x - Natur och Kultur

Kvadratrötter och absolutbelopp
Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner om kvadratrötter.
Definition
Med kvadratroten ur a menas det positiva tal, vars kvadrat är a.
(√a ) 2 = √a · √a = a a ≥ 0
Lägg märke till följande:
1 Kvadratroten ur ett tal är enligt definitionen ett positivt tal.
√25 står alltså bara för det positiva talet 5.
2 Ekvationen x 2 = 25 har däremot två lösningar.
De är x 1 = √25 = 5 och x 2 = – √25 = –5. Vi skriver detta x = ±5
3 – √25 är inte detsamma som √–25
– √25 = –5 , medan beräkningen √–25 inte kan göras med reella tal.
1
2
Sambandet a = √a ger tillsammans med potenslagarna
a x b x = (ab) x och ax
b = ⎛ x ⎝ a x
⎞
b ⎠ följande lagar.
Lagar för kvadratrötter
√a · √b = √ab a ≥ 0 b ≥ 0
√a
√b = √ a b
a ≥ 0 b > 0
1137
Beräkna utan räknare
2
a) √25 + √2 · √50 b) 9 + 4 –0,5
1
a) √25 + √2 · √50 = 5 + √2 · 50 = 5 + √100 = 5 + 10 = 15
1
2
b) 9 + 4 –0,5 1
= √9 +
4 = 3 + 1 0,5
√ 4 = 3 + 1 2 = 3,5
1138
1 √ Visa att
√2 = 2
2
1
√2 = 1 · √2 √
√2 · √2 = 2
2
14 1.1 Algebra och polynom
Bla 3c.indb 14 2012-07-10 09.34