nollställena –10 <strong>och</strong> 20.<br />

–2<br />

6<br />

x<br />

1339 En andragradsfunktion har en graf med<br />

nollställena x = 1 <strong>och</strong> x = 8.<br />

Grafen skär y-axeln där y = 4.<br />

Skriv funktionen i faktorform.<br />

1340 Stoppsträckan hos en bil kan beskrivas<br />

med funktionen s( v ) = a v 2 + b v där s är<br />

stoppsträckan i m vid hastigheten v m/s.<br />

Bestäm konstanterna a <strong>och</strong> b om vi vet<br />

att s(100 ) = 90 <strong>och</strong> s(120 ) = 122,4.<br />

–18<br />

1343 Ange andragradsfunktionen som har<br />

ett (av två) nollställen x = 1 <strong>och</strong> en<br />

minimipunkt (–1, –8).<br />

1344 En andragradsfunktion y = ax 2 + b x + c<br />

har endast ett nollställe.<br />

Ange ett samband mellan a, b <strong>och</strong> c.<br />

1.3 fUnktioner 49<br />

Bla 3c.indb 49 2012-07-10 09.35


Exponentialfunktioner <strong>och</strong> potensfunktioner<br />

Vi repeterar från kurs 2c.<br />

Funktioner av typen<br />

y = 2 x 3 <strong>och</strong> f( x) = 500 ∙ x –0,5<br />

är exempel på potensfunktioner.<br />

Potensfunktion<br />

f (x ) = C ∙ x a , där C <strong>och</strong> a är konstanter, kallas en potensfunktion.<br />

I matematiska tillämpningar där det förekommer någon form av<br />

proportionalitet mellan två variabler kan en potensfunktion användas som<br />

modell.<br />

potensekvation<br />

Ekvationen 100x 6 = 200 är ett exempel på en potensekvation.<br />

Ekvationen kan skrivas x 6 = 2<br />

1<br />

6<br />

Den positiva roten är x = 2 ≈ 1,122<br />

Funktioner av typen<br />

y = 5 ∙ 1,5 x <strong>och</strong> f( x) = 20 000 ∙ 0,85 x<br />

är exempel på exponentialfunktioner.<br />

Exponentialfunktion<br />

f ( x ) = C ∙a x , där C <strong>och</strong> a är konstanter ( a > 0, a ≠ 1), kallas en<br />

exponentialfunktion.<br />

I många matematiska tillämpningar har vi en procentuell förändring<br />

som är konstant. Detta betyder att förändringsfaktorn är konstant <strong>och</strong> en<br />

exponentialfunktion kan användas som modell.<br />

exponentialekvation<br />

Ekvationen 3 x = 5 är ett exempel på en exponentialekvation.<br />

Logaritmering av båda leden ger x ∙ lg 3 = lg 5<br />

Lösningen är x = lg 5<br />

lg 3 ≈ 1,465<br />

50 1.3 Funktioner<br />

Bla 3c.indb 50 2012-07-10 09.35


1345<br />

Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr<br />

under en femårsperiod.<br />

Beräkna den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen.<br />

Antag att den årliga förändringsfaktorn är x.<br />

Vi får ekvationen<br />

2,4 ∙ x 5 = 3,2<br />

x 5 = 3,2<br />

2,4<br />

x = ⎛ ⎝ 3,2<br />

1<br />

⎞ 5<br />

2,4⎠<br />

≈ 1,0592<br />

Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.<br />

1346<br />

Kevin arbetar med radioaktiva preparat på ett laboratorium.<br />

En radioaktiv isotop som han arbetar med avtar exponentiellt<br />

enligt funktionen<br />

f( t ) = 72,5 ∙ 0,867 t<br />

där t är antal år efter 2010 <strong>och</strong> f ( t ) är mängden i mg.<br />

a) Tolka talen 72,5 <strong>och</strong> 0,867 i formeln.<br />

b) Beräkna <strong>och</strong> tolka f (10).<br />

c) När återstår 5,00 mg av den radioaktiva isotopen?<br />

a) 72,5 betyder att mängden var 72,5 mg år 2010.<br />

Förändringsfaktorn 0,867 betyder att mängden minskar med<br />

13,3 % per år.<br />

b) f (10) = 72,5 ∙ 0,867 10 ≈ 17,4<br />

År 2020 återstår 17,4 mg av den radioaktiva isotopen.<br />

c) Vi löser ekvationen<br />

72,5 ∙ 0,867 t = 5<br />

0,867 t 5<br />

=<br />

72,5<br />

t · lg 0,867 = lg ⎛ 5 ⎞<br />

⎝ 72,5⎠<br />

lg ⎛ 5 ⎞<br />

⎝ 72,5⎠<br />

t =<br />

lg 0,867 ≈ 18,7<br />

Ca 18,7 år efter 2010 återstår 5,00 mg.<br />

1.3 Funktioner 51<br />

Bla 3c.indb 51 2012-07-10 09.35


1347 Beräkna f (5). Svara med tre gällande<br />

siffror.<br />

a) f( x) = 400 ∙ x 1,5 b) f( x) = 400 ∙ 1,5 x<br />

1348 Lös ekvationen. Svara med tre gällande<br />

siffror.<br />

a) x 3 = 8 c) 3 x = 8<br />

b) 2x 5 = 24 d) 2 ∙ 5 x = 24<br />

1349 Vinsten i ett företag är 80 miljoner kr.<br />

Ställ upp en funktion som anger vinsten<br />

y kr efter x år om vinsten förväntas<br />

a) öka med 5 % varje år<br />

b) minska med 5 % varje år.<br />

1350 En dag analyserade Mikael bakteriehalten<br />

i ett vattenprov. Antalet bakterier<br />

f( x) = 200 000 ∙ 1,04 x , där x är antalet<br />

timmar efter kl. 09.00.<br />

a) Beräkna antalet bakterier kl 12.30.<br />

b) När är antalet bakterier 500 000?<br />

1351 Under en 20-årsperiod har Emmas årslön<br />

trefaldigats.<br />

Beräkna den årliga procentuella ökningen<br />

om vi förutsätter att den varit lika stor<br />

varje år.<br />

1352 Karl köpte aktier. När han tre år senare<br />

skulle sälja aktierna hade värdet halverats.<br />

Vilken årlig procentuell minskning motsvarade<br />

detta?<br />

1353 Lufttrycket y millibar avtar med höjden<br />

x km över havet enligt funktionen<br />

y = 1 013 ∙ 0,887 x<br />

a) Hur stort är lufttrycket vid havsnivån?<br />

b) Med hur många procent minskar trycket<br />

då höjden ökar med 1 km?<br />

c) Beräkna lufttrycket på höjden 8 800 m.<br />

d) På vilken höjd är lufttrycket<br />

500 millibar?<br />

1354 A y = 2 √ x<br />

B y = 3 x 2<br />

C y = x 2 + x<br />

D y = 2 x<br />

Vilken eller vilka av funktionerna ovan är en<br />

a) andragradsfunktion<br />

b) potensfunktion<br />

c) exponentialfunktion?<br />

1355 Figuren visar grafen till en exponentialfunktion.<br />

Bestäm funktionen.<br />

1<br />

y<br />

1<br />

1356 Halten av en luftförorening y gram per m 3<br />

i ett rum avtar med tiden t timmar enligt<br />

funktionen y = 40 ∙ 0,92 t<br />

Med hur många procent minskar halten<br />

per dygn?<br />

1357 För en exponentiell modell y = f ( x ) = C a x<br />

gäller att f (0) = 2 <strong>och</strong> f (1) = 3.<br />

Bestäm f (2).<br />

1358 I tiokamp för herrar beräknas poängen P( t )<br />

för löpning 1 500 m med potens funktionen<br />

P( t ) = 0,037 68 (480 – t ) 1,85<br />

där t är tiden i sekunder.<br />

a) Vilken poäng ger tiden 4.10,0?<br />

b) Vilken poäng ger tiden 4.20,0?<br />

c) Vilken tid ger 1 000 poäng?<br />

x<br />

52 1.3 Funktioner<br />

Bla 3c.indb 52 2012-07-10 09.35


1359 En dator kan sortera N namn på T µs,<br />

där T = 1,18 ∙ N 1,18 .<br />

Hur många namn sorteras på 1 min?<br />

1360 Från år 1995 till 2005 minskade en koloni<br />

av måsar från 10 000 till 6 000.<br />

Hur många måsar kan vi förvänta oss 2015,<br />

om minsk ningen i procent är densamma<br />

varje år?<br />

1361<br />

y<br />

Exponentialfunktion<br />

1363 En patient får en injektion på 5,0 mg av<br />

ett läkemedel. Man vet att denna mängd<br />

avtar exponentiellt med tiden <strong>och</strong> att halva<br />

mängden återstår efter 24 h.<br />

När återstår 1,5 mg?<br />

1364 Då kärnkraftverket i Tjernobyl havererade<br />

i april 1986 spreds stora mängder<br />

radioaktivt material, bl a jod-131 med en<br />

halveringstid på 8,0 dygn <strong>och</strong> cesium-137<br />

med en halveringstid på 30,2 år.<br />

Hur länge dröjer det innan aktiviteten<br />

reducerats till 1 % av det ursprungliga<br />

värdet för<br />

a) jod-131 b) cesium-137?<br />

100<br />

1<br />

Figuren visar grafen till y = f ( x ).<br />

Beräkna f ( –2 ).<br />

x<br />

1365<br />

y<br />

Potensfunktion<br />

y = C · x a<br />

1362 Flora <strong>och</strong> fauna på isolerade öar har stort<br />

intresse inom ekologin. För både växter<br />

<strong>och</strong> djur har forskarna funnit att antalet<br />

arter y på öar med olika area x km 2 kan<br />

beskrivas med potensfunktionen y = c ∙ x a<br />

där c <strong>och</strong> a är konstanter som beror av den<br />

aktuella organismen <strong>och</strong> ögruppen. För<br />

fågelarter inom Bismarcksarkipelagen har<br />

undersökningar visat att c = 18,9 <strong>och</strong><br />

a = 0,18.<br />

Hur stor måste en ö vara för att man<br />

rim ligen ska finna fler än 100 fågelarter?<br />

10<br />

1<br />

Bestäm C <strong>och</strong> a.<br />

1366 Lös ekvationen<br />

a) 2 x + 1<br />

2 x – 1 = – 6 b) x lg x x<br />

=<br />

3<br />

100<br />

x<br />

1.3 fUnktioner 53<br />

Bla 3c.indb 53 2012-07-10 09.35


Aktivitet<br />

✽ Laborera<br />

Pendeln<br />

Materiel: En pendel (t ex vikt upphängd i 2 m<br />

långt snöre), stativ eller annan fästanordning,<br />

tid tagarur <strong>och</strong> tumstock eller måttband (2 m).<br />

1 Svängningstiden (fram <strong>och</strong> tillbaka) för en<br />

pendel beror av pendelns längd.<br />

Du ska variera <strong>och</strong> mäta längden på pendeln,<br />

mäta svängningstiden <strong>och</strong> redovisa resultatet<br />

i en tabell.<br />

Tips:<br />

• Mät längden till kulans/viktens tyngdpunkt.<br />

• Låt pendeln göra ganska små svängningar.<br />

• Mät tiden för 10 svängningar.<br />

2 Använd räknare/dator med ett kurvanpassningsprogram<br />

<strong>och</strong> anpassa en<br />

potensfunktion av typen y = C ∙ a x<br />

till dina mätvärden.<br />

Låt y vara svängningstiden i sekunder<br />

<strong>och</strong> x pendelns längd i meter.<br />

3 Välj en pendellängd <strong>och</strong> beräkna svängningstiden<br />

med hjälp av din funktion.<br />

Kontrollera sedan experimentellt.<br />

Stämmer det?<br />

4 Bygg en ”klocka”!<br />

Hur lång är den pendel som har en svängningstid<br />

på exakt en sekund?<br />

Gör först en beräkning med hjälp av din<br />

funktion. Kontrollera sedan experimentellt.<br />

Stämmer det?<br />

5 Det finns en teoretisk formel för en plan,<br />

”matematisk” pendel.<br />

Ta reda på denna formel <strong>och</strong> jämför med<br />

din potensfunktion.<br />

Kommentera likheter <strong>och</strong> skillnader.<br />

54 1.3 Funktioner<br />

Bla 3c.indb 54 2012-07-10 09.35


Aktivitet<br />

✽ Diskutera<br />

Sant eller falskt?<br />

Diskutera i par eller grupp. Arbeta utan räknare.<br />

Sant eller falskt? Motivera svaret!<br />

1 4 x 2 – 4 kan skrivas som 4( x – 1)(x + 1)<br />

2 Summan av två andragradspolynom kan vara<br />

ett fjärdegradspolynom.<br />

3 x = 3 är en lösning till ekvationen<br />

2<br />

x + 1 + 1<br />

x – 1 = 1<br />

4 Polynomet p( x ) = (2x – 5)( x + 7)<br />

har nollställena 5 <strong>och</strong> 7.<br />

5 Uttrycket 3 x – 12 är ej definierat då<br />

2 x – 10<br />

x = 10.<br />

6 Summan 2 –1 + 2 –1 är dubbelt så stor som<br />

produkten 2 –1 · 2 –1 .<br />

7 y = ( x – 3)( x + 2) är den enda andragradsfunktion<br />

som har nollställena 3 <strong>och</strong> – 2.<br />

8 √ 98 kan skrivas 7 √ 2<br />

9 Om f ( x ) = x – 1 <strong>och</strong> g ( x ) = x 2 så saknar<br />

ekvationen f ( x ) = g ( x ) reella lösningar.<br />

10 Uttrycket 4 x 2 – 100<br />

x – 5<br />

är skrivet i enklaste form.<br />

11 Funktionen y = x √ x är ett exempel på en<br />

potensfunktion.<br />

12 3 x 3 · 3 x 3 · 3 x 3<br />

3 x 3 + 3 x 3 + 3 x 3 kan förenklas till 3 x 3 .<br />

1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller 55<br />

Bla 3c.indb 55 2012-07-10 09.35


Sammanfattning 1<br />

Algebra <strong>och</strong> polynom<br />

Polynom <strong>och</strong> räkneregler<br />

Ett polynom är en summa av termer där<br />

variabeltermernas exponenter är naturliga tal.<br />

Exempel:<br />

2x 3 – x 2 + 10 är ett tredjegradspolynom med<br />

tre termer.<br />

Konjugatregeln <strong>och</strong> kvadreringsreglerna:<br />

(a + b)(a – b) = a 2 – b 2<br />

(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2<br />

(a – b ) 2 = a 2 – 2 a b + b 2<br />

Potenser<br />

a x a y = a x + y<br />

a x b x = (a b) x<br />

a x<br />

a = a x – y<br />

y<br />

a x<br />

b = ⎛ x ⎝ a x<br />

⎞<br />

b⎠<br />

(a x ) y = a x y<br />

a 0 = 1 a –x = 1 1<br />

a a n n<br />

= √ a<br />

x<br />

Exempel:<br />

(2 x ) 3 · 2 x –1 = 2 3 · x 3 · 2 · x –1 = 16 x 2<br />

Kvadratrötter <strong>och</strong> absolutbelopp<br />

(√ a ) 2 = √ a · √ a = a a ≥ 0<br />

√ a · √ b = √ ab a ≥ 0 b ≥ 0<br />

√ a<br />

√ b √ = a b<br />

a ≥ 0 b > 0<br />

Exempel:<br />

√18 = √ 9 · √ 2 = 3 · √ 2<br />

Absolutbeloppet av x, skrivs |x| <strong>och</strong> definieras som<br />

talets avstånd till origo.<br />

⎧ x om x ≥ 0<br />

|x| = ⎨<br />

⎩ –x om x < 0<br />

Ekvationer<br />

Ekvationen x 2 + p x + q = 0 har lösningarna<br />

x = – p 2 √ ± ⎛ p 2<br />

⎞<br />

⎝ 2⎠<br />

– q<br />

Ekvationer som kan skrivas så att det ena ledet är<br />

faktoriserat <strong>och</strong> det andra ledet är noll kan lösas<br />

med nollproduktmetoden.<br />

Exempel:<br />

4x(3x – 15)(2x + 6) = 0<br />

1 x = 0<br />

2 (3 x – 15) = 0 vilket ger x = 5<br />

3 (2 x + 6) = 0 vilket ger x = – 3<br />

x 1 = 0 x 2 = 5 x 3 = – 3<br />

Ekvationer där den obekanta förekommer under<br />

ett rottecken kallas rotekvationer. Rotekvationer<br />

kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket dock<br />

kan ge falska rötter som måste prövas i den<br />

ursprungliga ekvationen.<br />

Polynom i faktorform<br />

Ett nollställe till ett polynom p ( x ) är ett tal a<br />

sådant att p ( a ) = 0.<br />

Ett andragradspolynom p ( x ) med nollställena<br />

a <strong>och</strong> b skrivs i faktorform<br />

p ( x ) = k ( x – a )( x – b )<br />

där k är en konstant.<br />

Rationella uttryck<br />

Vad menas med ett rationellt uttryck?<br />

Ett rationellt uttryck definieras som en kvot<br />

av två polynom p(x)<br />

q(x)<br />

Ett rationellt uttryck är inte definierat då<br />

nämnaren är lika med noll.<br />

56 1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller<br />

Bla 3c.indb 56 2012-07-10 09.35


Förlängning <strong>och</strong> förkortning<br />

Ett rationellt uttryck som inte kan förkortas är<br />

skrivet i enklaste form.<br />

Exempel:<br />

5 a 2<br />

15 a = 5 a · a<br />

3 · 5 · a = a 3<br />

2 x + 8<br />

x 2 – 16 = 2 ( x + 4)<br />

( x + 4)( x – 4) = 2<br />

x – 4<br />

Addition <strong>och</strong> subtraktion<br />

Förläng till MGN vid förenkling.<br />

Exempel:<br />

1<br />

2 a – 1<br />

3 a = 3<br />

6 a – 2<br />

6 a = 3 – 2<br />

6 a = 1<br />

6 a<br />

MGN = 6a<br />

Enklaste form<br />

Multiplicera båda leden med MGN vid<br />

ekvationslösning.<br />

Exempel:<br />

Lös ekvationen<br />

3<br />

2 a – 2<br />

3 a = a<br />

6 a · 3<br />

2 a<br />

9 – 4 = 6 a 2<br />

a 2 = 5/6<br />

a = ± √ 5 / 6<br />

– 6 a · 2<br />

3 a = 6 a · a<br />

Multiplikation <strong>och</strong> division<br />

Exempel:<br />

a + 1<br />

2 a / a2 – 1<br />

= a + 1<br />

2 2 a · 2<br />

a 2 – 1 =<br />

(a + 1) · 2<br />

=<br />

2 a (a + 1) (a – 1) = 1<br />

a (a – 1)<br />

Funktioner<br />

Inledning<br />

En funktion är en regel som till varje tillåtet<br />

x-värde ger exakt ett y-värde.<br />

Definitionsmängden är de tillåtna x-värdena.<br />

Värdemängden är de erhållna y-värdena.<br />

Alla polynomfunktioner är kontinuerliga. Grafen<br />

till en sådan funktion kan ritas ”utan att lyfta<br />

pennan.”<br />

En funktion vars definitionsmängd är heltalen<br />

(eller en delmängd av heltalen) kan kallas en<br />

diskret funktion.<br />

Räta linjens ekvation<br />

k-form<br />

y = kx + m<br />

enpunktsform y – y 1 = k( x – x 1 )<br />

allmän form a x + b y + c = 0<br />

Andragradsfunktioner<br />

En andragradsfunktion kan skrivas<br />

y = a x 2 + b x + c, där a ≠ 0<br />

Grafen<br />

• har en maximipunkt om a < 0<br />

• har en minimipunkt om a > 0<br />

• skär y-axeln i (0, c)<br />

• är symmetrisk kring symmetrilinjen<br />

• har nollställen om ekvationen y = 0<br />

har reella lösningar.<br />

Potensfunktioner<br />

y = C ∙ x a (C <strong>och</strong> a är konstanter)<br />

Exempel:<br />

Potensekvationen<br />

x 12 = 3, x > 0<br />

har den positiva roten x = 3 1/12 ≈ 1,096<br />

Exponentialfunktioner<br />

y = C ∙ a x (C <strong>och</strong> a är konstanter, a > 0, a ≠ 1)<br />

Exempel:<br />

Lösning av exponentialekvation.<br />

8 · 3 x = 15<br />

3 x = 15/8<br />

lg 3 x = lg (15/8)<br />

x · lg 3 = lg (15/8)<br />

lg (15/8)<br />

x = ≈ 0,572<br />

lg 3<br />

1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller 57<br />

Bla 3c.indb 57 2012-07-10 09.36


Kan du det här? 1<br />

Moment<br />

Begrepp som du ska kunna<br />

använda <strong>och</strong> beskriva<br />

Du ska ha strategier för att kunna<br />

Algebra <strong>och</strong><br />

polynom<br />

Polynom, term <strong>och</strong> gradtal<br />

Potens, bas <strong>och</strong> exponent<br />

Kvadratrot <strong>och</strong> absolutbelopp<br />

Andragradsekvation<br />

Lösningsformeln<br />

Nollproduktmetoden<br />

Nollställe, faktorform<br />

• addera, subtrahera, multiplicera<br />

<strong>och</strong> faktorisera polynom<br />

• använda potenslagarna med reella<br />

exponenter<br />

• använda lagarna för kvadratrötter<br />

• lösa andragradsekvationer med olika<br />

metoder<br />

• lösa ekvationer med hjälp av<br />

faktorisering, kvadrering <strong>och</strong><br />

substitution.<br />

Rationella<br />

uttryck<br />

Rationellt uttryck<br />

Förlängning <strong>och</strong> förkortning<br />

Enklaste form<br />

MGN<br />

Falsk rot<br />

• beräkna värdet på ett rationellt uttryck<br />

<strong>och</strong> bestämma de variabelvärden för<br />

vilka uttrycket inte är definierat<br />

• förlänga <strong>och</strong> förkorta rationella uttryck<br />

• addera, subtrahera, multiplicera <strong>och</strong><br />

dividera rationella uttryck<br />

• lösa ekvationer som innehåller<br />

rationella uttryck.<br />

Funktioner<br />

Funktion<br />

Definitions- <strong>och</strong> värdemängd<br />

Kontinuerlig funktion<br />

Diskret funktion<br />

Räta linjens ekvation<br />

Andragradsfunktion<br />

Potensfunktion<br />

Potensekvation<br />

Exponentialfunktion<br />

Exponentialekvation<br />

• avgöra om en formel, graf <strong>och</strong><br />

värdetabell beskriver en funktion<br />

• avgöra om en funktion är kontinuerlig<br />

• använda k-form, enpunktsform <strong>och</strong><br />

allmän form för räta linjen<br />

• bestämma symmetrilinje, nollställen<br />

<strong>och</strong> största/minsta värde för<br />

andragradsfunktioner<br />

• lösa potens- <strong>och</strong> exponentialekvationer<br />

• använda linjära-, andragrads-, potens<strong>och</strong><br />

exponentialfunktioner i olika<br />

tillämpningar.<br />

58 1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller<br />

Bla 3c.indb 58 2012-07-10 09.36


Diagnos 1<br />

Algebra <strong>och</strong> polynom<br />

1 Utveckla <strong>och</strong> förenkla<br />

a) (2a + 3b)(2a – 3b) – 2a(2a – 3b)<br />

b) 3(x + h) 2 – 3x 2<br />

2 Förenkla<br />

a) a –2 · a –4 + ( 2 a –3 ) 2<br />

b) ( x – √ 3 ) (x + √ 3 )<br />

3 Beräkna utan räknare<br />

a) 4 1 + 4 0,5 b) √ 25 + √ 2 · √ 18<br />

4 Lös ekvationen<br />

a) 3 x (2 x + 6)( x – 1) = 0<br />

b) 9 x 3 – 6 x 2 + x = 0<br />

5 Skriv polynomet i faktorform<br />

a) p(x) = x 2 – 16 x + 60<br />

b) p(x) = –10 x 2 + 50x – 60<br />

Rationella uttryck<br />

x + 1<br />

6 G( x ) =<br />

x ( x + 2)<br />

a) Beräkna G (–3)<br />

b) För vilket eller vilka värden på x är G (x)<br />

inte definierat?<br />

8 Lös ekvationen<br />

a) x 2 – x 8 = 24 c) x 2<br />

x – 1 + 2 = 1<br />

x – 1<br />

b) x – 1<br />

2 + x – 2<br />

3 = 3 d) x 2<br />

x + 4 – 16<br />

x + 4 = 4<br />

9 Förenkla<br />

a) a b<br />

2 · 6 b<br />

a<br />

b) a b<br />

2 / 6 b<br />

a<br />

c) 2 a / 2 – 4 a<br />

a 2<br />

d) a 2 – 1<br />

3<br />

6<br />

·<br />

4 a + 4<br />

Funktioner<br />

10 Bestäm ekvationen för den linje som<br />

a) har k = 4 <strong>och</strong> går genom punkten (1, 8)<br />

b) går genom punkterna (2, 6) <strong>och</strong> (3, 4)<br />

c) är parallell med y = 3 x + 7 <strong>och</strong> går<br />

genom (2, 4).<br />

11 Rita andragradskurvan (parabeln)<br />

y = 2 x 2 – 8 x – 24<br />

a) Ange symmetrilinjens ekvation.<br />

b) Har kurvan en maximi- eller minimipunkt?<br />

c) Ange extrempunktens koordinater.<br />

d) Var skär grafen x-axeln?<br />

e) Var skär grafen y-axeln?<br />

7 Förenkla<br />

a) 14 x – 7<br />

2 x – 1<br />

b) 2 x 2 – 18<br />

x + 3<br />

c) x 2 + x 3 – x<br />

12<br />

d) x – 1<br />

1 – x + 1 + y<br />

y + 1<br />

12 Lös ekvationen. Svara dels exakt, dels med ett<br />

närmevärde med tre decimaler.<br />

a) 2 · x 5 = 12 b) 2 · 5 x = 12<br />

13 Ge ett exempel på en potensfunktion <strong>och</strong><br />

på en exponentialfunktion för vilken gäller<br />

att f( 1 ) = 3.<br />

Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sidan 246.<br />

1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller 59<br />

Bla 3c.indb 59 2012-07-10 09.36


Blandade övningar kapitel 1<br />

Del I<br />

Utan räknare<br />

1 Förenkla så långt som möjligt<br />

( 3 x + 2 ) 2 – (2 x – 3) 2<br />

2 Bryt ut <strong>och</strong> förenkla 10 – 2 x<br />

5 – x<br />

3 Uppgiften är att skriva om uttrycket 64 + x<br />

4<br />

Wilma får 16 + x<br />

Joel får 16 + x 4<br />

Förklara hur de gjort <strong>och</strong> vem som har rätt.<br />

1 1<br />

2 2<br />

4 Beräkna 4 + 5 · 5<br />

5 För vilka x-värden är<br />

inte definierad?<br />

1<br />

2<br />

x – 2<br />

2 x 2 – 8 x<br />

6 Använd konjugatregeln <strong>och</strong> förenkla<br />

s + 4<br />

s 2 – 16<br />

11 För vilket värde på talet a har ekvationen<br />

x 2 – 10 x + a = 0<br />

rötterna x = 3 <strong>och</strong> x = 7 ?<br />

12 Förenkla<br />

(2 a –2 ) 3<br />

2 a 2 + 2 a 2<br />

13 Lös ekvationen 5 x 4 – 8 x – 3 x 4 + 6 x = 0<br />

14 En rät linje skär grafen till andragradsfunktionen<br />

y = 4 x – x 2 – 3 där<br />

x = 1 <strong>och</strong> x = 4. Bestäm linjens ekvation.<br />

15 Jossan uppskattar att kostnaderna för<br />

hennes bil varje år uppgår till<br />

30 000 kr + 15 kr/mil.<br />

Anta att Jossan kör x mil under ett år.<br />

a) Ställ upp ett uttryck som ger Jossans<br />

genomsnittliga bilkostnad per mil.<br />

b) Jossan beräknar kostnaden till<br />

40 kr/mil. Hur många mil kör hon då<br />

på ett år?<br />

7 Utveckla eller förenkla<br />

a) ( x + a ) 2 – ( x – a) 2 b) x (x + 2) 2 – x 3<br />

8 Lös ekvationen exakt.<br />

a) ( x – 1) ( x + 1) = 0 c) 2 x + 4 = 6 x<br />

b) 5 · 10 x = 10 d) 2 x 5 = 6<br />

9 Förklara, med vardagligt språk, vad som menas<br />

med att en funktion är kontinuerlig.<br />

10 Förenkla<br />

5<br />

a)<br />

x + 2 – 3 – x<br />

x + 2<br />

b)<br />

2<br />

x – 2 – 5<br />

2 – x<br />

60 2 1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller<br />

Bla 3c.indb 60 2012-07-10 09.36


16 För en andragradsfunktion<br />

f( x) = a x 2 + b x<br />

gäller att f ( –1 ) = –2 <strong>och</strong> f (1) = 6.<br />

Bestäm konstanterna a <strong>och</strong> b.<br />

17 Lös ekvationen x 3 – x (6 x – 5) = 0<br />

18 a = √ 3 · √ 15<br />

I vilket av följande intervall ligger talet a ?<br />

A 3 ≤ a < 4 D 6 ≤ a < 7<br />

B 4 ≤ a < 5 E 7 ≤ a < 8<br />

C 5 ≤ a < 6<br />

Motivera ditt svar.<br />

5<br />

19 a) Lös ekvationen<br />

4 x + 1 x – x = 0<br />

5<br />

b) Förenkla<br />

4 x + 1 x – x<br />

20 Ge ett exempel på ett rationellt uttryck<br />

som inte är definierat för x = 1 <strong>och</strong><br />

som har värdet 1 då x = –2.<br />

21 Andragradsfunktionen f har den graf som visas<br />

i figuren.<br />

4<br />

y<br />

22 Beräkna uttryckets värde då x = 3 995<br />

a) x 2 + 10x + 25<br />

b) 2 x 3 – 50 x<br />

2 x 2 – 10 x<br />

23 a) Lös ekvationen x + 1<br />

x<br />

b) Förenkla uttrycket x + 1<br />

x<br />

24 Låt f (x) = 5x 2 <strong>och</strong> förenkla<br />

f (2 + h ) – f (2)<br />

a)<br />

h<br />

b) f ( x + h ) – f ( x )<br />

h<br />

25 a) Lös ekvationen |x – 5| = 7<br />

b) Lös ekvationen |x + 5| = 7<br />

c) Skriv intervallet –5 < x < 7<br />

med hjälp av absolutbelopp.<br />

26 Beräkna 1 x + 1 y<br />

27 Lös ekvationen<br />

a) 9 · 3 2x + 1 = 1<br />

b) x 2/3 – 5 x 1/3 + 6 = 0<br />

–<br />

x<br />

x + 1 = 3 2<br />

–<br />

x<br />

x + 1<br />

om x + y = 4 <strong>och</strong> x y = 1<br />

1 5<br />

x<br />

28 Figuren visar grafen till tredjegradsfunktionen<br />

y = a x 3 + b x 2 + c x + d<br />

a) Vilken lösning har ekvationen f( x) = 0?<br />

b) Ekvationen f( x) = a har endast en lösning.<br />

Vilket tal är a ?<br />

c) Är det sant att f(11) = 6 ∙ f(0)?<br />

Motivera ditt svar.<br />

y<br />

24<br />

x<br />

2 3 8<br />

Bestäm konstanterna a, b, c <strong>och</strong> d.<br />

1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller 61<br />

Bla 3c.indb 61 2012-07-10 09.36


Del II<br />

Med räknare<br />

29 För det rationella uttrycket K ( x ) gäller att<br />

K( x) =<br />

x 2<br />

5 x + 30<br />

Beräkna K(18) – K (14).<br />

30 Lös ekvationen.<br />

Avrunda svaret till tre gällande siffror.<br />

a) 3 x + 2<br />

100 = 5<br />

b) 3 x 2<br />

100 = 5 x > 0<br />

c) 2 x 3<br />

100 = 5<br />

d) 3 · 2 x<br />

100 = 5<br />

31 I ett avtal från 1997, det så kallade Kyotoprotokollet,<br />

förband sig industriländerna att<br />

minska sina koldioxidutsläpp med 5,2 % av<br />

1990 års utsläppsmängd före 2012.<br />

Vilken årlig procentuell minskning motsvarar<br />

5,2 % från <strong>och</strong> med 1991 till <strong>och</strong> med 2011?<br />

32 Med en lins kan ett föremål avbildas.<br />

Sambandet mellan föremålets avstånd a till<br />

linsen, bildens avstånd b till linsen <strong>och</strong> linsens<br />

brännvidd f kallas linsformeln:<br />

1<br />

a + 1 b = 1 f<br />

a) Ett föremål placeras 600 mm framför en<br />

kameralins med brännvidden 50 mm.<br />

Beräkna bildavståndet.<br />

b) Visa att det vänsta ledet i formeln kan<br />

skrivas a + b<br />

ab<br />

33 Andragradspolynomet 6 x 2 + x – 1 kan<br />

i faktorform skrivas ( ax + b ) ( c x + d ).<br />

Bestäm heltalen a, b, c <strong>och</strong> d<br />

om a < c <strong>och</strong> b > d.<br />

34 Figuren visar grafen till y = x 3 – x 2 – 4x + 4<br />

a) Lös med hjälp av grafen ekvationen<br />

x 3 – x 2 – 4x + 4 = 0<br />

5<br />

y<br />

x<br />

–2 1 2<br />

b) Faktorisera polynomet x 3 – x 2 – 4 x + 4.<br />

35 Svängningstiden T sekunder för små<br />

svängningar hos en plan matematisk pendel<br />

med längden l meter kan beräknas med<br />

formeln<br />

T = 2 π<br />

√ l g<br />

där g = 9,82<br />

a) Beräkna svängningstiden för en pendel med<br />

längden 1,52 m.<br />

b) Hur lång är en pendel med svängningstiden<br />

0,75 s?<br />

c) Lös ut l ur formeln.<br />

62 1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller<br />

Bla 3c.indb 62 2012-07-10 09.36


36 Jessica löser ekvationen<br />

√ x = x – 2<br />

på följande sätt:<br />

√ x = x – 2<br />

(√ x ) 2 = ( x – 2) 2<br />

x = x 2 – 4 x + 4<br />

x 2 – 5 x + 4 = 0<br />

x = 5 2 √ ± 25<br />

4 – 16<br />

4<br />

x = 5 2 ± 3 2<br />

x 1 = 1 x 2 = 4<br />

För att kontrollera sin lösning ritar Jessica<br />

graferna till y = √ x <strong>och</strong> y = x – 2 på följande<br />

sätt:<br />

2<br />

y<br />

Jessica säger:<br />

Jag förstår inte detta! Enligt graferna är<br />

x = 4 en lösning till ekvationen men x = 1<br />

verkar inte vara en lösning. Har jag löst<br />

ekvationen fel?<br />

Vilken lösning har ekvationen<br />

√ x = x – 2 ?<br />

Förklara för Jessica!<br />

1<br />

37 Låt f ( x ) =<br />

x<br />

2 4<br />

x<br />

<strong>och</strong> förenkla<br />

f ( x + h ) – f ( x )<br />

h<br />

Utredande uppgifter<br />

Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter<br />

följande kriterier:<br />

• vilka matematiska kunskaper du har visat<br />

• hur väl du har förklarat ditt arbete <strong>och</strong> motiverat<br />

dina slutsatser<br />

• hur väl du har redovisat ditt arbete <strong>och</strong><br />

genomfört dina beräkningar.<br />

38 Du ska undersöka differensen av två bråk.<br />

• Beräkna differenserna<br />

2<br />

3 – 1 2<br />

4<br />

5 – 3 4<br />

9<br />

10 – 8 9<br />

• Beräkna ytterligare några differenser av två<br />

bråk som följer mönstret ovan.<br />

• Vad upptäcker du?<br />

• Bevisa din upptäckt med algebra.<br />

39 Du ska undersöka polynomen<br />

a 3 – b 3 <strong>och</strong> (a – b ) (a 2 + a b + b 2 ).<br />

• Beräkna värdet av de två polynomen<br />

då a = 5 <strong>och</strong> b = 5.<br />

• Beräkna värdet av de två polynomen<br />

då a = –5 <strong>och</strong> b = –5.<br />

• Beräkna värdet av de två polynomen<br />

då a = 7 <strong>och</strong> b = 3.<br />

• Välj två olika negativa värden på a <strong>och</strong> b<br />

<strong>och</strong> beräkna polynomens värde.<br />

• Vad upptäcker du?<br />

• Bevisa din upptäckt.<br />

• Lös ekvationen<br />

(x – 2)(x 2 + 2x + 4) = 19<br />

1 Algebra <strong>och</strong> linjära modeller 63<br />

Bla 3c.indb 63 2012-07-10 09.36


SVAR OCH LÖSNINGAR<br />

Svaren står med svart text. Ledtrådar <strong>och</strong> lösningar med blå text.<br />

1<br />

1104 a) 8x – 6<br />

b) 20a – 22<br />

c) 2x 2 + 10x + 12<br />

d) –y 2 + 6 y – 8<br />

1105 a) x 2 – 16<br />

b) 49 – 4a 2<br />

1106 a) a 2 + 10a + 25<br />

b) x 2 – 18x + 81<br />

c) 9x 2 + 24x + 16<br />

d) 25 – 60y + 36y 2<br />

1107 A = 9a – 7b + 2<br />

B = 7a – 5b + 2<br />

Ledtråd:<br />

Summan i diagonalerna skall<br />

vara 5a – 3b + 2<br />

1108 a) T ex p(x) = x 2 – 5x + 1<br />

b) T ex p(x) = 3x 2 + x<br />

1109 N(140) = 200. Om biljetterna<br />

kostar 140 kr kommer 200<br />

personer att se matchen.<br />

1110 a) Uttryckets värde är 0<br />

b) Uttryckets värde är 0.<br />

Kommentar:<br />

Uttrycket kan förenklas till<br />

8 – 2a.<br />

För alla variabelvärden är<br />

värdet på ett uttryck före<br />

<strong>och</strong> efter förenkling<br />

detsamma.<br />

1111 a) –3x 2 + 52 x – 60<br />

b) a 2 – 2ab + b 2<br />

c) x 3 – 6x 2 + 12x – 8<br />

Ledtråd:<br />

(x – 2) 3 = (x – 2)(x – 2) 2 =<br />

(x – 2)(x – 4x + 4)<br />

d) x 3 – 7x – 4<br />

1121 p(x) = 5 + 2x – 3x 2<br />

1112 a) Grad 3<br />

1120 p (x) = x 2 Uttrycket kan skrivas på<br />

Motivering:<br />

Termen där exponenten är 3<br />

ändras inte.<br />

b) Grad 5<br />

Ledtråd:<br />

p(x) = ax 2 + bx + c<br />

Ställ upp <strong>och</strong> lös ett<br />

ekvationssystem.<br />

Motivering:<br />

1124 a) x 5 d) a 8<br />

Exponenten i termen med<br />

b) x<br />

högst exponent ökar från<br />

e) b –8<br />

3 till 5.<br />

c) 4 3x f) b –4<br />

1113 V (x) = –5 000 + 1 120x – 30x 2<br />

Ledtråd:<br />

V (x) = I(x) – K(x)<br />

1125 b) 5 + 5 + 5 + 5 = 4 ∙ 5<br />

d) (4a) 3 = 4 3 a 3 = 64a 3<br />

e) 2 ∙ 2 3 = 2 4<br />

1114 y(2,5) – y(2,0) = 0,127 5<br />

1126 a) 10x<br />

Då avståndet från utkastet,<br />

c) x 5 6<br />

räknat längs golvet, ökar från<br />

b) 4 a<br />

2<br />

d) x m 6<br />

4<br />

2,0 m till 2,5 m ökar bollens<br />

b<br />

höjd över golvet med ca 13 cm. 1127 a) 2 19 Lösning: 2 20<br />

= 2<br />

19<br />

2<br />

1115 a) 2x 2 + 2y 2<br />

b) 2<br />

b) 4x<br />

Lösning: 2 20<br />

2<br />

2 218<br />

c) 2x 3 +2x 2 y + 6xy 2 – 2y 3<br />

1116 a) 8a 3 +60a 2 + 150a +125<br />

b) a 2 – b 2 – 10b – 25<br />

1117 V(q) =75x – 0,3x 2 – 800<br />

1128 a) 4a 2 b 6<br />

Ledtråd:<br />

Uttrycket kan skrivas<br />

3 3<br />

8ab<br />

3<br />

2ab Ledtråd:<br />

b) 12a 9 b –3<br />

Intäkten I(x) = 90x<br />

Ledtråd:<br />

Förenkla I(x) – K(x)<br />

Uttrycket kan skrivas<br />

1118 Kostnadsändring<br />

(0,4x + 50,2) kr<br />

3 −2 2<br />

4ab<br />

9a<br />

−4<br />

3a b<br />

3<br />

1119 Intäkten<br />

c)<br />

x<br />

(60 – x)(3 000 + 100x) kr =<br />

8<br />

= (180 000 + 3 000x – 100x 2 ) kr<br />

d) x n<br />

x = 15 ger maximal intäkt<br />

202 500 kr.<br />

Ledtråd:<br />

1129 a) 9 ∙ 10 –2a<br />

b) 6 ∙ 10 –a<br />

Antal hyresgäster (60 – x) st<br />

c) 4 · 3 2x = 4 · 9 x<br />

som var <strong>och</strong> en betalar<br />

Ledtråd:<br />

(3 000 + 100x) kr.<br />

(3x + 3x) 2 = (2 · 3 x ) 2<br />

0 ≤ x ≤ 60.<br />

Max hittar vi t ex grafiskt.<br />

d) 9 x + 1<br />

Kommentar:<br />

många olika sätt t ex 9 x + 1 ,<br />

9 · 9 x , <strong>och</strong> 3 2x + 2 .<br />

252 svar <strong>och</strong> lösningar<br />

Bla 3c.indb 252 2012-07-10 09.43


4<br />

1130 Vi vet att 3 4<br />

3<br />

= 1.<br />

För att potenslagarna ska gälla<br />

måste 3 4 – 4 = 3 0 = 1.<br />

Vi vet att 3 4<br />

7<br />

3<br />

= 1<br />

3 . 3<br />

För att potenslagarna ska gälla<br />

måste 3 4 – 7 = 3 –3 1<br />

=<br />

3 . 3<br />

1131 a) 5 2x + 2 + 5 –2x<br />

b) a 4x + 2<br />

1132 a) x = 0,5<br />

Ledtråd:<br />

Exponenterna lika ger<br />

5x – 2 = x<br />

b) x = 2/3<br />

c) x = –1,5<br />

Ledtråd:<br />

3 2x = 3 –3<br />

d) x = 2,5<br />

1133 a) x a (x 2 – 3)<br />

b) a 3 (a h – 1)<br />

c) a n (a n + 1)<br />

1134 a) 7 2 · 3x<br />

Lösning:<br />

3+<br />

2x<br />

2x<br />

3 + 3<br />

2 + x x<br />

= 3 2x<br />

3 3<br />

( + 1 )<br />

x 2<br />

3 − 3 3 ( 3 − 1)<br />

= 3 x ⋅ 28 = 3 x ⋅ 7<br />

8 2<br />

b) 16<br />

2 3x<br />

Lösning:<br />

3x<br />

2 + 4<br />

x<br />

− 16<br />

=<br />

2 + − 2<br />

6x<br />

3x<br />

6x<br />

3x<br />

2 − 2 2 − 2<br />

4 3x<br />

2 ( 2 − 1)<br />

4<br />

= 3x<br />

3x<br />

=<br />

2<br />

2 ( 2 − 1)<br />

2<br />

= 16<br />

2 3x<br />

3 4 4<br />

3x =<br />

1135 a) x = 3<br />

b) x = 3<br />

Ledtråd:<br />

Skriv om VL till bas 2.<br />

c) x = 29,5<br />

d) x = –9<br />

Ledtråd:<br />

Skriv om båda leden till bas 3.<br />

1136 a) 3 a c) 3 n + 1<br />

b) x 4m – 2n d) 4<br />

1141 a) 5 c) 4<br />

b) 6 d) 10<br />

1142 a) 10 0,5 c) 10 1,5<br />

b) 10 –0,5 d) 10 –1,5<br />

1143 a) 10 c) 0,1<br />

b) 10 d) 10<br />

1144 a) 7 b) 3<br />

1145 a) 3 c) 2 ∙ 10 4<br />

b) 5 d) 3 ∙ 10 –1 = 0,3<br />

1146 a) x = ± 10<br />

b) x = ± 5<br />

c) x = ± 5<br />

d) x = ± 50 = ±5 2<br />

1147 a) 700 ≈ 26,46<br />

b) 70000 ≈ 264,6<br />

1148 a) 2 ∙ 3 = 4 ∙ 3 =<br />

= 4 · 3 = 12<br />

32 32<br />

b)<br />

32<br />

2<br />

4 = 16<br />

= 16<br />

= 1165 a) x 1 = –4 x 2 = –10<br />

b) x 1 = 0 x 2 = 0,5<br />

eller<br />

c) x 1 = –3 x 2 = 4 x 3 = –0,5<br />

32 16 · 2 16 · 2 4 · 2<br />

= = = 1166 x = 2,5 2 <strong>och</strong> 4,5<br />

4 4<br />

4<br />

4<br />

32 16 · 2 16 · 2 4 · 2<br />

1167 a) a = 5,0<br />

= = = = 2<br />

Accelerationen är 5 m/s<br />

4 4<br />

4<br />

4<br />

2 .<br />

b) t = 4,3<br />

1149 a) 1 b) 2 x<br />

Tiden är 4,3 s.<br />

1150 x = 20 <strong>och</strong> x = –10<br />

1168 a) x 2 – 4 = 0<br />

Ledtråd:<br />

1151 a) x = 0 <strong>och</strong> x = 2<br />

Utveckla (x – 2)(x + 2) = 0<br />

b) x = 2 <strong>och</strong> x = –2<br />

b) x 2 – 8x = 0<br />

1152 5 < x < 9<br />

1153 |x – 10| ≤ 3<br />

1154 a) a 2 b) a 3<br />

Ledtråd:<br />

Använd Pythagoras sats <strong>och</strong><br />

lös ut x.<br />

1155 a) a – b b) h c) 2 ab<br />

1156 a) x = 0,75<br />

Ledtråd:<br />

VL kan skrivas<br />

b) x = 3/8<br />

1161 a) x = 2,5<br />

b) x = ± 5<br />

c) x 1 = 0 x 2 = –5<br />

d) x 1 = 1 x 2 = 3<br />

1162 a) x 1 = 0 x 2 = 4<br />

b) x 1 = 0 x 2 = –5<br />

c) z 1 = 12 z 2 = –4<br />

d) x 1 = 1 x 2 = –9<br />

1163 a) x = ± 3<br />

b) z = 2,5<br />

c) x = 0,5<br />

(<br />

a · a<br />

b · b<br />

1164 a) t 1 = –10 – 83 ,<br />

t 2 = –10 + 83<br />

b) x 1 = –6, x 2 = 2<br />

c) x 1 = –0,5 – 53<br />

4 ,<br />

x 2 = –0,5 + 53<br />

4<br />

c) 6x 2 – 5x + 1 = 0<br />

Ledtråd:<br />

Utveckla 6 (<br />

x – 1 2) ( x – 1 3) = 0<br />

d) x 2 + 4 = 0<br />

1169 a) 79 000 kr<br />

b) 535 detaljer<br />

Ledtråd:<br />

Lös ekvationen K(x) = 0<br />

där x är ett positivt tal.<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

(<br />

svar <strong>och</strong> lösningar 253<br />

Bla 3c.indb 253 2012-07-10 09.43


1170 a) x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = –2<br />

b) x 1 = 0, x 2 = 5, x 3 = 3<br />

c) x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = –2<br />

1171 a = – 8 5<br />

1172 5,2 minuter<br />

1173 a) x 1 = –1, x 2 = 8, x 3 = –8<br />

Ledtråd:<br />

Faktorisera VL,<br />

bryt ut (x + 1).<br />

b) x 1 = 3 x 2 = 2 ,<br />

x 3 = – 2<br />

Ledtråd:<br />

Faktorisera VL,<br />

bryt ut (x – 3).<br />

1174 x 1 = 0,5k – 1 x 2 = – 0,5k + 1<br />

1178 a) x 1 = –2 x 2 = 2<br />

b) x 1 = – 3 x 2 = 3<br />

1179 a) x 1 = 3 x 2 = 5<br />

b) x 1 = –1 x 2 = 1<br />

x 3 = –2 x 4 = 2<br />

1180 a) x 2 – x – 2 = 0<br />

b) x 1 = 2 <strong>och</strong> x 2 = –1<br />

c) Nej.<br />

Motivering:<br />

2−1 ≠ −1<br />

x = –1 är en falsk rot.<br />

d) x = 2<br />

1181 a) x ≈ ± 3,04 x ≈ ± 2,18<br />

b) x ≈ ± 2,48<br />

1182 a) x 1 = 16 x 2 = 81<br />

Båda OK vid prövning.<br />

b) x 1 = 16 x 2 = 81<br />

t 1 = 4 <strong>och</strong> t 2 = 9<br />

1183 a) x 1 = –1 x 2 = 8 x 3 = –8<br />

Ledtråd:<br />

Faktorisera VL,<br />

bryt ut (x + 1).<br />

b) x = 6<br />

Ledtråd:<br />

x = 1 är en falsk rot.<br />

1184 a) x 1 = 1 x 2 = 16<br />

b) x 1 = 288 x 2 = 99<br />

c) x 1 = 0 x 2 = –2<br />

x 3 = –1 + 5 x 4 = –1 – 5<br />

1188 a) 5x(1 + 5x 2 )<br />

b) 4(h + 2h 2 + 3)<br />

c) 4h(6 + h)<br />

d) 3hx(2 + h)<br />

1189 a) (x + 7)(x – 7)<br />

b) (x – 3) 2<br />

c) (9x + 4y)(9x – 4y)<br />

d) (4x + 1) 2<br />

1190 a) x 1 = –3 x 2 = 10<br />

b) x 1 = 0 x 2 = 4<br />

1191 f(x) = (x – 5)(x – 7)<br />

1192 a) p(x) = (x – 2)(x – 8)<br />

b) g(x) = (x – 2)(x – 3)<br />

1193 a) h(x) = 4(x – 4)(x – 2)<br />

b) p(z) = –3(z + 1)(z – 2)<br />

c) p(x) = 2(x – 3)(x + 3)<br />

1194 p(x) = 3(x – 1)(x – 7)<br />

Tobbe har fel tecken i<br />

parenteserna.<br />

Carro glömmer faktorn 3.<br />

1195 T ex<br />

p(x) = (x + 10)(x – 20)<br />

q(x) = 2(x + 10)(x – 20)<br />

1196 a) f(t) = –(2t – 1) 2<br />

b) h(x) = 4(x 2 + x + 1)<br />

c) p(x) = –(x + 1)(3x – 1)<br />

1197 Nej.<br />

Motivering:<br />

p( x) = – 0,5(x – 1)(x – 4)<br />

p(6) = – 5<br />

1198 a = –3 b = –13 c = 15<br />

1199 Nollställen: a <strong>och</strong> b.<br />

Tolkning:<br />

Nollställenas summa =<br />

= koefficienten för x men med<br />

omvänt tecken.<br />

Nollställenas produkt = den<br />

konstanta termen.<br />

(Förutsätter p (x) på formen<br />

p(x) = x 2 + px + q.)<br />

1203 a) 6 b) x = 4<br />

1204 a) 2 3<br />

b) x = –2<br />

c) Nej. Motivering:<br />

G(–3) = G(2) = 2/3<br />

1205 Uttrycket är inte definierat för<br />

x = 6 <strong>och</strong> y = -3.<br />

För dessa värden får nämnaren<br />

värdet 0.<br />

1206 a) x = 0 <strong>och</strong> x = –5<br />

b) Uttrycket är definierat för<br />

alla värden på x.<br />

c) x = –2 <strong>och</strong> x = –3<br />

d) x = 0 <strong>och</strong> x = ±5<br />

Ledtråd:<br />

Nämnaren kan skrivas<br />

2x(x 2 – 25)<br />

1207 a) T ex<br />

2x<br />

x − 7<br />

b) T ex x − 7<br />

2x<br />

2<br />

c) T ex<br />

2<br />

x − 9<br />

d) T ex<br />

2<br />

2<br />

x + 9<br />

1208 a) 8 000 kr<br />

Ledtråd:<br />

Bränsleförbrukning:<br />

G(100) = 0,5 liter/km<br />

Bränslemängd: 500 liter<br />

b) 125 mil<br />

Ledtråd:<br />

G(50) = 0,4 liter/km<br />

13<br />

1209 a) f (2) =<br />

6 ≈ 2,1666...<br />

Differensen är<br />

13<br />

6 – 3 10 ≈ 0,012<br />

3277<br />

b) f ( f (2)) = ≈ 2,154 50<br />

1521<br />

Differensen är<br />

3<br />

2,154 50 – 10 ≈ 7 · 10 –5<br />

1215 a) 6x<br />

14<br />

b) 8<br />

2x<br />

1216 a) 30<br />

15x<br />

b) 10<br />

15x<br />

c) 2x + 6<br />

14<br />

d) 2x − 6<br />

2x<br />

c) 3x − 6<br />

15x<br />

2<br />

d) 10x + 5x<br />

15x<br />

254 svar <strong>och</strong> lösningar<br />

Bla 3c.indb 254 2012-07-10 09.43


1217 a) 7 8<br />

b) 2x<br />

3<br />

1218 a) 2<br />

x + 3<br />

b)<br />

x − 2<br />

3x<br />

+ 4<br />

1219 a) 4 + h<br />

c)<br />

2<br />

b<br />

6a 2<br />

d) x + 1<br />

x<br />

c) 2<br />

5+ x<br />

d) x + 4<br />

x + 3<br />

b) Uttrycket kan inte förkortas.<br />

c) 1<br />

2x+<br />

h<br />

d) 2h<br />

3<br />

1220 2x<br />

+ 2y<br />

2 ( x+<br />

y) =<br />

= 2<br />

x+<br />

y x+<br />

y<br />

kan förkortas, då täljare <strong>och</strong><br />

nämnare har faktorn x + y<br />

gemensam.<br />

2x + y <strong>och</strong> x + y har ingen<br />

gemensam faktor.<br />

1221 a) 140x 2<br />

b) 2<br />

c) x + a<br />

1222 a) 6<br />

b) 6<br />

Ledtråd:<br />

Förenklat uttryck 2 y<br />

3<br />

1223 a) 52<br />

b) 8 a−<br />

6 b<br />

33<br />

4a+<br />

3b<br />

1224 a) 3x 2 – 24x<br />

b) 2x – 16<br />

c) 12x 2<br />

1226 a) x – 5<br />

b)<br />

1<br />

x − 4<br />

c) 7 + x<br />

1227 a)<br />

1<br />

a − 1<br />

b) Uttrycket kan inte förkortas.<br />

c)<br />

2a<br />

a − 2<br />

d) 1<br />

a+<br />

b<br />

1228 a)<br />

2<br />

3 − x<br />

c) x + 1<br />

b) 5(x + 1) d) x – 4<br />

1229 a)<br />

x<br />

2( x − 1)<br />

b) 2 ( a+<br />

3 b)<br />

a − 3b<br />

1230 5,999<br />

Ledtråd:<br />

Uttrycket kan förenklas till 3 + x<br />

1231 Nej.<br />

Motivering:<br />

z = 1 ger HL = 2 <strong>och</strong> VL = 4.<br />

Den korrekta för enklingen är<br />

3 – z.<br />

1232 a) 8 + h b) 12 + 2h<br />

1233 a) 2 − x<br />

2 + x<br />

1234 2x + h<br />

1236 a) ( −1)(<br />

x −2)<br />

3<br />

svar <strong>och</strong> lösningar 255<br />

b) x<br />

b) ( −1)(<br />

2<br />

x + 2 x − 3)<br />

4<br />

1237 a) –1 c) –(3 + a)<br />

b) –2 d) – 4<br />

y + 5<br />

1238 a) 1 – 2a b) – 10<br />

5+a<br />

1239 a) – a +1<br />

a<br />

1240 a) 1 b) 1<br />

1241 a) 1 − 2 x<br />

5x<br />

b) 1 − 6 x<br />

1+<br />

6x<br />

c) – x + 2<br />

x<br />

b) 4 d) 1 + x<br />

1 − x<br />

1242 a) –2 c) –8(x – 2) 2<br />

b) 4(x – 2) d) 64(x – 2) 5<br />

1246 a) 6 3<br />

= c) 10x<br />

8 4 21<br />

b) – 11<br />

8<br />

1247 a) 4 a<br />

b) 3 x + 1<br />

4x<br />

d) 3x<br />

10<br />

c)<br />

5<br />

2x<br />

d) 13<br />

6a<br />

1248 a) x = 20 c) y = 120<br />

b) x = 4 d) x = 24<br />

1249 a) x = 3 b) x +21<br />

12<br />

1250 a) 3 y + 5<br />

3 y<br />

b) 12 + y<br />

4 y<br />

2<br />

1251 a) x = 11 c) x = 4 <strong>och</strong> x = –1<br />

b) x = 3,2<br />

1252 Pi: behöver parentes för att<br />

inte få teckenfel, ska vara<br />

... = 2 −( x + 1 ) 1 − x =<br />

2 x 2 x<br />

Bo: ändrar uttrycket när han<br />

bara multiplicerar täljaren<br />

med 2x. Vid förlängning<br />

måste både täljare <strong>och</strong><br />

nämnare multipliceras med<br />

samma faktor för att inte<br />

värdet ska ändras.<br />

1253 x = 180 eller x = 1 500<br />

1254 a) 1 4<br />

d) 1 4 + 1 x = 1 3<br />

b) 1 3<br />

e) 12 h<br />

c)<br />

1<br />

x<br />

17 y − 51<br />

1257 a) y = 3 b)<br />

12<br />

1258 a) x 1 = 1 x 2 = –6<br />

b) Saknar lösning.<br />

1259 a) x = 6<br />

b) Saknar lösning.<br />

c) y 1 = 2 y 2 = –3<br />

d) x = –2<br />

Ledtråd:<br />

x = 2 är falsk rot<br />

1260 a) 1,5 tabletter<br />

b) 12 år<br />

1261 a) x = 6<br />

b) Saknar lösning.<br />

1262<br />

2<br />

x + 2<br />

1263 x 1 = 4 x 2 = –1,5<br />

1264 a = –1 t 2 = 7<br />

3<br />

1<br />

1265 a)<br />

c)<br />

a−<br />

b x( x+<br />

2)<br />

2<br />

b) 2 d)<br />

a + 3<br />

Bla 3c.indb 255 2012-07-10 09.43


3<br />

a + 1<br />

a + 1<br />

1266 Ja, förenklingen är rätt.<br />

Numerisk motivering:<br />

De två uttrycken får samma<br />

värde för några olika värden<br />

på x.<br />

T ex då x = 15 får båda<br />

uttrycken värdet –14.<br />

Algebraiskt motivering:<br />

xy<br />

1278 a)<br />

3<br />

3 2<br />

a + 1 a + 1 − a (a + 1)<br />

x +1<br />

2<br />

− a = =<br />

a + 1<br />

a + 1<br />

b)<br />

a<br />

3 2<br />

a +2<br />

a + 1 − a (a + 1)<br />

2<br />

− a = =<br />

a + 1<br />

1<br />

2<br />

1 − a<br />

= a 3 + 1 − a 3 − a 2<br />

1279 a)<br />

ba ( − 3)<br />

= =<br />

a + 1 a + 1<br />

=<br />

1268 a) 10<br />

27<br />

b) 1 3<br />

1269 a) 21<br />

16<br />

b) 3 4<br />

1270 a) 2 5<br />

1271 a) 8 b<br />

1272 a) 10 7<br />

(1 − a)(1 + a)<br />

(1 + a)<br />

= 1 − a<br />

c) 2<br />

15<br />

d) 1<br />

15<br />

c) 4 3<br />

d) 5<br />

14<br />

c) 5 4<br />

b) 4 d) x<br />

30<br />

b)<br />

10x<br />

+ 15<br />

2x<br />

c) 2 a<br />

d)<br />

10x − 15<br />

2<br />

c) 4 a<br />

3b<br />

b) 2(a + b) d) x +1<br />

2<br />

1273 a) 2 c) 84 x<br />

b) 6 a<br />

1274 a) 5 21<br />

b) a+ b<br />

3<br />

1275 a) x 2 y 2<br />

18<br />

b) 2 3<br />

4<br />

d)<br />

35z<br />

c) 2 a<br />

9b<br />

d) x +1<br />

12<br />

c) 1 2<br />

2 2<br />

d) ab 6c<br />

2<br />

1276 a) x 2 c) 1 2<br />

a<br />

b) 1 d) b<br />

2<br />

x<br />

1277 a) 3 = 06 , b) 3 5<br />

5<br />

1280 a) b) 3 + a<br />

5<br />

1281 a) (2a+<br />

3b)<br />

(2a – 3b)<br />

1282 a) – 1 xz<br />

1283 Ja, a = – 3.<br />

c) x − 2 y<br />

x<br />

b) 2(x – 1)<br />

a<br />

b)<br />

22 ( a + 1)<br />

b) – a + x<br />

ax<br />

1301 a) f(2) = 7<br />

b) g(–3) = 0<br />

c) f(2) – g(2) = –3<br />

d) g(b) – f(b) = b 2 – 3b + 5<br />

1302 a) 3a + 1 b) 3a + 3h – 2<br />

1303 a) a 2 – 4a + 1 b) a 2 + 4a + 1<br />

1304 Funktionen är diskret.<br />

Motivering:<br />

Man kan förmodligen bara<br />

hyra skidorna en hel dag eller<br />

en halv dag.<br />

Möjliga x-värden är då:<br />

½, 1, 1½, 2, 2½ …<br />

1305 a) Definitionsmängd:<br />

Alla reella x<br />

Värdemängd:<br />

Alla reella x<br />

b) Definitionsmängd:<br />

Alla reella x<br />

Värdemängd:<br />

y ≥ 0<br />

c) Definitionsmängd:<br />

x ≥ –3<br />

Värdemängd: y ≥ 0<br />

d) Definitionsmängd:<br />

Alla reella x<br />

Värdemängd:<br />

y > 0<br />

1306 a)<br />

2<br />

2 2 4 6 8<br />

2<br />

y<br />

b) Definitionsmängd:<br />

Alla reella x ≠ 4.<br />

c) För stora värden på x<br />

(oavsett tecken) ligger y<br />

mycket nära 0 men det<br />

finns inget x-värde som<br />

ger y = 0 (exakt).<br />

1307 a) h + 7 b) 2x + h + 3<br />

1308 a) f(–2) + f(2) = 8 + a<br />

b) a = –1<br />

Motivering:<br />

Funktionsvärdena, då x = 1<br />

<strong>och</strong> då x är ”lite, lite större än<br />

1” ska ligga nära varandra.<br />

1311 1 2<br />

1312 a) f(x) = 4x – 14<br />

b) f(x) = –3x + 7<br />

1313 a)<br />

b)<br />

4<br />

2<br />

2<br />

2<br />

4<br />

4<br />

2<br />

2<br />

2<br />

4<br />

1314 a) m = 15 000. Antalet<br />

invånare 1990.<br />

y<br />

y<br />

2<br />

2<br />

b) k = –225. Befolkningen<br />

minskar med 225 personer<br />

per år.<br />

1315 y = –2x – 5<br />

4<br />

4<br />

x<br />

x<br />

x<br />

256 svar <strong>och</strong> lösningar<br />

Bla 3c.indb 256 2012-07-10 09.43


1316 3y – 2x – 20 = 0<br />

Ledtråd:<br />

k = 2/3 <strong>och</strong> m = 20/3<br />

1317 a) y = 9 x + 32 eller<br />

5<br />

y = 1,8x + 32<br />

b) 32 °F<br />

1318 a) y = –5x + 5<br />

b) y = 3x – 11<br />

1319 a) y = 3 – 0,5x<br />

b) y = x<br />

c) y = 2 x + 2<br />

3<br />

d) y = 11 – 3x<br />

1320 a) 75 mm<br />

b) 3,2 h<br />

c) f(t) = 200 – 25t<br />

1321 a) y = –x – 3<br />

x<br />

b) y =<br />

2 – 4,5<br />

1322 B = (4, 16)<br />

Ledtråd:<br />

y = x 2 ger t ex B:s koordinater<br />

(b, b 2 ) (b > 1).<br />

2<br />

b − 1<br />

k = =<br />

b − 1<br />

= ( b − 1 )( b + 1 ) = (b + 1)<br />

b − 1<br />

b + 1 = 5 ger b = 4.<br />

1323 Förenkling:<br />

f( x+ ∆x) − f( x)<br />

=<br />

∆x<br />

ax ( + ∆x) + b− ( ax + b)<br />

= = a<br />

∆x<br />

Tolkning:<br />

f( x+ ∆x) − f( x)<br />

∆y<br />

=<br />

∆x<br />

∆x = k,<br />

dvs linjen har lutningen a.<br />

1324 T ex f (x) = x + 1<br />

1327 a) maximipunkt<br />

b) x = 0 <strong>och</strong> x = 6<br />

c) x = 3<br />

d) (3, 9)<br />

e) (0, 0)<br />

1328 a) x = –3 <strong>och</strong> x = 10<br />

b) x = 0 <strong>och</strong> x = 4<br />

1329 Om koefficienten i x 2 -termen är<br />

positiv så har grafen en minimipunkt.<br />

Om koefficienten är negativ så<br />

har grafen en maximipunkt.<br />

1330 a) Nollställen: x = –3 <strong>och</strong><br />

x = –1<br />

Minimipunkt: (–2, –1)<br />

b) Nollställen: x = 1 ± 6<br />

Minimipunkt: (1, –12)<br />

c) Nollställen: x = –1<br />

<strong>och</strong> x = 9<br />

Maximipunkt: (4, 25)<br />

d) Nollställen saknas.<br />

Maximipunkt: (– 3 2 , – 3 2 )<br />

1331 x = –4<br />

1332 a) Skär x-axeln där x = –2<br />

<strong>och</strong> x = 1. Skär y-axeln<br />

där y = 6.<br />

b) Skär ej x-axeln.<br />

Skär y-axeln där y = 4.<br />

c) Skär x-axeln där x = 0 <strong>och</strong><br />

x = 10. Skär y-axeln där<br />

y = 0.<br />

d) Skär x-axeln där x = 4 <strong>och</strong><br />

x = –1. Skär y-axeln där<br />

y = – 4.<br />

1333 a) T ex y = x 2 – 2x – 3<br />

Ledtråd:<br />

Utveckla y = (x + 1)(x – 3)<br />

b) T ex y = x 2 + 10x<br />

1334 a) f(0) = –3<br />

b) 1 < x < 3<br />

c) f(x) = 4x – x 2 – 3<br />

d) g(x) = x<br />

Motivering:<br />

Ekvationen f(x) = g(x)<br />

saknar reella lösningar.<br />

1335 a < –16<br />

Motivering:<br />

Ekvationen x 2 – 8x – a = 0<br />

saknar reella lösningar då<br />

a < –16.<br />

1336 f (x) = 2x – 1<br />

1337 a) x = 2 b) 4<br />

1338 T ex<br />

f(x) = (x + 10)(x – 20)<br />

g(x) = 2(x + 10)(x – 20)<br />

1339 y = 0,5(x – 1)(x – 8)<br />

1340 s (v) = 0,006v 2 + 0,3v<br />

1341 a) s(2,5) = 15,125<br />

Efter 2,5 sekunder är bollen<br />

15 meter över marken.<br />

b) 17 m (17,28…)<br />

Ledtråd:<br />

Maximipunkten ligger på<br />

symmetrilinjen, x ≈ 1,837.<br />

1342 a) y = –0,5(x – 1) (x – 4)<br />

y = –0,5x 2 + 2,5x –2<br />

Ledtråd:<br />

Nollställena 1 <strong>och</strong> 4 <strong>och</strong><br />

punkten (0, –2)<br />

b) y = 1,5(x + 2) (x – 6)<br />

y = 1,5x 2 – 6x – 18<br />

Ledtråd:<br />

Nollställena –2 <strong>och</strong> 6 <strong>och</strong><br />

punkten (0, –18)<br />

1343 f (x) = 2(x – 1)(x + 3) =<br />

= 2x 2 + 4x – 6<br />

1344 b 2 = 4ac<br />

Ledtråd:<br />

Lös ekvationen ax 2 + bx + c = 0<br />

med lösningsformeln.<br />

Då uttrycket under rottecknet<br />

är noll har funktionen endast<br />

ett nollställe.<br />

1347 a) f(5) = 4 470<br />

b) f(5) = 3 040<br />

1348 a) x = 2 (exakt)<br />

b) x = 1,64<br />

c) x = 1,89<br />

d) x = 1,54<br />

1349 a) y = 80 ∙ 1,05 x<br />

b) y = 80 ∙ 0,95 x<br />

1350 a) Ca 230 000<br />

b) Efter ca 23 h (23,36…)<br />

svar <strong>och</strong> lösningar 257<br />

Bla 3c.indb 257 2012-07-10 09.43


1351 5,6 %<br />

Ledtråd:<br />

Lös ekvationen x 20 = 3<br />

<strong>och</strong> tolka svaret som en<br />

förändringsfaktor.<br />

1352 20,6 %<br />

1353 a) 1 013 millibar<br />

b) 11,3 %<br />

c) 353 millibar (352,6...)<br />

d) 5,9 km<br />

1354 a) C b) A <strong>och</strong> B c) D<br />

1355 y = 5 ∙ 0,8 x<br />

1356 86 % (0,864...)<br />

1357 f(2) = 4,5<br />

1358 a) 882 poäng<br />

b) 812 poäng<br />

c) 3 min 53,8 s<br />

1359 3,39 ∙ 10 6<br />

1360 3 600 måsar<br />

Lösning 1:<br />

10 000 · x 10 = 6 000<br />

1<br />

x = 0,6 10 ≈ 0,950 2...<br />

Efter 20 år:<br />

1<br />

10 000 · ( 0,6 ) 10 20 =<br />

= 10 000 · 0,6 2 = 3 600<br />

Lösning 2:<br />

På 10 år minskade antalet<br />

måsar med 40 %. Nästa<br />

tioårsperiod minskar de<br />

med ytterligare 40% .<br />

0,4 ∙ 6 000 = 3 600<br />

1361 f(–2) = 1 600<br />

Ledtråd:<br />

Funktionen är f(x) = 400∙ 0,5 x<br />

1362 10 000 km 2 .<br />

1363 Efter 42 h (41,68…)<br />

Ledtråd:<br />

Förändringsfaktorn är<br />

1<br />

0,5 24 ≈ 0,971 5...<br />

1364 a) 53 dygn b) 201 år<br />

1365 C = 20 <strong>och</strong> a = 1/3<br />

1366 a) x = lg2/lg(5/7) ≈ –0,485 4<br />

Diagnos 1<br />

b) x 1 = 10 x 2 = 100<br />

Ledtråd:<br />

Logaritmera båda leden <strong>och</strong><br />

gör substitutionen lgx = a.<br />

1 a) 6ab – 9b 2 b) 6xh + 3h 2<br />

2 a) 5a –6 b) x 2 – 3<br />

3 a) 6 b) 11<br />

4 a) x 1 = –3 x 2 = 0 x 3 = 1<br />

b) x 1 = 0 x 2 = 1/3<br />

5 a) p(x) = (x – 6)(x – 10)<br />

b) p(x) = –10(x – 2)(x – 3)<br />

6 a) G(–3) = –2/3<br />

b) x = 0 <strong>och</strong> x = –2<br />

7 a) 7 c) 3 x<br />

4<br />

b) 2(x – 3) d) 0<br />

8 a) x = 64<br />

b) x = 5<br />

c) x = -3<br />

Ledtråd:<br />

x = 1 är en falsk rot.<br />

d) x = 8<br />

Ledtråd:<br />

x = –4 är en falsk rot.<br />

9 a) 3b 2 c) a<br />

1 − 2a<br />

b) a2<br />

12<br />

10 a) y = 4x + 4<br />

b) y = –2x + 10<br />

c) y = 3x – 2<br />

11<br />

d) a − 1<br />

2<br />

10 10<br />

a) x = 2<br />

10<br />

40<br />

b) Minimipunkt<br />

c) (2, –32)<br />

d) ( –2, 0) <strong>och</strong> (6, 0)<br />

e) (0, –24)<br />

12 a) x = 6 1/5 ≈ 1,431<br />

b) x = lg6/lg5 ≈ 1,113<br />

13 Potensfunktion:<br />

T ex f(x) = 3 ∙ x 0,5<br />

Exponentialfunktion<br />

T ex f(x) = 2 ∙ 1,5 x<br />

Blandade övningar kapitel 1<br />

1 5x 2 + 24x – 5<br />

2 2<br />

3 Joel har dividerat både 64 <strong>och</strong><br />

x med 4, vilket är rätt.<br />

Wilma dividerade bara 64.<br />

4 7<br />

5 x = 0 <strong>och</strong> x = 4<br />

1<br />

6 s − 4<br />

7 a) 4ax<br />

b) 4x 2 + 4x<br />

8 a) x 1 = 1 x 2 = –1<br />

b) x = lg 2<br />

c) x 1 = 1 x 2 = –3<br />

d) x = 3 1/5<br />

9 Funktionens graf kan ritas utan<br />

att lyfta pennan.<br />

10 a) 1 b) 7 x − 2<br />

11 a = 21<br />

12 2a –8<br />

13 x 1 = 0 x 2 = 1<br />

Ledtråd:<br />

Förenkla ekvationen till<br />

2x 4 – 2x = 0 <strong>och</strong> bryt ut 2x.<br />

14 y = –x + 1<br />

Ledtråd:<br />

Skärningspunkterna är<br />

(1, 0) <strong>och</strong> (4, –3)<br />

15 a) 30 000 + 15x<br />

x<br />

b) Hon kör 1200 mil.<br />

258 svar <strong>och</strong> lösningar<br />

Bla 3c.indb 258 2012-07-10 09.43


16 a = 2 <strong>och</strong> b = 4<br />

Ledtråd:<br />

Villkoren ger ekvationssystemet<br />

⎧ a – b = –2<br />

⎨<br />

⎩ a + b = 6<br />

17 x 1 = 0 x 2 = 1 x 3 = 5<br />

18 a ligger i intervallet D.<br />

Motivering:<br />

a = 45 vilket är lite mindre<br />

än 7 eftersom 7 = 49 .<br />

19 a) x = ±1,5<br />

b) 9 − 4x 2<br />

4x<br />

20 2x + 1<br />

x − 1<br />

21 a) x = 1 <strong>och</strong> x = 5<br />

b) a = –3,2<br />

Ledtråd:<br />

f(x) = 0,8(x – 1)(x – 5)<br />

Värdet på a är detsamma som<br />

minimipunktens y-koordinat,<br />

vilket innebär att a = f(3).<br />

c) Nej, det är inte sant.<br />

Motivering:<br />

f(x) = 0,8(x – 1)(x – 5)<br />

f(11) = 48 <strong>och</strong> 6 ∙ f(0) = 24<br />

22 a) 16 000 000<br />

Ledtråd:<br />

Uttrycket kan skrivas (x + 5) 2 .<br />

b) 4 000<br />

Ledtråd:<br />

Förenkla uttrycket så långt<br />

som möjligt.<br />

23 a) x 1 = –2/3 x 2 = 1<br />

b)<br />

2x + 1<br />

x(x + 1)<br />

24 a) 20 + 5h<br />

Ledtråd:<br />

f(2 + h) = 5 ∙ (x + h) 2 =<br />

= 5x 2 + 10xh + 5h 2<br />

b) 10x + 5h<br />

25 a) x 1 = –2 x 2 = 12<br />

b) x 1 = –12 x 2 = 2<br />

c) |x – 1| < 6<br />

26<br />

1<br />

x + 1 y = 4<br />

Ledtråd:<br />

Skriv om uttrycket som ett<br />

rationellt uttryck.<br />

27 a) x = –1,5<br />

Ledtråd:<br />

Skriv båda leden som ett<br />

uttryck med basen 3.<br />

b) x 1 = 8 x 2 = 27<br />

Ledtråd:<br />

Gör en substitution.<br />

Sätt x 1/3 = a så får du en<br />

andragradsekvation med a<br />

som variabel.<br />

28 a = 0,5 b = –4,5 c = 1<br />

<strong>och</strong> d = 24<br />

29 K(18) – K(14) = 0,74<br />

30 a) x = 166 (exakt)<br />

b) x = 12,9<br />

Ledtråd:<br />

x = 500<br />

3<br />

c) x = 6,30<br />

d) x = 7,38<br />

Ledtråd:<br />

Skriv ekvationen 2 x = 500/3<br />

<strong>och</strong> logaritmera båda leden.<br />

31 Ca 0,25 %<br />

32 a) 54 mm (54,54…)<br />

b) Lösning:<br />

1<br />

a + 1 b = 1 · b<br />

a · b + 1 · a<br />

b · a =<br />

=<br />

b<br />

ab + a<br />

ab = a + b<br />

ab<br />

33 a = 2, b = 1, c = 3 <strong>och</strong> d = –1<br />

Ledtråd:<br />

Alla talen är heltal.<br />

a ∙ c = 6 <strong>och</strong> b ∙ d = –1.<br />

34 a) x 1 = –2 x 2 = 1 x 3 = 2<br />

b) x 3 – x 2 – 4x + 4 =<br />

= (x + 2)(x – 1)(x – 2)<br />

35 a) 2,47 sekunder<br />

b) 14,0 cm<br />

c) l = gT 2<br />

4π2<br />

36 Ekvationen har endast en lösning<br />

x = 4.<br />

Förklaring:<br />

Då denna ekvation kvadreras<br />

får vi en ny ekvation som har<br />

en annan lösning än den<br />

ursprungliga. Rötterna till denna<br />

nya ekvation måste prövas i den<br />

ursprungliga ekvationen.<br />

Prövningen visar att x = 1<br />

är en falsk rot.<br />

37 –<br />

1<br />

x(x + h)<br />

38 • 2 3 – 1 2 = 1 6<br />

4<br />

5 – 3 4 = 1 20<br />

9<br />

10 – 8 9 = 1 90<br />

• T ex<br />

6<br />

7 – 5 6 = 36<br />

42 – 35<br />

42 = 1<br />

42<br />

• Differensen är ett bråk med<br />

täljaren 1 <strong>och</strong> med en nämnare<br />

som är produkten av de två<br />

bråkens nämnare.<br />

• Ledtråd till ett bevis:<br />

Differenserna följer mönstret<br />

x + 1<br />

x + 2 – x<br />

x + 1<br />

där x är ett positivt heltal.<br />

Visa att uttrycket kan förenklas<br />

1<br />

till<br />

(x + 2)( x + 1)<br />

39 • Värdet av båda polynomen är 0.<br />

• Värdet av båda polynomen är 0.<br />

• Värdet av båda polynomen är<br />

316.<br />

• Om t ex a = –2 <strong>och</strong> b = –11<br />

så är värdet av båda polynomen<br />

1 323.<br />

• Polynomen verkar vara två olika<br />

sätt att skriva samma uttryck.<br />

• Ledtråd till bevis:<br />

Visa att utrycket med de två<br />

parenteserna kan förenklas till<br />

det andra uttrycket.<br />

• x = 3<br />

Ledtråd:<br />

Enligt beviset kan VL skrivas<br />

x 3 – 2 3 .<br />

svar <strong>och</strong> lösningar 259<br />

Bla 3c.indb 259 2012-07-10 09.43


KÄLLFÖRTECKNING till bilder<br />

Siffrorna anger sida <strong>och</strong> bildens placering på sidan<br />

Foton:<br />

Heikne, Hans 24, 49, 54, 92, 103, 105, 107, 126, 161, 179, 185,<br />

206, 221, 234<br />

IBL Bildbyrå AB, Stockholm<br />

Abad, Thomas 116<br />

AGE fotostock 6-7<br />

Ardea 109<br />

Bachmann 163<br />

Beeker, Henry 204-205<br />

Buwon, Park 69:1<br />

Brissaud, Eric 10<br />

Broborn, Lennars 115<br />

Brooker, Peter 191<br />

Cary, Liane 236<br />

Cavalli, Angello 112<br />

Cheadle, Chris 71<br />

Cumming, Ian 242<br />

Datacraft 188<br />

Didillon, Frédéric 35<br />

Dinodia 17<br />

Edwards, Lisa 171<br />

Ewing, David 108<br />

Eyevine/ Xinhua 89<br />

Fine Arts Images 229<br />

Forsberg, Jonas 132<br />

Forsberg, Peter Erik 128-129<br />

Fotosearch 55<br />

Furrer 190<br />

Gelevachuk, Bazil 45<br />

Glowimages 41<br />

Hasselberg, Daniel 225<br />

Hamblin, Mark 69:2<br />

Hermes 149<br />

Janes, EA 73<br />

Lilja, Theo 75<br />

Malmö Museer 156<br />

Mangil, Kim 70<br />

McDonald, Dennis 26<br />

McGouey, Robert 87<br />

Meireis, Christophe 122<br />

<strong>Natur</strong>e PL 53<br />

Quick, Peo 177<br />

Rex Features 196<br />

Rhösman, Björn 110<br />

Ribeiro, Alf 62, 189<br />

Ripoll, Eduardo 60<br />

Scholey, Peter 37<br />

Sience Photo Library 19, 95, 165, 235<br />

Smith, Wendy 117<br />

Strauss, Andreas 182<br />

Usher, Regina 101<br />

UPI 64-65<br />

Varney, Jim 166<br />

Weigel, Armin 201<br />

Widman, Peter 82<br />

Wijnands, J<strong>och</strong>em 199<br />

Zerla, Walter 11<br />

Åke Lindaus samling 187<br />

Illustrationer:<br />

Hesselstrand, Johan<br />

Matematiska illustrationer:<br />

Karlsson, Mats<br />

288 register<br />

Bla 3c.indb 288 2012-07-10 09.44

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!