x - Natur och Kultur

Sammanfattning 1
Algebra och polynom
Polynom och räkneregler
Ett polynom är en summa av termer där
variabeltermernas exponenter är naturliga tal.
Exempel:
2x 3 – x 2 + 10 är ett tredjegradspolynom med
tre termer.
Konjugatregeln och kvadreringsreglerna:
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2
(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
(a – b ) 2 = a 2 – 2 a b + b 2
Potenser
a x a y = a x + y
a x b x = (a b) x
a x
a = a x – y
y
a x
b = ⎛ x ⎝ a x
⎞
b⎠
(a x ) y = a x y
a 0 = 1 a –x = 1 1
a a n n
= √ a
x
Exempel:
(2 x ) 3 · 2 x –1 = 2 3 · x 3 · 2 · x –1 = 16 x 2
Kvadratrötter och absolutbelopp
(√ a ) 2 = √ a · √ a = a a ≥ 0
√ a · √ b = √ ab a ≥ 0 b ≥ 0
√ a
√ b √ = a b
a ≥ 0 b > 0
Exempel:
√18 = √ 9 · √ 2 = 3 · √ 2
Absolutbeloppet av x, skrivs |x| och definieras som
talets avstånd till origo.
⎧ x om x ≥ 0
|x| = ⎨
⎩ –x om x < 0
Ekvationer
Ekvationen x 2 + p x + q = 0 har lösningarna
x = – p 2 √ ± ⎛ p 2
⎞
⎝ 2⎠
– q
Ekvationer som kan skrivas så att det ena ledet är
faktoriserat och det andra ledet är noll kan lösas
med nollproduktmetoden.
Exempel:
4x(3x – 15)(2x + 6) = 0
1 x = 0
2 (3 x – 15) = 0 vilket ger x = 5
3 (2 x + 6) = 0 vilket ger x = – 3
x 1 = 0 x 2 = 5 x 3 = – 3
Ekvationer där den obekanta förekommer under
ett rottecken kallas rotekvationer. Rotekvationer
kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket dock
kan ge falska rötter som måste prövas i den
ursprungliga ekvationen.
Polynom i faktorform
Ett nollställe till ett polynom p ( x ) är ett tal a
sådant att p ( a ) = 0.
Ett andragradspolynom p ( x ) med nollställena
a och b skrivs i faktorform
p ( x ) = k ( x – a )( x – b )
där k är en konstant.
Rationella uttryck
Vad menas med ett rationellt uttryck?
Ett rationellt uttryck definieras som en kvot
av två polynom p(x)
q(x)
Ett rationellt uttryck är inte definierat då
nämnaren är lika med noll.
56 1 Algebra och linjära modeller
Bla 3c.indb 56 2012-07-10 09.35