x - Natur och Kultur

1.3 Funktioner
Inledning
Vi repeterar och utvidgar funktionsbegreppet.
Funktion
Definitionsmängd
Värdemängd
En regel som till varje tillåtet x -värde ger exakt ett y -värde
kallas en funktion.
De tillåtna x -värdena kallas funktionens definitionsmängd.
De y -värden vi då kan få kallas funktionens värdemängd.
Funktionsregeln kan beskrivas med ord, med en formel,
en värdetabell eller en graf.
y = f (x)
kontinuerlig funktion
Skrivsättet y = f(x) innebär att y är en funktion av x och f är funktionens
namn.
Med f(2) menas det y-värde som funktionsregeln ger då x = 2.
Funktioner kan karaktäriseras på olika sätt. De funktioner vars graf kan
”ritas utan att lyfta pennan” kallas för kontinuerliga.
Med matematikens språk kan vi säga att en funktion är kontinuerlig i en
punkt x om | f (x + h) – f (x)| kan göras godtyckligt litet genom att välja
ett tillräckligt litet h. Om detta gäller för alla x i definitionsmängden är
funktionen kontinuerlig.
Alla polynomfunktioner är kontinuerliga.
y
y = f (x )
y
y = g (x )
a
b
x
a
b
x
f är kontinuerlig för a ≤ x ≤ b
g är diskontinuerlig för a ≤ x ≤ b
En annan karaktärisering av funktioner kan göras utifrån vilken
definitionsmängd de har. De funktioner vars definitionsmängd är heltalen
(eller delmängder av heltalen) kallar vi diskreta. I matematiken betyder
ordet diskret ungefär detsamma som ”åtskild” eller ”särad”.
diskret funktion
En diskret funktion kan aldrig vara kontinuerlig eftersom resonemangen
med ”godtyckligt litet” respektive ”tillräckligt litet” inte fungerar.
40 1.3 Funktioner
Bla 3c.indb 40 2012-07-10 09.35