x - Natur och Kultur

Polynom i faktorform
nollställe
från nollställen
till faktorform
Vi har tidigare använt två metoder för att faktorisera polynom.
1. Utbrytning av största möjliga faktor, t ex
4x 2 + 12x = 4x ∙ x + 4x ∙ 3 = 4x(x + 3)
5(x + 2) – x(x + 2) = (x + 2)(5– x)
2. ”Omvänd” användning av konjugatregeln och kvadreringsreglerna, t ex
4x 2 – 25 = (2x) 2 – 5 2 = (2x + 5)(2x – 5)
x 2 – 6x + 9 = x 2 – 2 ∙ 3x + 3 2 = (x – 3) 2
Vi ska nu visa en tredje metod.
Ett nollställe till ett polynom p(x) är ett tal a sådant att p(a) = 0.
Om vi har ett polynom i faktorform, t ex p(x) = (x + 2)(5 – x), så kan
vi bestämma polynomets nollställen. Polynomet p(x) = (x + 2)(5 – x)
har nollställena –2 och 5.
Omvänt så kan vi faktorisera ett polynom om vi vet samtliga nollställen.
Vill vi faktorisera polynomet p(x) = x 2 + 2x – 15 så börjar vi med att lösa
ekvationen x 2 + 2x – 15 = 0 med lösningsformeln. Rötterna är –5 och 3.
p(x) = x 2 + 2x – 15 = (x – (–5))(x – 3) = (x + 5)(x – 3)
Om vi vill så kan vi kontrollera resultatet genom att multiplicera
parenteserna.
Ett polynom som saknar nollställen kan inte faktoriseras.
Andragradspolynom
i faktorform
Ett andragradspolynom p (x) med nollställena a och b kan skrivas
p (x) = k (x – a)(x – b)
där k är en konstant.
1185
Faktorisera 18x 2 + 12x + 2
Vi bryter ut 2 och använder 1:a kvadreringsregeln ”omvänt”.
18x 2 + 12x + 2 = 2(9x 2 + 6x + 1) = 2(3x + 1) 2
1186
Faktorisera (x + 1) 2 – 4y 2
Vi använder konjugatregeln ”omvänt”.
(x + 1) 2 – 4y 2 = (x + 1) 2 – (2y) 2 = (x + 1 + 2y)(x + 1 – 2y)
22 1.1 Algebra och polynom
Bla 3c.indb 22 2012-07-10 09.35